El documento habla sobre los diferentes tipos de errores que pueden ocurrir al medir o calcular valores numéricos. Explica que hay errores sistemáticos que siempre ocurren en la misma dirección y errores accidentales que son aleatorios. También describe los errores absolutos y relativos y cómo se propagan los errores a través de operaciones matemáticas simples como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, discute cómo los números son representados en sistemas binarios en las computadoras.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
FACULTAD DE INGENIERÍA
CABUDARE-LARA
TEORÍA DE ERRORES
Alumno: Jorge Vivas
Cédula: 18.356.161
CABUDARE, LARA

2. Teoría de Errores
El significado de la palabra “error” no es muy preciso, se lo puede
considera como una estimación o cuantificación de la incertidumbre de una medida.
Cuanto más incierta sea una medida, tanto mayor será el error de medición.
Los errores se deben, como se ha visto, a limitaciones de la vista humana y/o de
los aparatos topográficos empleados. Nunca pueden anularse por completo, aunque se
debe tender a reducirlos al máximo.
Tipos de errores:
 Errores sistemáticos y accidentales:
Los errores sistemáticos se producen siempre en el mismo sentido y según una
ley determinada. Ejemplo: una cinta métrica marcada como de 20 cm de longitud,
pero que en realidad mide 20´lm. Los errores sistemáticos están motivados por una
causa permanente, generalmente una imperfección del aparato y, al menos en teoría,
pueden anularse con el adecuado contraste y ajuste del mismo, eliminando la causa
que lo produce. Por otra parte, existen métodos operativos que garantizan la
eliminación de buena parte de los posibles errores de este tipo. Por eso, tampoco los
errores sistemáticos van a ser objeto de este medio.
Los errores accidentales adoptan valores al azar y no se pueden eliminar como
los sistemáticos. Cuando el número de medidas efectuadas es suficientemente grande,
se observa que estas tienden a distribuirse por igual a ambos lados del valor real, por
lo que la suma de los errores accidentales tiende a cero. Se observa también que los
errores accidentales de pequeña magnitud son más frecuentes que los grandes.

3.  Errores verdaderos y aparentes:
El error verdadero es la diferencia entre la magnitud real que vamos a medir y
el valor que hemos obtenido al efectuar la medición. Esta magnitud real nunca será
conocida y por tanto, tampoco lo será el error verdadero. Como magnitud definitiva
tomaremos una determinada (por ejemplo, la obtenida por promedio de varias
medidas)y a esta tendremos que referir los errores, que serán, por tanto, errores
aparentes.
 Errores absolutos y relativos:
Error absoluto es la diferencia entre el valor real (o el que admitimos como real
) de una magnitud y el valor obtenido de la medida.
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real (o el que
admitimos como real) de la magnitud. Generalmente se expresa en tanto por ciento.
Los errores verdaderos nunca serán conocidos, siempre trabajaremos con los
errores absolutos y relativos aparentes.
Fuentes de error:
 Errores inherentes: (EI)
Son los errores que afectan a los datos del problema numérico y pueden tener
distintos orígenes. Por ejemplo pueden ser el resultado de la incertidumbre en
cualquier medición, o por ejemplo cuando queremos ingresar en una calculadora los
valores de 2,  , ya que usaremos solo una cantidad finita de dígitos para
representarlos.
 Errores de redondeo: (ER)
Son los posibles errores de representación que se produzcan al realizar cada cálculo
de nuestro algoritmo.

4.  Errores de discretización o truncamiento: (ED)
Son los que se producen al pasar del problema matemático al numérico, por ejemplo
cuando se desprecia el término complementario, suplantando una suma infinita por
una finita.
Error Final:
 Error inherente propagado:
La forma en que se propaguen los errores inherentes quedara definida por el
problema numérico.
 Error de redondeo propagado: El error de redondeo final será el producto
de la propagación de los errores de redondeo en los cálculos y dependerá del
algoritmo que elijamos.
 Errores de discretización o truncamiento:
Es cualitativa y cuantitativamente el que definimos para la fuente de error.
Propagación de los errores inherentes
Supongamos que tenemos un problema numérico donde
n m
X R Y R  , es
decir las componentes del vector X son los datos de entrada y el vector Y representa
los resultados, entonces:
 
 
 
 
1
2
m
y X
y X
Y X
y X
 
 
 
  
 
  

5. Supongamos que conocemos
1
2
xi i i
n
x
x
X y e x x
x
 
 
   
 
 
 
Las operaciones que involucran al vector Y son derivables entonces desarrollando por
Taylor en un entorno de X tenemos:
   
 
 
    1
1
,
,
m
n
y y
Y X Y X X X X T X X
x x

    

Donde el segundo sumando indica el producto de la matriz Jacobiana por el vector
que indica la variación de los datos respecto de los valores que usamos para realizar
los cálculos y el tercer término es el resto del desarrollo de Taylor. Por lo tanto si
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖̅ ≪ 1 ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛
Podemos despreciar el término complementario resultando:
      
