Clase N°3 Redes de Apoyo - Triangulación y Trilateración..pdf

TOPOGRAFIA II
CLASE N° 3
Tema: Redes de Apoyo – Triangulación y
Trilateración
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE VIALIDAD Y GEOMÁTICA
Docente: Ing°. WILDER GRÁNDEZ VENTURA
TV-114 G
12/04/2023 Docente: Ing°. Wilder Grández Ventura 1

➢ Red de Triángulos
➢ Red de Cuadriláteros.
➢ Red de Figuras con vértice central
TRIANGULACION TOPOGRAFICA - REDES DE FIGURAS GEOMÉTRICAS.
Red de Triángulos. Es una cadena formada por triángulos, se emplea cuando el terreno a levantar no requiere de
mucha precisión, es propicio para proyectar una carretera, una línea férrea, canales de irrigación, etc,
generalmente para levantamientos longitudinales.
Necesariamente se miden dos bases y todos los ángulos encada vértice, de tal manera que con estos datos se
puedan calcular todos los lados de la triangulación.
Red de Cuadriláteros. Se emplea generalmente para levantar terrenos que requieran alta precisión, como por
ejemplo para proyectar un túnel, un puente, etc.
Se miden una base y otra de comprobación, así mismo se miden todos los ángulos (se recomienda) en cada
vértice.
Red de Figuras de Vértice Central. Se escoge este tipo de figura generalmente para abarcar grandes extensiones
de terreno, así mismo cuando es imposible trazar un cuadrilátero o cuando sus estaciones de triangulación no
son ínter visibles.

ELEMENTOS DE UNA RED DE TRIANGULACION
ESTACIONES. Es todo vértice de las figuras que forman la triangulación, ejemplo:
estaciones: A, B, C, …….. etc.
LADOS. Son las líneas que unen dos vértices de la triangulación, ejemplo: lados; AB,
BC, AD, ……… etc.
ANGULOS. Es la figura formada por dos lados de una triangulación y que se
intersectan en un vértice, (1), (2), (3), etc.
BASE DE LA TRIANGULACION. Es el lado de la triangulación cuya medición de su
longitud ha sido obtenida directamente en el campo, ejemplo Base AB. Existen dos
tipos de bases: la de inicio de la triangulación (base de la triangulación) y la base de
comprobación (base de cierre).
Medición de Bases. Si uno de los lados del triángulo va ser una base, esta deberá
estar ubicado en una planicie, si ha de medirse con cinta metálica, pero no así si ha
de medirse con distanciómetro.

PRECAUCIONES
Ubicación y selección de los vértices.
➢ Es recomendable que haya visibilidad entre ellos a largas distancias, se pueden escoger depósitos
elevados de agua o construir torres elevadas en lugares montañosos.
➢ Deben ubicarse en sitios difíciles de remover y que no se presten a confusiones.
➢ La precisión de ángulo depende principalmente de la exactitud de la medición de la base así como
de la precisión en la medición de los ángulos, los lados de una triangulación son calculados por la
formula:
➢ El error que se cometerá en el calculo de un lado, será directamente proporcional a la función Cosec
B Cotg B, función que tiene variación muy acentuada para ángulos próximos a 0° y 180°; por lo que
es recomendable que las estaciones se encuentren ubicadas de tal manera que en lo posible no
formen ángulos ni muy agudos ni muy llanos. De modo general es adecuado tener ángulos no
menores de 30° ni mayores de 120°.

