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Gravitación universal

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UNIDAD
OBJETIVOS.
 Explicar el concepto de fuerza y sus diferentes
clases.
 Elaborar resúmenes, cuadros
sinópticos, estructuras
conceptuales y esquemas
sobre los temas tratados en dinámica.
 Establecer cuando un cuerpo se encuentra en
equilibrio.
 Interpretar el movimiento planetario de acuerdo
con la ley gravitacional.
 Describir el movimiento de cuerpos utilizando las
leyes de Newton.
 Establecer las fuerzas que actúan sobre una
estructura en reposo o en movimiento.
 Utilizar algunas estrategias para resolver
problemas de dinámica.
 Formular problemas a partir de situaciones de la vida diaria.
 Hacer buena distribución del tiempo y obtener el máximo rendimiento en todas las
actividades.
.
TEMA 4. FUERZAS EN EL
MOVIMIENTO CIRCULAR.
1. Movimiento Horizontal.
2. Movimiento Vertical
3. Leyes de Kepler.
4. Actividad 7.
5. Ejercicios.
CONTENIDO
S
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Leyes de la Dinámica
Gustavo Salinas E. 30
INTRODUCCION
Los antiguos griegos que se preocupaban por estudiar el movimiento y sus causas pensaban
que el estado natural de los cuerpos era el reposo. Para sacarlos de ese estado, es decir, para
que un cuerpo se moviera, era necesario ejercer una fuerza sobre dicho cuerpo y si ésta se
dejaba de aplicar, inmediatamente cesaba el movimiento del cuerpo volviendo por lo tanto a su
estado natural: “el reposo”; estas ideas fueron aceptadas sin modificación alguna durante
muchos siglos.
Fue necesario un genio extraordinario como el Italiano Galileo Galilei para extraer las leyes
de la naturaleza de los fenómenos que se habían tenido siempre frente a los ojos, pero cuya
explicación había escapado siempre a la investigación de los filósofos.
Galileo estaba de acuerdo con que para iniciar el movimiento de un cuerpo era necesario una
fuerza, pero una vez que dicho cuerpo estuviera en movimiento éste continuaría moviéndose
indefinidamente, con velocidad constante, hasta que se ejecutara una nueva acción que pusiera
fin a dicho movimiento.
Galileo, al contrario de lo que opinaba la gente de su época, pensaba que el estado natural de
los cuerpos no era el reposo, sino el de un movimiento rectilíneo y uniforme.
Toda fuerza aplicada sobre un cuerpo modifica éste estado y tan pronto como la fuerza cesa, el
cuerpo continuara con movimiento rectilíneo y uniforme del cual el reposo es un caso
particular, ya que un cuerpo en reposo tiene una velocidad constante de magnitud cero.
3.1. FUERZAS QUE ACTUAN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
DINAMICA DEL MOVIMEIENTO CIRCULAR.- Al igual que en el capítulo de
TRASLACION, a continuación estudiaremos la dinámica de ROTACION, las causas que
provocan el movimiento o las variaciones de ellos.
Para analizar dinámicamente el movimiento de una partícula, hay que elegir un sistema de
referencia adecuado. En el caso del movimiento circular, dicho sistema sería el formado por los
ejes en dirección tangencial y normal (central), para que las componentes de la aceleración de la
partícula coincidan con éstas direcciones.
De acuerdo a la segunda Ley de Newton, una partícula que gira con movimiento circular, tiene
las fuerzas: Tangencial y Centrípeta, como se observa en la figura.
F = m.a pero como a = at + ac,
F = m(at + ac )
F = mat + mac
F = FT + Fc
3.1.1. FUERZA TANGENCIAL (FT ).- Es la componente
de la fuerza neta en la dirección tangencial que comunica en
la partícula una aceleración tangencial y determina que la
velocidad cambie de módulo.
F = m a = m ( v / t)
y
x
Leyes de la Dinámica
Gustavo Salinas E. 31
Cuyo módulo de la Fuerza tangencial es:
F = m  r
La fuerza tangencial es nula, cuando la velocidad angular es constante (MCU).
F = F + Fc, porque a = 0
F = Fc
3.1.2. FUERZA CENTRIPETA (Fc).- Es la componente de la fuerza neta en la dirección
central que comunica a la partícula una aceleración centrípeta y determina que la velocidad
cambie de dirección.
Fc = m ac
El módulo de la Fuerza centrípeta es:
Fc = m (v 2
/r ) = m w2
r
La fuerza centrípeta es nula cuando el movimiento es rectilíneo.
F = F + Fc
F = F
3.1.3. MOVIMIENTO EN UN CIRCULO HORIZONTAL.- Para analizar este movimiento,
partiremos de la figura que representa un pequeño cuerpo de masa m , sujeto al extremo de una
cuerda de longitud L, que describe un circulo horizontal con velocidad v de magnitud
constante. Cuando el cuerpo describe su trayectoria, la cuerda engendra la superficie de un cono
(péndulo cónico). La cuerda forma un ángulo  con la vertical.
