Polinomios operaciones

UNIDAD 4UNIDAD 4
OPERACIONES CONOPERACIONES CON
POLINOMIOSPOLINOMIOS

MAPA DE NAVEGACIÓNMAPA DE NAVEGACIÓN
Operaciones con Polinomios
Índice
Objetivo
General
Ejemplos
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivos
específicos
Objetivo 7
Objetivo 8
Objetivo 9
Objetivo 10
Objetivo 11
Objetivo 12
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
Objetivo 9
Objetivo 10
Objetivo 11
Objetivo 12
Objetivos y Teoría

 Objetivo GeneralObjetivo General
 Objetivos EspecíficosObjetivos Específicos
 EjemplosEjemplos
 Ejercicios ResueltosEjercicios Resueltos
(Ver PowerPoint ejercicios resueltos)(Ver PowerPoint ejercicios resueltos)
 Problemas Propuestos y soluciones a losProblemas Propuestos y soluciones a los
problemas propuestosproblemas propuestos
(Ver PowerPoint problemas y soluciones)(Ver PowerPoint problemas y soluciones)

EJEMPLOSEJEMPLOS
 OBJETIVO 1OBJETIVO 1
Índice

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
Y SOLUCIONESY SOLUCIONES
Índice

Objetivo general.Objetivo general.
Al terminar esta UnidadAl terminar esta Unidad
resolverás ejercicios y problemasresolverás ejercicios y problemas
en los que apliques lasen los que apliques las
operaciones de suma, resta,operaciones de suma, resta,
multiplicación y división demultiplicación y división de
polinomios.polinomios.
Índice

Objetivos específicos:Objetivos específicos:
1.1. Diferenciarás monomios, binomios, trinomiosDiferenciarás monomios, binomios, trinomios
2.2. Identificarás y determinarás el grado de un mIdentificarás y determinarás el grado de un m
3.3. Reducirás términos semejantes en un polinoReducirás términos semejantes en un polino
4.4. Determinarás cuándo dos polinomios son iguDeterminarás cuándo dos polinomios son igu
Índice

5.5. Recordarás el procedimiento general para suRecordarás el procedimiento general para su
6.6. Recordarás la multiplicación de monomios.Recordarás la multiplicación de monomios.
7.7. Recordarás la regla para la multiplicación deRecordarás la regla para la multiplicación de
8.8. Recordarás el procedimiento general para laRecordarás el procedimiento general para la
9.9. Recordarás la división entre monomios.Recordarás la división entre monomios.
Índice

10.10. Recordarás la regla para la división de un poRecordarás la regla para la división de un po
11.11. Recordarás el procedimiento general para laRecordarás el procedimiento general para la
12.12. Aplicarás las operaciones con polinomios enAplicarás las operaciones con polinomios en
13.13. Aplicarás las operaciones con polinomios enAplicarás las operaciones con polinomios en
Índice

UnUn polinomiopolinomio es una suma de términos enes una suma de términos en
los cuales cada uno es el producto de unlos cuales cada uno es el producto de un
coeficiente y una o más variables.coeficiente y una o más variables.
Todas las variables en él tienen exponentesTodas las variables en él tienen exponentes
enteros, no negativos, y ninguna variableenteros, no negativos, y ninguna variable
aparece en el denominador.aparece en el denominador. Es convenienteEs conveniente
recordar que lo enteros no negativos son losrecordar que lo enteros no negativos son los
números del conjunto [0,1,2,3,…]números del conjunto [0,1,2,3,…]..
Si el exponente de las variables es cero,Si el exponente de las variables es cero,
entonces el término se reduce a una constante.entonces el término se reduce a una constante.
Objetivo 1.Objetivo 1.

1.)1.) 33aa22
bb44
– 2– 2aa22
bb22
+ 4+ 4abab33
2.)2.) –– xyxy + 5+ 5xx22
yy77
+ 4+ 4xx22
yy55
3.) 3xy – 6x3.) 3xy – 6x22
y.y.
4.) 4x4.) 4x22
y - 3xyy - 3xy22
+5.+5.
5.) 25.) 2aa33
bb22
cc – 4– 4aa22
bb22
cc22
+ 5+ 5aa22
bb33
cc33
..
Las siguientes expresiones sonLas siguientes expresiones son
polinomios:polinomios:

Las siguientes expresionesLas siguientes expresiones
no son polinomios:no son polinomios:
1.)1.) 33aa22
bb–3–3
– 2– 2aa22
bb22
+ 4+ 4abab33
, puesto que en el primer, puesto que en el primer
término la variabletérmino la variable bb tiene exponente negativo.tiene exponente negativo.
2.)2.)
porque en el segundo término la variableporque en el segundo término la variable yy
está en el denominador.está en el denominador.
3.)3.)
porque en el último término la variableporque en el último término la variable aa tienetiene
un exponente fraccionario.un exponente fraccionario.
2
2 5
7
5
- 4
x
xy x y
y
+ +
1
2 5 2 2 3 43
4 3 + 5a b a b ab a b+ −

Un polinomio en el que todos susUn polinomio en el que todos sus
términos son de la formatérminos son de la forma aannxxnn
,donde,donde aann
es alguna constante (es decir, en loses alguna constante (es decir, en los
que aparece solamente una variable)que aparece solamente una variable)
se llamase llama polinomio en xpolinomio en x y sey se
representa comorepresenta como PP((xx),), QQ((xx),), ff((xx), etc.), etc.

1.)1.)
2.)2.)
3.)3.)
( ) 5P x x=
2 1
( ) 6 4
2
Q x x x= − +
4 32 1
( ) 7 5
3 2
f x x x x= − + −
Los siguientes son ejemplosLos siguientes son ejemplos
de polinomios en x:de polinomios en x:

1.)1.) RR((xx) = ,puesto que el exponente) = ,puesto que el exponente
es fraccionario.es fraccionario.
2.)2.) gg((xx) = , porque en el tercer) = , porque en el tercer
término el exponente es negativo.término el exponente es negativo.
1/2
x
2 1
3 2x x x−
− +
Por el contrario, los siguientesPor el contrario, los siguientes
ejemplos no son polinomios:ejemplos no son polinomios:

Un polinomio con un solo término es unUn polinomio con un solo término es un
monomio. Un binomio es un polinomio conmonomio. Un binomio es un polinomio con
dos términos y un trinomio es undos términos y un trinomio es un
polinomio con tres términos.polinomio con tres términos.
Lo polinomios con más de tres términos noLo polinomios con más de tres términos no
tienen un nombre especial. Poli es untienen un nombre especial. Poli es un
prefijo griego que significa “muchos”.prefijo griego que significa “muchos”.
De acuerdo con lo anterior, un polinomioDe acuerdo con lo anterior, un polinomio
es una suma de monomios.es una suma de monomios.

TrinomiosBinomiosMonomios
Ejemplos:Ejemplos:
4x + 2
2 1x x− +
6x 2
6x x− 2 2
6 3 2x xy y+ −
31
5
xyz
2 2
x y y− 2 21
3 6
2
x y x y+ −
4

El grado de un monomio es la sumaEl grado de un monomio es la suma
de los exponentes de las variablesde los exponentes de las variables
que aparecen en él.que aparecen en él.

Ejemplos:Ejemplos:
1.)1.) El monomio: 3El monomio: 3xx22
yy33
zz, es de grado 6,, es de grado 6,
puesto que 2 + 3 + 1= 6.puesto que 2 + 3 + 1= 6.
2.)2.) El monomio: – 5El monomio: – 5aa44
bb33
cc22
, es de grado 9,, es de grado 9,
puesto que 4 + 3 + 2 = 9.puesto que 4 + 3 + 2 = 9.