➢ Las señales que se toman para visualizar las direcciones angulares, deberán ser
inconfundibles, perfectamente verticales en su posición durante la operación de medida de
ángulo.
➢ Según la distancia a la que se encuentren unas de otras, se utilizaran: jalones y balizas con o
sin bandera, postes o las denominadas torres de observación.
➢ El pintado que se empleen para identificar las señales puede ser por medio de franjas
alternadas de color rojo y blanco u otro alguno que resalte sobre el cielo o fundo que se ve la
señal. el ancho mínimo de las señales el dado por la formula práctica: d = 0.0004D, donde D
es la distancia entre los vértices.
➢ Para distancias muy largas donde el tamaño del paño sería muy grande, se pueden utilizar
franjas reflectantes que trabajan con la ayuda del sol.
SEÑALES DE LOS VÉRTICES

LABORES QUE IMPLICA UNA TRIANGULACION
TRABAJO DE CAMPO:
- Reconocimiento del terreno.
- Ubicación del vértice y selección de la ubicación para la base(s).
- Medición de la base(s) de la triangulación.
- Medición de los ángulos de la triangulación.
- Medición del azimut de uno de los lados de la red.
TRABAJO DE GABINETE:
- Cálculo de la longitud y precisión de la(s) base(s) de la triangulación.
- Compensación de figuras.
- Cálculo de la resistencia de figura y selección del mejor camino de cálculo.
- Cálculo de azimut y rumbos del mejor camino de cálculo.
- Cálculo de lados de la triangulación.
- Cálculo de las proyecciones de los lados.
- Cálculo de coordenadas.
- Clasificación general de la triangulación ejecutada.
- Dibujo de la triangulación.
- El fin general de una red de triangulación, no es exclusivamente contar con la red planimétrica, sino que en base a
ella se ejecuta el levantamiento de los detalles de toda la extensión que abarca la red.
- El levantamiento de detalles implica realizar la radiación desde todas las estaciones principales (vértices de la
triangulación) así como de estaciones auxiliares de levantamiento. Implica así mismo llevar el control de una red de
apoyo de levantamiento altimétrico (red o redes de circuitos de nivelación).

ELECCION DE LA CADENA PARA UNA TRIANGULACION
Si bien en la práctica no es posible seguir o mantener una cadena de un solo tipo de
figura, para la elección de la cadena que mejor conviene tomar, se tendrá en cuenta los
siguientes aspectos:
➢ La triangulación formada por una cadena de triángulos es de las más sencillas por
cuanto que no requiere de una medida de un elevado número de ángulos pero en
cambio requiere de la medida de bases de comprobación muchas veces muy
cercanas unas de otras, si es que se quiere lograr una buena precisión.
➢ La triangulación formada por una cadena de cuadriláteros requiere de un mayor
número de visuales pero brinda un mejor control del levantamiento, principalmente
en lo que a precisión se refiere. Este tipo de cadenas es muy adecuado para zonas
largas y relativamente.
➢ La triangulación formada por una cadena de polígonos con punto central, requiere
de un gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros, son las
adecuadas para levantamientos de gran precisión. Este tipo de cadenas es
adecuado para levantamientos de zonas en que su anchura es considerable.

RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS:
Cuanto menor sea el valor de la resistencia, la figura es de mejor precisión.
La United States Coast and Geodetic Survey Agency, recomienda la siguiente
relación:
Viene dado por el Coeficiente de Consistencia “R”, que es una cantidad
adimensional que permite cuantificar la calidad trigonométrica de cualquier red
de triángulos.
La rigidez esta controlada por la amplitud de los ángulos internos de las figuras
geométricas y depende del orden en cual se esta trabajando, el Coeficiente “R”
indica el numero óptimo de figuras geométricas que se deben recorrer en un
itinerario longitudinal.

Coeficiente de Consistencia “R”
D= N° de direcciones observadas
C= (n’-s’ +1)+(n-2s+3) N° de condiciones que debe cumplir la fig.
n’= N° de lados observados en ambas direcciones, incluida la base
s’= N° de estaciones de observación
n= N° total de lados de la red, incluyendo las bases
s= N° total de estaciones
dA; dB : diferencia Logaritmica de los senos, expresadas en la sexta cifra
decimal correspondientes a la variación de 1” de los ángulos opuestos A y B
de un triangulo, que son los ángulos que se oponen, al lado conocido y al
que se trata de conocer, respectivamente.