De la figura se deduce que las fuerzas que ejercen sobre el
cuerpo son: La tensión ( T ) y el peso (w = mg). La tensión
se descompone en sus componentes rectangulares:
La componente que se dirige hacia el centro de la
circunferencia es igual al producto de la masa por la
aceleración centrípeta o normal y la otra componente
vertical es igual al peso del cuerpo.
T sen  = m (v2
/ R) ( 1 )
T cos  = mg ( 2 )
Dividiendo la primera ecuación entre la segunda se tiene.
T sen  / T cos  = (mv2
/R )/ mg
Tan  = v2
/ Rg
Leyes de la Dinámica
Gustavo Salinas E. 32
3.1.4. MOVIMIENTO EN EL CIRCULO VERTICAL.- El movimiento en un círculo
vertical no es uniforme, cuando gira alrededor de un punto fijo O. Esto se debe a que la
velocidad aumenta cuando desciende y disminuye cuando asciende. Sin embargo, la
componente de la aceleración total sigue siendo v2
/
R (aceleración centrípeta), pero ahora hay también la
componente tangencial de la aceleración.
De acuerdo a la figura, si descomponemos al peso en
una componente normal mg cos , y otra
tangencial mg sen  , se tiene que:
FT = mg sen 
maT = mg sen 
aT = g sen 
Fc = T - mg cos 
mac = T - mg cos 
mv2
/ R = T - mg cos  despejando de ésta ecuación se tiene:
T = (m v2
/R) + mg cos 
T = m [( v2
/R ) + g cos  ]
En la parte más baja  = 0; entonces sen  = 0 y cos 0° = 1, entonces en este punto F y a son
igual a cero y sólo hay aceleración centrípeta, y luego la ecuación anterior se resume a:
T = m [( v2
/ R) + g ]
En el punto más alto  = 180º ; sen 0° = 0 y cos 180° = -1 y la ecuación de la tensión se escribe:
T = m ( v2
/ R - g )
Pero en el punto más alto la velocidad es crítica y la tensión es igual a cero ( T = 0 )
v =  Rg
La velocidad crítica se define como la mínima velocidad que debe tener un cuerpo que se mueve
sobre una trayectoria circula vertical, en la posición superior, a fin de que se complete la
trayectoria.
3.1.5. PERALTES.- Se denomina peralte al ángulo de inclinación que tiene una la vía en una
curva, respecto al plano horizontal. Proporciona mayor seguridad a los vehículos, permitiendo
que se mantengan en la trayectoria porque incrementa el valor de la fuerza centrípeta en la
curva.
Un auto puede tomar una curva con seguridad con una serie de valores para su velocidad, todos
estos comprendidos en un cierto rango.
Leyes de la Dinámica
Gustavo Salinas E. 33
Y
h
R
r
Los límites superior e inferior de este rango determinan las velocidades máxima y mínima con
que el auto puede tomar la curva sin derrapar hacia arriba o
hacia abajo.
Velocidad Mínima.- Para ésta condición el auto tenderá a
deslizarse lentamente hacia abajo de la carretera, por lo que la
fuerza de rozamiento sobre los neumáticos estará en sentido
opuesto a tal tendencia.
Velocidad Máxima.- Para ésta condición el auto tenderá a
deslizarse hacia arriba de la carretera, por lo que la fuerza de
rozamiento sobre los neumáticos actuará en sentido opuesto a tal
tendencia.
Velocidad Optima.- Es la velocidad que deberá tener el auto en la
curva, a fin de que no tienda a deslizarse lateralmente hacia
ningún lado, la fuerza de rozamiento es nula (fr = 0).
3.1.6. LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.- Todos los cuerpos del Universo atraen a
todos los demás con una fuerza “directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que los separa”. De acuerdo a la figura, la
ecuación es:
1 2
2
m m
F G
R
 
  
 
En donde G es coeficiente de proporcionalidad, que
se conoce como Constante Gravitacional.. El valor
numérico de G = 6,67 x 10-11
Nm2
/Kg2
.
3.1.6.1. CONSECUENCIAS DE LA LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.
 Las fuerzas gravitacionales entre los cuerpos situados sobre la superficie terrestre son
completamente despreciables, debido al valor sumamente pequeño de G. Los efectos son
notables si uno de los cuerpos tiene dimensiones planetarias.
 Para calcular la masa de la Tierra, consideraremos el peso de un cuerpo (mg) sobre la
superficie de la Tierra.
La fuerza que experimenta el objeto es la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre él, su
relación está dada por:
2
( )
Mm
F G
R h


, siendo M la masa de la Tierra y R el radio
Terrestre y m masa del cuerpo, h altura sobre la superficie de la Tierra,
por lo tanto tenemos: r = (R + h).
