Arreglo atómico

Dra. Izbeth Hernández López UPAEP Cs. Materiales
Ciencias de Materiales
Arreglo Atómico
DRA. IZBETH HERNÁNDEZ LÓPEZ
izbeth.hernandez@upaep.mx

El arreglo atómico juega un papel muy importante en la determinación del
comportamiento de un material sólido.
En el aluminio, el arreglo atómico proporciona buena ductilidad, en tanto que
en el hierro es la causa de una buena resistencia.
Los sólidos pueden clasificarse en dos amplias categorías: cristalinos y
amorfos.

Cristalinos
Los sólidos cristalinos, debido a la estructura ordenada de sus átomos,
moléculas o iones tienen formas bien definidas.
Presenta un patrón que se repite de forma periódica en el espacio.
Al romperse se obtienen caras y planos bien definidas.
Los metales son cristalinos y están compuestos por cristales o granos bien
definidos. Los granos son pequeños y no son observables claramente dada la
naturaleza opaca de los metales.
En los minerales, principalmente de naturaleza translúcida a transparente, las
formas cristalinas bien definidas se pueden observar con claridad.
Ejemplos: NaCl, Sacarosa, sales en general, metales, algunos polímeros,
algunos cerámicos.

Amorfos
No presenta un arreglo interno ordenado sino que sus partículas se agregan al azar.
Sus partículas presentan atracciones lo suficientemente fuertes para impedir que la
sustancia fluya.
Al romperse se obtienen formas irregulares.
Ejemplos: Asfalto, parafina, alquitrán, caucho, ceras, vidrios, algunos polímeros,
algunos cerámicos.

El ordenamiento atómico en los sólidos cristalinos se puede describir
representando a los átomos en los puntos de intersección de una red
tridimensional. Esta red se llama red espacial. El grupo de átomos se llama la
base.
Cada red espacial puede describirse especificando la posición de los átomos en
una celda unitaria repetitiva.
El tamaño y forma de
una celda puede
describirse por tres
vectores de la red a, b y
c, con origen en un
vértice de la celda
unitaria. Las longitudes
axiales a, b y c y los
ángulos interaxiales , a,
b y g son las
constantes de la red de
la celda unitaria.

Los cristalógrafos han demostrado que tan sólo se necesitan siete tipos diferentes
de celdas unitarias para crear todas las redes.
J. Bravais (Físico francés) demostró que con 14 celdas unitarias estándar se pueden
describir todas las redes posibles.
Existen cuatro tipos básicos de celdas unitarias: 1) sencilla, 2) centrada en el
cuerpo, 3) centrada en las caras y 4) centrada en las bases.

La mayoría de los metales puros (aproximadamente 90%) cristalizan al
solidificar en tres estructuras cristalinas compactas: cúbica centrada en el
cuerpo ( BCC ), cúbica centrada en las caras ( FCC ) y hexagonal compacta (
HCP )
La mayoría de los metales cristalizan en estas estructuras empacadas
densamente porque la energía disminuye a medida que los átomos se acercan y
se enlazan entre sí. De este modo, las estructuras más compactas corresponden
a ordenamientos de niveles energéticos menores y más estables.

La arista del cubo de la celda unitaria del hierro cúbico centrado en el cuerpo, por
ejemplo, a temperatura ambiente es igual a 0.287 × 10−9 m, o 0.287 nanómetros
(nm). Por tanto, si se alinean celdas unitarias de hierro puro, arista con arista, en
1 mm habría:

Celdas unitarias BCC: a) de posiciones
atómicas, b) de esferas rígidas y c) aislada.
a) En esta celda unitaria las esferas representan los puntos donde están
colocados los átomos e indican claramente sus posiciones relativas.

b) Si se representan los átomos en esta celda como esferas rígidas En esta
celda unitaria se observa que el átomo central está rodeado por ochos
vecinos más próximos y se dice que tiene un número de coordinación de 8.

c) Si se aísla una sola celda unitaria como esfera sólida, se obtiene el modelo
mostrado en la figura 3.
Cada una de estas celdas tiene el equivalente a dos átomos por celda unitaria.
Un átomo entero se encuentra en el centro de la celda unitaria y un octavo de
esfera se encuentra en cada vértice de la celda, lo que equivale a otro átomo.
Así, hay un total de 1 (en el centro) +8 × (en los vértices) = 2 átomos por celda
unitaria.

En la celda unitaria BCC los átomos de
cada vértice entran en contacto entre sí a
lo largo de la diagonal del cubo, de tal
suerte que la relación entre la arista del
cubo a y el radio atómico R es
Tarea1. Comprobar la fórmula.

