capitulo1-circuitosmagneticosymaterialesmagneticos-121026083753-phpapp02.pdf

____________ c A PiIllL olL---_l
Circuitos magnéticos
y materiales m.agnéticos
E
l objetivo de este libro es estudiar los dispositivos empleados en la conversión que hay
entre la energía eléctrica y la mecánica. Se ha puesto énfasis en la maquinaria de ro-
tación electromagnética, por medio de la cual se lleva a cabo la mayoría de esta con-
versión de energía. Sin embargo, las técnicas desarrolladas son generalmente útiles en una
amplia variedad de dispositivos adicionales, que incluyen máquinas lineales, actuadores y
sensores.
No obstante que el transformador no es un dispositivo de conversión de energía electro-
mecánica, es un componente importante de los procesos generales de conversión de energía
que se estudian en el capítulo 2. Las técnicas desarrolladas para el análisis de los transforma-
dores constituyen el fundamento de la discusión relacionada con la maquinaria eléctrica.
La mayoría de los transformadores y maquinaria eléctrica utilizan material ferro-magnéti-
co para formar y dirigir campos magnéticos que actúan como medio de tran ferencia y conver-
sión de energía. Los materiales de imán permanente también son muy utilizados. Sin estos
materiales la implementación práctica de la mayoría de dispositivos más comunes de conver-
sión de energía electromecánica no sería posible. La habilidad para analizar y describir los
sistemas de este tipo de materiales es esencial para diseñar y entender los dispositivos de
conversión.
En este capítulo se proponen algunas herramientas básicas para el análisis de sistemas de
campo magnético y se incluye una breve introducción a las propiedades de los materiales
magnéticos prácticos. En el capítulo 2, estos resultados se aplicarán al análisis de transforma-
dores. En capítulos posteriores estos resultados también se emplearán en el análisis de máqui-
nas rotativas.
En este libro se supone que el lector posee conocimientos básicos sobre la teoría del cam-
po eléctrico y magnético, tales como las nociones de física que se imparten a los estudiantes de
ingeniería. Algunos lectores quizás hayan tomado cursos sobre la teoría del campo electro-
magnético con base en las ecuaciones de Maxwell; no obstante, un entendimiento profundo de
las ecuaciones de Maxwell no constituye un requisito previo para el estudio de la obra. Asimis-
mo, las técnicas de análisis de circuitos magnéticos que representan aproximaciones algebraicas
a las soluciones exactas en la teoría de campos, son de gran utilidad en el estudio de los dispo-
sitivos de conversión de energía electromecánica y conforman los fundamentos de la mayor
parte de los análisis presentados en esta publicación.
1

2 CAPíTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos
1.1 INTRODUCCiÓN A LOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS
) La solución completa y detallada de los problemas de los campos magnéticos en la mayoría de
las situaciones que se' presentan en la práctica de la ingeniería, implica la solución de las
ecuaciones de Maxwell, además de numerosas relaciones constitutivas que describen las pro-
piedades del material. Aunque en la práctica las soluciones exactas con frecuencia son
inalcanzables, existen numerosas suposiciones simplificadoras que permiten la obtención de
soluciones útiles en ingeniería. 1
Comenzaremos con la suposición de que las frecuencias y magnitudes de los sistemas
planteados en este libro se presentan de tal forma que permiten ignorar el término corriente de
desplazamiento en las ecuaciones de Maxwell. Este término es de gran importancia para los
campos magnéticos que se generan en el espacio mediante campos eléctricos variantes en el
tiempo que están asociados con la radiación electromagnética. Ignorar este término da como
resultado un imán cuasiestático que aparece en las principales ecuaciones de Maxwell, las
cuales relacionan a los campos magnéticos con las corrientes que los producen.
iHdl= 1J-da
iB.da=ü
(1.1)
(1.2)
La ecuación 1.1 establece que la integral lineal de la componente tangencial de la intensi-
dad deL campo magnético H alrededor de un contorno cerrado e, es igual al total de corriente
que pasa a través de cualquier superficie S y que une dicho contorno. A partir de la ecuación 1.1
se puede notar que la fuente de H es la densidad de corriente J. La ecuación 1.2 establece que
se conserva la densidad deljlujo magnético B, esto es, que ningún flujo neto entra o sale de una
superficie cerrada (esto es igual a decir que no existenluentes de carga monopolo de campos
magnéticos). De esta ecuación se advierte que las cantidades de campo magnético se pueden
determinar sólo a partir de los valores instantáneos de las fuentes de corriente, y esas variacio-
nes temporales de los campos magnéticos seguidos directamente de las variaciones temporales
de las fuentes.
Una segunda suposición simplificadora involucra el concepto de circuito magnético. La
solución general para la intensidad del campo magnético H y la densidad del flujo magnético
B en una estructura de geometría compleja es extremadamente difícil. Sin embargo, un proble-
ma de campo tridimensional puede reducirse a un equivalente de circuito unidimensional,
proporcionando soluciones de aceptable precisión en ingeniería.
Un circuito magnético es una estructura compuesta en su mayoría de materiales magnéti-
cos de alta permeabilidad. El material de alta permeabilidad produce flujo magnético que se
J A pesar de que las soluciones analíticas precisas son inaIcanzables, las soluciones numéricas basadas por compu-
tadora (el método del elemento finito y del elemento de frontera conforman los fundamentos de algunos programas
comerciales) son bastante comunes y han llegado a convertirse en herramientas indispensables para el análisis y el
diseño. Sin embargo, dichas técnicas se utilizan de manera óptima para refinar los análisis basados en técnicas analí-
ticas como las que se presentan en este libro. Su utilización contribuye poco a un entendimiento fundamental de los
principios y funcionamiento básico de la maquinaria eléctrica, por consiguiente, no se discutirán en este libro.