X
Leyes de la Dinámica
Gustavo Salinas E. 34
2
Mm
mg G
r
 , de donde g = GM /r2
y en consecuencia M = g.r2
/G = 5,97 x 1024
Kg.
 Variación de g, como: g = G.M/ r2
, g es inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia al centro de la Tierra. Por tanto, g varía con la altura, pero a pequeñas distancias: g
es prácticamente constante y así lo consideramos en el estudio de la caída libre de los
cuerpos.
3.1.6.2. LAS LEYES DE KEPLER Y LOS SATELITES DE LA TIERRA
La fuerza de la gravedad determina el movimiento de los planetas y de los satélites de la Tierra
y mantiene junto al sistema solar (y la galaxia). Joannes Kepler, astrónomo y matemático
Alemán estableció una descripción general del movimiento planetario antes del tiempo de
Newton. Kepler fue capaz de formular tres leyes empíricas a partir de datos provenientes de las
observaciones que realizó.
1. Ley de las Orbitas.- Los planetas se mueven en órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se
encuentra el Sol.
2. Ley de las Areas.- El radio que une al sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales. Esta ley significa que el movimiento no es circular uniforme.
3. Ley de Los Periodos.- El cuadrado del período de un planeta es directamente proporcional al
cubo de la distancia entre el planeta y el sol: T2
 r3
.
2
3
T
k
R


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Gravitación universal

  • 1. 3 UNIDAD OBJETIVOS.  Explicar el concepto de fuerza y sus diferentes clases.  Elaborar resúmenes, cuadros sinópticos, estructuras conceptuales y esquemas sobre los temas tratados en dinámica.  Establecer cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio.  Interpretar el movimiento planetario de acuerdo con la ley gravitacional.  Describir el movimiento de cuerpos utilizando las leyes de Newton.  Establecer las fuerzas que actúan sobre una estructura en reposo o en movimiento.  Utilizar algunas estrategias para resolver problemas de dinámica.  Formular problemas a partir de situaciones de la vida diaria.  Hacer buena distribución del tiempo y obtener el máximo rendimiento en todas las actividades. . TEMA 4. FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR. 1. Movimiento Horizontal. 2. Movimiento Vertical 3. Leyes de Kepler. 4. Actividad 7. 5. Ejercicios. CONTENIDO S GRAVITACIÓN UNIVERSAL
  • 2. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 30 INTRODUCCION Los antiguos griegos que se preocupaban por estudiar el movimiento y sus causas pensaban que el estado natural de los cuerpos era el reposo. Para sacarlos de ese estado, es decir, para que un cuerpo se moviera, era necesario ejercer una fuerza sobre dicho cuerpo y si ésta se dejaba de aplicar, inmediatamente cesaba el movimiento del cuerpo volviendo por lo tanto a su estado natural: “el reposo”; estas ideas fueron aceptadas sin modificación alguna durante muchos siglos. Fue necesario un genio extraordinario como el Italiano Galileo Galilei para extraer las leyes de la naturaleza de los fenómenos que se habían tenido siempre frente a los ojos, pero cuya explicación había escapado siempre a la investigación de los filósofos. Galileo estaba de acuerdo con que para iniciar el movimiento de un cuerpo era necesario una fuerza, pero una vez que dicho cuerpo estuviera en movimiento éste continuaría moviéndose indefinidamente, con velocidad constante, hasta que se ejecutara una nueva acción que pusiera fin a dicho movimiento. Galileo, al contrario de lo que opinaba la gente de su época, pensaba que el estado natural de los cuerpos no era el reposo, sino el de un movimiento rectilíneo y uniforme. Toda fuerza aplicada sobre un cuerpo modifica éste estado y tan pronto como la fuerza cesa, el cuerpo continuara con movimiento rectilíneo y uniforme del cual el reposo es un caso particular, ya que un cuerpo en reposo tiene una velocidad constante de magnitud cero. 3.1. FUERZAS QUE ACTUAN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR DINAMICA DEL MOVIMEIENTO CIRCULAR.