El grado de un monomio es la suma de losEl grado de un monomio es la suma de los
exponentes de las variables que aparecenexponentes de las variables que aparecen
en él.en él.
Ejemplos:Ejemplos:
1.)1.) El monomio: 3El monomio: 3xx22
yy33
zz, es de grado 6,, es de grado 6,
puesto que 2 + 3 + 1= 6.puesto que 2 + 3 + 1= 6.
2.)2.) El monomio: – 5El monomio: – 5aa44
bb33
cc22
, es de grado 9,, es de grado 9,
puesto que 4 + 3 + 2 = 9.puesto que 4 + 3 + 2 = 9.

Un monomio que consiste solamente enUn monomio que consiste solamente en
una constante diferente de cero, es deuna constante diferente de cero, es de
grado cero.grado cero.
Ejemplos:Ejemplos:
1.) El monomio: 8, es de grado cero.1.) El monomio: 8, es de grado cero.
2.) El monomio: , es de grado cero.2.) El monomio: , es de grado cero.1
5

El grado de un polinomio es igualEl grado de un polinomio es igual
al del término (es decir delal del término (es decir del
monomio incluido en él) conmonomio incluido en él) con
coeficiente diferente de cero quecoeficiente diferente de cero que
posee el grado más alto.posee el grado más alto.

Ejemplos:Ejemplos:
1.)1.) PP((xx) =) = xx22
+ 3+ 3xx – 4 es un polinomio de– 4 es un polinomio de
grado 2.grado 2.
2.)2.) RR((xx) = 3 es un polinomio de grado 0.) = 3 es un polinomio de grado 0.
3.)3.) SS((xx) =) = 00xx77
–– xx44
+ 9+ 9 xx33
– 1 es un– 1 es un
polinomio de grado 4.polinomio de grado 4.

4.4. MM((xx) = 0 es un polinomio nulo. Su grado es) = 0 es un polinomio nulo. Su grado es
indeterminado puesto que no tiene ningún términoindeterminado puesto que no tiene ningún término
con coeficiente diferente de cero.con coeficiente diferente de cero.
5.)5.) En el polinomio:En el polinomio: 33aa44
bb22
cc22
++ aa22
bb33
cc22
–– aa22
bb55
cc55
+ 3+ 3aa33
bb33
cc33
sus monomios son, respectivamente, de grados:sus monomios son, respectivamente, de grados:
8, 7, 12 y 9, por lo cual el polinomio es de grado8, 7, 12 y 9, por lo cual el polinomio es de grado
12.12.
6.)6.) En el polinomio:En el polinomio: –– xyxy22
zz33
+ 3+ 3xx33
yy33
zz + 6+ 6xx22
yy22
zz – 4– 4xx33
yzyz22
sus monomios son, respectivamente, de grados:sus monomios son, respectivamente, de grados:
6, 7, 5 y 6, por lo cual el polinomio es de grado 7.6, 7, 5 y 6, por lo cual el polinomio es de grado 7.

Se llaman términos semejantes enSe llaman términos semejantes en
un polinomio a los monomios queun polinomio a los monomios que
tienen las mismas variablestienen las mismas variables
elevadas a las mismas potencias.elevadas a las mismas potencias.
En los polinomios de una solaEn los polinomios de una sola
variable, los términos semejantesvariable, los términos semejantes
son los del mismo grado.son los del mismo grado.

1.)1.) En el polinomio: 2En el polinomio: 2aa33
bb44
+ 3+ 3aa22
bb – 5– 5abab ++
33bb44
aa33
+ 4+ 4abab, los términos: 2, los términos: 2aa33
bb44
y 3y 3bb44
aa33
sonson
términos semejantes, y los términos: –términos semejantes, y los términos: –
55abab y 4y 4abab también lo son.también lo son.
2.)2.) En el polinomio:En el polinomio: QQ((xx) = 3) = 3xx22
+ 4+ 4xx55
– 2– 2xx33
––
xx22
++ xx + 3+ 3xx44
+ 4+ 4xx33
, los términos: 3, los términos: 3xx22
y –y – xx22
son semejantes, y también lo son losson semejantes, y también lo son los
términos: – 2términos: – 2xx33
y 4y 4xx33
..
Ejemplo

Reducir términos semejantesReducir términos semejantes
En un polinomio, significa agruparEn un polinomio, significa agrupar
en un sólo monomio a los queen un sólo monomio a los que
sean semejantes, efectuando lasean semejantes, efectuando la
suma algebraica de sussuma algebraica de sus
coeficientes de acuerdo con lascoeficientes de acuerdo con las
reglas de los signos para lareglas de los signos para la
suma.suma.

En los ejemplos anteriores, los términosEn los ejemplos anteriores, los términos
semejantes se reducen de la siguiente manera:semejantes se reducen de la siguiente manera:
1.)1.) 22aa33
bb44
+ 3+ 3aa22
bb – 5– 5abab + 3+ 3bb44
aa33
+ 4+ 4abab ..
Se reducen: 2Se reducen: 2aa33
bb44
+ 3+ 3bb44
aa33
= 5= 5aa33
bb44
y también: –y también: –
55abab + 4+ 4abab = –= – abab ..
El polinomio reducido queda: 5El polinomio reducido queda: 5aa33
bb44
+ 3+ 3aa22
bb –– aab.b.
2.)2.) QQ((xx) = 3) = 3xx22
+ 4+ 4xx55
– 2– 2xx33
–– xx22
++ xx + 3+ 3xx44
+ 4+ 4xx33
..
Se reducen: 3Se reducen: 3xx22
–– xx22
= 2= 2xx22
, y también: – 2, y también: – 2xx33
+ 4+ 4xx33
==
22xx33
..
El polinomio reducido queda:El polinomio reducido queda: QQ((xx) = 2) = 2xx22
+ 4+ 4xx55
++
22xx33
++ xx + 3+ 3xx44
..
Ejemplo
anterior

Dos polinomios son iguales si tienen elDos polinomios son iguales si tienen el
mismo grado y si todos y cada uno de losmismo grado y si todos y cada uno de los
términos de uno de ellos tienen un términotérminos de uno de ellos tienen un término
semejante, con exactamente el mismosemejante, con exactamente el mismo
coeficiente, en el otro. En particular, en loscoeficiente, en el otro. En particular, en los
polinomios de una sola variable, dospolinomios de una sola variable, dos
polinomios son iguales si los coeficientes depolinomios son iguales si los coeficientes de
sus términos de igual grado, son iguales.sus términos de igual grado, son iguales.

1.)1.) El polinomio: 3El polinomio: 3xyxy33
– 2– 2xyxy55
++ xzxz44
–– yzyz22
++ xyzxyz
y el polinomio:y el polinomio: zz44
xx + 3+ 3xyxy33
++ xyzxyz –– yzyz22
– 2– 2yy55
xx
son iguales.son iguales.
2.)2.) El polinomio:El polinomio: MM((xx) = 3) = 3xx55
+ 6+ 6xx33
+ 2+ 2xx22
–– xx44
+ 7+ 7xx – 3– 3xx33
– 3– 3xx22
y el polinomio:y el polinomio: RR((xx) = –) = – xx44
+ 3+ 3xx33
+ 3+ 3xx55
+ 7+ 7xx –– xx22
son iguales puesto que, al reducir términosson iguales puesto que, al reducir términos
semejantes,semejantes, MM(x) queda:(x) queda:
MM((xx) = 3) = 3xx55
+ 3+ 3xx33
–– xx22
–– xx44
+ 7+ 7xx ..