 
1
1
1, ,
min
n
i
i i j j
j j
n
i
yi xj
j j
y
y X y X X x x i m
x
en ter os del error
y
e X e
x



   






 
1
, 1,j
i
x j
n
i
y j
j j
Si e r j n resulta
y
e X r
x
 





6. Propagación del error en las operaciones elementales
Suma y resta
 
   1 2 1 2
1 2 1 2
1 21 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
,
, ,
x x
y x x x x
x x x x
y x x
Y x x x x
Y Y
e e x x e x x e
x x
e e e
y el error relativo es
x x
er er er er
x x x x


 
 
   
 
 
  
 
Producto
 
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
. 2 1
, .
y x x x x
y x x
Y x x x x
e e x e x e
er er er

  
 
División
 
 1 2 1 2
1 2 1 2
1
1 2 2
2
1
/ 2
2 2
/
, 0
1
y x x x x
y x x x x
x
Y x x x
x
x
e e e e
x x
er er er er
 
  
  

7. Raíz Cuadrada
  0
1
2
0.5
y xx
y xx
Y x x x
e e e
x
er er er
 
 
 
Diremos que una operación elemental es estable, si dada una cota para los
errores inherentes relativos, los errores propagados relativos se mantienen acotados
por un valor independiente de los datos de entrada.
Representación de números
Sistemas de numeración
Nuestro sistema de numeración es posicional. Un sistema de numeración
posicional queda caracterizado por la base (B) que debe ser un numero natural mayor
o igual a 2 y por un conjunto de B símbolos que determinan el” alfabeto” del sistema
de numeración, debiendo representar los mismos los enteros de 0 a B-1.
En nuestro sistema decimal: B=10, y los dígitos son: 0, 1,2,…,9 la
representación de un numero racional es como sigue:
1 0 1 1... , ... 0 9
10
M M N i i
M
n
n
n N
x a a a a a a a a N
x a
   

    

  

8. Las computadoras representan internamente los números en sistema binario.
Aquí los ‘bits’ juegan el papel de los factores de las sucesivas potencias de 2 en la
descomposición de un numero:
1 0 1 1... , ... 2 0 1
M
n
M M N n n n
n N
x a a a a a a a a a   

      
Ejemplos
0 1 2
2
1 0 1
0 1 2 3
101 1.2 0.2 1.2 5
11,1 1.2 1.2 1.2 3.5
1011 1.2 1.2 0.2 1.2 11

   
   
    
Representación en sistemas de punto fijo
Se toman dos números fijos 1 2n y n tales que 1 2n n n  asignándose 1n
lugares a los dígitos enteros y 2n lugares a los dígitos decimales.
Ejemplos
Si n=10, 1n =4 y 2n =6
25.543 se representara 0025 543000
0.0673 se representara 0000 067300
En este tipo de representación el numero 16537 no se representa a pesar de tener solo
5 dígitos.
Representación en sistemas de punto flotante

9. En este sistema cada número real puede ser representado en la forma:
.10 , 1,b
x a con a b Z  
Donde el exponente: b indica la posición del punto decimal con respecto al primer
digito de la mantisa: a.
Se dice que un sistema es de punto flotante normalizado si imponemos a la mantisa la
condición que su primer digito después del punto decimal sea distinto de cero, o sea:
0.1 1a 
Una computadora asigna una cantidad finita de t cifras para la mantisa y otra de e
cifras para el exponente de modo que:
N=t+e
Ejemplos
Si n=6, t=4 y e=2
6385 se representara 6385 04
25.5 se representara 2550 02
Nosotros consideraremos solamente sistemas de representación de punto flotante
normalizado y la correspondiente aritmética de punto flotante.
Corte o truncamiento:
Dado un número real dentro del rango de la máquina, procedemos a escribirlo en
punto flotante normalizado:

10.  
1 2 1
1 2
10 0. ...
0. ...
10
b
t t
t
b
x a con a a a a a
Definimos
a signo a a a a
x a
    
  
 


Será almacenado exactamente en la maquina como aproximación de x por
truncamiento.
Redondeo o redondeo simétrico
 
1 2 1
1 2 1
1 2 1
10 0. ...
0. ... 0 4
0. ... 10 5
10
b
t t
t t
t
t t
b
x a con a a a a a
Definimos
a a a si a
a signo a
a a a si a
x a
    
    

    
 
 
 
 

Será almacenado exactamente en la maquina como aproximación de x por
redondeo.
Error relativo máximo de representación
Si x pertenece al rango de la máquina, de las dos formas de almacenamiento vistas
anteriormente deducimos que:

11. 1
1
10
10
0.510
10 10
0.110 0.510
b
t
t
b t
x b t
x a y
truncamiento
a a
redondeo
de donde
x x a a a a corte
er
x a redondeo






  

   
    

Grafica de un proceso
Una gráfica de un proceso es la representación de un algoritmo, con una convención
para identificar las flechas que aparecen en la grafica, de forma que sea fácil
determinar el error relativo total (propagación del inherente mas propagación del de
redondeo) en el resultado final
Ejemplo de diagrama para las operaciones elementales