- Al igual que en el capítulo de TRASLACION, a continuación estudiaremos la dinámica de ROTACION, las causas que provocan el movimiento o las variaciones de ellos. Para analizar dinámicamente el movimiento de una partícula, hay que elegir un sistema de referencia adecuado. En el caso del movimiento circular, dicho sistema sería el formado por los ejes en dirección tangencial y normal (central), para que las componentes de la aceleración de la partícula coincidan con éstas direcciones. De acuerdo a la segunda Ley de Newton, una partícula que gira con movimiento circular, tiene las fuerzas: Tangencial y Centrípeta, como se observa en la figura. F = m.a pero como a = at + ac, F = m(at + ac ) F = mat + mac F = FT + Fc 3.1.1. FUERZA TANGENCIAL (FT ).- Es la componente de la fuerza neta en la dirección tangencial que comunica en la partícula una aceleración tangencial y determina que la velocidad cambie de módulo. F = m a = m ( v / t) y x
  • 3. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 31 Cuyo módulo de la Fuerza tangencial es: F = m  r La fuerza tangencial es nula, cuando la velocidad angular es constante (MCU). F = F + Fc, porque a = 0 F = Fc 3.1.2. FUERZA CENTRIPETA (Fc).- Es la componente de la fuerza neta en la dirección central que comunica a la partícula una aceleración centrípeta y determina que la velocidad cambie de dirección. Fc = m ac El módulo de la Fuerza centrípeta es: Fc = m (v 2 /r ) = m w2 r La fuerza centrípeta es nula cuando el movimiento es rectilíneo. F = F + Fc F = F 3.1.3. MOVIMIENTO EN UN CIRCULO HORIZONTAL.- Para analizar este movimiento, partiremos de la figura que representa un pequeño cuerpo de masa m , sujeto al extremo de una cuerda de longitud L, que describe un circulo horizontal con velocidad v de magnitud constante. Cuando el cuerpo describe su trayectoria, la cuerda engendra la superficie de un cono (péndulo cónico). La cuerda forma un ángulo  con la vertical. De la figura se deduce que las fuerzas que ejercen sobre el cuerpo son: La tensión ( T ) y el peso (w = mg). La tensión se descompone en sus componentes rectangulares: La componente que se dirige hacia el centro de la circunferencia es igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta o normal y la otra componente vertical es igual al peso del cuerpo. T sen  = m (v2 / R) ( 1 ) T cos  = mg ( 2 ) Dividiendo la primera ecuación entre la segunda se tiene. T sen  / T cos  = (mv2 /R )/ mg Tan  = v2 / Rg
  • 4. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 32 3.1.4. MOVIMIENTO EN EL CIRCULO VERTICAL.- El movimiento en un círculo vertical no es uniforme, cuando gira alrededor de un punto fijo O. Esto se debe a que la velocidad aumenta cuando desciende y disminuye cuando asciende. Sin embargo, la componente de la aceleración total sigue siendo v2 / R (aceleración centrípeta), pero ahora hay también la componente tangencial de la aceleración. De acuerdo a la figura, si descomponemos al peso en una componente normal mg cos , y otra tangencial mg sen  , se tiene que: FT = mg sen  maT = mg sen  aT = g sen  Fc = T - mg cos  mac = T - mg cos  mv2 / R = T - mg cos  despejando de ésta ecuación se tiene: T = (m v2 /R) + mg cos  T = m [( v2 /R ) + g cos  ] En la parte más baja  = 0; entonces sen  = 0 y cos 0° = 1, entonces en este punto F y a son igual a cero y sólo hay aceleración centrípeta, y luego la ecuación anterior se resume a: T = m [( v2 / R) + g ] En el punto más alto  = 180º ; sen 0° = 0 y cos 180° = -1 y la ecuación de la tensión se escribe: T = m ( v2 / R - g ) Pero en el punto más alto la velocidad es crítica y la tensión es igual a cero ( T = 0 ) v =  Rg La velocidad crítica se define como la mínima velocidad que debe tener un cuerpo que se mueve sobre una trayectoria circula vertical, en la posición superior, a fin de que se complete la trayectoria. 3.1.5. PERALTES.- Se denomina peralte al ángulo de inclinación que tiene una la vía en una curva, respecto al plano horizontal. Proporciona mayor seguridad a los vehículos, permitiendo que se mantengan en la trayectoria porque incrementa el valor de la fuerza centrípeta en la curva. Un auto puede tomar una curva con seguridad con una serie de valores para su velocidad, todos estos comprendidos en un cierto rango.