3.)3.) El polinomio: 2El polinomio: 2xx33
++ xyxy22
–– xyxy + 3+ 3xyxy22
y el polinomio: 2y el polinomio: 2xx33
++ xyxy22
++ xyxy + 3+ 3xyxy22
no son iguales, puesto que el coeficiente delno son iguales, puesto que el coeficiente del
término entérmino en xyxy es diferente (en el primero es – 1 yes diferente (en el primero es – 1 y
en el segundo es + 1).en el segundo es + 1).
4.)4.) El polinomio: 6El polinomio: 6xx55
yy44
+ 3+ 3xx44
yy33
–– xx33
yy22
+ 2+ 2xx22
yy ++ xx – 4– 4
y el polinomio: 6y el polinomio: 6xx55
yy44
+ 3+ 3xx44
yy33
–– xx33
yy22
++ xx – 4– 4
no son iguales, puesto que el término 2no son iguales, puesto que el término 2xx22
yy deldel
primero no tiene un término semejante en elprimero no tiene un término semejante en el
segundo.segundo.

Recordarás el procedimientoRecordarás el procedimiento
general para sumar y restargeneral para sumar y restar
polinomios.polinomios.

Dos polinomios se sumanDos polinomios se suman
reduciendo los términos que seanreduciendo los términos que sean
semejantes en ambos.semejantes en ambos.
EJEMPLO:EJEMPLO:
1.)1.) Para sumar el polinomio: 2Para sumar el polinomio: 2xyxy33
– 3– 3xx22
yy22
++
44xx33
yy + 2+ 2xyxy22
– 5– 5xx22
yy + 7+ 7xyxy
con el polinomio:con el polinomio: xyxy33
+ 3+ 3xx22
yy22
+ 4+ 4 xyxy22
– 2– 2xx22
yy ––
99xyxy , se procede así:, se procede así:
(2 + 1)(2 + 1)xyxy33
+ (– 3 + 3)+ (– 3 + 3) xx22
yy22
+ 4+ 4xx33
yy + (2 + 4)+ (2 + 4)xyxy22
+ (– 5 – 2)+ (– 5 – 2)xx22
yy + (7 – 9)+ (7 – 9)xyxy
= 3= 3xyxy33
+ 4+ 4xx33
yy + 6+ 6xyxy22
– 7– 7xx22
yy – 2– 2xyxy ..

Cuando los polinomios son de una sola variable,Cuando los polinomios son de una sola variable,
para realizar la suma la operación se efectúapara realizar la suma la operación se efectúa
sumando o restando los coeficientes (según susumando o restando los coeficientes (según su
signo) de los términos de igual grado.signo) de los términos de igual grado.
Para sumar:Para sumar: PP((xx) = 3) = 3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx con:con: QQ((xx) =) =
xx33
+ 2+ 2xx22
– 11– 11xx + 3, se procede+ 3, se procede así:así:
PP((xx) +) + QQ((xx)) = (3= (3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx) + () + (xx33
+ 2+ 2xx22
––
1111xx + 3)+ 3)
= 3= 3xx44
++ xx33
+ (– 5 + 2)+ (– 5 + 2)xx22
+ (7 – 11)+ (7 – 11)xx + 3+ 3
= = 33xx44
++ xx33
– 3– 3xx22
– 4– 4xx + 3 .+ 3 .

Para sumar varios polinomios, en
la práctica, se acostumbra colocar
unos debajo de los otros de
manera que los términos
semejantes queden en la misma
columna. A continuación se
reducen los términos semejantes
separando unos de otros con sus
signos correspondientes.

1.)1.) Sumar:Sumar:
Para efectuar la suma se tiene:Para efectuar la suma se tiene:
3 2 2 2 2 3 3 2 2
4 2 3 , con: 6 2 4 , ycon: 7 6x x y xy x y xy x x x y xy+ − + − − +
3 2 2
3 2 2
3 2 2
3 2 2
4 2 3 ,
4 6 2
7 6
______________________
5
x x y xy
x x y xy
x x y xy
x x y xy
+ −
− + +
− +
+ +

2.)2.) Sumar:Sumar: PP(x) = 3(x) = 3xx44
+ 3+ 3xx22
– 5– 5xx +7, con:+7, con:
QQ(x) = 2(x) = 2xx55
–– xx44
++ xx33
– 2– 2xx22
++ xx –3, y con:–3, y con:
RR(x) = – 3(x) = – 3xx55
+ 2+ 2xx44
+ 2+ 2xx33
– 4– 4xx –5.–5.
Para efectuar la suma se tiene:Para efectuar la suma se tiene:
4 2
5 4 3 2
5 4 3
5 4 3 2
3 3 5 7
2 2 3
3 2 2 4 5
__________________________
4 3 8 1
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
+ − +
− + − + −
− + + − −
− + + + − −

Todo polinomio tiene unTodo polinomio tiene un opuestoopuesto, que, que
se obtiene cambiando el signo dese obtiene cambiando el signo de
todos sus términos.todos sus términos.
Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.) Para el polinomio:Para el polinomio: PP((xx) =) = xx22
+ 3+ 3xx – 4– 4
su opuesto es el polinomio: –su opuesto es el polinomio: – PP((xx) = –) = –xx22
––
33xx + 4.+ 4.

Se llamaSe llama restaresta oo diferenciadiferencia de dosde dos
polinomios,polinomios, PP – – QQ, a la suma de, a la suma de PP con el con el
opuesto deopuesto de QQ. Al polinomio. Al polinomio PP se le llamase le llama
minuendominuendo y al polinomioy al polinomio QQ se le llamase le llama
sustraendosustraendo. Así, para restar dos. Así, para restar dos
polinomios se suma al minuendo elpolinomios se suma al minuendo el
opuesto del sustraendo.opuesto del sustraendo.

Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.) Para restar del polinomio:Para restar del polinomio: PP((xx) = 3) = 3xx44
––
55xx22
+ 7+ 7xx,,
el polinomio:el polinomio: QQ((xx) =) = xx33
+ 2+ 2xx22
– 11– 11xx + 3, se+ 3, se
procede así:procede así:
PP((xx) –) – QQ((xx)) = (3= (3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx)) –– ((xx33
+ 2+ 2xx22
– 11– 11xx
+ 3)+ 3)
= (3= (3xx44
– 5– 5xx22
+ 7+ 7xx) + () + (–– xx33
–– 22xx22
+ 11+ 11xx –– 3) 3)
= 3= 3xx44
–– xx33
+ (+ (–– 55 –– 2)2)xx22
+ (7 + 11)+ (7 + 11)xx –– 3 3
= = 33xx44
–– xx33
– 7– 7xx22
+ 18+ 18xx –– 3 . 3 .

En forma parecida al caso de la suma,
para restar dos polinomios puede resultar
cómodo escribir el opuesto del sutraendo
debajo del minuendo de manera que los
términos semejantes queden en la misma
columna y a continuación se reducen los
términos semejantes.

Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.)Restar:Restar:
Solución:Solución:
Se escribe el sustraendo con los signosSe escribe el sustraendo con los signos
cambiados (para tener su opuesto) debajo delcambiados (para tener su opuesto) debajo del
minuendo, ordenándolos ambos en ordenminuendo, ordenándolos ambos en orden
descendente con respecto a la variabledescendente con respecto a la variable xx, y se, y se
suma:suma:
4 3 2 2 4 3 2 2
4 2 5 , de 8 5 3x x y x y x x y x y− + − +
4 3 2 2
4 3 2 2
4 3 2 2
8 5 3
4 2 5
______________________
4 3 2
x x y x y
x x y x y
x x y x y
− +
− + −
− −

Para multiplicar monomios se aplican lasPara multiplicar monomios se aplican las
reglas de los signos y las reglas de losreglas de los signos y las reglas de los
exponentes que se presentan en lasexponentes que se presentan en las
UnidadesUnidades 11 yy 22 (Reglas de los signos y(Reglas de los signos y
Exponentes y radicales). El grado delExponentes y radicales). El grado del
monomio resultante es igual a la suma demonomio resultante es igual a la suma de
los grados de los monomios que selos grados de los monomios que se
multiplican.multiplican.

Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.) (4(4xyxy) por (6) por (6xyxy44
))
= 4 · 6 ·= 4 · 6 · xx ·· xx ·· yy ·· yy44
= 24 ·= 24 · xx1+11+1
·· yy1+41+4
= 24= 24xx22
yy55
..
2.)2.) (– 2(– 2aa44
bb77
) por (– 3) por (– 3aa88
bb33
cc))
= (–2) · (–3) ·= (–2) · (–3) · aa44
·· aa88
·· bb77
·· bb33
·· cc
= 6 ·= 6 · aa4+84+8
·· bb7+37+3
·· cc = 6= 6 aa1212
bb1010
cc ..
3.)3.) (3(3xx44
yy22
zz44
) por (–5) por (–5xx33
yzyz33
))
= 3 · (–5) ·= 3 · (–5) · xx44
·· xx33
·· yy22
·· yy ·· zz44
·· zz33
= –15 ·= –15 · xx4+34+3
·· yy2+12+1
·· zz4+34+3
= –15= –15xx77
yy33
zz77
..

Para multiplicar un polinomio por unPara multiplicar un polinomio por un
monomio, se multiplica cada uno de losmonomio, se multiplica cada uno de los
términos del polinomio por el monomio. Eltérminos del polinomio por el monomio. El
resultado es un polinomio con el mismoresultado es un polinomio con el mismo
número de términos que el original y cuyonúmero de términos que el original y cuyo
grado es igual a la suma del grado delgrado es igual a la suma del grado del
polinomio original y el grado del monomiopolinomio original y el grado del monomio
por el que se multiplica.por el que se multiplica.

Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.) (2(2xyxy44
++ xx33
yy – 4– 4xx22
yy22
+ 3+ 3xx22
yy – 2– 2xyxy) (–3) (–3xx22
yy33
))
=(2=(2xyxy44
) (–3) (–3xx22
yy33
) + () + (xx33
yy) (–3) (–3xx22
yy33
) – (4) – (4xx22
yy22
))
(–3(–3xx22
yy33
)+ (3)+ (3xx22
yy) () (––33xx22
yy33
) – (2) – (2xyxy) (–3) (–3xx22
yy33
))
= – 6= – 6xx33
yy77
– 3– 3xx55
yy44
+ 12+ 12xx44
yy55
– 9– 9xx44
yy44
+ 6+ 6xx33
yy44
..

Ejemplo:Ejemplo:
2.)2.) (3(3zz55
– 2– 2zz44
+ 4+ 4zz33
+ 4+ 4zz22
–– zz + 3)(2+ 3)(2zz22
))
= (3= (3zz55
) (2) (2zz22
) – (2) – (2zz44
) (2) (2zz22
) + (4) + (4zz33
) (2) (2zz22
) + (4) + (4zz22
))
(2(2zz22
) – () – (zz) (2) (2zz22
)) + (3) (2+ (3) (2zz22
))
= 6= 6zz77
– 4– 4zz66
+ 8+ 8zz55
+ 8+ 8zz44
– 2– 2zz33
+ 6+ 6zz22
..

En muchas ocasiones resulta convenienteEn muchas ocasiones resulta conveniente
para efectuar la multiplicación, escribir lospara efectuar la multiplicación, escribir los
dos factores con el polinomio arriba y eldos factores con el polinomio arriba y el
monomio abajo, y anotar en un tercermonomio abajo, y anotar en un tercer
renglón el resultado de la multiplicaciónrenglón el resultado de la multiplicación
del segundo por todos los términos deldel segundo por todos los términos del
primero.primero.

Ejemplo:Ejemplo:
1.) Multiplicar:1.) Multiplicar: ( ) ( )3 2
3 5 4 3a a a•+ −
3 2
4 3
3 5 4
3
______________
9 15 12
a a
a
a a a
+ −
+ −

Ejemplo:Ejemplo:
2.) Multiplicar:2.) Multiplicar:
( )3 2 2 3
( 3 3 ) 2x x y xy y xy•− + −
3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 3
2
__________________________
2 6 6 2
x x y xy y
xy
x y x y x y xy
− + −
− + −

Para obtener el producto, es decirPara obtener el producto, es decir
multiplicar, dos polinomios se multiplican,multiplicar, dos polinomios se multiplican,
término a término, cada monomio de unotérmino a término, cada monomio de uno
por cada monomio del otro y,por cada monomio del otro y,
posteriormente, se simplifican los términosposteriormente, se simplifican los términos
semejantes.semejantes.

Ejemplo:Ejemplo:
1.) Multiplicar:1.) Multiplicar: PP((xx) = 5) = 5xx + 11, por+ 11, por QQ((xx) =) =
xx33
+ 2+ 2xx22
+ 4.+ 4.
P(x)Q(x) = (5x + 11) (x3
+ 2x2
+ 4)
= (5x )(x3
+ 2x2
+ 4) + (11)(x3
+ 2x2
+ 4)
= (5x)(x3
) + (5x)(2x2
) + (5x)( 4) + (11)(x3
) + (11)
(2x2
)+ (11)( 4)
= 5x4
+ 10x3
+ 20x + 11x3
+ 22x2
+ 44
= 5x4
+ (10 + 11) x3
+ 22x2
+ 20x + 44
= 5x4
+ 21 x3
+ 22x2
+ 20x + 44.

Ejemplo:Ejemplo:
2.)2.) Multiplicar 3Multiplicar 3 aa22
bb + 2+ 2abab –– abab22
+ 4+ 4abab33
porpor abab22
– 3– 3 aa22
bb
(3(3aa22
bb + 2+ 2abab –– abab22
+ 4+ 4abab33
) () ( abab22
– 3– 3 aa22
bb))
== (3a2
b)( ab2
– 3 a2
b) + (2ab)( ab2
– 3 a2
b) – (ab2
)( ab2
– 3 a2
b) +
(4ab3
)( ab2
– 3 a2
b)
= (3a2
b)( ab2
) + (3a2
b)(– 3 a2
b) + (2ab)( ab2
) + (2ab)(– 3 a2
b)
– (ab2
)( ab2
) – (ab2
)(– 3 a2
b) + (4ab3
)( ab2
) + (4ab3
)(–3 a2
b)
= 3= 3aa33
bb33
– 9– 9aa44
bb22
+ 2+ 2aa22
bb33
– 6– 6aa33
bb22
–– aa22
bb44
+ 3+ 3aa33
bb33
+ 4+ 4aa22
bb55
– 12– 12aa33
bb44
= (3 + 3)a3
b3
– 9a4
b2
+ 2a2
b3
– 6a3
b2
– a2
b4
+ 4a2
b5
– 12a3
b4
= 6= 6aa33
bb33
– 9– 9aa44
bb22
+ 2+ 2aa22
bb33
– 6– 6aa33
bb22
–– aa22
bb44
+ 4+ 4aa22
bb55
– 12– 12aa33
bb44
..

Como en el caso anterior, es convenienteComo en el caso anterior, es conveniente
para efectuar la multiplicación de dospara efectuar la multiplicación de dos
polinomios, escribir los dos factores unopolinomios, escribir los dos factores uno
abajo del otro, y anotar en renglonesabajo del otro, y anotar en renglones
sucesivos el resultado de lasucesivos el resultado de la
multiplicación de cada monomio delmultiplicación de cada monomio del
segundo por todos los términos delsegundo por todos los términos del
primero, para luego efectuar la reducciónprimero, para luego efectuar la reducción
de términos semejantes como en unade términos semejantes como en una
suma.suma.