EJEMPLOS DE BCC

Ejemplo
El hierro a 20°C es BCC con átomos con un radio atómico de 0.124. Calcule la
constante de red para el vértice del cubo de la celda unitaria de hierro.
Los átomos que están en la celda unitaria BCC se tocan a través de las diagonales
del cubo. Por tanto, si a es la longitud del vértice del cubo, entonces
a=0.2864nm

Si los átomos de la celda unitaria BCC se consideran como esféricos, se puede
calcular el factor de empaquetamiento atómico (APF) aplicando la ecuación

Estructura centrada en las caras (FCC)
a) de posiciones atómicas, b) de esferas rígidas y c) aislada.

Celda unitaria FCC que muestra la relación entre la constante de red a y el
radio atómico R.
El APF para la estructura cristalina FCC es de 0.74, que es mayor que el factor 0.68 de la
estructura BCC. Un APF de 0.74 es el máximo de compacto posible para “átomos
esféricos”. Muchos metales como el aluminio, cobre, plomo, níquel y hierro a
temperatura elevada (de 912 a 1 394°C) cristalizan con la estructura FCC

Ejercicios
El molibdeno a 20°C es BCC y tiene un radio atómico de 0.140 nm. Calcule el
valor para su constante de red a en nanómetros.
El niobio a 20°C es BCC y tiene un radio atómico de 0. 143 nm. Calcule el valor
de su constante de red a en nanómetros.
El litio a 20°C es BCC y tiene una constante de red de 0.35092 nm. Calcule el
valor del radio atómico de un átomo de litio en nanómetros.
Calcule el factor de empaquetamiento atómico (APF) para la celda unitaria
BCC, considerando a los átomos como esferas rígidas.

Estructura cristalina hexagonal compacta
(HCP)

Los metales no cristalizan con la estructura cristalina hexagonal sencilla porque el
APF es demasiado bajo.
Los átomos pueden alcanzar una menor energía y una condición más estable
formando la estructura más compacta.
El APF de la estructura cristalina HCP es de 0.74, el mismo que el de la estructura
FCC, ya que en ambas estructuras los átomos están empacados lo más juntos
posible.
En ambas estructuras, HCP y FCC, cada átomo está rodeado de 12 átomos, por
tanto, cada átomo tiene un número de coordinación de 12.

Los átomos de los lugares marcados con “1”
contribuyen con 1/6 de un átomo a la celda unitaria,
y los átomos de la ubicación marcados con “2”
contribuyen con 1/12 de átomo.
Por consiguiente, los átomos de los ocho vértices de
la celda unitaria contribuyen de manera colectiva con
un átomo
(4(1/6) + 4(1/12) = 1). El átomo de la ubicación “3”
está centrado dentro de la celda unitaria pero se
extiende más allá del límite de ésta.
El número total de átomos dentro de una celda
unitaria HCP es, por tanto, de 2 (1 en los vértices y 1
en el centro).

La relación entre la altura c del prisma hexagonal de la estructura cristalina HCP y la
arista de la base a, se llama relación c/a
La relación c/a para una estructura HCP ideal formada por esferas empacadas al
máximo es 1.633.

El cadmio y el zinc tienen una relación c/a superior a la ideal, lo que indica que
los átomos en estas estructuras están ligeramente alargados a lo largo del eje c
de la celda unitaria HCP.
Los metales magnesio, cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relación c/a
menor que la relación ideal. Por tanto, en estos metales los átomos están
ligeramente comprimidos en la dirección del eje c.

Ejemplo
Calcula el volumen de la celda unitaria de la estructura cristalina del zinc con
los datos siguientes: el zinc puro tiene una estructura cristalina HCP con unas
constantes de red a = 0.2665 nm y c = 0.4947 nm.

Tomando en cuenta los 6 triángulos:
El volumen es entonces base x altura:

Características de cristales metálicos más comunes.

POSICIONES DEL ÁTOMO EN CELDAS
UNITARIAS CÚBICAS (EJES X, Y, Z)

El átomo central de la celda unitaria BCC
tiene las coordenadas en posición (
1
2
,
1
2
,
1
2
). Por sencillez, suelen especificarse sólo
dos posiciones atómicas en la celda
unitaria BCC, que son (0, 0, 0) y (
1
2
,
1
2
,
1
2
).
Las posiciones atómicas restantes de la
celda unitaria BCC se consideran
sobreentendidas. De forma análoga se
pueden localizar las posiciones atómicas
en la celda unitaria FCC.

