Análisis Numérico y Errores

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICERECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE MATENIMIENTO MECÁNICO
Cálculo Numérico
Estudiante:
Keiram José Pérez Riera
C.I: 24.157.813
Sección SAIA A
Profesor: Domingo Méndez

2. Origen del Análisis Numérico
Las Matemáticas, la ciencia más antigua, constituye un edificio doctrinal cuyo potencial aumenta día a día. Aunque la esencia
de las Matemáticas es abstracta, es un hecho que las Matemáticas han sido concebidas en el esfuerzo del ser humano para
entender la Naturaleza (y actuar sobre ella) y que son de importancia capital para la sociedad moderna. La relación de las
Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las
Matemáticas nos muestra que esto ha sido siempre así.
El Análisis Numérico es sin duda uno de los legados más importantes
de las Maten áticas del Siglo XX en el que la irrupción y posterior
desarrollo de las computadoras hizo necesario traducir las Matemáticas
a un lenguaje comprensible para la maquina a la vez que ´esta hacia
posible el sueño de realizar cálculos que en volumen y complejidad
escapaban al ser humano. Esta disciplina, surgida en sus inicios como
bifurcación del Análisis Matemático es hoy en día una de las más
vigorosas y versátiles de las Matemáticas

3. Cálculo Numérico
El desarrollo de métodos numéricos para resolver
problemas
científicos y tecnológicos ha dado lugar a una
rama particular
de las matemáticas que actualmente se le llama
matemáticas numéricas
O bien calculo o análisis numérico con el
complemento de la informática
Los problemas que trata el Análisis numérico se
pueden clasificar en dos grandes grupos, según
tengan naturaleza numérica (finito–dimensional)
o naturaleza funcional (infinito–dimensional).
Pertenecen al primer
grupo los problemas
relativos a la
resolución de
sistemas de
ecuaciones lineales,
calculo de valores y
vectores propios, y
resolución de
ecuaciones y
sistemas de
ecuaciones no
lineales.
Los del segundo tipo son
los problemas de
interpolación y
aproximación de
funciones, la derivación e
integración numéricas, los
problemas de valor inicial y
de contorno para
ecuaciones diferenciales
ordinarias, y los problemas
de contorno para
ecuaciones en derivadas
parciales

4. El análisis numérico es un instrumento
auxiliar de la informática; complemento
que permite poner los algoritmos en
practica y llegar a resultados numéricos
.
El ordenador es en efecto un instrumento
Imperfecto que en cada operación introduce
Un “error de redondeo”. La cual la acumulación
De estos errores de redondeo pueden en ciertos
Casos distorsionar el resultado real.
Los métodos numéricos de esta rama del análisis
son aproximados ya que cada cantidad se
calcular solamente
con un cierto numero de cifras significativas
Una de las dificultades esenciales del calculo numérico
Viene del hecho de que un ordenador por esencia
no puede dar sobre una función mas que una información
finita mientras que una función es un ente matemático definido
Sobre un conjunto continuo
Los ordenadores trabajan con “números maquina” o “números binarios”
la cual es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y
unos (1) de base 2".

5. Método Numérico
Es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre
de manera aproximada, la solución de ciertos problemas
realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones
aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una
tabla de valores, cálculo preposicional, etc.).
Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones
precisas que especifican una secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una
aproximación de la solución del problema (solución numérica) o
bien un mensaje.
La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en
parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de
cálculo (los computadores). En general, al emplear estos
instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de
redondeo.

6. Numero Maquina Decimal
"Son aquellos números cuya representación viene dada de la
siguiente forma:
± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k";
Error Absoluto
El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto
un número determinado y su valor calculado o redondeado,
o sea el valor exacto menos el valor calculado; debido a que la
ecuación se
dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es
negativo.
Error Relativo
Es el cociente entre el error absoluto y el valor que
consideramos como exacto (la media). Al igual que el error
absoluto puede ser positivo o negativo porque puede se
puede producir por exceso o por defecto y al contrario que
él no viene acompañado de unidades.
Tipos de errores

7. Tipos de errores
Error de TruncamientoError de Redondeo
Es el proceso mediante el cual se eliminan
cifras significativas de un numero a partir
de su representación decimal, para obtener un valor
aproximado
Si tenemos con seguridad una cantidad de
cifras exactas de un numero decimal,
podemos
dar una aproximación de ese numero de
menos cifras
Cortamos el numero a partir de cierta cifra, pero
sumamos uno a la ultima cifra que aparezca, en el caso
de que la primera que omitamos sea mayor o igual a 5
por ejemplo
El numero π = 3,141592
a las centésimas tenemos 3,14
a las milésimas tenemos 3,1416
el proceso de redondeo brinda menor margen de error
en comparación con el proceso de truncamiento
Es el termino usado para reducir el numero de dígitos
a la derecha del separador decimal, descartando los menos
significativos. Por ejemplo
3,14159265358979…
32,438191288…
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales,
solo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la
Coma decimal. Dando por resultado:
3,1415
32,4381
En algunos casos el truncamiento comparte el
mismo resultado que el redondeo, sin embargo el
truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia
abajo los dígitos, meramente los corta en el digito
especificado.
El error de truncamiento puede llegar
a ser hasta el doble del error máximo que se puede
Tener usando el método de redondeo

8. Cotas de Error
Partiendo de que el error absoluto es la diferencia entre el valor exacto y el aproximado en valor absoluto
y el error relativo al al cociente entre el error absoluto y el valor exacto
En el caso en que el valor real sea un número irracional no pueden realizarse los cálculos
anteriores con exactitud por tener su desarrollo decimal infinitas cifras y no poder expresarse
en forma fraccionaria. Por eso se utilizan cotas.
Una Cota del error absoluto es un numero ε que cumple
En una aproximación cualquiera, una cota de error absoluto es una unidad del orden n de la última cifra
significativa:
El orden n será uno si la última cifra significativa corresponde a las décimas, dos si corresponde a las centésimas,
tres a las milésimas y así sucesivamente.
Si la aproximación es por redondeo se puede afinar algo más: una cota de error absoluto es media unidad del
orden n de la última cifra significativa:

9. A partir de una cota del error absoluto podemos obtener una cota del error relativo. Teniendo en cuenta que
y la definición del error relativo, se tiene:
Como se ha dicho, si el valor exacto es irracional no puede utilizarse en los cálculos. En este caso, se
utiliza la fórmula:
Ejemplo
redondear el numero π a las milésimas y acotar los errores absoluto y relativo

10. Estabilidad Numérica
En el sub-campo matemático del análisis numérico, la estabilidad
numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos.
Describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a
través del algoritmo. En un método estable, los errores debidos a
las aproximaciones se atenúan a medida que la computación
procede.
En un método inestable, cualquier error en el procesamiento se
magnifica conforme el cálculo procede. Métodos inestables
generan rápidamente anomalías y son inútiles para el
procesamiento numérico.