Gramáticas libres de contexto

1. Abro paréntesis, abro paréntesis,
cierro paréntesis, ...
Nolata,no:latotalidadaradadilatotalónatalón—
JuanFilloy
Ivan Meza

2. Para los lenguajes regulares
AF, AFND
AFND-ɛ
L Verdadero
Falso
R

3. Jerarquía de Chomsky
regular
independiente del
contexto
dependiente del
contexto
recursivamente enumerable

4. Jerarquía de Chomsky
independiente del
contexto
dependiente del
contexto
recursivamente enumerable
regular

5. Jerarquía de Chomsky
independiente del
contexto
dependiente del
contexto
recursivamente enumerable
regular

6. Jerarquía de Chomsky
independiente del
contexto
dependiente del
contexto
recursivamente enumerable
regular

7. Lenguajes no regulares

8. Tipos de lenguajes
Finitos: siempre son regulares
Infinitos no siempre son regulares

9. AF en un lenguaje infinito
Para un y paraΣ w ∈ LR
El trabajo del AF es circular por un conjunto nito de
estados ( )
w
n
¿Qué podemos decir si es menor de ?
¿Qué podemos decir si es mayor o igual ?
|w| n
|w| n

10. q₀ q₁
b
a a
b

11. El caso interesante
Para yw ∈ LR |w| ≥ n
Por lo menos un estado se repite
La cadena se puede particionar en:
En donde
es un prefijo
es un ciclo con
es un sufijo
q₀ qi
x z
y
xyz
|xy| ≤ k
x
y |y| > 1
z

12. El ciclo
Para , yw ∈ LR |w| ≥ n w = xyz
Entonces x z ∈y
k
LR

13. Ejemplo
Proponer lenguaje, qué tal número par de bes
Escoger , qué tal
Proponer una cadena que dependa de , qué tal
Particionar , qué tal , ,
Checar que se cumplan restricciones, ,
Checar si , sí pertenece
Σ = {a, b}
n n
n bba
n
w x = a
(n−1)
y = a z = bb
|xy| ≤ n y ≠ ϵ
x z ∈ Ly
k
bb ∈ La
(n−1)
a
k
No tan rápido, faltan más formas de cadenas en el lenguaje

14. Ejemplo (cont.)
Por ejemplo n (bb)
n
Particionar , qué tal , ,
Checar que se cumplan restricciones, qué tal ,
Checar si , sí pertenece , ya que total
de bes es , que es par
w x = b
(n−2)
y = bb z = b
n
|xy| ≤ n y ≠ ϵ
x z ∈ Ly
k
(bb b ∈ Lb
(n−2)
)
k
b
n
2k + 2n − 2
No tan rápido todavía, faltan más formas de cadenas en el
lenguaje

15. Probar que un lenguaje es regular por este procedimiento es
demasiado trabajo, muchas veces con encontrar una
expresión regular o un autómata nito, es su ciente
¡Es más fácil probar que no lo es!
A este procedimiento se le conoce como lema de bombeo

16. Un nuevo lenguaje con el mismo
alfabeto
El lenguaje de as seguidas del mismo número de bes
a
i
b
i
Ejemplos , , ,ϵ ab aabb aaabbb

17. a
i
b
i
¿De qué tamaño es el lenguaje?

18. Proponer lenguaje, qué tal con
Escoger , qué tal
Proponer una cadena que dependa de , qué tal
Particionar , qué tal , ,
Checar que se cumplan restricciones, ,
Checar si , no pertenece para cualquier
, ya que sólo se cumple para
Σ = {a, b} a
i
b
i
n n = i
n a
n
b
n
w x = a
(n−1)
y = a z = b
n
|xy| ≤ n y ≠ ϵ
x z ∈ Ly
k
k ∉ La
(n−1)
a
k
b
n
k = 1

19. Otra forma de verlo
¿Qué necesita recordar mi autómata?

20. q₀ q₁
b
a a
b

21. Si tiene número par o impar de bes

22. ¿Qué necesito recordar para ?a
i
b
i

23. q₀ q₁ q₂ q₃ qi
q₁₁ q₂₁
q₂₂
q₃₁
q₃₂
q₃₃
qi₁
qi₂
qi₃
qii
a a a
b b
b
b
b
b
b
b
b
...
...
...
...
...
...