  • 5. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 33 Y h R r Los límites superior e inferior de este rango determinan las velocidades máxima y mínima con que el auto puede tomar la curva sin derrapar hacia arriba o hacia abajo. Velocidad Mínima.- Para ésta condición el auto tenderá a deslizarse lentamente hacia abajo de la carretera, por lo que la fuerza de rozamiento sobre los neumáticos estará en sentido opuesto a tal tendencia. Velocidad Máxima.- Para ésta condición el auto tenderá a deslizarse hacia arriba de la carretera, por lo que la fuerza de rozamiento sobre los neumáticos actuará en sentido opuesto a tal tendencia. Velocidad Optima.- Es la velocidad que deberá tener el auto en la curva, a fin de que no tienda a deslizarse lateralmente hacia ningún lado, la fuerza de rozamiento es nula (fr = 0). 3.1.6. LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.- Todos los cuerpos del Universo atraen a todos los demás con una fuerza “directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”. De acuerdo a la figura, la ecuación es: 1 2 2 m m F G R        En donde G es coeficiente de proporcionalidad, que se conoce como Constante Gravitacional.. El valor numérico de G = 6,67 x 10-11 Nm2 /Kg2 . 3.1.6.1. CONSECUENCIAS DE LA LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL.  Las fuerzas gravitacionales entre los cuerpos situados sobre la superficie terrestre son completamente despreciables, debido al valor sumamente pequeño de G. Los efectos son notables si uno de los cuerpos tiene dimensiones planetarias.  Para calcular la masa de la Tierra, consideraremos el peso de un cuerpo (mg) sobre la superficie de la Tierra. La fuerza que experimenta el objeto es la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre él, su relación está dada por: 2 ( ) Mm F G R h   , siendo M la masa de la Tierra y R el radio Terrestre y m masa del cuerpo, h altura sobre la superficie de la Tierra, por lo tanto tenemos: r = (R + h). X
  • 6. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 34 2 Mm mg G r  , de donde g = GM /r2 y en consecuencia M = g.r2 /G = 5,97 x 1024 Kg.  Variación de g, como: g = G.M/ r2 , g es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Por tanto, g varía con la altura, pero a pequeñas distancias: g es prácticamente constante y así lo consideramos en el estudio de la caída libre de los cuerpos. 3.1.6.2. LAS LEYES DE KEPLER Y LOS SATELITES DE LA TIERRA La fuerza de la gravedad determina el movimiento de los planetas y de los satélites de la Tierra y mantiene junto al sistema solar (y la galaxia). Joannes Kepler, astrónomo y matemático Alemán estableció una descripción general del movimiento planetario antes del tiempo de Newton. Kepler fue capaz de formular tres leyes empíricas a partir de datos provenientes de las observaciones que realizó. 1. Ley de las Orbitas.- Los planetas se mueven en órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. 2. Ley de las Areas.- El radio que une al sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley significa que el movimiento no es circular uniforme. 3. Ley de Los Periodos.- El cuadrado del período de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia entre el planeta y el sol: T2  r3 . 2 3 T k R 
  • 7. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 35 La constante K se evalúa con facilidad a partir de los datos de la órbita. Para la tierra K = 2,97 x 10-19 s2 /m2 . ¿Por qué no cae la Luna? Según la historia, Newton, al ver caer a tierra una manzana, concibió por vez primera la idea de la gravitación terrestre, deduciendo que la manzana caía debido a la fuerza con que era atraída por la Tierra. Pero en la noche, al ver en el cielo a la Luna, seguramente se hizo la pregunta que muchas personas se hacen sin encontrar respuesta: ¿Por qué no cae la Luna? ¿Por qué la Luna no cae a la Tierra, al igual que la manzana, si debe estar atraída como ésta por la gravitación terrestre? La respuesta a esta pregunta es bastante sencilla, aun cuando muchas personas no la conozcan. La Luna no cae hacia la Tierra, simplemente porque tiene una velocidad circular con respecto a la Tierra, cosa que la manzana no tenía. Si la Luna estuviese en reposo, con respecto a la Tierra, como la manzana, caería sobre ella igual que la manzana.... y con efectos mucho más catastróficos. La Luna se encuentra en un movimiento circular alrededor de la Tierra, debido a la aceleración centrípeta dirigida hacia el centro de nuestro planeta. ¿Y qué es lo que produce esta aceleración centrípeta, si no una fuerza también centrípeta, la fuerza de la gravitación terrestre que, en la concepción genial de Newton, obraría no sólo sobre la manzana y sobre la Luna, sino también sobre cualquier otro cuerpo que se encontrara en presencia de la Tierra? El gran sabio inglés no se contentó con ese razonamiento cualitativo, sino que trató de expresarlo en números, y con los que entonces se tenían, pudo encontrar la aceleración centrípeta con que caería hacia la Tierra un cuerpo que se encontrase a la distancia a que está la Luna. Comparando este valor con el de la aceleración centrípeta que sufre un cuerpo en superficie de la Tierra, encontró que ambas aceleraciones estaban en proporción inversa a los cuadrados de las distancias de ambos cuerpos al centro de nuestro planeta, dando así el primer paso para formular más tarde su famosa Ley de la Gravitación Universal. Satélites artificiales Si en el tiempo de Newton, la Luna era el único satélite terrestre, en nuestros días son ya muchos los objetos creados por el hombre, que permanecen en órbita alrededor de la Tierra como satélites de nuestro planeta, desde el 4 de octubre de 1957, cuando se lanzó el primero de ellos, el "Sputnik" (en ruso, compañero de viajé) soviético. La puesta en órbita de un satélite artificial obedece al mismo principio que hace moverse a la Luna alrededor de la Tierra en una órbita circular; esto es, a la velocidad necesaria para que Las trayectorias de los planetas son elípticas. La velocidad de los planetas es variable.. El cociente T2 /r3 es constante para todos los planetas del sistema solar. La Tierra le imparte a la Luna una aceleración mucho menor que a la manzana.
