U7 t1-productos notables y factorizacion

1. Bloque 1. Modelización
Tema 1. Productos notables y factorización
Ernesto tiene un terreno cuadrado ubicado en una esquina en
la comunidad “Maravillas”, para hacer más anchas las calles le
van a quitar dos metros de frente y dos metros de fondo. Ernesto
quiere saber cuál será la nueva área del terreno.
M
A
¿En tu vida se ha presentado una situación similar?, ¿en qué T
casos es necesario usar las matemáticas? E
M
Á
El Álgebra es una rama de las matemáticas en la que se usan
T
símbolos para representar relaciones aritméticas. I
• Los símbolos algebraicos son representados por números, C
letras y signos que constituyen las diversas operaciones A
S
aritméticas.
• Una expresión algebraica tiene símbolos algebraicos:
x2 + y − 3 .
2m
Del ejemplo anterior se puede obtener
una expresión algebraica, ya que el 2m
terreno es cuadrado, al quitarle dos
metros de frente y dos metros de fondo
sigue siendo un cuadrado. Si se denota
la medida de su lado con “x”, el nuevo
lado del cuadrado será x – 2 y su área
se representará por (x – 2)2; ésta última x
es una expresión algebraica.
• Una variable representa cualquier número: x, y, s, t, etc.
• Las constantes representan un único número, éste no
7 4
cambia: 5, , 125 , π .
9
43

2. • Un monomio o término es una expresión algebraica en la
que no aparecen sumas ni restas, por ejemplo 3a3 bc 5 .
1
• Un binomio consta de dos términos, por ejemplo: xy 3 − 4 z 5 .
2
• Un polinomio consta de dos o más términos.
• Dos o más términos son semejantes
cuando tienen igual parte literal, es
decir, las mismas variables elevadas a
los mismos exponentes. Por ejemplo:
5
7ab5 , ab5 y 23.09ab5 son términos
7
semejantes. Un término es simétrico a otro cuando sólo
varían en el signo, por ejemplo: 7ab5 es el simétrico de
− 7ab5 .
Se debe recordar que:
a) Cuando se reducen términos semejantes se obtiene otro
término semejante cuya parte literal es la misma y el coeficiente
es la suma o resta de los coeficientes de los términos.
b) Al realizar la suma de dos polinomios se simplifican los
términos semejantes de ambos polinomios. En la resta de
polinomios se antepone el signo “–” al sustraendo, es muy
importante no olvidar multiplicar este signo por cada uno de los
términos del sustraendo.
c) Las leyes de los exponentes son:
I. El producto de las potencias de igual base es otra potencia
con la misma base y su exponente es igual a la suma de los
exponentes de los factores: b b = b .
x y x+y
(7 b5 )(5 b6 ) = (7)(5) b5 + 6 = 35 b11
II. El cociente de dos potencias de la misma base es otra
potencia con la misma base y su exponente es la diferencia
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3. del exponente del dividendo, menos el exponente del
bx
divisor: y = b .
x−y
b
10 b5 10 5 − 4
= b =5b
2 b4 2
III. La potencia de un producto es una potencia cuya base son
los factores del producto elevados a la potencia indicada:
(ab)x = ax b x . M
(2b)3 = 2 3 b3 = 8 b3 A
T
IV. La potencia de una potencia es elevar la base a un E
exponente que es el producto del exponente de la base M
por el exponente de la potencia: (a )
x y
= axy . Á
T
(2b3 )3 = 2 3 b(3) (3) = 8 b9 I
C
A
Para llevar a cabo el Ejemplos:
S
producto de términos a) (-5x2y5)(2x3y2z)
(monomios) no es El nuevo coeficiente es
necesario que sean -5 x 2 = -10.
términos semejantes, se Luego
multiplican sus (x2y5 )(x3y2z) = x2 x3 y5 y2z
coeficientes y su parte = x2 + 3 y5 + 2 z = x5 y7z.
literal siguiendo las leyes Por lo tanto
de los exponentes. (-5x2y5)(2x3y2z) = -10x5y7z.
b) ¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular cuyas medidas
son: 10m2, 8mn, 2m3n3? El volumen es la multiplicación de las
medidas, V = 160m6n4.
Para obtener el producto de un monomio por un polinomio el
monomio debe multiplicarse por cada uno de los términos del
polinomio.
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4. Al desarrollar el producto “a(x + b)” es
necesario multiplicar “a” por cada
término de “x + b”, el resultado obtenido
es “ax + ab”.
x (x + a) = x2 + xa
Este producto se
ax (x + a) = ax2 + a2x
puede generalizar.
ax (x + b) = ax2 + abx.
Ejemplos:
1  1 1 1 2  3 2 6
x x +  = x 2 + x , 5x(x + 5) = 5x2 + 25x, x x +  = x 2 + x
2  2 2 4 5  4 5 20
Para facilitar la multiplicación de polinomios se
coloca el multiplicando debajo del multiplicador
como se muestra a la derecha y se obtiene el
producto de cada término del multiplicador por el
polinomio.
Al multiplicar dos binomios
se multiplica el primero
por cada uno de los
términos del segundo.
Existen productos de expresiones algebraicas que siguen ciertas
reglas y se conocen como productos notables, algunos casos
son los siguientes:
Productos notables Reglas
cuadrado de un suma ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
binomio resta ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
binomios conjugados ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
binomios con término común ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
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5. Cuadrado de un binomio. Los binomios son idénticos.
a+b
×a+ b
a2 + ab
ab + b2
a2 + 2ab + b2
M
a−b A
T
×a−b
E
a2 − ab M
− ab +b 2
Á
T
a2 − 2ab + b2 I
Ejemplos: C
a) (x + 2)2 = x 2 + 2(2)x + 2 2 = x 2 + 4 x + 4 A
S
Si x = 3 se tiene (3 + 2)2 = 3 2 + 4(3) + 4 = 9 + 12 + 4 = 25
2 2
 1  1  1 2 1
b)  x −  = x 2 − 2  x +   = x 2 − x +
 3 3 3 3 9
Binomios conjugados. Tienen un término común y otro simétrico.
a+b
×a−b
a2 + ab
− ab − b2
a2 − b2
Ejemplos:
a) (x + 2)(x − 2) = x 2 − 2 2 = x 2 − 4
Si x = 3 se tiene (3 + 2)(3 − 2) = 3 2 − 2 2 = 9 − 4 = 5
2
 1  1  1 1
b)  x −  x +  = x 2 −   = x 2 −
 3  3 3 9
47

