1. Métodos de Eliminación Gaussiana utilizando métodos Numéricos
Métodos De Eliminación Gaussiana
Este método consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de
renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera
directa.
El método de eliminación gaussiana propone la eliminación progresiva de variables en el
sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta
esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.
Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial,
destinadas a transformarlo en un sistema diagonal.
El método de Gauss - Jordán es un método computacionalmente bueno cuando tenemos que
resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el
algoritmo de Gauss-Jordán.
Descomposición LU
Este método se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto
de una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior U.
El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales debe
su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en
el producto de dos matrices (L y U).
Esto es:
Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Factorización De Cholesky
2. Este método se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida positiva en
lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una matriz
triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los factores
triangulaes resultantes son la traspuesta de cada uno.
Factorización de QR, Householder
La Factorización QR consiste en descomponer la matriz Amxn en el producto de dos
matrices:
Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT . Q = INxN
Una matriz Triangular Superior: U = RNxN
Para encontrar las matrices Q y R se utiliza un método basado en Transformaciones
Sucesivas de Householder.
Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos
Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar esta dificultad,
puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de
manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones
que se éste dispuesto a efectuar.
Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel que genera, a partir de un
vector inicial x0, una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. Un método iterado se dirá que es
consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión (xn), en caso de existir, es
solución del sistema. Se dirá que el método es convergente si la sucesión generada por
cualquier vector inicial x0 es convergente a la solución del sistema.
Método De Gauss Seidel
El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener
estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado para un gran número de
ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método más comúnmente usado.
La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta
o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos
sistemas dominantes diagonalmente.
3. Método de Jacobi
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de
forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. El Método de Jacobi es uno
de los métodos iterativos más conocidos.
Este método iterativo comienza con una aproximación inicial que podemos llamar x, y dada
una iteración calcula la siguiente como MJ*x+cj donde MJ=-D(AL+AU) y cJ=Db.