  • 8. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 36 Experimento: pueda adquirir una fuerza centrífuga que iguale la atracción gravitatoria con la que la Tierra lo atraería a la distancia en que se encuentra dicho satélite. Para calcular la velocidad v que debería tener un satélite de masa m, situado a una distancia r del centro de la Tierra, para que, en lugar de caer hacia ésta como la manzana, pudiera girar como la Luna en órbita circular alrededor de nuestro planeta. La fuerza centrípeta necesaria para conseguir ese movimiento circular, sería: F = mv2 /r Pero esa fuerza tendría que ser proporcionada justamente por la acción gravitatoria de la Tierra, cuyo valor, si llamamos M a la masa de ésta, está dado por la Ley de la Gravitación de Newton: F = GMm/r2 . Igualando ambas expresiones de la misma fuerza: 2 2 r mMG r vm  y simplificando m y r tenemos: r MG v 2 ; r MG v  , velocidad circular del satélite. En el caso de los satélites debe existir una velocidad de escape, es la velocidad mínima que debe tener un objeto en la superficie de un planeta para que una vez lanzado hacia arriba no vuelva a caer. En un planeta de masa M y radio r, la velocidad de escape se expresa mediante la siguiente ecuación. r MG v 2    Determinar la tensión, aceleración centrípeta y velocidad tangencial en el péndulo cónico. ACTIVIDAD N°- 07  Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá realizarlas sin un adecuado conocimiento.  En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
  • 9. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 37 CONTESTE: 1.- ¿Qué se entiende por masa de un cuerpo? Y ¿Con qué fuerza fundamental está relacionada?. 2.- Exprese la Ley de la Gravitación Universal de Newton y su ecuación. 3.- ¿Por qué un satélite artificial en órbita no cae sobre la Tierra?. Razone su respuesta. 4.- Enuncie las Leyes de Kepler. 5.- ¿Cuáles son los valores de la velocidad circular y de la velocidad de escape de un satélite artificial en la superficie terrestre?. COMPLETE: 6.- La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus ................................................................................................................................ 7.- Aproximadamente, la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es ..................... veces menor que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. 8.- En el Sistema Internacional de Unidades, las unidades de la constante de la gravitación universal son: ...................................................... 9.- La trayectoria de cada planeta es una elipse, y el Sol se encuentra siempre en uno de sus ........................................................................................... 10.- La velocidad óptima para tomar una curva con peralte no de tener ........................................ ANALICE: 11.- Establezca la diferencia y las semejanzas que encuentre entre: a) Astronomía y astrología. b) Masa Inercial y masa Gravitacional. c) Gravedad g y la constante Gravitacional G. 12.- Un auto toma, con rapidez constante, una curva en una carretera con peralte, con fricción despreciable, como muestra la figura. ¿Qué fuerza produce la fuerza centrípeta para que el auto no se salga de la carretera? 13.- Si en nuestro sistema solar se descubriera un pequeño planeta cuyo período fuera de dos años y medio, ¿cuál debería ser su distancia media al Sol? Si en nuestro sistema solar se descubriera un pequeño planeta cuyo período fuera de dos años y medio, ¿cuál debería ser su distancia media al Sol?. 14.- Si llevas un reloj de péndulo desde el ecuador terrestre hasta los polos, ¿se adelantará? Justifique su respuesta. 15.- Sabiendo que la trayectoria de la Tierra en tomo al Sol es una elipse, como se muestra en la figura, ¿cuál de los puntos A, B o C representa la posición correcta del Sol cuando la Tierra se mueve con su menor velocidad?. Explique su respuesta. 16.-Un estudiante dice que "la fuerza de atracción entre la Tierra y un satélite artificial es cero porque el satélite está bastante alejado del centro de la Tierra". Explica por qué esta afirmación es un error. 1.- Un cuerpo de 8 Kg. atado a una cuerda de 1,3 m de longitud, gira por una trayectoria circular horizontal a 720 RPM. Determinar. a) La aceleración centrípeta. b) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS EJERCICIOS DE APLICACION
  • 10. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 38 2.- Un cuerpo de un péndulo cónico es de 2 kg. y cuelga de una cuerda de 8 m de longitud, describiendo una trayectoria circular en un plano horizontal. Si el cuerpo se desvía de la vertical hasta que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical, determinar. a) La tensión de la cuerda. b) Cuál es la rapidez del cuerpo. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 3.- Un cuerpo de 1 Kg. describe una circunferencia vertical atado al extremo de una cuerda de 1,2 m de longitud, con una rapidez constante de 5 m/s. Determinar la tensión de la cuerda, cuando: a) El cuerpo se encuentra en el punto más bajo de la trayectoria. b) El cuerpo se encuentra en el punto más alto de la trayectoria. c) El cuerpo se encuentra en el mismo nivel que el centro de la circunferencia. d) Esta forma un ángulo de 60º sobre la horizontal. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 4.- Nuestro satélite es atraído por la Tierra, por lo cual tiende a caer sobre ella, pero al mismo tiempo se desplaza con una velocidad de 1,02 Km./s. La gran velocidad con que se produce este desplazamiento hace que la Luna nunca llegue a chocar con nuestro planeta y se limite a describir su órbita. Determinar. a) La masa de la Tierra, si la distancia que separa la tierra de la Luna es de 383 000 Km. b) La aceleración de la gravedad a una altura de 10 000 Km. Con respecto a la superficie de la Tierra. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 5.-Un satélite terrestre gira en órbita circular a una altura de 300 Km. Sobre la superficie de la Tierra. a) Cuál es la rapidez del satélite, suponiendo que el radio de la Tierra es 6380 Km y g es 9,80 m/s2 ?. b) Cuál es el periodo? c) Cuál es la aceleración normal del satélite?.