12. +
1
1 2
x
x x
1
1 2
x
x x
1 2x x

1xi 2xi
1x 2x
-
1
1 2
x
x x
1
1 2
x
x x
1 2x x

1xi 2xi
1x 2x

13. .
1 1
1 2.x x

1xi 2xi
1x 2x
/
1 1
1 2/x x

1xi 2xi
1x 2x
Ejemplo
Queremos efectuar la suma de tres números:
Y=a+b+c, usando el siguiente algoritmo
N=b+c

14. Y=a+n
Llamaremos a los errores relativos inherentes: , ,a b ci i i y a los errores relativos de
redondeo en cada suma 1 2y  .
Sabemos que 1 2y    
La grafica correspondiente es:
+
n
a n
a
a n
n
bi ci
 a
2
1
b c
b
b c
c
b c
ai
y
El error relativo total en n será:
1
b c
n
i b i c
er
b c


 

Y el error relativo final será:

15. 2 1 2
n a a b c
y y
er n i a ai bi ci b c
er er
a n a b c a b c
  
   
     
    
Si suponemos que r es una cota para los errores relativos inherentes, obtenemos una
cota para el error relativo total:
1y
a b c b c
er r
a b c a b c

   
        
El termino que multiplica a r se lo denomina condición del problema ( pC ) y es el
factor de amplificación de los errores relativos inherentes. La condición del problema
depende exclusivamente del problema numérico.
El termino que multiplica a  se denomina termino de estabilidad ( eT ) y depende
del problema numérico y del algoritmo.
Estabilidad
Un algoritmo es numéricamente estable si y solo si:
𝐶 𝑝 + 𝑇𝑒
𝐶 𝑝
/≫ 1

16. Números de condición
Podría ocurrir que los resultados de un problema tengan poca precisión esto
puede deberse a dos cosas: el algoritmo puede no ser el mas conveniente en ese caso
se dice que el algoritmo esta mal condicionado o el algoritmo es numéricamente
inestable; o también puede ser consecuencia del problema numérico mismo, es decir
los resultados pueden ser muy sensibles a las perturbaciones de los datos de entrada,
independientemente del algoritmo elegido, en ese caso diremos que el algoritmo es
numéricamente inestable o que el problema numérico es inestable.
Número de condición del problema
Supongamos que tenemos un problema numérico representado por:
 
 
 
1
:
1, ,
n m
n
i
k
k ki
p
i
Y P X P R R
Definimos
P
X x
x
C i m
P X

 


 

Y el número de condición del problema:
  1
max , 1, , ,
ti m
p p p pC C i m C C     
Definimos el vector de errores relativos inherentes:

17.  
1
1
1
, , sup
, mod cot
, ,
n
i k
i
m
t
x x x x
n
i
y x
k k
i
y p x
t
y y y
y p x p
er er er y ongamos que er r
P
e X e
x
dividiendo tomando ulo y a ando resulta
er C er
Sea er er er resulta
er C er C r

   





   
 

Por lo tanto podemos decir que pC depende de los datos de entrada y es una
cota del cambio relativo que el resultado exacto del problema puede tener si se
producen perturbaciones relativas en los datos de entrada acotadas por r.
Número de condición del algoritmo.
Antes de hablar del numero de condición del algoritmo, supongamos que la maquina
opera con una unidad aritmético-lógica con 2t dígitos y luego almacena en la
memoria el resultado redondeado a t dígitos. De acuerdo a lo visto anteriormente en
el apartado”Error relativo máximo de representación” podemos escribir:
    1fl x op y x op y     
Donde op representa una operación elemental y  es el error relativo de redondeo
o representación de la operación  x op y
Simbolizamos por  : n m
y A X R R  al algoritmo para resolver el problema:
 : n m
Y P X R R  . Si no existieran errores de redondeo ocurriría:

18.    A X P X .
Pero nos interesa cuantificar la influencia de los errores de redondeo, por lo tanto
utilizaremos la notación  Y A X para simbolizar el resultado considerando solo los
errores de redondeo.
Ver grafico
A(x) es el valor exacto calculado con el algoritmo A.
 A X es el valor calculado con una máquina.
Sea  i iy A X . Si el cálculo de  iA X implica L operaciones, efectuando un
análisis retrospectivo de errores tenemos:
 ,
1
1
L
i i i k k k
k
y y F X con  

 
   
 

Llamamos a los ,i kF factores de amplificación.
Definimos

19.  ,
1
L
i i k
k
i i
a i
p
E F X
E
C
C




Con estos valores definimos el número de condición del algoritmo como:
  1
max , 1, , ,
ti m
a a p pC C i m C C     
Ejemplos
1) Sea el problema de resolver:
2
y x utilizando el algoritmo:   .y A x x x 
    . . 1y fl x x x x   
Como la única operación que hay que hacer es el producto resulta que :
E=1
Ahora debemos calcular
i
pC = pC
. .
2
.
p
x x x x
C
x x

 
Luego
1
2
aC 