Ejemplo:Ejemplo:
1.)1.) Multiplicar:Multiplicar:
Se multiplica el primer polinomio por cadaSe multiplica el primer polinomio por cada
uno de los monomios del segundo,uno de los monomios del segundo,
tomados de izquierda a derecha, y cadatomados de izquierda a derecha, y cada
producto se escribe en un renglón:producto se escribe en un renglón:
( )3 2 2 3 2 2
(2 3 4 2 ) 3 4 5a a b ab b a ab b•− + − + −

Continuación ejemplo:Continuación ejemplo:
3 2 2 3
2 2
5 4 3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
3 2 2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 4
2 3 4 2
3 4 5
_______________________________
6 9 12 6
8 12 16 8
10 15 20 10
____________________________________________
6 10 25 28
a a b ab b
a ab b
a a b a b a b
a b a b a b ab
a b a b ab b
a a b a b a b ab
− + −
+ −
− + −
− + −
− + − +
− − + − + 5
10b

El mismo resultado se obtiene si se multiplica el primer
polinomio por cada uno de los monomios del segundo,
tomados de derecha a izquierda:
3 2 2 3
2 2
3 2 2 3 4 5
4 3 2 2 3 4
5 4 3 2 2 3
5 4 3 2
2 3 4 2
3 4 5
_____________________________________
10 15 20 10
8 12 16 8
6 9 12 6
__________________________________________________
6 10 2
a a b ab b
a ab b
a b a b ab b
a b a b a b ab
a a b a b a b
a a b a b
− + −
+ −
− + − +
− + −
− + −
− − + 2 3 4 5
5 28 10a b ab b− +

Al igual que sucede con los números, en elAl igual que sucede con los números, en el
caso de los monomios y de los polinomios,caso de los monomios y de los polinomios,
una fracción significa una división. A launa fracción significa una división. A la
expresión en que se presenta una divisiónexpresión en que se presenta una división
entre monomios o polinomios se le llamaentre monomios o polinomios se le llama
fracción algebraicafracción algebraica. Al término. Al término
correspondiente al numerador se le conocecorrespondiente al numerador se le conoce
comocomo dividendodividendo, y al del denominador como, y al del denominador como
divisordivisor. El resultado de la división es el. El resultado de la división es el
cocientecociente..

En la fracción , el dividendo esEn la fracción , el dividendo es PP, y el, y el
divisor esdivisor es MM..
Al obtener =Al obtener = QQ, el cociente es, el cociente es QQ..
P
M
P
M

Para dividir monomios se aplican las reglasPara dividir monomios se aplican las reglas
de los signos y las reglas de los exponentesde los signos y las reglas de los exponentes
que se han expuesto en las Unidadesque se han expuesto en las Unidades 11 yy
22. El grado del monomio resultante es igual. El grado del monomio resultante es igual
a la diferencia del grado del monomioa la diferencia del grado del monomio
dividendo menos el grado del monomiodividendo menos el grado del monomio
divisor.divisor.

Ejemplos:Ejemplos:
1.)1.)
2.)2.)
3.)3.)
6 4 6 4
6 2 4 1 4 3
2 2
4 44
2
2 22
a b a b
a b a b
ba b a
− −     
= = = − ÷ ÷ ÷  ÷
− −−      
3 2 5 23 5
3 3 2 1 5 3 2
3 3 3 3
6 6
3 3
22
x y z yx z
x y z yz
yx yz x z
− − −    − − 
= = = ÷ ÷  ÷ ÷
−−       
4 4
4 3
3 3
2 2 1 1
4 2 24
x x
x x
x x
−  
= = = ÷ ÷
  

Cuando el grado del divisor es mayor que elCuando el grado del divisor es mayor que el
grado del dividendo, el resultado de lagrado del dividendo, el resultado de la
división no es un monomio, puesto que ladivisión no es un monomio, puesto que la
diferencia de grados resulta ser un númerodiferencia de grados resulta ser un número
negativo y, como se ha señalado, en losnegativo y, como se ha señalado, en los
polinomios (y los monomios son polinomiospolinomios (y los monomios son polinomios
con un solo término) los exponentes debencon un solo término) los exponentes deben
ser números enteros no negativos.ser números enteros no negativos.

Ejemplos:Ejemplos:
1.)1.)
el resultado no es un monomio.el resultado no es un monomio.
2.)2.)
el resultado no es un monomio.el resultado no es un monomio.
2
1
3
3 3
3
a b
a
a b a
−
= =
4
3
7 3
6 2
2
3
x
x
x x
−
= − = −
−

En general, cuando se trata de dividir unEn general, cuando se trata de dividir un
polinomio entre un monomio, se puedepolinomio entre un monomio, se puede
establecer la siguiente regla:establecer la siguiente regla:
Dados un polinomioDados un polinomio PP y un monomioy un monomio MM,,
siempre es posible encontrar otros dossiempre es posible encontrar otros dos
polinomiospolinomios QQ yy RR tales que:tales que:
PP == M QM Q ++ RR..

En ambas expresiones,En ambas expresiones, PP es eles el dividendodividendo,, MM
es eles el divisordivisor,, QQ es eles el cocientecociente yy RR es eles el
residuoresiduo..
El grado deEl grado de QQ es igual a la diferencia deles igual a la diferencia del
grado degrado de PP menos el grado demenos el grado de MM, y el grado, y el grado
dede RR es menor que el dees menor que el de QQ, o bien, o bien RR = 0, en= 0, en
cuyo caso la división es exacta.cuyo caso la división es exacta.
= +
P R
Q
M M

Si la división es exacta, el resultado (elSi la división es exacta, el resultado (el
cociente) es un polinomio con el mismocociente) es un polinomio con el mismo
número de términos que el original y cuyonúmero de términos que el original y cuyo
grado es igual a la diferencia del grado delgrado es igual a la diferencia del grado del
polinomio dividendo menos el grado delpolinomio dividendo menos el grado del
monomio divisor.monomio divisor.
En la práctica, para dividir un polinomio porEn la práctica, para dividir un polinomio por
un monomio, se divide cada uno de losun monomio, se divide cada uno de los
términos del polinomio por el monomio.términos del polinomio por el monomio.

OBJETIVO 10OBJETIVO 10
ejemplos

1.)1.) Dividir:Dividir:
Para efectuar la división, se divide cadaPara efectuar la división, se divide cada
término del numerador entre eltérmino del numerador entre el
denominador:denominador:
3 4 3 2 2 2 2 3
2
4 2 4 6
2
x y x y x y x y
xy
+ − +
−

3 4 3 2 2 2 2 3 3 4 3 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2
2 2 2
4 2 4 6 4 2 4 6
2 2 2 2 2
2 2 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
xy xy xy xy xy
x y x x xy
+ − +
= + − +
− − − − −
= − − + −

2.)2.) Dividir:Dividir:
5 4 3 2
2
8 2 8 4
2
y y y y
y
− + +
5 4 3 2 5 4 3 2
2 2 2 2 2
3 2
8 2 8 4 8 2 8 4
2 2 2 2 2
4 4 2
y y y y y y y y
y y y y y
y y y
− + +
= − + +
= − + +

Si al dividir cada uno de los términos delSi al dividir cada uno de los términos del
dividendo entre el monomio divisor sedividendo entre el monomio divisor se
encuentra que en algún caso el resultadoencuentra que en algún caso el resultado
tendría un exponente negativo, entonces latendría un exponente negativo, entonces la
división no es exacta y el resultado sedivisión no es exacta y el resultado se
expresa dando el cociente obtenido conexpresa dando el cociente obtenido con
todos los términos en que resultentodos los términos en que resulten
exponentes no negativos, y los términosexponentes no negativos, y los términos
restantes del dividendo constituyen elrestantes del dividendo constituyen el
residuo de la división.residuo de la división.