/
Figura 1.1
Circuito magnético
simple.
1.1 Introducción a los circuitos magnéticos 3
i
+ -
Permeabilidad
magnética del
núcleo,u
Longitud media
del núcleo le
Área de la sección
transversal Ae
Devanado, con
N vueltas
limita a los patrones definidos por la estructura del núcleo, de la misma forma que las corrien-
tes se limitan a la estructura de un circuito eléctrico. El uso del concepto circuito magnético se
ilustra en esta sección y se aplica a numerosas situaciones en este libro.' C
---.~ En la figura 1.1 se muestra un ejemplo simple de circuito magnético; se asume que el
núcleo está compuesto de material magnético cuya permeabilidad es mucho mayor que la del
aire circundante (11- » ).
El núcleo está formado por una sección transversal uniforme y se
excita por medio de un devanado de N vueltas que posee una corriente de i amperes. Este
devanado produce un campo magnético en el núcleo, lo cual se observa en la figura.
Debido a la alta permeabilidad del núcleo magnético, una solución precisa mostraría que
el flujo magnético se concentra casi por completo en el núcleo; así, las líneas de campo siguen
la trayectoria definida por el núcleo, y la densidad de flujo es esencialmente uniforme sobre la
sección transversal debido a que esta área es también uniforme. El campo magnético puede ser
visualizado como líneas de flujo que forman lazos cerrados entrelazados con el devanado.
De la forma en que se empleó el circuito magnético de la figura 1.1, la fuente del campo
magnético en el núcleo es el producto am ere-vuelta N i. En la terminología de circuitos mag-
néticos,_N ies lafuerza magnetomotri: (fmm) Eque actúa sobre el circuito magnético. Aunque
la figura 1.1 muestra sólo una bobina, los transformadores y la mayoría de las máquinas rota-
tivas poseen al menos dos devanados, y N i deberá reemplazarse por la suma algebraica del
número de' arnperes-vueltas de todos los devanados.
El flujo magnético que atraviesa una superficie S, es la integral de la superficie del
componente normat de B; de esta forma,
(1.3)
En unidades SI, la unidad de </> es el eber (Wb).
La ecuación 1.2 establece que el flujo magnético neto que entra o sale de una superficie
cerrada (igual a la integral de superficie B sobre dicha superficie cerrada) es cero. Esto es
equivalente a señalar que todo el flujo entrante a una superficie que abarque un volumen,
abandonará dicho volumen sobre alguna otra porción de la superficie debido a que las líneas
del flujo magnético forman lazos cerrados.
2 Para una explicación más amplia de los circuitos magnéticos, véase A.E. Fitzgerald, D.E. Higgenbotham y
A. Grabel, Basic Electrical Engineering, 5a. ed., McGraw-Hill, 1981, capítulo 13; también véase E.E. Staff, M.I.T.,
Magnetic Circuits and Transformers, M.I.T. Press, 1965, capítulos 1 al 3.

Estos hechos pueden emplearse para justificar la suposición de que la densidad del flujo
magnético en la figura 1.1 es uniforme tanto en la sección transversal del circuito magnético
como en el núcleo. En este caso la ecuación 1.3 se reduce a una ecuación escalar simple,
qJe= B,Ae / (1.4)
donde qJe = flujo en el núcleo
Be = densidad de flujo en el núcleo
Ae = área de la sección transversal del núcleo
De la ecuación 1.1, la relación entre la frnrn que actúa sobre un circuito magnético y la
intensidad del campo magnético en ese circuito es:3
F ::: Ni = f Hdl (1.5)
Las dimensiones del núcleo se encuentran estructuradas de tal forma que la longitud de la
trayectoria magnética de cualquier línea de flujo es aproximada a la longitud principal del
núcleo LC' Como consecuencia, la integral lineal de la ecuación 1.5 se convierte en el producto
escalar HeLe de la magnitud de H, y la longitud de la trayectoria del flujo Le' De esta manera, la
relación entre la frnrn y la intensidad del campo magnético puede representarse en la termino-
logía de circuitos magnéticos de la siguiente forma:
~/ (1.6)
donde He es el valor romedio de H ~ el núcleo.
La dirección de He en el núcleo puede hallarse por medio de la regLade Lamano derecha,
la cual se establece de dos maneras equivalentes. 1) Imagine un conductor de corriente soste-
nido en la mano derecha con el pulgar indicando la dirección del flujo de corriente; los demás
dedos, por lo tanto, señalan la dirección del campo magnético creado por la corriente. 2) De
igual manera, si la bobina que aparece en la figura 1.1 se encuentra sujeta a la mano derecha
(hablando en sentido figurado) con los dedos señalando en dirección de la corriente, el pulgar
apuntará hacia los campos magnéticos.
La relación entre la intensidad del campo magnético H y la densidad del flujo magnético
B es una propiedad del material en donde se crea el campo. Es común suponer una relación
lineal; de esta forma:
B = JLH J (1.7)
~
donde JL se conoce como la permeabilidad magnética. En unidades SI, H se mide en unidades
_de am eres or metro, B se encuentra bers or m cua - también conocid;;
,Eomo tesLas lT) y JL en webers por ampere-vueLta-metro, ~e.,quivalente en henrySJ!.Q.l-
.!YI..f1ro. En unidades SI, la permeabilidad del espacio libre es = 4n x 10-7
he or metro.
La permeabilidad de los materiales magnéticos lineales puede expresarse en términos de JL"
con valor relativo a la permeabilidad del espacio libre, o = JLrlLo. Los valores comunes de
se encuentran entre 2 000 Y80 000 para los materiales utilizados en transformadores y máqui-
- ---
3 En términos generales, el descenso de la frnm a través de cualquier segmento de un circuito magnético se calcula
como !
Hdl sobre dicha porción del circuito magnético.