  • 11. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 39 DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS 6.- En 1610, Galileo descubrió cuatro de las dieciséis lunas de Júpiter, La más grande de las cuales es Ganimedes. Esta luna joviana revoluciona alrededor del planeta en una órbita casi circular cuyo radio es casi de al rededor de 1,07 x 106 Km., en 7,16 días, Utilizando éstos datos encontrar la masa de Júpiter. R.1,9 x 1027 Kg. DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
  • 12. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 40 1.- Una partícula de masa 3 Kg. se mueve en el plano xy bajo la acción de una fuerza dada por: F = (6N.s-2 )t2 i + (4N.s-1 )tj. a) Suponiendo que la partícula se encuentra en reposo en el origen en el instante t = 0, dedúzcase en función del tiempo la expresión de los vectores aceleración, velocidad y posición. b) Hágase un esquema de la trayectoria de la partícula. c) Hállese la magnitud y dirección de la velocidad en el instante t = 3 s. R. a) (2 m.s-4 )t2 i + ( 3 4 m.s-3 )tj; ( 3 2 m.s-4 )t3 i + ( 3 2 m.s-3 )tj; ( 6 1 m.s-4 )t4 i + ( 9 2 m.s-3 )t2 j. c) 19,0 m/s, 18,4º con el eje x positivo. 2.- Una curva de una autopista de 1600 pies de radio ha de peraltarse de forma que un automóvil que la recorra a 50 mi/h, no tenga tendencia a deslizarse lentamente. Cuál ha de ser el ángulo de peralte?. R. 6,0o . 3.- Una piedra de masa 1 Kg. atada al extremo de una cuerda de 1 m de longitud, cuya tensión de rotura es 500 N, describe un círculo horizontal sobre una mesa sin rozamiento. El otro extremo de la cuerda está fijo. Calcúlese la velocidad máxima que puede alcanzar la piedra sin que se rompa la cuerda. R. 22,4 m/s. 4.- Una moneda situada sobre un disco de 12 pulgadas girará con el disco hasta una velocidad máxima de 33 3 1 rev./min, suponiendo la moneda que se encuentra a una distancia a 4 pulgadas del eje. a) Cuál es el coeficiente estático de rozamiento entre la moneda y el disco?. c) A qué distancia del eje puede colocarse la moneda, sin que se deslice, si la plataforma gira a 45 rev./min?. R. a) 0,127; b) 2,19 pulgadas. 5.- En el extremo de una cuerda se ata una bola de 250 g. de masa y se hace girar con una velocidad constante en un círculo horizontal de radio 4 m. La cuerda forma un ángulo de 30º con la vertical. Calcular. a) La Tensión de la cuerda. b) La fuerza que se ejerce sobre la bola. c) L velocidad. R. a) 2,83 N; b) 1,42 N; c) 4,76 m/s. 6.- Un bloque de 35,6 N está en reposo sobre un plano horizontal con el que roza, siendo 0,5 el coeficiente de fricción dinámico. El bloque se une mediante una cuerda sin peso, que pasa por una polea sin rozamiento, a otro bloque suspendido cuyo peso es también 35,6 N. Hallar. a) La tensión de la cuerda. b) La aceleración de cada bloque. R. a) 26,7 N. b) 2,45 m/s. 7.- Con una cuerda de 20 cm de largo se hace girar un cuerpo de 100 g. a razón de 3 vueltas por segundo. Cuál es la tensión de la cuerda. R. 7,1 N. 8.- Un automóvil de masa 2000 Kg. toma una curva de 200 m de radio con velocidad de 108 Km/h. Determinar la fuerza de rozamiento necesaria para que el automóvil no se salga de la carretera. R. 9000 N. 9.- La masa de la Luna es 1/80 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 de la Tierra. Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?. R. 1,93 m/s². 10.- Una nave espacial de 100 toneladas, situada en el espacio, lanza un pequeño satélite que gira alrededor de ella con un radio de 100 m. Cuál es el tiempo que emplea el satélite para dar una vuelta. R. 2,4 x 104 s. EJERCICIOS PROPUESTOS