Ejemplos:Ejemplos:
1.)1.)Dividir:Dividir:
con un residuo igual a 3con un residuo igual a 3xx – 1, puesto que– 1, puesto que
en los dos últimos términos de la divisiónen los dos últimos términos de la división
el exponente hubiera resultado negativo.el exponente hubiera resultado negativo.
5 4 3 2
2
8 2 8 4 3 1
2
x x x x x
x
− + + + −
5 4 3 2 5 4 3 2
2 2 2 2 2 2 2
3 2
8 2 8 4 3 1 8 2 8 4 3 1
2 2 2 2 2 2 2
4 4 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x
− + + + −
= − + + + −
= − + +

Ejemplos:Ejemplos:
2.)2.)Dividir:Dividir:
con un residuo igual a –2con un residuo igual a –2abab , puesto que en los, puesto que en los
dos últimos términos de la división el exponentedos últimos términos de la división el exponente
hubiera resultado negativo.hubiera resultado negativo.
3 4 3 2 2 2 2 3
2
4 2 4 2 6
2
a b a b a b ab a b
ab
+ − − +
−
3 4 3 2 2 2 2 3
2
3 4 3 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2
2 2 2
4 2 4 2 6
2
4 2 4 2 6
2 2 2 2 2
2 2 3
a b a b a b ab a b
ab
a b a b a b ab a b
ab ab ab ab ab
a b a a ab
+ − − +
−
= + − − +
− − − − −
= − − + −

Otra manera de expresar el resultadoOtra manera de expresar el resultado
cuando la división no es exacta, es en lacuando la división no es exacta, es en la
forma que se llama deforma que se llama de cocientes mixtoscocientes mixtos. En. En
este caso, el resultado se da con el cocienteeste caso, el resultado se da con el cociente
obtenido con todos los términos en queobtenido con todos los términos en que
resulten exponentes no negativos, más unaresulten exponentes no negativos, más una
fracción en que se expresa al residuo entrefracción en que se expresa al residuo entre
el divisor.el divisor.

Para los mismos ejemplosPara los mismos ejemplos
anteriores se tiene:anteriores se tiene:
1.)1.)
2.)2.)
La forma de cocientes mixtos correspondeLa forma de cocientes mixtos corresponde
a la expresióna la expresión
5 4 3 2
3 2
2 2
8 2 8 4 3 1 3 1
4 4 2
2 2
x x x x x x
x x x
x x
− + + + − −
= − + + +
3 4 3 2 2 2 2 3
2 2 2
2 2
4 2 4 2 6 2
2 2 3
2 2
a b a b a b ab a b ab
a b a a ab
ab ab
+ − − +
= − − + − +
−
= +
P R
Q
M M

La regla para dividir dos polinomios esLa regla para dividir dos polinomios es
similar a la de la división de un polinomiosimilar a la de la división de un polinomio
entre un monomio:entre un monomio:
Dados dos polinomiosDados dos polinomios PP yy FF, siempre es, siempre es
posible encontrar otros dos polinomios,posible encontrar otros dos polinomios, QQ yy
RR, tales que:, tales que:
PP == F QF Q ++ RR

Como antes, en términos de fraccionesComo antes, en términos de fracciones
algebraicas, la expresión anterior dice que:algebraicas, la expresión anterior dice que:
PP es eles el dividendodividendo,, FF es eles el divisordivisor,, QQ es eles el
cocientecociente yy RR es eles el residuoresiduo. El grado de. El grado de QQ eses
igual a la diferencia del grado deigual a la diferencia del grado de PP menos elmenos el
grado degrado de FF, y el grado de, y el grado de RR es menor que eles menor que el
dede QQ, o bien, o bien RR = 0 en cuyo caso la división= 0 en cuyo caso la división
es exacta.es exacta.
= +
P R
Q
M M

El procedimiento práctico para dividir dosEl procedimiento práctico para dividir dos
polinomios es el siguiente, que se ilustrarápolinomios es el siguiente, que se ilustrará
directamente con un ejemplo, en el que sedirectamente con un ejemplo, en el que se
utiliza la siguiente notación:utiliza la siguiente notación:
...(operaciones)...
_______
cociente
divisor dividendo
residuo

ejemplos

Ejemplos:Ejemplos:
Dividir el polinomio 4Dividir el polinomio 4abab + 8+ 8aa33
bb22
– 6– 6aa22
bb22
entre el polinomioentre el polinomio bb
+ 2+ 2abab..
Antes que otra cosa, se ordenan los términos tanto delAntes que otra cosa, se ordenan los términos tanto del
polinomio dividendo como del polinomio divisor por laspolinomio dividendo como del polinomio divisor por las
potencias descendientes de una misma variable.potencias descendientes de una misma variable.
En elEn el Ejemplo:Ejemplo:
Se ordenan los dos polinomios de acuerdo con lasSe ordenan los dos polinomios de acuerdo con las
potencias depotencias de aa (también podrían ordenarse según las(también podrían ordenarse según las
potencias depotencias de bb) y se tiene:) y se tiene:
Dividendo:Dividendo: 88aa33
bb22
– 6– 6aa22
bb22
+ 4+ 4abab
Divisor: 2Divisor: 2abab ++ bb

A continuación se divide el primer término delA continuación se divide el primer término del
dividendo entre el primer término del divisor.dividendo entre el primer término del divisor.
El resultado es el primer término del cociente.El resultado es el primer término del cociente.
Se divide el primer término del dividendo entre elSe divide el primer término del dividendo entre el
primer término del divisor.primer término del divisor.
Como , se tiene:Como , se tiene:
3 2
28
4
2
a b
a b
ab
=
2
3 2 2 2
4
2 8 6 4
a b
ab b a b a b ab+ − +

Ahora, este primer término del cociente seAhora, este primer término del cociente se
multiplica por todo el polinomio divisor y elmultiplica por todo el polinomio divisor y el
producto se resta del dividendo.producto se resta del dividendo.
Para hacer esta operación de maneraPara hacer esta operación de manera
sencilla, se acostumbra cambiar el signo delsencilla, se acostumbra cambiar el signo del
producto y escribir cada uno de susproducto y escribir cada uno de sus
términos debajo de su semejante deltérminos debajo de su semejante del
dividendo.dividendo.
Si algún término del producto no tieneSi algún término del producto no tiene
semejante en el dividendo, se escribe en elsemejante en el dividendo, se escribe en el
lugar que le corresponde de acuerdo con ellugar que le corresponde de acuerdo con el
orden que se ha establecido.orden que se ha establecido.

Se efectúa el producto y se resta:Se efectúa el producto y se resta:
2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
4
2 8 6 4
8 4
___________________
10 4
a b
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
+ − +
− −
− +

Una vez hecha la resta, se divide el primerUna vez hecha la resta, se divide el primer
término de su resultado (que se llamarátérmino de su resultado (que se llamará
segundo dividendo) entre el primer términosegundo dividendo) entre el primer término
del divisor. El resultado es el segundodel divisor. El resultado es el segundo
término del cociente.término del cociente.