i
+ -
Longitud media
del núcleo le
-4-- Entrehierro,
permeabilidad 110'
áreaAg
Figura 1.2 Devanado.
Circuito magnético con con N vueltas
entrehierro. '-- ...Y
Permeabilidad del
núcleo magnético 11.
área A,
nas rotativas. Las características de los materiales ferromagnéticos se describen en la sección
1.3 y 1.4. Por ahora se asume que J,Lr es una constante conocida, aunque en realidad es variable
de acuerdo con la densidad del flujo magnético.
Los ,transformadores S! dev ennúcleos c~doslal como se muestra en la figura 1.1.
Sin embargo, s dis ositivos de conversión de ener í que incorporan un elemento en movi-
miento deben poseer entrehierros en sus circuitos magnéticos. En la figura 1.2 se muestra un
circuito magnético con entrehierro. Cuando la longitud del ~ntrehierro 8.es mucho menor que
las dimensiones de las caras adyacentes del núcleo, el flujo magnético tP seguirá la trayectoria
definida por el núcleo y el entrehierro, por lo tanto, es posible utilizar las técnicas de análisis
para circuitos magnéticos. Si la longitud del entrehierro llega a ser excesivamente grande, el
flujo se dispersará en los costados del entrehierro y las técnicas de análisis de circuitos magné-
ticos ya no serán estrictamente aplicables.
De esta manera, si la longitud del entrehierro g es suficientemente pequeña, la configura-
ción de la figura 1.2 puede analizarse como un circuito magnético con dos componentes en
serie: u núcleo magnético de permeabilida lb sección transversal de área Ae, longitud media
leYun entrehierro de permeabilidad }Lo, sección transversal de áreaAg, y longitud g, Es posible
asumir que en el núcleo la densidad de flujo es uniforme, por lo tanto,
(1.8)
y en el entrehierro,
(1.9)
donde tP = flujo en el circuito magnético.
L'iaplicación de la ecuación 1.5 para este circuito magnético establece:
(1.10)
Yal utilizar la relación lineal en que B-H aparece en la ecuación 1.7 resulta lo siguiente:
Be s,
F= -le + -g
J,L J,Lo
(1.11)

6 CAPiTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos
En este caso, la relación F = Ni es la frnrn aplicada al circuito magnético. En la ecuación
1.10 se observa que se requiere de una parte de la frnrn, F¿ = Hclc para producir un campo
magnético en el núcleo, mientras que el resto de la ecuación, Fg = Hgg produce un campo
magnético en el entrehierro.
)En la práctica, los materiales magnéticos (como se planteó en las secciones 1.3 y 1.4), B¿
y H¿ no se relacionan simplemente por medio de una constante de permeabilidad conocida J-L,
de la manera que se describió en la ecuación 1.7. De hecho, con frecuencia B¿ no es lineal, pero
sí una función polivalente de Hc. Así, aunque la ecuación 1.10 aún es válida, no guía directa-
mente a una expresión simple que relacione la fmm y las densidades de flujo, como lo que se
plantea en la ecuación 1.11. En su lugar, las especificaciones de relación no lineal Bi-H¿ debe-
rán usarse, ya sea de forma gráfica o analítica. Sin embargo, en numerosos casos, el concepto
de constante de permeabilidad del material proporciona resultados con una precisión técnica '
aceptable, por ello, este concepto se utiliza con regularidad.~
A partir de las ecuaciones 1.8 y 1.9, es posible reescribir la ecuación 1.11 en lo que se
refiere al termino del flui o total ¡P de la siguiente forma:
(1.12)
Los términos que multiplican al flujo en esta ecuación se conocen como reluctancia R~
del núcleo y del entrehierro, respectivamente, -
.. (1.13)
g
Rg=--
J-LoAg (1.14)
por lo tanto,
(1.15)
Por último, la ecuación 1.15 puede invertirse para calcular el flujo,
(1.16)
o
(1.17)
En general, para cualquier circuito magnético con reluctancia total Rtot, el flujo se calcula de la
siguiente manera:
F
4>=-
Rtot
(1.18)

Figura 1.3
Comparación entre un
circuito magnético y
uno eléctrico.
a) Circuito eléctrico.
b) Circuito magnético.
+
V
El término que multiplica a la frnm se conoce como la ermanencia P es lo inverso de la
reluctancia; por ejemplo, la permanencia total de un circuito magnético es:
1
Ptot= 'f")
''-tot
(1.19)
Observe que las ecuaciones 1.15 y 1.16 son análogas a la relación que hay entre la corrien-
te y el voltaje de un circuito eléctaco. Esta analogía se ilustra en la figura 1.3. El inciso a) de la
figura 1.3 presenta un circuito eléctrico donde un voltaje V maneja una corriente 1 a través de
las resistencias R¡ y R2• El inciso b) de la misma figura muestra una representación esquemáti-
ca y equivalente del circuito magnético que aparece en la figura 1.2. En este caso se observa
que la frnm:F (análoga al voltaje dentro del circuito eléctrico) maneja un flujo ti> (análogo a la
corriente del circuito eléctrico) a través de la combinación de la reluctancia del núcleo Re Y del
entrehierro Rg. Esta comparación en la solución de circuitos eléctricos y magnéticos se realiza
con frecuencia para encontrar soluciones simples para los flujos en circuitos magnéticos de
complejidad considerable.
La fracción de frnm que se requiere para manejar el flujo a través de cada porción del
circuito magnético, comúnmente denominada caída de fmm a través de dicha porción del cir-
cuito magnético, varía en proporción a su reluctancia (análogo directamente a la caída de
voltaje a través de un elemento resistivo de un circuito eléctrico). De la ecuación 1.13 se hace
notar que la alta permeabilidad de material puede resultar en una baja reluctancia del ~, la
cual es posib!Y'reducir más que la reluctancia del entrehierro; por ejemplo, para (J,iAe /le) »
(JLoAg /8), Re« RlPpor lo tanto . En este caso se puede ignorar la reluctancia del
ñUcÍeo y el flujo y por lo tanto Bpuede ser calculada de la ecuación 1.16 en términos de :Fy de
las propiedades particulares del entrehierro: ~
/' :F:F JLoAg . /LoAg
4J~ - = =N¡--
u; g g
'/ (1.20)
Como se analizará en la sección 1.3, los materiales magnéticos prácticos poseen permeabilidades
que no son constantes, sino que varían de acuerdo con el nivel de flujo. A partir de las ecuaciones