D = N° de direcciones observadas (sin considerar la dirección conocida – Base) = 10.
n’ = N° de lados observados en ambas direcciones, incluyendo la Base = 6.
s’ = N° de estaciones de observación = 4.
n = N° total de lados de la red, incluyendo la Base = 6.
s = N° total de estaciones = 4.
C = (n'-s'+1) + (n-2s+3) = 4
Ángulo Valor medido
1 35° 47’ 25”
2 49° 00’ 08”
3 54° 52’ 18”
4 38° 20’ 32”
5 37° 47´ 12”
6 50° 42’ 38”
7 53° 09´ 40”
8 40° 20´ 17”
Cadena
Lado
Común
Triangulo
Ángulos Opuestos Diferencia Logaritmica sen ()
d(1)*d(1)+d(1)*d(2)+d(2)*d(2) Suma (D-C)/D R
Al lado conocido Al lado por conocer
dA dB
G M S G M S
1 CE
BCE 37 47 12 49 0 8 -2.7 -1.8 15.39
29.6 0.6 17.76
CED 53 09 40 38 20 32 -1.6 -2.7 14.17
2 BD
CBD 40 20 17 54 52 18 -2.5 -1.5 12.25
28.5 0.6 17.1
BDE 50 42 38 35 47 25 -1.7 -2.9 16.23
3 CD
CBD 40 20 17 84 47 33 -2.5 -0.2 6.79
14.4 0.6 8.64
CED 88 7 50 38 20 32 -0.1 -2.7 7.57
4 BE
BCE 37 47 12 93 12 50 -2.7 0.1 7.03
15.2 0.6 9.12
BDE 93 29 57 35 47 25 0.1 -2.9 8.13
Ejercicio. Cual es el
óptimo recorrido
para compensar la
triangulación.
BC es Base Medida.

Cuadrilátero con diagonales
A
C
D
B
1
2 4
5
6
7
8
Ecuaciones de Condición
1+2+3+4+5+6+7+8=360°
1+8=4+5 ; 2+3=6+7
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛8
=
𝐴𝐷
𝑠𝑒𝑛3
𝐴𝐵 = 𝐴𝐷𝑥
𝑠𝑒𝑛8
𝑠𝑒𝑛3
𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛2
=
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛5
𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑠𝑒𝑛5
𝐵𝐶 = 𝐴𝐷𝑥
𝑠𝑒𝑛8
𝑠𝑒𝑛3
𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑠𝑒𝑛5
𝐴𝐷𝑥
𝑠𝑒𝑛1
𝑠𝑒𝑛6
𝑥
𝑠𝑒𝑛7
𝑠𝑒𝑛4
= 𝐴𝐷𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑠𝑒𝑛3
𝑥
𝑠𝑒𝑛8
𝑠𝑒𝑛5
𝑠𝑒𝑛1𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥𝑠𝑒𝑛7 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑠𝑒𝑛6𝑥𝑠𝑒𝑛8
𝑠𝑒𝑛1𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥𝑠𝑒𝑛7
𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑛4𝑥𝑠𝑒𝑛6𝑥𝑠𝑒𝑛8
= 1
𝐷𝐶
𝑠𝑒𝑛1
=
𝐴𝐷
𝑠𝑒𝑛6
𝐷𝐶 = 𝐴𝐷𝑥
𝑠𝑒𝑛1
𝑠𝑒𝑛6
𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛7
=
𝐷𝐶
𝑠𝑒𝑛4
𝐵𝐶 = 𝐷𝐶𝑥
𝑠𝑒𝑛7
𝑠𝑒𝑛4
𝐵𝐶 = 𝐴𝐷𝑥
𝑠𝑒𝑛1
𝑠𝑒𝑛6
𝑥
𝑠𝑒𝑛7
𝑠𝑒𝑛4
1. Condición Geométrica
2. Condición Trigonométrica
3

𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 1 + 𝑣1 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 3 + 𝑣3 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 5 + 𝑣5 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 7 + 𝑣7
− 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 2 + 𝑣2 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 4 + 𝑣4 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 6 + 𝑣6 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 8 + 𝑣8 = 0
𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛 1 + 𝑣1 = 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛1 + 𝑑𝑙1"𝑣1
𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛1 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛3 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛5 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛7 + 𝑑𝑙1v1+dl"3v3+dl5v5+dl"7𝑣7
− 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛2 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛4 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛6 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛8 − (𝑑𝑙2v2+dl4𝑣4 + 𝑑𝑙6v6+dl8𝑣8) = 0
𝑊 = 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛1 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛3 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛5 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛7 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛2 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛4 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛6 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛8
= 𝑑𝑙2v2+𝑑𝑙4v4 + 𝑑𝑙6v6+dl8𝑣8 − 𝑑𝑙1v1+dl"3v3+dl5v5+dl"7𝑣7
Se deben considerar que cada ángulo tiene una variación v.
𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛1 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛3 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛5 + 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛7 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛2 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛4 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛6 − 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑒𝑛8 = 0

Considerando que las variaciones son proporcionales a las diferencias logarítmicas
𝑣1
𝑑𝑙1
=
𝑣3
𝑑𝑙3
=
𝑣5
𝑑𝑙5
=
𝑣7
𝑑𝑙7
= 𝑘
𝑣1 = 𝑘𝑑𝑙1 ; 𝑣3 = 𝑘𝑑𝑙3 ; 𝑣5 = 𝑘𝑑𝑙5 ; 𝑣7 = 𝑘𝑑𝑙7
𝑣2
𝑑𝑙2
=
𝑣4
𝑑𝑙4
=
𝑣6
𝑑𝑙6
=
𝑣8
𝑑𝑙8
= −𝑘
𝑣2 = −𝑘𝑑𝑙2 ; 𝑣4 = −𝑘𝑑𝑙4 ; 𝑣6 = −𝑘𝑑𝑙6 ; 𝑣8 = −𝑘𝑑𝑙8
𝑘 =
𝑤
σ 𝑑𝑙𝑖2

Ejemplo: Ajuste de una red.
1 35° 47’ 25”
2 49° 00’ 08”
3 54° 52’ 18”
4 38° 20’ 32”
5 37° 47´ 12”
6 50° 42’ 38”
7 53° 09´ 40”
8 40° 20´ 17”
Triangulo 1 Triangulo 2
Cuadrilatero
1
b
Longitud de la Base = 578.792 m ; Longitud de la Base de Comprobación = 276.051 m
a 87° 35’ 43”
b 42° 25’ 35”
c 49° 58’ 24”
e 22° 18’ 28”
f 97° 28’ 45”
d 60° 12’ 35”

4) Condición Trigonométrica
Cuadro resumen de ajuste del cuadrilátero.
N°
G M S G M S
1 35 47 25 -1.25 0.5 -1.58 35 47 22.67
2 49 0 8 -1.25 -2 0.99 49 0 5.74
3 54 52 18 -1.25 -2 -0.80 54 52 13.95
4 38 20 32 -1.25 -0.5 1.44 38 20 31.69
5 37 47 12 -1.25 -0.5 -1.47 37 47 8.78
6 50 42 38 -1.25 2 0.93 50 42 39.68
7 53 9 40 -1.25 2 -0.85 53 9 39.90
8 40 20 17 -1.25 0.5 1.34 40 20 17.59
356 237 180.00
Ángulos Ajustados
Ángulos Medidos
C4
C1 C2 y C3
G M S
1 35 47 25 -0.2329778 2.92 8.53 v1= -1.58
2 49 0 8 -0.122206 1.83 3.35 v2= 0.99
3 54 52 18 -0.0873182 1.48 2.19 v3= -0.8
4 38 20 32 -0.207358 2.66 7.08 v4= 1.44
5 37 47 12 -0.2127357 2.72 7.4 v5= -1.47
6 50 42 38 -0.111283 1.72 2.96 v6= 0.93
7 53 9 40 -0.0967338 1.58 2.5 v7= -0.85
8 40 20 17 -0.188897 2.48 6.15 v8= 1.34
356 237 190 -0.6297655 -0.6297438 17.39 40.16 0
180
error: -10 -21.70
C1= -1.25 40.16
K = -0.54
Vi = kdli = C4
N°
Ángulos Medidos
dli (dli)x(dli)
log(seno())

