Problemas indecidibles

1. La pregunta para la que no me
puedo decidir
Toiterateishuman,torecursedivine.—
L.PeterDeutsch
Ivan Meza

2. La tesis de Turing-Church
(relajada)
Toda computación real puede ser transformada a una
máquina de Turing

3. La tesis de Turing-Church
Toda computación efectiva puede llevarse a cabo por una
máquina de Turing

4. Método efectivo, M
está compuesto por un número finito de instrucciones
cuando llevado a cabo sin error siempre produce el resultado
deseado en un número finito de pasos
puede llevarse a cabo por un humano sin la necesidad de una
computadora, pero con lápiz y papel
no necesita de conocimiento externo o ingenuidad de parte del
humano que lo ejecuta
M
M
M
M

5. Evidencia
Toda función efectivamente calculable se ha comprobado ser una
máquina de Turing
Todos los métodos para obtener nuevas funciones efectivamente
calculables tienen un equivalente en máquina de Turing
Todos los intentos de formalizar la noción intuitiva de efectivamente
calculable han resultado en el mismo conjunto, recursivo
enumerable

6. Otras formalizaciones
Cálculo lambda
Gramática tipo 0
Funciones parciales recursivas
Algoritmos Post
Forma canónica Post
Algoritmos de Markov

7. Variaciones
Todas las funciones físicas computables son Turing-computable
Una máquina probabilistica de Turing puede simular eficientemente
cualquier modelo razonable de computación
Máquinas razonables pueden simularse las unas a las otras con un
exceso polinomial en tiempo y un factor constante en espacio
Una máquina de Turing cuántica puede simular eficientemente
cualquier modelo realista de computación

8. Problemas computables, RE
Problemas no computables, NRE, Ld

9. Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo
No RE -- --
Tipo 0
( )
Máquina de Turing,
APDo, AC
/ ,
Tipo 1
( )
Autómata lineal con
fronteras
Tipo 2
( )
Autómata de pila
Tipo 3
( )
Autómata finito
Ld
/LRE LRec
α → β
Lu Ln Lf
¯
LDC
αV β → αγβ
ww, a
n
b
n
c
n
LLC
V → α
w ,w
r
a
n
b
n
Lreg
V → aA|ϵ
w, a
∗

10. Lenguajes decidibles

11. MT Verdadero
Falso
W

12. Suma
¿Dado dos número en notación unaria, veri car que se
puedan sumar?
Los sumamos
Muy fácil, O(n + m)

13. Verificación de suma
¿Dado tres números en notación unaria, veri car que el
último sea la suma de los dos primeros?
Los sumamos y comprobamos que sean el mismo valor
Muy fácil, O(n + m)

14. Multiplicación
¿Dado dos número en notación unaria, veri car que se
puedan multiplicar?
Los multiplicamos
Más o menos fácil, (naive)O(n ∗ m)

15. Verificación de multiplicación
¿Dado tres número en notación unaria, veri car que el último
sea producto de los dos primeros?
Los multiplicamos y comprobamos que sean el mismo valor
Más o menos fácil, (naive)O(n ∗ m)

16. Verificar número primos
¿Dado un número en notación unaria, es primo?
Dividir número entre factores de hasta2 n√
¡Más o meno algo de tiempo! O( )n√

17. Identificar factores
¿Dado un número en notación unaria, identi car si es
divisible entre dos factores primos?
Encontrar un par de primos menores a que produzcan el
número n
n
¡Más di cil! O( )
n∗ n)(√
log(n)
2

18. Verificación factor
¿Dado tres número en notación unaria, veri car que el último
sea el producto de los dos primeros?
Los multiplicamos y comprobamos que sean el mismo valor
Más o menos fácil, (naive)O(n ∗ m)

19. Sacar un elemento de un arreglo
Sacar un elemento de un ábol B
Verificar que mi usuario esté en la base de datos
O(n)
O(log(n))
O(n)

20. Nuestro talón de aquiles comienza con que el complemento
de decidibles son decidibles

21. Lenguajes no decidibles

22. Problema del paro
Existe una máquina de Turing que pueda tomar cualquier
máquina y una entrada y pueda determinar si el
programa para.
Mh
M w
La respuesta es NO

23. T F F T F
F F F F F
T T T T T
F T F F F
T F T F F
M i0 i1 i2 i3 i4 …
j0 …
j1 …
j2 …
j3 …
j4 …
… … … … … … …
Cualquiera recursiva/decidibleM(i, j)

24. La función computable (no
decidible)
(i) = {Mg
0
loop
si M(i, i) = 0
otherwise
Sabemos que es computable

25. Definición de halt
(M, w) = {Mh
1
0
si M para con entrada w
otherwise

26. Dos opciones
¿Qué de ne a ?M Mh
Si entonces , entoncesM( , ) = 0Mg Mg ( ) = 0Mg Mg
( , ) = 1Mh Mg Mg
Si entonces loops, entoncesM( , ) = 1Mg Mg ( )Mg Mg
( , ) = 0Mh Mg Mg
No hay una que que corresponda con para el
programa
M Mh
Mg

27. Uno de los primeros problemas descubiertos ser no
decidibles
Es común transformar problemas al problema de paro para
demostrar que también son no decidibles

28. Teorema de Rice
Toda propiedad no trivial de los lenguajes RE es indecidible
Todo conjunto de lenguajes de RE es una propiedad
y RE son propiedades triviales∅

29. El conjunto de que regresan verdadero para toda
El conjunto de que no aceptan al lenguaje vacio
El conjunto de que corresponde a un lenguajes libres de
contexto
M w
M
M

30. La app va a vigilarme
La app va alentar mi celular
La app va a pasmarse

32. No recursivamente enumerables

33. Nuestro talón de aquiles continua con que hay problemas
para los cuales no hay una MT

34. y son Rec
y no en RE
y no en RE
L L
¯ ¯¯¯
L L
¯ ¯¯¯
L ∈ RE ⋂ R
¯ ¯¯¯
L
¯ ¯¯¯

35. Los complementos de RE
h = {[M , w]|w ∈ L(M ) y para}
= {[M , w]|w ∈ L(M )no para si M es una máquina de Turingh
¯¯¯
M no es una Máquina de Turing

36. El conjunto de que regresan falso para toda o no es una
MT
El conjunto de que aceptan al lenguaje vacio o no es una MT
El conjunto de que corresponde a los lenguajes no son libres de
contexto o no es una MT
M w M
M M
M
M

37. La app no va a vigilarme
La app no va alentar mi celular
La app no va a pasmarse

38. Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo
No RE -- --
Tipo 0
( )
Máquina de Turing,
APDo, AC
/ ,
Tipo 1
( )
Autómata lineal con
fronteras
Tipo 2
( )
Autómata de pila
Tipo 3
( )
Autómata finito
, ,Ld Lh Lh¯
/LRE LRec
α → β
Lu Ln Lf
¯
LDC
αV β → αγβ
ww, a
n
b
n
c
n
LLC
V → α
w ,w
r
a
n
b
n
Lreg
V → aA|ϵ
w, a
∗

39. ivanvladimir@gmail.com ivanvladimir.github.io ivanvladimir
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