8
Figura 1.4
Campos marginales de
entrehierro.
CAPíTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos
Líneas de flujo
Campos
marginales
1-+-1-+---+- Entrehierro
lli~r++-t++++++H
1.13 a 1.16 se observa que mientras la permeabilidad permanezca suficientemente alta, su
variación no afectará de manera significativa el desempeño del circuito magnético.
En sistemas reales, las líneas del campo magnético bordean externamente al entrehierro,
tal como se ilustra en la figura 1.4. En caso de que el efecto marginal no sea excesivo, el
concepto de circuito magnético seguirá siendo aplicable. El efecto de dichos campos margina-
les es el incremento del área efectiva de la sección transversal Ag del entrehierro. Por lo tanto,
se han elaborado numerosos métodos empíricos que toman en consideración este efecto. En
los campos marginales que se encuentran en entrehierros pequeños se pueden hacer correccio-
nes agregando un espacio intermedio en cada una de las dos dimensiones que forman el área de
la sección transversal. En este libro no se toma en cuenta el efecto de los campos marginales.
Por lo tanto, sí se ignora el concepto Ag = Ac.
En términos generales, los circuitos magnéticos están compuestos de múltiples elementos
ubicados en serie y paralelo. Para completar la analogía entre los circuitos magnéticos y los
circuitos eléctricos, es posible generalizar la ecuación 1.5 de la siguiente manera:
(1.21 )
donde F es la frnm (ámpere-vueltas totales) que actúa para producir el flujo a través del lazo
cerrado del circuito magnético:
(1.22)
y Fk =Hklk es la caída defmm a través del elemento k-ésimo del lazo. Es posible establecer una
comparación directa con la ley de voltaje de Kirchoff para circuitos eléctricos que consiste en
fuentes de voltaje y resistencias:
(1.23)
donde Ves la fuente de voltaje que maneja a la corriente alrededor del lazo y Rkik es la caída de
voltaje a través del elemento k-ésimo resistivo de ese lazo.

De manera similar, la analogía con la ley de corriente de Kirchoff es la siguiente:
(1.24)
n
la cual establece que la suma de las corrientes en un nodo en un circuito eléctrico equivale a
cero y es:
(1.25)
n
esta ecuación expresa que la suma del flujo en un nodo de un circuito magnético es cero.
Hasta ahora se han descrito los principios básicos para la reducción del problema del
campo de imán cuasi estático con geometría simple en un modelo de circuito magnético. El
objetivo de esta sección es introducir algunos de los conceptos y la terminología que usan los
ingenieros al resolver problemas de diseño práctico. Es importante destacar que este tipo de
razonamiento depende tanto del juicio como de la intuición del ingeniero. Por ejemplo, se ha
asumido que la permeabilidad de las partes de hierro del circuito magnético es una cantidad
constante conocida, aunque esto no es una verdad en general (véase la sección 1.3), y que el
campo magnético se encuentra confinado únicamente al núcleo y sus entrehierros. Aun cuando
estos conceptos constituyen una suposición aceptable en numerosas circunstancias, también es
cierto que las corrientes en los devanados producen campos magnéticos fuera del núcleo. Más
adelante se planteará que cuando dos o más devanados se colocan en un circuito magnético,
como ocurre en el caso de transformadores t máquinas rotativas, a dichos campos fuera del
núcleo se les denomina campos de dispersión, los cuales no deben ignorarse ya que afectan de
manera importante el desempeño del dispositivo.
~~----------------~--------
El circuito magnético que aparece en la figura 1.2 posee las siguientes dimensiones: Ae = Ag = 9 crrr',
g = 0.050 cm, le = 30 cm y N = 500 vueltas. Suponga que el valor !-Lr= 70 000 para el material del núcleo.
a) Calcule las reluctancias Re YRg. Para la condición de que el circuito magnético se encuentre operando
con B{ = 1.0 T, encuentre: b) el flujo I/J y e) la corriente i.
• Solución
a) Las reluctancias pueden calcularse por medio de las ecuaciones 1.13 y 1.14:
Re = _I_e _ = 0.3 = 3.79 X 103
!-Lr!-LoAe 70000 (4Jl' X 10-7)(9 X 10-4)
g 5 X 10-4 A . vueltas
R = -- = . = 4.42 X 105
g !-LoAg (4Jl' X 10-7)(9 X 10-4) Wb
A· vueltas
Wb
b) A partir de la ecuación 1.4,
4> == BeAe = 1.0(9 X 10-4
) = 9 X 10-4
Wb
e) A partir de las ecuaciones 1.6 y 1.15,
i = !... = 4> (Re + Rg) = 9 x 10-
4
(4.46 X 10
5
) = 0.80 A
N N 500

10 CAPfTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos
~~----~--------------------------
Calcule el flujo q>y la corriente del ejemplo 1.1 si a) el número de vueltas se duplica a N = 1 000 vueltas
mientras que las dimensiones del circuito permanecen iguales y b) si el número de vueltas es igual a N =
500 Y el entrehierro se reduce a 0.040 cm.
Solución
a) q>= 9 x IO-4Wb e i = 0.40 A
b) q>= 9 X 10-4 Wb e i = 0.64 A
~~--------------------------------------
La estructura magnética de una máquina sincrónica se muestra esquemáticamente en la figura 1.5. Su-
ponga que el hierro del rotor y del estator presentan permeabilidad infinita (¡..t -+ 00), encuentre el flujo
del entrehierro q>y la densidad de flujo Bg. Para este ejemplo considere 1 = 10 A, N = 1 000 vueltas, g = 1
cm y Ag = 2 000 crrr' .
• Solución
Note que existen dos entrehierros en serie con longitud total de 2g, y que por simetría, la densidad de
flujo en cada uno es igual. Dado que en esta ocasión la permeabilidad del hierro se considera infinita, es
posible ignorar su reluctancia y utilizar la ecuación 1.20 (con g reemplazada por la longitud total del
entrehierro 2g) para calcular el flujo
cjJ= NIJLoAg = looo(1O)(4Jr x 1O-7)(0.2)=0.13Wb
<:!!:S 0.02
Figura 1.5
Máquina sincrónica
simple.
Líneas de flujo
magnético