II) Cálculo de lados:
Como ya se tienen los ángulos ajustados, se pueden calcular todos los lados desconocidos,
mediante la Ley de senos:
𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 = 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑜 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜
Error de cierre = 276.051 – 276.040 = 0.011
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 =
1
25 000
Triangulo
A N G U L O S
Lado conocido Lado por conocer
Opuesto al lado conocido Opuesto al lado desconocido
G M S G M S
ABC 49 58 30 87 35 49 AB 578.792 BC 755.171
BCD 40 20 17.59 84 47 28.41 BC 755.171 CD 1161.833
ECD 88 29 48.46 38 20 31.69 CD 1161.833 ED 720.998
FED 97 28 49 22 18 32 DE 720.998 FD 276.04

TRILATERACIÓN
Gracias a la disponibilidad de Estaciones Totales (distanciómetros
electrónicos), los trabajos de topografía se han simplificado notablemente y la
trilateración ha complementado los trabajos de triangulación y, en algunos
casos, a sustituirlos.
Se deben medir las longitudes de los lados para determinar, por
trigonometría, los valores de los ángulos; es decir, operación contraria a la
que se realiza para la triangulación. A veces se hacen ambas cosas, pues
requiere más trabajo y tiempo; no obstante, se logra mayor precisión.
En las triangulaciones y trilateraciones topográficas se presentan lados
relativamente cortos y sobre una superficie plana, y los actuales
distanciómetros electrónicos satisfacen, plenamente cualquier medición.

Las trilateraciones se utilizan con los mismos fines que las triangulaciones y se
recomienda cuidar los siguientes aspectos:
● Medir distancias al menos en forma directa e inversa (AB- BA).
● Las medidas lineales deberán ser corregidas por temperatura y presión.
● Las distancias se reducirán al horizonte.
● Medir con precisión la altura de aparato en todos los vértices.
● Orientar uno de los lados, para propagar esta orientación y calcular el resto de los
lados; una vez compensada la cadena de triángulos, comprobar el cálculo mediante
otro lado orientado, cuando la cadena o red sea muy extensa.
● Las longitudes de las cadenas de triángulos y la forma pueden ajustarse a las
descritas para la triangulación; no obstante, deben ajustarse a las normas de
precisión establecidas por los distintos organismos oficiales, tanto nacionales como
internacionales.
● Con las trilateraciones, puede considerarse que las precisiones cubren un rango de
precisión de 1:5000, 1:10 000, … hasta 1:100 000 en cierre. Si se combina con la
medida de ángulos horizontales los resultados serán variables, pero se incrementará
la precisión.

Es muy ventajoso complementar triangulaciones con trilateración, sobre todo
por la longitud de los lados o por el efecto de los fenómenos atmosféricos, hay
problemas de visibilidad; también resulta muy rápido realizar las mediciones
lineales.
Por último, tanto en la triangulación como en la trilateración, es necesario el
conocimiento de las elevaciones. Se puede recurrir a cualquiera de los
métodos de nivelación topográfica.
Las triangulaciones y las trilateraciones en la actualidad no representan
problemas de cálculo por la existencia de equipos de cómputo y software,
capaces de resolver cualquier problema relacionado con este tipo de
levantamientos y sus diversas aplicaciones, tanto en topografía tradicional
como en fotogrametría.

Para calcular los ángulos por trigonometría, se usa la siguiente ecuación:
𝑐𝑜𝑠𝐴 =
𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎2
2𝑏𝑐
a condición de que:
A + B + C =180°
(Hay que recordar que no se considera el exceso esférico)

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