En el Ejemplo:
Ahora se divide el primer término del resultado
de la resta entre el primer término del divisor,
para obtener el segundo término del cociente.
Como ,que será el segundo término delComo ,que será el segundo término del
cociente:cociente:
2 2
10
5
2
a b
ab
ab
−
=
2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
4 5
2 8 6 4
8 4
___________________
10 4
a b ab
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
−
+ − +
− −
− +

Luego, este segundo término del cocienteLuego, este segundo término del cociente
se multiplica por todo el polinomio divisor yse multiplica por todo el polinomio divisor y
el producto se resta del segundo dividendo.el producto se resta del segundo dividendo.
Al resultado de la resta le llamará tercerAl resultado de la resta le llamará tercer
dividendo.dividendo.

Se hace el producto de este nuevo términoSe hace el producto de este nuevo término
del cociente por el divisor y se vuelve adel cociente por el divisor y se vuelve a
restar:restar: 2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
2 2 2
2
4 5
2 8 6 4
8 4
___________________
10 4
10 5
___________________
4 5
a b ab
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
a b ab
ab ab
−
+ − +
− −
− +
+ +
+

Se repite el procedimiento, dividiendo elSe repite el procedimiento, dividiendo el
primer término de este tercer dividendoprimer término de este tercer dividendo
entre el primer término del divisor paraentre el primer término del divisor para
obtener el tercer término del cociente yobtener el tercer término del cociente y
multiplicando éste por todo el divisor, paramultiplicando éste por todo el divisor, para
restar el producto del tercer dividendo yrestar el producto del tercer dividendo y
obtener el cuarto, y así sucesivamente.obtener el cuarto, y así sucesivamente.

Se repite el procedimiento dividiendo deSe repite el procedimiento dividiendo de
nuevo al primer término del resultado denuevo al primer término del resultado de
la resta entre el primer término del divisor.la resta entre el primer término del divisor.
Como , se obtiene el tercer términoComo , se obtiene el tercer término
del cociente:del cociente:
4
2
2
ab
ab
=
2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
2 2 2
2
4 5 2
2 8 6 4
8 4
___________________
10 4
10 5
___________________
4 5
a b ab
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
a b ab
ab ab
− +
+ − +
− −
− +
+ +
+

y se vuelve a restar el producto de este último término pory se vuelve a restar el producto de este último término por
el divisor:el divisor:
Se repite otra vez el procedimiento para obtener elSe repite otra vez el procedimiento para obtener el
siguiente término del cociente. , y queda:siguiente término del cociente. , y queda:
2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
4 5 2
2 8 6 4
8 4
10 4
10 5
4 5
4 2
5 2
a b ab
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
a b ab
ab ab
ab b
ab b
− +
+ − +
− −
−−−−−−−−−−
− +
+ +
−−−−−−−−−−−−−
+
− −
−−−−−−−−−−
−
2
5 5
2 2
ab
b
ab
=

y se vuelve a restar el productoy se vuelve a restar el producto
de este último término obtenidode este último término obtenido
por el divisor:por el divisor:2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
5
4 5 2
2
2 8 6 4
8 4
__________________
10 4
10 5
___________________
4 5
4 2
_______________
5 2
a b ab b
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
a b ab
ab ab
ab b
ab b
− + +
+ − +
− −
− +
+ +
+
− −
−
2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
5
4 5 2
2
2 8 6 4
8 4
___________________
10 4
10 5
____________________
4 5
4 2
_______________
5 2
5
5
2
___________
5
2
2
a b ab b
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
a b ab
ab ab
ab b
ab b
ab b
b b
− + +
+ − +
− −
− +
+ +
+
− −
−
− −
− −

Obsérvese el último paso del proceso que se haObsérvese el último paso del proceso que se ha
venido desarrollando, el cual se repite aquí:venido desarrollando, el cual se repite aquí:
2
3 2 2 2
3 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2
5
4 5 2
2
2 8 6 4
8 4
___________________
10 4
10 5
____________________
4 5
4 2
_______________
5 2
5
5
2
___________
5
2
2
a b ab b
ab b a b a b ab
a b a b
a b ab
a b ab
ab ab
ab b
ab b
ab b
b b
− + +
+ − +
− −
− +
+ +
+
− −
−
− −
− −

El procedimiento termina cuando sucedeEl procedimiento termina cuando sucede
una de dos cosas:una de dos cosas:
a) El resultado de la resta es cero, lo quea) El resultado de la resta es cero, lo que
indica que la división es exacta; o bienindica que la división es exacta; o bien
b) En el resultado de la resta el exponenteb) En el resultado de la resta el exponente
de alguna variable es menor que elde alguna variable es menor que el
exponente de la misma variable en elexponente de la misma variable en el
divisor.divisor.
Como esto haría que al obtener el siguienteComo esto haría que al obtener el siguiente
término del cociente éste ya no fuera untérmino del cociente éste ya no fuera un
polinomio (pues aparecería un exponentepolinomio (pues aparecería un exponente
negativo), ya no es posible continuar. Ennegativo), ya no es posible continuar. En
este caso el resultado de la última resta eseste caso el resultado de la última resta es
el residuo de la división.el residuo de la división.

Como en el último resultado de la resta seComo en el último resultado de la resta se
encuentra que no aparece la variableencuentra que no aparece la variable aa (es(es
decir quedecir que aa aparece elevada a la potenciaaparece elevada a la potencia
cero) y en el divisorcero) y en el divisor aa está elevada a laestá elevada a la
primera potencia, al intentar obtener elprimera potencia, al intentar obtener el
siguiente término del cociente se tendría:siguiente término del cociente se tendría:
Por eso, el proceso termina aquí y laPor eso, el proceso termina aquí y la
división no es exacta.división no es exacta.
12 1
2
b
a
ab a
−− −
= =−

El cociente es:El cociente es:
El residuo es:El residuo es:
En términos de un cociente mixto, laEn términos de un cociente mixto, la
operación se expresa así:operación se expresa así:
2 5
4 5 2
2
a b ab b− + +
25
2
2
b b− −
23 2 2 2
2
528 6 4 5 24 5 2
2 2 2
b ba b a b ab
a b ab b
ab b ab b
+− +
= − + + −
+ +

Ejemplos:Ejemplos:
1.)1.)Dividir el polinomioDividir el polinomio PP((xx) =) = xx44
– 9– 9xx22
+ 3 ++ 3 + xx entre elentre el
polinomiopolinomio FF((xx) =) = xx + 3.+ 3.
Se efectuará el procedimiento completo, empezando porSe efectuará el procedimiento completo, empezando por
ordenar los polinomios de acuerdo con las potencias deordenar los polinomios de acuerdo con las potencias de
su única variable, que es lasu única variable, que es la xx::
La división es exacta y el cociente es:La división es exacta y el cociente es: QQ((xx) =) = xx33
– 3– 3xx22
+ 1+ 1
3 2
4 2
4 3
3 2
3 2
3 1
3 9 3
3
_______________
3 9 3
3 9
________________
3
3
______
0
x x
x x x x
x x
x x x
x x
x
x
− +
+ − + +
− −
− − + +
+ −
+
− −

2.)2.)Dividir el polinomioDividir el polinomio PP((xx) = 2) = 2xx44
+ 5 ++ 5 + xx – 3– 3xx22
entre el polinomioentre el polinomio FF((xx) = 1) = 1 + 3+ 3x + xx + x22
La división no es exacta.La división no es exacta.
El cociente esEl cociente es QQ((xx) = 2) = 2xx22
– 6– 6xx + 13 y el residuo es+ 13 y el residuo es RR((xx)= –11)= –11xx – 8.– 8.
2
2 4 2
4 3 2
3 2
3 2
2
2
2 6 13
3 1 2 3 12 5
2 6 2
______________________
6 5 12 5
6 18 6
_________________
13 18 5
13 39 13
____________
11 8
x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
− +
+ + − + +
− − −
− − + +
+ +
+ +
− − −
− −