1.2 Dispersión de flujo, inductancia y energía 11
y
I/J 0.13
Bg = - = - = 0.65 T
Ag 0.2
~----------------------------------
Para la estructura magnética de la figura 1.5 con las dimensiones citadas en el ejemplo 1.2, se observa que
la densidad de flujo en el entrehierro es de Bg = 0.9 T. Determine el flujo del entrehierro I/J y, para la
bobina de N = 500 vueltas, calcule la corriente requerida para producir este nivel de flujo de entrehierro.
Solución
4J= 0.18 Wb e i = 28.6 A.
1.2 DISPERSiÓN DE FLUJO, INDUCTANCIA y ENERGíA
De acuerdo con la ley de Faraday, cuando un campo magnético presenta variación con el
tiempo, se produce un campo eléctrico en el espacio.
1E.ds=-~ r B.da
le dL. dt I,
a ecuación 1.26 establece que la integral lineal de la ~ad del campo eléctrico E alrede-
dor de un contorno cerrado ees igual a la razón temporal del cambio de la dispersión de flujo
magnético (por ejemplo, el que pasa a través) de dicho contorno. En estructuras magnéticas
con devanados que poseen alta conductividad eléctrica, como el que se muestra en la figura
1.2, puede demostrarse que el campo E en el alambre es extremadamente imperceptible, por lo
tanto, puede igríorarse; como consecuencia, la sección izquierda de la ecuación 1.26 se reduce
adquiriendo el signo negativo del voltaje inducido e4
en las terminales del devanado. De mane-
ra adicional, el flujo en la secciÓn derecha de la ecuación 1.26 es dominado por el flujo del
núcleo 1/>. Ya que el devanado (y por consecuencia el contorno C) acopla el flujo del núcleo N
veces, la ecuación 1.26 se reduce a la siguiente expresión:
(1.26)
dtp dA
e=N- =-
dt dt
donde t.. es la dispersión de flujo del devanado y se define de la siguiente manera:
A = Ne¡; (1.28)
la dispersión de flujo se mide en webers (o el equivalente en webers-vueltas). El símbolo cp se
utiliza para indicar el valor instantáneo del flujo variante en el tiempo.
En términos generales, la dispersión de flujo de la bobina es igual a la integral de la super-
ficie del componente normal de la densidad de flujo magnético comprendido en cualquier
superficie que abarque dicha bobina. Note que la dirección del voltaje inducido e se define
(1.27)
4 El término fuerza electromotri: (fem) con frecuencia se utiliza en lugar de voltaje inducido para representar el
componente del voltaje que se debe a un acoplo inducido variante en el tiempo.

mediante la ecuación 1.26, por lo tanto, si las terminales de devanado sufrieran un corto circui-
to, una corriente pasaría' en dirección opuesta al cambio de la dispersión de flujo.
Para un circuito magnético compuesto por material magnético con una permeabilidad
magnética constante o que contenga un entrehierro dominante, la relación entre I/J e iserá lineal
y podremos definir la inductancia L como:
A
L=~
1
(1.29)
Sustituyendo las ecuaciones 1.5, 1.18 Y 1.28 en la ecuación 1.29, tenemos la siguiente expre-
sión:
(1.30)
En esta expresión se observa que la inductancia del devanado en un circuito magnético es
proporcional al cuadrado de las vueltas e inversamente proporcional a la reluctancia del circui-
to magnético que se asocia con el devanado.
Por ejemplo, de la ecuación 1.20, si se asume que la reluctancia del núcleo se puede
ignorar en comparación con el entrehierro, la inductancia del devanado que se muestra en la
figura l.2 es igual a:
N2
L = -,----7"
(g / f.LoAg)
(1.31)
La inductancia se mide en henrys (H) o vueltas-weber por ampere. La ecuación 1.31
muestra la forma dimensional para expresiones relacionadas con la inductancia; así, la
inductancia es proporcional al cuadrado del número de vueltas, a la permeabilidad magnética
y al área de la sección transversal, y es inversamente proporcional a la longitud de dicha área.
Es importante hacer notar que, en sentido estricto, el concepto de inductancia requiere una
relación lineal entre el flujo y la frnm. De esta manera, no es posible aplicarlo rigurosamente
en circunstancias donde las características no lineales de los materiales magnéticos dominen el
funcionamiento del sistema magnético, como se observó en las secciones 1.3 y lA. Sin embar-
go, en diversas situaciones de interés práctico, el entrehierro domina a la reluctancia del siste-
ma (que es, por supuesto, lineal) y los efectos no lineales del material magnético pueden no
tomarse en consideración. En otros casos pudiera ser aceptable suponer un valor promedio de
la permeabilidad magnética para el material del núcleo y deducir un promedio de inductancia
correspondiente que puede emplearse para realizar cálculos con una precisión técnica razona-
ble. El ejemplo 1.3 ilustra la situación que se planteó en el primer caso y el ejemplo lA mues-
tra los casos donde es posible suponer· un promedio de la permeabilidad magnética y de la
inductancia.
~~--------------------------~----------
El circuito magnético de la figura 1.6 consiste en un devanado con N número de vueltas sobre el núcleo
magnético de permeabilidad infinita con dos entrehierros paralelos con longitudes gl y g2 Ycon áreas Al
YA2, respectivamente.
Determine a) la inductancia del devanado y b) la densidad de flujo BI en el entrehierro 1 cuando el
devanado lleva una corriente i. Ignore los efectos marginales en el entrehierro.

Figura 1.6
a) Circuitomagnético y
b) circuitoequivalente
para el ejemplo 1.3.
i
-
+0--+--1...
+
Ni
N número
de vueltas
a) b)
• Solución
a) El circuito equivalente que se ilustra en la figura 1.6b muestra que la reluctancia total es igual a la
combinación paralela de ambas reluctancias del entrehierro. Por lo tanto,
donde
A partir de la ecuación 1.29,
b) Del circuito equivalente, se puede observar que:
Ni /-LoA INi
</11 =- =---
RI gl
y de esta forma
1mmID _
En el ejemplo 1.1, se asume que la permeabilidad relativa perteneciente al material del núcleo del circuito
magnético que se presenta en la figura 1.2 será de u;= 70 000 con una densidad de flujo de 1.0 T.
a) Para este valor de lAr' calcule la inductancia del devanado.
b) En un dispositivo práctico el núcleo se construye normalmente de acero eléctrico tal como M-5, el
cual se discute en la sección 1.3. Este material es altamente no lineal, y presenta una permeabilidad

