ejercicios analisis matemático 3 UNASAM

1. EJERCICIOS PROPUESTOS No
03
V´ıctor Pocoy Y./Escuela de Ingenier´ıa Civil
7 de noviembre de 2015
1. Sea la funci´on dado por
F(u, v) =
(
√
|u| − |v| − 1,
u − v
u2 + v2
,
u2
+ v2
√
64 − 4x2 − 16y2
)
Hallar el DF y gr´aficar
2. Sean las funciones dadas por
F(u, v) =
(√
1 − |u|,
√
1 − |v|
)
G(u, v) =
(
uv + 1,
1
√
v −
√
u
)
ϕ(u, v) =
√
v − u2
Hallar F · 2G, F ◦ ϕ y graficar sus respectivos dominios.
3. Demostrar que
l´ım
(u,v,w)→(1,0,1)
(2u − w, v + w, u + v + w) = (1, 1, 2)
4. Sea la funci´on dado por:
F(u, v, w) =
(
u + v + w, u2
v
)
Demostrar que F es diferenciable en (1, 0, 2)
5. Sea la transformaci´on T : D ⊂ R2
→ E ⊂ R2
dado por
T(u, v) =
(
u2
− v2
, 2uv
)
con D el rect´angulo de v´ertices (1, 1), (2, 1), (2, 3), (1, 3).
a) Representar gr´aficamente D y Img(D).
b) Hallar
∂(x, y)
∂(u, v)
.
6. Sea T : D ⊂ R2
→ E ⊂ R2
una funci´on biyectiva, E es la regi´on encerrada por y = x, yx + 2, y = −x, y = 3 − x.
Adem´as (u, v) = T−1
(x, y) = (x − y, x + y).
a) Hallar T(u, v).
b) Graficar E y D como una trasformaci´on.
7. Sea T : Rn
→ Rn
una transformaci´on afin. Demostrar que
T es inyectiva ⇔ det(A) ̸= 0
8. Sea F : R3
→⊂ R3
una funci´on que posse inversa local en B ((2, 1, 2), ε) y con valores en B ((1, 0, 0)); y F ∈ Ck
.
Si
(u, v, w) = T−1
(x, y, z) =
(
exyz
+ 1, exz
+ y2
, eyz
+ x2
)
,
hallar T′
(2, 1, 2).
9. Sean la funciones vectoriales de variable vectorial F : R3
→ R4
y G : R2
→ R3
definidas por
F(u, v, w) =
(
uvw, u + v + w, 2w, v2
+ w2
)
y g(u, v) =
(
uv, u2
+ v2
, 2u + v
)
1

2. a) Aproximar dF(1, 2, 1) si (dx, dy, dz) = (0, 1; −0,1; 0,3).
b) Calcular (F ◦ G)′
(−1, 1).
10. Sea la transformaci´on dada por:



x = a0 + aρ cos θ sen ϕ
y = b0 + bρ sen θ sen ϕ
z = c0 + cρ cos ϕ
; a, b, c, a0, b0, c0 son constantes
Hallar el jacobiano de la transformaci´on.
11. Sea la funci´on dado por:
F




t
u
v
w



 =


t2
− w3
uvw
√
t
3
− ln(uv)


Hallar F′′′
(1, 2, 1, 1) si existe.
12. Obtenga una ecuaci´on en coordenadas cartesianas para la superficie dada en coordenadas cil´ındricas e identifique
la superficie.
a) θ =
π
4
b) r = 4 c)z = 2
d) r = 3 cos θ e) r2
cos 2θ = z3
f) z2
sen3
θ = r3
13. Obtenga una ecuaci´on en coordenadas cartesianas para la superficie dada en coordenadas esf´ericas e identifique
la superficie.
a) ρ = 9 b) ρ = θ =
π
3
c) ϕ =
π
4
d) θ =
π
4
e) r = 3 cos θ f) z2
sen3
θ = r3
14. Representar gr´aficamente el campo vectorial
F(x, y) = 4x⃗i + y⃗j
15. Si F(x, y, z) = x2
z⃗i − 2xz⃗j + yz⃗k. Hallar div(F),rot [rot(F)]
16. Si
F(x, y, z) =⃗i + 2x⃗j + 3y⃗k, G(x, y, z) = x2⃗i + y⃗j + z2⃗k
Calcular div (F × G) y rot(F × G)
17. Hallar el campo gradiente de
f(x, y, z) = (
y
z
,
z
x
,
xz
y
)
18. Sea el campo vectorial F : D ⊂ R3
→ R3
un campo vectorial de clase C1
no abierto en D. Demostrar que la
condici´on necesaria para que F sea conservativo es que rot(F) = 0
19. ¿Ser´a el campo vectorial dado un campo conservativo?
a) F(x, y) = y⃗i + x⃗j b) F(x, y, z) =
(
x − y, x + y + z, z2
)
c) F(x, y, z) = x⃗i + y⃗j + z⃗k
d) F(x, y, z) =
x
(x2 + y2 + z2)2
⃗i +
y
(x2 + y2 + z2)2
⃗j +
k
(x2 + y2 + z2)2
⃗k e) F(x, y, z, w) = (x, y, z, w)
20. Indicar si el campo de vectores es conservativo. Si lo es determinar el potencial del campo conservativo
F(x, y) =
1
y2
(y⃗i + 2x⃗j)
21. Demostrar que:
rot(F + G) = rot(F) + rot(G)
22. Demostrar que:
rot (∇f) = ∇ × (∇f) = ⃗0
23. Sea F un campo vectorial diferenciable, demostrar que:
rot (rot F) = ∇ (div(F)) − ∇2
F
2