Expreciones algebraicas

Escuela Superior de Formación Artística Pública “FRANCISCO LAZO”

Introducción

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su
denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se
le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Diferencia de Cubos
1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio de Suma al Cuadrado a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
Trinomio
3. Binomio Diferencia al Cuadrado
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
4. Diferencia de Cuadrados
Trinomio Suma al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) .(a + c)
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)
Identidades de Legendre
5. Binomio Suma al Cubo
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
6. Binomio Diferencia al Cubo
Producto de dos binomios que tienen un término
común
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

7. Suma de dos Cubos ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Expresiones Algebraicas Página 1


Algunos Aspectos Básicos

= p donde
“x” = Base
“n” = Exponente
“p” = Potenciación

a) Leyes y exponentes

-(b) = +b (-1) =-1
-(b) = -b (-1) = 1

b) Exponentes Naturales

c) Teoremas

d) Exponentes Negativos

=

ponente negativo Inversa de un exponente positivo Respuesta

4-2=1 / 42=1/16 = 0.062510-3=1 / 103=1/1,000 = 0.001

e) Formula de Radicación
Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea
negativo, n ha de ser impar .

“ indice
“ n “ = radicación



f) Exponentes Fraccionario
El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

=



Identidades Notables

Es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir
mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación
simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una
diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente

Factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del
rectángulo es

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos
áreas coloreadas: ca y cb.

Ejemplo:

Binomio al cuadrado

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término
con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

Simplificando:



Producto de dos binomios con un termino común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el
producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos
diferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:

Producto de dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los
monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:


A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y
luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.



Ejemplo:

Multiplicando los monomios:


Luego:

Binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

 El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
 El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
 El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:


Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

 El cubo del primer término.
 Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
 Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
 Menos el cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:



Ejemplo:


Identidad de Argand

Identidad de Gauss

Identidad de legendre

Identidad de lagrange

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a
cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las
anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:

Adición de cubos:

Diferencia de cubos:



Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como fórmulas de factorización, ya que los
productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por
ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de
potencias enésimas (o n - ésimas: xn).

Suma de potencias enésimas:

Si -sólo si- n es impar,

Diferencia de potencias enésimas:

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio.

Para representar un cubo como suma de dos cuadrados existe una fórmula ingeniosa:

Ejemplos:

1. Solución :

Aplicando producto notable en "a" que es una suma de binomios

x2 – 2x + 1 = ( x – 1)2

Luego : ( x – 1)2 (x2 + x + 1)2 + (x3 + 1)2



Aplicando en "d" diferencia de cubos, tenemos :

(x3 – 1)2 + (x2 + 1)2

(x3)2 - 2x3 (1) + 1 + (x3)2 + 2x3 (1) + 1

(x3)2 + (x3)2 + 2 = 2 (x3)2 + 2

= 2x6 + 2 = 2 (x6 + 1)

2. Efectuar : ( x2 – 2x + 1) ( x2 + x + 1)2 + ( x3 + 1)2

M = ( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

Solución

Ordenando los productos notables tenemos :

( a + b ) ( a2 + b2 ) ( a3 – b3 ) (a2 – ab + b2) (a4 – a2 b2 + b4) + b12

Aplicando : cubo de la suma de un binomio en " * ", tenemos :

( a + b ) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

Aplicando el producto de suma de cubos en : "* *", tenemos :

( a2 + b2 ) (a4 – a2 b2 + b4) = a6 + b6

Remplazando en la expresión inicial tenemos :

( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

Ordenando los factores tenemos :

( a3 + b3 ) ( a6 + b6 ) ( a3 – b3 ) + b12

¨

aplicando productos notables en "¨ " :

( a6 + b6 ) ( a6 + b6 ) = a12 – b12 + b12 = a 12 Rpta.

3. Simplificar :

Solución

Desarrollando las potencias mediante productos notables tenemos :



Simplificando y reduciendo términos semejantes tenemos :

K = a2 - b2Rpta.

4. Simplificar :
5. Hallar el valor de P :

Solución :

àP= à à P = 91/2 à

P = 3 Rpta.



1. Hallar el valor de E :

Solución :

1. División de los Polinomios

Para dividir mediante este método se debe seguir los siguientes pasos :

2. Método Clásico o Normal
3. Se ordena los polinomios, generalmente en forma decreciente.
4. Se escribe en línea horizontal uno a continuación de otro utilizando el signo de división aritmética.
5. Se divide el primer término del dividendo, entre el primer termino del divisor, obteniéndose el primer
término del cociente.
6. Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los
correspondientes términos del dividendo.
7. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtienen el
segundo término del cociente.



Ejemplo : Hallar el cociente en la siguiente división :

Solución : Ordenamos ambos polinomios en forma decreciente, la operación se dispone en la forma
siguiente :

6x5 – 21x4 – 13x3 + 25x2 – 12x + 7 3x4 + 0x3 + 0x2 – 2x + 1

- 6x5 – 0x4 – 0x3 + 4x2 – 2x 2x - 7

-21x4 – 13x3 + 29x2 – 14x + 7

21x4 + 0x3 + 0x2 – 14x + 7

-13x3 + 29x2 – 28x + 14

Donde : cociente ( q ) = 2x – 7

Residuo ( r ) = -13x3 + 29x2 – 28x + 14

8. Se procede como en el pasa 4 y así sucesivamente hasta terminar la división.

En este caso, además de los consideraciones anteriores se debe tener en cuenta :

9. Método de Coeficientes Separados
10. Se trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.
11. En el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el
divisor.
12. De esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.

q° = D° - d

r° = d – 1

1. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo : Efectuar la siguiente división :

Solución : Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.