relativa (definida para fines de este ejemplo como la razón B/H) que varía desde un valor aproxima-
do de J.Lr = 72 300, a una densidad de flujo de B = 1.0 T hasta un valor de J.Lr = 2 900 con una
densidad de flujo incrementada a 1.8 T. (i) Calcule la inductancia asumiendo que la permeabilidad
relativa del núcleo de acero es 72 300 igual a 2 900. (ii) Calcule la inductancia asumiendo que la
permeabilidad relativa es 2 900 .
• Solución
a) De las ecuaciones 1.13 y 1.14 Y con base en las dimensiones presentadas en el ejemplo 1.1,
le 0.3 3 A· vueltas
Re = -- = = 3.67 X 10
JLrJLoAe 72 300 (41r X 10-7)(9 X 10-4) Wb
mientras que Rg permanece sin cambios a partir del valor calculado en el ejemplo 1.1 de la siguiente
forma: Rg = 4.42 X 105
ampere vueltaJWb.
Por lo tanto, la reluctancia total del núcleo y el entrehierro es
5 A· vueltas
Rtot = Re + Rg = 4.46 X 10 Wb
y como consecuencia de la ecuación 1.30:
N2
5002
L = - = = 0.561 H
R,,,, 4.46 X lOS ~
3 Oll(1T
b) A partir de JLr = 2900, la reluctancia del núcleo con valor de 3.79 X 103
vueltas A1Wb se incrementa
hasta alcanzar un valor de
R
_ le _ 0.3 _ 4 A . vueltas
e---- -9.l5xlO
JLrJLoAe 2900 (41r X 10-7)(9 X 10-4) Wb
y como resultado, la reluctancia total con valor de 4.46 x lOS A-vueltas/Wb incrementa su valor
hasta 5.34 x 105
vueltas A/Wh. Por lo tanto, en la ecuación 1.30 la inductancia disminuye desde
0.561 H hasta
N2 5002
L = - = =0468H
R,ot 5.34 X 105 .
Este ejemplo ilustra el efecto de linealización debido a un entrehierro dominante en un circuito
magnético. A pesar de una reducción en la permeabilidad del hierro con un factor aproximado de 72 300/
2900 = 25, la inductancia disminuye sólo un factor de 0.468/0.561 = 0.83 ya que la reluctancia del
entrehierro es significativamente mayor que la existente en el núcleo. En diversas circunstancias es co-
mún considerar a la inductancia como una constante con un valor limitado, un valor constante de la
permeabilidad del núcleo (o en muchos casos se asume simplemente que J.Lr ~ (0). Los análisis realiza-
dos bajo esta suposición para el inductor, con frecuencia conducirán a resultados de aceptable precisión
técnica y evitarán la enorme complicación asociada con la construcción de modelos no lineales del mate-
rial del núcleo.
------------------
Repita los cálculos realizados para encontrar el valor de la inductancia del ejemplo 1.4 para una per-
meabilidad relativa J.Lr = 30 000.

Solución
L= 0.554
H
~~--------------------------------------
1! Mediante el empleo de MATLAB, * grafique la inductancia del circuito magnético que se planteó en el
ejemplo 1.1 y se ilustró en la figura 1.2 como una función de la permeabilidad del núcleo entre un rango
de 100 ~ J.t, ~ 100 000 .
• Solución
A continuación aparece el programa en MATLAB:
clc
clear
% Permeabilidad del espacio libre
muO = pi*4.e-7;
% Todas las dimensiones expresadas en metros
Ac = ge-4; Ag = ge-4; g = 5e-4; lc = 0.3;
N = 500;
% Reluctancia del entrehierro
Rg = g/ (muO*Ag) ;
para n = 1:101
mur(n) = 100 + (100000 - 100)* (n - 1)/100;
% Reluctancia del núcleo
Rc(n) = lc/(mur(n)*muO*Ac);
Rtot = Rg + Rc (n);
% Inductancia
L(n) = N~2/Rtot;
end
plot (mur,L)
x label ('permeabilidad relativa del núcleo')
y label ('inductancia [H) ')
La gráfica que resulta de los cálculos mostrados aparece en la figura 1.7. Observe que la figura confirma
claramente que para el circuito magnético citado en este ejemplo, la permeabilidad relativa no afecta a la
inductancia hasta que la permeabilidad relativa desciende a 1 000. Por lo tanto, mientras que la permeabi-
lidad relativa del núcleo sea mayor (en este caso mayor que 1 000), cualesquier características no lineales
en las' propiedades del material del núcleo tendrán poco efecto sobre las propiedades terminales del
inductor.
* MATLAB es una marea registrada de The MathWorks, Ine.

0.7 I I I I I I I I I
0.6 f- -
0.5 f- -
i'
'";; 0.4 -
T¡
e
~
u
0.3
::l -
"C
..5
Figura 1.7 0.2 -
Gráfica realizada
mediante MATLAB que
muestra la inductancia 0.1 r- -
frente a la permea-
bilidad relativa del
O
I I I I I I I I
caso citado en el O l 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ejemplo 1.5. Permeabilidad relativa del núcleo x 104
-------------------
Escriba un programa en MATLAB para graficar la inductancia del circuito magnético del ejemplo 1.1,
considere JLr = 70 000 como una función de la longitud del entrehierro, si la variación del mismo se
encuentra entre 0.01 cm y 0.10 cm.
La figura 1.8 muestra un circuito magnético con un entrehierro y dos devanados. En este
caso note que la frnm que actúa sobre el circuito magnético se calcula mediante el total de los
amperes vueltas que actúan sobre el circuito magnético (por ejemplo, el total de amperes vuel-
tas de ambos devanados) y que las direcciones de referencia para las corrientes han sido elegi-
das para producir un flujo de corriente en la misma dirección. Por lo tanto, la frnm total es
(1.32)
y a partir de la ecuación 1.20, la reluctancia del núcleo despreciada y suponiendo que Ac =Ag,
el flujo ifJ del núcleo es
A. (N' N' )lLoAc
'Y = 111+ 212--
g
(1.33)
En la ecuación 1.33, ifJ es elflujo del núcleo resultante producido por la frnm total de los dos
devanados. Entonces, el ifJ resultante es el factor que determina el punto de operación del ma-
terial del núcleo.