DIRECCIONES EN LAS CELDAS UNITARIAS
CÚBICAS
Para los cristales cúbicos los índices de las direcciones cristalográficas son los
componentes del vector de dirección descompuesto sobre cada eje de
coordenada y reducidos a mínimos enteros.

Para indicar en forma gráfica una dirección en una celda unitaria cúbica, se
dibuja un vector de dirección desde un origen, que generalmente es un vértice
de la celda cúbica, hasta que emerge a la superficie del cubo.
Las coordenadas de posición de la celda unitaria donde el vector de dirección
emerge de la superficie del cubo después de convertirlas en enteros, son los
índices de dirección.
Estos índices se colocan entre corchetes sin separación por comas.

Las coordenadas de posición del vector de dirección OM, son (1,
1
2
, 0), y como
los índices de dirección deben ser números enteros, estas coordenadas de
posición deben multiplicarse por 2 para obtener los enteros. Así, los índices de
dirección de OM pasan a ser 2*(1,
1
2
, 0) = [210].

En general, se utilizan las letras u, v, w como índices de dirección en las
direcciones x, y y z, respectivamente, y se escriben como [uvw]. Es también
importante darse cuenta de que todos los vectores de dirección paralelos
tienen el mismo índice de dirección.
Tal como se procede habitualmente en matemáticas, las componentes de
cualquier vector pueden conocerse restando las coordenadas de los puntos
final e inicial. Si P1 = (u1, v1, w1) es el punto de partida y P2 = (u2, v2, w2), el
punto final, el vector que va de P1 a P2 se calculará como:

Las direcciones serán cristalográficamente equivalentes si el espacio atómico en
cada dirección es el mismo.
Las direcciones equivalentes se llaman índices de una familia o tipo.
Por ejemplo, las direcciones de las aristas del cubo son direcciones
cristalográficamente equivalentes:

Ejercicio
Dibuja los siguientes vectores de dirección en celdas unitarias cúbicas.
a) [100]
b) [110]
c) [112]
d) [ത110]
e) [ത32ത1]

Determine los índices de dirección de la dirección del cubo mostrada en la figura
Las direcciones paralelas tienen los
mismos índices de dirección, y por ello se
mueve el vector de dirección de forma
paralela hasta que su origen alcanza el
vértice más próximo del cubo,
manteniendo el vector en el cubo.

Las coordenadas de posición donde el vector de dirección deja el cubo unidad.
Son x = − 1, y = + 1 y z = −
1
6
. Las coordenadas de posición de la dirección donde
deja el cubo unidad son ( − 1, + 1, −
1
6
). Para esta dirección, los índices son,
después de eliminar la fracción 6*( − 1, + 1, − ), o [ ത66ത1 ].

Determine los índices de dirección de la dirección cúbica entre las coordenadas
de
posición (
3
4
, 0,
1
4
) y (
1
4
,
1
2
,
1
2
)

INVESTIGAR
ÍNDICES DE MILLER Y PLANOS DE LAS CELDAS

Índices de MILLER
Para identificar a los planos cristalinos en una estructura cristalina cúbica se
utiliza el sistema de notación de Miller.
Los índices de Miller de un plano cristalino se definen como el recíproco de las
fracciones de intersección (con fracciones simplificadas) que el plano presenta
con los ejes cristalográficos x, y y z de las tres aristas no paralelas de la celda
unitaria cúbica.

El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano cristalográfico
cúbico es como sigue:
1. Se elige un plano que no pase por el origen de coordenadas (0, 0, 0).
2. Se determinan las intersecciones del plano en la función de los ejes
cristalográficos x, y y z para un cubo unidad. Estas intersecciones pueden ser
fraccionarias.
3. Se obtiene el recíproco de las intersecciones (en caso de ser infinito, este
inverso será CERO).
4. Se multiplican o dividen por un factor común para eliminar fracciones.
La notación (hkl) se utiliza para indicar los índices de Miller en un sentido general,
donde h, k y l son los índices de Miller de un plano cristalino cúbico para los ejes
x, y y z, respectivamente.

PASOS X Y Z
CORTES No corta,
paralelo ∞
-1 No corta,
paralelo ∞
INVERSOS 0 -1 0
QUITAR
FRACCIONES
0 -1 0
PLANO (0ത10)
+

PASOS X Y Z
CORTES -1 1 -1/2
INVERSOS -1 1 -2
QUITAR
FRACCIONES
-1 1 -2
PLANO (ത11ത2)
x y
z

PASOS X Y Z
CORTES
INVERSOS
QUITAR
FRACCIONES
PLANO (03ത1)

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