Este documento trata sobre los conceptos de centro de masa, centro de gravedad y centroide. Explica que el centro de masa y el centro de gravedad son puntos donde se puede concentrar la masa o peso total de un sistema. También describe cómo calcular las coordenadas de estos puntos. Luego, introduce el concepto de centroide y cómo calcular las coordenadas del centroide de una superficie o figura, usando como ejemplo el cálculo del centroide de un triángulo.
1. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE INGENIERÍAS CIVIL Y GEOMÁTICA
DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS
ASIGNATURA: ESTÁTICA ESTRUCTURAL
TEMA: CENTROIDES
2. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
CENTRO DE MASA.
CENTRO DE GRAVEDAD.
CENTROIDES:
CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
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EJEMPLO.
3. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
CENTRO DE GRAVEDAD.
Considerando un sistema de n partículas fijo dentro del sistema de
referencia global XG , YG y ZG.
Los pesos de las partículas consisten en un sistema de fuerzas
paralelas al eje global ZG, cuyas coordenadas Xi y Yi se conocen.
Xn
Yn
4. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Este punto de aplicación se llama centro de gravedad.
El sistema de fuerzas paralelas, se puede sustituir por un solo peso
resultante o equivalente en un punto definido de aplicación.
… CENTRO DE GRAVEDAD.
El peso resultante o equivalente es igual a la suma de todos los
pesos:
5. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto a
los ejes XG, y YG, es igual al momento que produce el peso resultante WR
respectivamente a esos ejes.
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
… CENTRO DE GRAVEDAD.
Donde xi y yi son las coordenadas de cada partícula Wi respecto
al sistema de referencia.
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
6. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente la fuerza resultante WR y sus coordenadas quedan de la
siguiente forma:
WR
… CENTRO DE GRAVEDAD.
Donde:
WR es la suma de todos los pesos de todo el sistema de partículas.
xC y yC son las coordenadas del centro de gravedad G del sistema de partículas.
xC
yC
G
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7. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Considerando la 2ª Ley de Newton: F = ma que también se puede
escribir como: W = mg y suponiendo que la aceleración de la
gravedad g para cada partícula es constante, se tiene:
CENTRO DE MASA.
La suma de los momentos de las masas de todas las partículas
respecto a los ejes XG y YG, es igual al momento de la masa
resultante mR respectivamente a esos ejes:
8. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
… CENTRO DE MASA.
Donde Xi y Yi son las coordenadas de cada partícula mi respecto
al sistema de referencia.
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
9. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente la masa resultante mR y sus coordenadas del punto de
aplicación quedan de la siguiente forma:
mR
… CENTRO DE MASA.
Donde:
mR es la suma de todas las masas de todo el sistema de partículas.
xC y yC son las coordenadas del centro de masas Cm del sistema de partículas.
XC
YC
Cm
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10. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Considerando un sistema de referencia global XG, YG y ZG.
CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
Si se tiene una superficie, ésta se puede dividir en n áreas o
elementos diferenciales de área, dAi, como se muestra en la figura.
Xn
Yn
11. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
De las áreas de las n partículas se puede hacer una sumatoria de
momentos de primer orden respecto a los ejes en que está
contenida la superficie. De forma similar a un centro de gravedad se
puede calcular un punto donde se puede concentrar toda el área de
la superficie, o área resultante o equivalente.
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
A este punto de aplicación se llama centro geométrico.
El área total de la superficie se puede obtener de la siguiente forma:
12. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
La sumatoria de momentos respecto al eje YG es:
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
La sumatoria de momentos respecto al eje XG es:
Donde xi y yi son las coordenadas de dAi respecto al sistema de
referencia.
13. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente las coordenadas del centro geométrico de la superficie
se obtiene con las siguientes expresiones:
… CENTRO GEOMÉTRICO DE UNA SUPERFICIE.
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14. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Las coordenadas del centro geométrico (centroide) de la superficie
se obtiene con las siguientes expresiones:
CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
15. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Obtener el centroide de la figura de área triangular de base a y
altura b, que se muestra en la figura siguiente:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
16. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
En la figura, el elemento diferencial de base dx y altura y, recorre a
la figura desde un valor 0 hasta una distancia a, por lo que se tiene:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
Su área es: dA = ydx , por lo que su área se calcula como:
17. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Calculando momentos de primer orden respecto al eje Y, se tiene:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
18. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
19. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Calculando momentos de primer orden respecto al eje X, se tiene:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
20. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Finalmente, la ordenada del centroide de la figura es:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
21. ESTÁTICA ESTRUCTURAL TEMA V
Sus coordenadas centroidales quedan de la siguiente forma:
… CÁLCULO DEL CENTROIDE DE UN TRIÁNGULO.
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