Figura 1.8
Circuito magnético con
dos devanados.
r+: ---, fr Entrehierro
______ - _1__ -
~ : : i2
+cr----;--+-L -1 1- ..1--1-+--'-0 +
g
Número Número
de vuel- de vuel
tas NI tas N2
Permeabilidad del
núcleo magnético zz,
longitud media del núcleo le.
área de la sección transversal Ae
Si la ecuación 1.33 se desglosa en términos relacionados con las corrientes individuales,
las dispersiones de flujo resultantes de la bobina 1 se expresan de la siguiente manera
(1.34)
y puede enunciarse del siguiente modo:
(1.35)
donde
(1.36)
es la autoinductancia de la bobina 1 y LIIi I es la dispersión del flujo de la bobina 1 debido a su
propia corriente il. La inductancia mutua entre las bobinas 1 y 2 es
(1.37)
y LI2i2 es la dispersión de flujo de la bobina 1 debido a la corriente i2 en la otra bobina. De
manera similar, la dispersión de flujo de la bobina 2 es
1 N A-. (J-LOAc) . 2 (J-LOAc) .
11.2 = 2'1' = N1N2 -g- 11 + N2 -g- 12 (1.38)
o
A,2 = L21il + L22i2.,
donde Lz I = LI2 es la inductancia mutua y
(1.39)
2 J-LoAc
L22 = N2 --
g
(1.40)
es la autoinductancia de la bobina 2.

Es importante observar que la resolución de la dispersión de flujo resultante dentro de los
componentes producidos por i¡ e i2 se basa en la superposición de los efectos individuales, por
lo tanto, presupone una relación lineal de flujo-fmm (característica de los materiales de per-
meabilidad constante).
La sustitución de la ecuación 1.29 en la ecuación 1.27 produce la expresión
d
e = -(Li)
dt
(1.41)
para un circuito magnético con devanado simple. Para un circuito magnético estático, la inductan-
cia se fija (suponiendo que las características no lineales del material no causan variación en la
inductancia), y esta ecuación se reduce a la expresión habitual de la teoría de circuitos
di
e=L-
dt (1.42)
Sin embargo, en los dispositivos de conversión energética electromecánica, es frecuente que
las inductancias presenten variación con respecto al tiempo, y por lo tanto, la ecuación 1.41
debe enunciarse de la siguiente forma
di dL
e=L-+i-
dt dt
(1.43)
Observe que en los casos donde existen devanados múltiples, la dispersión de flujo total
de cada devanado deberá emplear la ecuación 1.27 para calcular el voltaje en la terminal de
devanado.
La potencia en las terminales de un devanado en un circuito magnético es la magnitud del ín-
dice de energía que fluye dentro del circuito a través de ese devanado en particular. La potencia,
p, se determina a partir del producto del voltaje y la corriente, como se muestra a continuación
. .dA.
p=ze=z-
dt
(1.44)
y sus unidades son los watts (W) o los joules por segundo. De esta forma, el cambio en la energía
magnética acumulada dWen el circuito magnético dentro del intervalo de tiempo ti al tz es
1
t2 ¡A2
dW = p dt = i dA.
t, A,
En unidades SI, la energía magnética acumulada W se mide enjaules (J).
Para un sistema con devanado simple de inductancia constante, el cambio en la energía
magnética acumulada así como el nivel de flujo que se transforma de Al a ~ se puede expresar
como
(1.45)
¡
A2 ¡A2 A. 1
dW = i dA.= - dA.= -(A.~ -A.D
A, A, L 2L
La energía magnética total acumulada que considere cualquier valor dado de A se calcula
a partir de establecer que Al es igual a cero
(1.46)
W = _1_A.2 = ~i2
2L 2
(1.47)

1.3 Propiedades de los materiales magnéticos 19
~-------------------
Para el circuito magnético que se planteó en el ejemplo 1.1 (figura 1.2), encuentre a) la inductancia L,
b) la energía magnética acumulada W para Be = 1.0 T, Ye) el voltaje inducido e para el flujo del núcleo
con variación temporal de 60 Hz de la forma Be = 1.0 sen cotT, donde co= (2n)(60) = 377 .
• Solución
a) A partir de las ecuaciones 1.16 y 1.29, así como del ejemplo 1.1 se tiene lo siguiente:
A. N<jJ N2
L=-=-=-:::--=-
Rc+Rg
5002
4.46 x 105 = 0.56 H
Observe que la reluctancia del núcleo es mucho menor que la del entrehierro (Re « Rg). De
esta forma, para una correcta aproximación, la reluctancia del entrehierro domina a la inductancia,
por ejemplo,
N2
L ~ - =0.57H
Rg
b) En el ejemplo 1.1 encontramos que cuando Be = 1.0 T, i = 0.80 A. Así, a partir de la ecuación 1.47,
1.2 1 2
W = "2L1 = "2(0.56)(0.80) =0.18J
e) De la ecuación 1.27 y el ejemplo 1.1
dA. dtp dBc
e=-=N-=NAc-
dt dt dt
= 500 x (9 X 10-4
) x (377 x LOcos (377t))
= 170cos (377t) V
~~-------------------------------
Repita el ejemplo 1.6 para Be = 0.8 T, suponiendo que el flujo del núcleo presenta una variación de 50 Hz
en vez de 60 Hz.
Solución
a) La inductancia L permanece sin cambios.
b) W=0.1l5J
e) e = 113 cos (314t) V
1.3 PROPIEDADES DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS
Dentro del contexto de los dispositivos de conversión de energía, se consideran de suma im-
portancia a los materiales magnéticos. A través del uso de estos materiales es posible obtener
altas densidades de flujo magnético con relativamente bajos niveles de fuerzas magnetizantes.
Ya que las fuerzas magnéticas y la densidad de energía aumentan con el incremento de la
densidad de flujo, este efecto desempeña una parte importante en el funcionamiento de los
dispositivos de conversión de energía.