Luego :

6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7 3–1+1

-6+2–2 2–6-7+8

- 18 – 15 + 25

18 – 6 + 6

-21 + 31 – 12

+21 – 7 + 7

24 – 5 + 7

-24 + 8 – 8

+3-1

El cociente ( q ) es de grado : q° = D° - d° = 5 – 2 = 3

El cociente es q = 2x3 – 6x2 – 7x + 8

el de grado : r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1

El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

13. Para determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :
14. Método de Horner

Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos
polinomios de cualquier grado.

Procedimiento :

Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo
Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el
primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.
El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer
término del cienote.
Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de
signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el
primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.



Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el
resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.
Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo,
separando inmediatamente los términos del cociente y resto.
Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que
pertenecen.

Ejemplo Efectuar la división polinómica expresada por :

Solución :

Los grados del cociente y residuo serán :

q° = D° - d° = S – 2 = 3

r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1

Procedimiento :

Columna Cocientes del dividendo

12 -4 +8

Fila 4 8 + 14 +5 +16 +3 +2

-1 -2 -6

-3 -3 -9
Coeficiente que si se les cambia
de signo
+1 +3

-2 -6

2 3 -1 2 4 -4

Coeficiente del cociente Coeficiente del resto



Explicación

Se divide 8 entre 4, igual a 2, este resultado es el primer coeficiente del cociente

2 se multiplica por los términos del divisor, a los cuales se le cambió de signo ( -1; -3), dando como
resultado : -2; -6 que se colocan en la fila corriendo un lugar hacia la derecha.

Se suma a la segunda columna ( correspondiente al dividendo) y el resultado se divide entre 4 igual a 3,
este valor es el segundo coeficiente del cociente.

3, se multiplica por ( -1; - 3) y da la tercera fila : -3 ; - 9, corriendo un lugar hacia la derecha.

Se suma la tercera columna, da – 4, se divide entre 4, da – 1; este resultado es el tercer coeficiente del
cociente.

-1, se multiplica por ( -1; -3) y da la fila : +1; +3, corriendo un lugar a la derecha.

Se suma la cuarta columna, da +8, se divide entre 4, da 2, este resultado es el cuarto coeficiente del
cociente.

2, se multiplica por ( -1) y (-3) y da la fila : -2 y -6

como el último término de este producto queda debajo del último coeficiente del dividendo 2, se separa con
una línea los términos obtenidos los cuales pertenecen al cociente.

Se reducen las siguientes columnas, da 4 y -4 y se baja directamente, y se bajan directamente y vienen a
ser los coeficientes del resto.

Entonces : Q(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 ( cociente obtenido)

R(x) = 4x – 4 ( residuo obtenido)

2. Dividir :

Solución :q° = D° - d°

q° = 5 – 2 = 3

r° = d – 1 = 2 – 1 = 1



Solución :

- 18 - 21 24

3 6 - 20 - 13 + 25 - 12 + 7

1 2 -2

-1 -6 +6

-7 +7

+8 -8

2 -6 -7 +8 +3 -1

Q (x) = 2x3 – 6x2 – 7x + 8

( cociente obtenido )

R (x ) = 3x – 1

( residuo obtenido)

1. Regla de RUFFINI

Esta regla, es un caso particular del método de Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un
divisor que tenga o adopte las siguientes formas :

x ± b ;ax ± b y axn ± b

Se estudian 3 casos :

Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

su forma general : x ± b . se opera así :

1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;
2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo
del coeficiente del primer término del dividendo;
3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es
igual al primer coeficiente del dividendo.



Ejemplo :

1.
Solución :

Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que
faltan):

q° = D° - d° = 5 – 1 = 4

r° = d° - 1 = 1 – 1 = 0

Cocientes del dividendo

2 0 1 0 3 2

-1 -2 2 -3 3 -6

2 -2 3 -3 6 -4

Resto

Coeficiente del cociente

Termino Independiente del divisor con signo cambiado

Entonces : Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3x + 6 ( cociente obtenido)

R(x) = 4 ( residuo obtenido)

2. Obtener el cociente y el resto en la división :

3. Efectuar :
4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

Solución : ordenando y completando el polinomio dividiendo tenemos :



Operando tenemos :

q° = D° - d° = 6 – 1 = 5

r° = d – 1 = 1 – 1 = 0

Cocientes del dividendo

3 0 2 -3 0 0 5

2 6 12 28 50 100 200

3 6 14 25 50 100 205

Resto

Coeficiente del cociente

Donde :

Cociente obtenido : 3

Residuo obtenido :

1. Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

Su forma general es :ax ± b

Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir :
( ax ± b) = a ( a ± b/a )
Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer caso.
Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.
El resto obtenido no sufre alteración

Ejemplo : Hallar cociente y resto en :

Solución :

a) Se factoriza 3 así :

b) Dividiendo entre x + 2/3

c) Previamente se completa el dividendo con cero



Operamos así :

Ordenando y completando los coeficientes de el polinomio, tenemos :

18 0 - 29 -5 - 12 - 16

- 12 8 14 -6 12

18 - 12 - 21 9 - 18 -4

Donde :

Cociente obtenido : 18x4 – 12x3 – 21x2 + 9x – 18

Residuo obtenido : - 4

1. En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben
ser múltiplos del exponente de la variable del divisor.

Ejemplo Hallar el cociente y el resto en :

Solución :

Observamos que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente del divisor
(9), por lo tanto, se puede aplicar el método.

Haciendo : x9 = y, la división es :

3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

6 + 17 - 16 + 17 + 12

-1/3 -2 -5 7 -8

6 + 15 - 21 + 24 4

Cociente primario : 6y3 + 15y2 – 21y + 24

Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3) : 2y3 + 5y2 – 7y + 8

Reemplazando : y = x9 , el cociente será : 2x27 + 5x18 – 7x9 + 8

Y de residuo o resto, tenemos : R = 4


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