24. Hay lenguajes que no son
regulares

25. Vamos a presentar otra
dimensión
Gramáticas

26. No confundir

27. Son una tupla , donde:
Gramáticas libres de contexto
G = (V , Σ, P , S)
es otro alfabeto que denominamos símbolos no terminales
(generalmente en mayúsculas)
es un alfabeto que denominamos símbolos terminales
es conjunto de reglas con la forma donde
y
que denominamos símbolo inicial
V
Σ
P A → α α ∈ (Σ ∪ V )
∗
A ∈ V
S ∈ V

28. Producciones/Reglas
Para , dondea
i
b
i
G = ({S}, {a, b}, P , S) P
S → aSb
S → ϵ

29. Como proceso de reescritura
El subrayado sólo marca que elemento se está re-escribiendo
Una derivación
S
−
⇒ a bS
−
⇒ a a b bS
−
⇒ a a a b b bS
−
⇒ a a a ϵ b b b
⇒ aaabbb

30. Uno más bonito
dondeG = ({R, B}, {a, b, ϵ, ∅}, P , R, +, ∗, (, )) P
R → B
R → R + R
R → R
∗
R → RR
R → (R)
B → a
B → b
B → ϵ
B → ∅

31. R
−
⇒ R
−
∗
⇒ (R
−
)
∗
⇒ ( RR
−
)
∗
⇒ ( RRR
−
)
∗
⇒ ( RRRR
−
)
∗
⇒ ( RRRRR
−
)
∗
⇒ ( R RRR
∗
R
−
)
∗

32. ⇒ ( R RRR
∗
R
−
)
∗
⇒ ( R RR
∗
R
∗
R
−
)
∗
⇒ ( R RR
−
∗
R
∗
R
∗
)
∗
⇒ ( RB
∗
R
−
R
∗
R
∗
)
∗
⇒ ( B RB
∗
R
−
∗
R
∗
)
∗
⇒ ( BB
∗
B
∗
R
−
R
∗
)
∗
⇒ ( B BB
∗
B
∗
R
−
∗
)
∗
⇒ ( B BB
−
∗
B
∗
B
∗
)
∗

33. ⇒ ( B BB
−
∗
B
∗
B
∗
)
∗
⇒ ( Ba
∗
B
−
B
∗
B
∗
)
∗
⇒ ( b Ba
∗
B
−
∗
B
∗
)
∗
⇒ ( ba
∗
a
∗
B
−
B
∗
)
∗
Rightarrow (a^* b a^* b underline{B^*)^*
⇒ ( b ba
∗
a
∗
a
∗
)
∗

34. Un ejemplo más pequeño
R
−
⇒ + RR
−
⇒ + RB
−
⇒ a + R
−
⇒ a + B
−
⇒ a + b
R
−
⇒ R + R
−
⇒ R + B
−
⇒ + bR
−
⇒ + bB
−
⇒ a + b
Derivaciones por la izquierda y por la derecha

35. Un ejemplo más largo
R
−
⇒ RR
−
⇒ RRR
−
⇒ RRRR
−
⇒ RRRRR
−
⇒ RRRRB
−
⇒ a RRRR
−
⇒ a RRRB
−
⇒ aa RRR
−
⇒ aa RRB
−
⇒ aaa RR
−
⇒ aaa BB
−
⇒ aaaaR
−
⇒ aaaaB
−
⇒ aaaaa
R RRRRR⇒
∗
aaRRR⇒
∗
aaaaa⇒
∗

36. En lenguaje aceptado por una
gramática L(G)
Con G = (V , Σ, P , S)
L(G) = {w ∈ |S w}Σ
∗
⇒
∗

37. Árboles
Otra forma de representar las derivaciones

38. ɛ
a S b
a S b
a S b
S
aaabbb

39. a
a b B
B B R *
a b R * R R
B B R R
R * R R
R R
( R )
R *
R
R
( b ba
∗
a
∗
a
∗
)
∗

40. a a
a B B
a B R
a B R
B R
R
R
aaaaa

41. Lema de bombeo: Lenguajes que no son regulares
Gramáticas Libres de Contexto
Derivación
Árboles

42. ivanvladimir@gmail.com ivanvladimir.github.io ivanvladimir
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