Como cociente mixto la operación seComo cociente mixto la operación se
expresa así:expresa así:
4 2
2
2 2
2 3 12 5 11 8
2 6 13
3 1 3 1
x x x x
x x
x x x x
− + + +
= − + −
+ + + +

Para aplicar las operaciones con polinomios en laPara aplicar las operaciones con polinomios en la
solución de problemas, se sigue el ordensolución de problemas, se sigue el orden
acostumbrado para evaluar expresionesacostumbrado para evaluar expresiones
matemáticas, como se indicó en la Unidad 1.matemáticas, como se indicó en la Unidad 1.
Primero se evalúan las expresiones dentro de losPrimero se evalúan las expresiones dentro de los
signos de agrupación (paréntesis, corchetes osignos de agrupación (paréntesis, corchetes o
llaves), después se evalúan los términos quellaves), después se evalúan los términos que
correspondan a potencias o raíces, luego lascorrespondan a potencias o raíces, luego las
multiplicaciones y divisiones y, finalmente, lasmultiplicaciones y divisiones y, finalmente, las
sumas y restas, recordando que en una fracción,sumas y restas, recordando que en una fracción,
la barra que separa al numerador del denominadorla barra que separa al numerador del denominador
funciona también como signo de agrupación.funciona también como signo de agrupación.

ejemplos

1.)1.)
Primero se evalúa el producto en el primerPrimero se evalúa el producto en el primer
término:término:
( )( )2 3 2 2 3 2 2 3 5 4 5 3 4 4 3 5
2 2
3 6 9 2 6 6 6 2
3 2
a b a b ab a b ab a b a b a b a b
ab a b
− + + − + −
+
2 3 2 2 3
2 2 3
3 6 3 5 2 6
4 5 4 4 3 5
4 5 4 4 3 6 3 5 2 6
3 6 9
2
______________________
6 12 18
3 6 9
________________________________
3 6 6 3 18
a b a b ab
a b ab
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b a b a b
− +
+
− +
− +
− + − +

luego se efectúan las dos divisiones:luego se efectúan las dos divisiones:
y:y:
finalmente se hace la suma:finalmente se hace la suma:
4 5 4 4 3 6 3 5 2 6
3 3 3 2 2 4 2 3 4
2
3 6 6 3 18
2 2 6
3
a b a b a b a b a b
a b a b a b a b ab
ab
− + − +
= − + − +
5 4 5 3 4 4 3 5
3 3 3 2 2 3 4
2
6 6 6 2
3 3 3
2
a b a b a b a b
a b a b a b ab
a b
− + −
= − + −
3 3 3 2 2 4 2 3 4
3 3 3 2 2 3 4
3 3 3 2 2 4 2 3 4
2 2 6
3 3 3
______________________________
4 5 2 2 5
a b a b a b a b ab
a b a b a b ab
a b a b a b a b ab
− + − +
− + −
− + + +

De modo que:De modo que:
( )( )2 3 2 2 3 2 2 3 5 4 5 3 4 4 3 5
2 2
3 3 3 2 2 4 2 3 4
3 6 9 2 6 6 6 2
3 2
4 5 2 2 5 .
a b a b ab a b ab a b a b a b a b
ab a b
a b a b a b a b ab
− + + − + −
+ =
− + + +

2.)2.)
Primero se obtienen el producto y elPrimero se obtienen el producto y el
cociente indicados en cada término:cociente indicados en cada término:
( )( )
5 4 3 2
2 3
2
5 11 15
3 1 2
3
x x x x
x x x x
x x
− + −
− + + + −
−
2
3
2
3 2
5 4 3
5 4 3 2
3 1
2
____________
2 6 2
3
3
_______________________
3 2 5 2
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x x
− +
+ +
− +
− +
− +
− + − − +
3 2
2 5 4 3 2
5 4
4 3 2
4 3
3 2
3 2
2 5
3 5 11 15
3
____________________
2 11 15
2 6
__________________
5 15
5 15
_____________
0
x x x
x x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
− +
− − + −
− +
− + −
−
−
− +

y luego se hace la resta, sumando al resultado dely luego se hace la resta, sumando al resultado del
producto del primer término el opuesto del cociente delproducto del primer término el opuesto del cociente del
segundo término:segundo término:
Así:Así:
5 4 3 2
3 2
5 4 3 2
3 2 5 2
2 5
_______________________
3 10 2
x x x x x
x x x
x x x x x
− + − − +
− + −
− + + − +
( )( )
5 4 3 2
2 3
2
5 4 3 2
5 11 15
3 1 2
3
3 10 2.
x x x x
x x x x
x x
x x x x x
− + −
− + + + − =
−
− + + − +

3.)3.)
Primero se efectúan las dos divisiones:Primero se efectúan las dos divisiones:
4 3 2 2 3 4 3 2 2
2 2 2
2 4 2
2
a b a b a b ab a a b ab b
a b ab a b
  + − − − + −
 ÷ ÷
− +  
2 2
2 2 4 3 2 2 3 4
4 3 2
3 2 2 3 4
3 2 3
2 3 4
2 3 4
2
______________________
2
2 2
__________________
____________
0
a ab b
a b ab a b a b a b ab
a b a b
a b a b ab
ab a b
a b ab
a b ab
+ +
− + − −
− +
− −
− +
−
− +
2 3 2 2
3
2 2
2 2
2
2 2 4 2
2 4
___________________
2
2
________________
0
a b
a b a a b ab b
a ab
a b b
a b b
−
+ − + −
− −
− −
+

y luego el producto de los dos cocientes:y luego el producto de los dos cocientes:
De modo que:De modo que:
2 2
2 2 3
3 2 2
3 2 3
2
2
________________
2
2 4 2
____________________
2 3
a ab b
a b
ab ab b
a a b ab
a a b b
+ +
−
− − −
+ +
+ −
4 3 2 2 3 4 3 2 2
3 2 3
2 2 2
2 4 2
2 3
2
a b a b a b ab a a b ab b
a a b b
a b ab a b
  + − − − + −
= + − ÷ ÷
− +  

4.)4.)
Primero se efectúan las operaciones agrupadas en elPrimero se efectúan las operaciones agrupadas en el
corchete, empezando por la división:corchete, empezando por la división:
lluego la resta:uego la resta:
( ) ( )
4 3 2
2 34 6
2 1 2 4
3
x x x x
x x x x
x
 + + −
− + − − + 
+ 
3 2
4 3 2
4 3
3 2
3 2
2
2
2
3 4 6
3
__________________
6
3
_______________
2 6
2 6
____________
0
x x x
x x x x x
x x
x x x
x x
x x
x x
+ −
+ + + −
− −
+ −
− −
− −
+
( )3 2 2 3 2 2
3
2 2 1 2 2 1
4 1
x x x x x x x x x x
x x
+ − − + − = + − − − +
= − +

y, después, el producto de este resultado, se multiplica pory, después, el producto de este resultado, se multiplica por
el otro factor:el otro factor:
Entonces:Entonces:
3
3
3
4 2
6 4 3
6 4 3 2
4 1
2 4
__________________
4 16 4
4
2 8 2
__________________________
2 9 6 4 17 4
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x x
− +
− +
− +
− + −
− +
− + + − +
( ) ( )
4 3 2
2 3
6 4 3 2
4 6
2 1 2 4
3
2 9 6 4 17 4
x x x x
x x x x
x
x x x x x
 + + −
− + − − + = + 
− + + − +

Aplicarás las operaciones conAplicarás las operaciones con
polinomios en la resolución depolinomios en la resolución de
problemas de casos reales.problemas de casos reales.

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