6. Binomios con un término común. Tienen un término común “x” y
otros no comunes: “a” y “b”.
x+a
× x+b
x 2 + xa
+ xb + ab
x 2 + (a + b)x + ab
Ejemplos:
a) (x + 2)(x − 3) = x 2 + (2 − 3)x + (2)(−3) = x 2 + (−1 x + (−6) = x 2 − x − 6
)
Si x = 3 se tiene (3 + 2)(3 − 3) = (3)2 − (3) − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
 1  1  1 1   1  1   1  1  1 1
b)  x −  x +  = x 2 +  − +  +  −   = x 2 +  −  +  −  = x 2 − −
 3  6  3 6   3  6   6   18  6 18
El proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la
factorización. Por ejemplo, la descomposición en factores
primos de 50 es 5 × 5 × 2 , el número 50 se ha factorizado.
Factorizar un polinomio es representarlo como producto de dos
o más polinomios llamados factores, de tal modo que al
multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
Factor Común
Los factores comunes son aquellos términos que aparecen
multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Las variables “a” y “b” aparecen
Por ejemplo sea
en todos los términos con
7ab2 − 21a2 b − 14ab
diferente exponente.
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7. 7ab2 − 21a2 b − 14ab = El factor 7ab se encuentra en los
(7ab)(b) − (7ab)(3 a) − (7ab)(2) tres términos.
7ab2 − 21a2 b − 14ab = (7ab)(b − 3 a − 2)
Este primer caso se emplea en una expresión en la que todos los
términos tienen un factor común, por ejemplo:
a) x 3 y + x 2 y 2 − 2 xy tiene como factor común xy ,
M
luego x 3 y + x 2 y 2 − 2 xy = xy(x 2 + xy − 2).
A
T
b) ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) E
= x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b) M
Á
si a = 3 y b = 5 entonces: T
ax + bx + ay + by = (3 x + 5 x) + (3y + 5y) = x(3 + 5) + y(3 + 5) = (x + y)(3 + 5) = (x + y)(8) I
C
Trinomio cuadrado perfecto A
S
Un trinomio cuadrado perfecto es de la forma a2 + 2ab + b2 , para
factorizar a este tipo de trinomio se hace lo siguiente:
16 x 2 + 8 x + 1
Se extrae la raíz cuadrada exacta de
↓ ↓
los términos elevados al cuadrado.
4x 1
Se obtiene el doble producto de las
raíces encontradas. Se compara la El producto es
expresión anterior con el segundo 2(4 x)(1 = 8 x coincide el
)
término, debe ser igual excepto tal vez signo.
por el signo.
Se factoriza como el cuadrado de la
suma o diferencia de las raíces
16 x 2 + 8 x + 1 = (4 x + 1 2
)
encontradas, dependiendo del signo
del segundo término.
Ejemplos: a4 − 2a2 + 1 = (a2 − 1 2 ,
) 25 x 2 + 30 x + 9 = (5 x + 3)2
49

8. Diferencia de cuadrados
Un binomio es una diferencia de cuadrados siempre que los
términos tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz
cuadrada exacta: x 2 − y 2 .
Para factorizar a este tipo de binomio se hace lo siguiente:
16 x 2 − 1
Se extrae la raíz cuadrada exacta de
↓ ↓
los términos elevados al cuadrado.
4x 1
Se obtiene la suma y la diferencia de
4x −1, 4x + 1
las raíces de los términos.
Su factorización es igual al producto
de la suma y la diferencia de las raíces 16 x 2 − 1 = (4 x − 1 4 x + 1
)( )
de los términos.
Ejemplos:
a) x 2 − y 2 = (x + y)(x − y)
b) 25a2 − 49b 2 = (5a + 7b)(5a − 7b)
c) a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1− a2 = (a2 + 1 2 − a2 = ((a2 + 1 + a)((a2 + 1 − a)
) ) )
Trinomio de la forma x 2 + bx + c
Pasos para factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c :
x2 − 2x − 8 =
Se obtiene la raíz cuadrada del
↓
primer término.
x
Se colocan dos paréntesis y la raíz
encontrada. El primer paréntesis x 2 − 2 x − 8 = (x )(x )
lleva el primer signo y el segundo x 2 − 2 x − 8 = (x − )(x + )
el producto de los dos.
Se buscan dos números “ m ” y “ n ” 4(2) = 8 y 4 – 2 = 2
tales que mn = c y m + n = b . Entonces c = 8 y b=2
Luego x 2 + bx + c = (x + m)(x + n). x 2 − 2 x − 8 = (x − 4)(x + 2)
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