  • 13. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 41 11.-Calcular la velocidad con que debería girar la tierra alrededor de su eje para que el peso de una persona en el ecuador fuera las ¾ partes de su peso real. Tómese el radio ecuatorial 6 400 Km. Indicaciones: (1) w (peso real) = (GMm)/r² - (mv² )/r (2) 3/4w(peso pedido) = (GMm)/r² - (mv² )/r m = masa de la persona. M = Masa de la Tierra, w = mg = peso real de la persona, v = velocidad real de la tierra en el ecuador, v1 = velocidad pedida de la tierra en el ecuador. R. 3 980 m/s. 12.- Las masas en un aparato tipo Cavendish son: m1 = 10 kg. y m2 = 10 g. separados sus centros 5 cm. Cuál es la fuerza de atracción gravitacional entre las masas?. R. 2,66 x 10-9 N. 13.- Cuál sería el peso de una persona de 80 Kg. en la superficie de Marte?, si el radio de Marte es 3,4 x 106 m y su masa 6,44 x 1023 Kg. R. 299,2 N 14.- A qué altura sobre la superficie de la Tierra el valor de la gravedad terrestre es 4,9 m/s2 ?. R. 2,64 x 106 m. 14.- La masa del sol es 300 000 veces la masa de la Tierra y su radio es 100 veces mayor que el de la Tierra. Cuál es la masa del Sol?. Cuál es su radio ecuatorial. Cuál es el valor de la gravedad solar?. R. r = 6,38 x 108 m . g = 270 m/s². 16.- El 4 de Octubre de 1957 la Unión Soviética puso en órbita el primer satélite artificial alrededor de la Tierra. El Sat-1 tuvo una vida de 92 días y el período de su órbita 96,17 min. Calcular a qué altura sobre la tierra se colocó el satélite. R.574 773 m. 17. Dos objetos se atraen entre sí con una fuerza gravitacional de magnitud 1x10-8 N cuando están separados 20 cm. Si la masa total de los dos objetos es 5 kg, ¿cuál es la masa de cada uno? 18. La distancia entre los centros de dos esferas es 3 m. La fuerza entre ellas es 2.75 x 10-12 N. ¿Cuál es la masa de cada esfera, si la masa de una de ellas es el doble de la otra? 19. Tomás que tiene una masa de 70 kg y Sara de 55 kg, se encuentran en una pista de bailes separados 10 m. Sara levanta la mirada y ve a Tomás, ella siente una atracción. a) Si la atracción es gravitacional, calcule su magnitud. b) Pero la Tierra ejerce una atracción gravitacional sobre Sara. ¿Cuál es su magnitud? 20. Un satélite meteorológico de 100 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 9630 km. Calcular: a) su rapidez tangencial en la órbita, b) el trabajo necesario para ponerlo en esa órbita. R: a) 5000 m/s, b) 3.75x109 J. 21. Un satélite de 300 kg describe una órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 3 radios terrestres. Calcular: a) su rapidez tangencial, b) el trabajo para ponerlo en órbita, c) la aceleración de gravedad a la altura del satélite. R: a) 3963 m/s, b) 1.4x1010 J, c) 0.61 m/s2 . 22. Un satélite geoestacionario es aquel que se mueve en sincronismo con la Tierra, permaneciendo en una posición fija sobre algún punto del ecuador, completando por lo tanto una vuelta en torno a la Tierra en un día. Calcular: a) su altura, b) su rapidez tangencial. R: a) 35930 km, b) 3075 m/s. 23. Los satélites de órbita polar orbitan a una altura de 850 km de la superficie terrestre. Calcular a) la rapidez tangencial para un satélite de 300 kg, b) el tiempo en completar una vuelta. R: a) 7450 m/s, b) 1.7 horas. 24. Después de que se agote su combustible nuclear, el destino final de nuestro Sol es colapsarse en una enana blanca, es decir, una estrella que tiene aproximadamente la masa del Sol, pero el radio de la Tierra. Calcule a) la densidad promedio de la enana blanca, b) la aceleración de caída libre en su superficie, c) la energía potencial gravitacional de un objeto de 1kg en su superficie. R: a) 1.85x109 kg/m3 , b) 3.3x106 m/s2 , c) –2.1x1013 J.
  • 14. Leyes de la Dinámica Gustavo Salinas E. 42