Asimismo, los materiales magnéticos pueden emplearse para forzar y dirigir los campos
magnéticos dentro de patrones bien definidos. Estos materiales se utilizan en un transformador
para maximizar el acoplamiento entre los devanados, así como para disminuir la corriente de
excitación requerida para operar el transformador. En la maquinaria eléctrica se aplican mate-
riales magnéticos para dar forma a los campos magnéticos con el fin de obtener la producción
deseada de par y las características de las terminales eléctricas. De esta manera, un diseñador
que posee dichos conocimientos puede emplear materiales magnéticos para lograr caracterís-
ticas específicas que son convenientes en los dispositivos.
Los materiales ferromagnéticos, generalmente compuestos por hierro y aleaciones de hie-
rro con cobalto, tungsteno, níquel, aluminio y otros metales, son por mucho los materiales mag-
néticos más comunes. Aunque estos materiales se caracterizan por un amplia variedad de propie-
dades, los fenómenos básicos responsables de sus propiedades son comunes en cada uno de ellos.
Los materiales ferro magnéticos están compuestos de una gran cantidad de dominios, por
ejemplo, las regiones en donde los momentos magnéticos de todos los átomos son paralelos,
dando lugar a un momento magnético neto para el dominio. En una muestra de material sin mag-
netizar, los momentos de dominio magnético se orientan al azar y el flujo magnético neto resul-
tante en el material es cero.
Cuando una fuerza magnetizante externa se aplica a este material, los momentos magnéticos
de los dominios tienden a alinearse con el campo magnético aplicado. Lo cual da como resultado
que los momentos magnéticos de los dominios se añadan al campo aplicado, produciendo un
valor mucho mayor que la densidad de flujo con respecto al que existiría debido únicamente a las
fuerzas magnéticas. Así, la permeabilidad efectiva JL, igual a la proporción del flujo magnético
total de la intensidad del campo magnético aplicado, es mayor en comparación con la permeabi-
lidad del espacio libre J.Lo. Al mismo tiempo que se incrementa la fuerza magnetizante, continúa
este comportamiento hasta que todos los momentos magnéticos se alinean con el campo aplicado;
en este punto, los materiales no pueden seguir contribuyendo al incremento de la densidad de flujo
magnético, entonces se dice que este material se encuentra completamente saturado.
En ausencia de la aplicación de una fuerza magnetizante externa, los momentos magnéti-
cos de los dominios se alinean de acuerdo con ciertas direcciones asociadas con la estructura
cristalina del dominio, denominadas ejes defácil magnetizacián. De esta forma, si se reduce la
fuerza magnetizante aplicada, los momentos magnéticos de los dominios se dirigen hacia las
regiones del fácil magnetismo cercano al campo aplicado. Como consecuencia, cuando se
reduce a cero el campo aplicado, aunque los momentos de dominio magnético tiendan a diri-
girse a su orientación inicial, los momentos de dipolo magnético ya no tendrán una orientación
al azar; estos momentos conservarán un componente de magnetización neta que corresponda
con la dirección del campo aplicado. Éste es el efecto responsable del fenómeno magnético
conocido como histéresis magnética.
Debido a este efecto de histéresis, la relación entre B y H para materiales ferro magnéticos
es un tanto no lineal y de valores múltiples. En términos generales, las características de los
materiales no pueden describirse de forma analítica. Estos materiales se presentan comúnmen-
te de forma gráfica como un conjunto de curvas determinadas empíricamente, que se basan en
muestras de evaluación del material al emplear los métodos establecidos por la American Society
for Testing Materials (ASTM).5
5 La información numérica de una amplia variedad de materiales magnéticos se encuentra disponible con los
fabricantes del material. No obstante, existe un problema debido al uso de diversos sistemas de unidades. Por ejemplo,
la magnetización puede expresarse en oersteds o en ampere-vuelta por metro y la densidad de flujo magnético en
gauss, kilogauss o teslas. En el apéndice E se proporcionan algunos factores de conversión útiles. Asimismo, se
recuerda al lector que las ecuaciones que aparecen en esta publicación se encuentran en unidades SI.

Figura 1.9
CurvasB-H de acero
eléctricode grano
orientadoM-5 con es-
pesorde 0.012. S610
se muestran las mita-
dessuperiores de las
curvas.(Armeo Ine.)
1.3 Propiedades de los materiales magnéticos 21
1.8
1.6
.•... -
V
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I
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1.4
1.2
"'E 1.0
~
cci 0.8
0.6
0.4
0.2
o
30 40 50 70 90 110 130 150 170
-10 O 10 20
H. A • vueltas/metro
La curva más empleada para describir un material magnético es la curva B-H o lazo de
histéresis. En el primero y el segundo cuadrante de la figura 1.9 (correspondientes a B ~ O) se
muestra un conjunto de curvas de histéresis para acero M-S, acero con grano que es orientado
eléctricamente y se utiliza para equipo eléctrico. Estas curvas presentan la relación que existe
entre la densidad de flujo magnético B y la fuerza de magnetización H. Cada curva se obtiene
mientras que hay una variación de forma CÍclica de la fuerza magnetizante aplicada entre los
valores positivos y negativos de magnitud fija. La histéresis ocasiona que estas curvas sean de
valores múltiples. Después de varios ciclos, las curvas B-H forman circuitos cerrados tal como
se muestra en la figura anterior. Las flechas muestran los patrones que sigue B con el incre-
mento y el decremento de H. Observe que con el aumento de la magnitud de H, las curvas se
nivelan al mismo tiempo que el material tiende hacia la saturación. A una densidad de flujo de
aproximadamente 1.7 T, este material se aprecia más saturado.
Es importante advertir que H disminuye de su valor máximo a cero; por su parte, la densi-
dad de flujo se reduce, pero no a cero. Éste es el resultado de la relajación de la orientación de
los momentos magnéticos de los dominios anteriormente descritos. Por lo tanto, permanece
una magnetizacián remanente cuando H es cero.
Por fortuna, para la mayoría de las aplicaciones técnicas, es suficiente describir el material
mediante una curva con valor simple que se obtiene por medio de graficar la ubicación georné-
trica de los valores máximos de B y H en los extremos de las curvas o lazos de histéresis; a esto
se le denomina curva de magnetizacián de cd o normal. En la figura 1.10 se muestra una curva
de magnetización de cd para acero con grano orientado eléctricamente M-S. Observe que en la
figura 1.10 la curva de magnetización de cd no considera la naturaleza de la histéresis del
material, y expone claramente sus características de no linealidad.

22
Figura 1.10
Curva de magnetiza-
ci6n de cd para acero
con grano orientado
eléctricamente M-5 y
espesor de 0.012
(Armeo Ine.)
CAPiTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
N 1.4
~
::$ 1.2
<Q 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
O
1
--¡,...--
~
¡....-
Vi-'
J
/
11
-~/
100 1000
H, A • vueltas/m
10000 100000
10
~~------------------------
Suponga que el material del núcleo citado en el ejemplo 1.1 es acero electrolítico M-S, que posee la cur-
va de magnetización de cd que aparece en la figura 1.10. Calcule la corriente i requerida para producir
Be = 1 T.
• Solución
El valor de He para Be = 1 T se lee a partir de la figura 1.10 de la siguiente forma
He = 11 A . vueltas/m
El descenso de la frnm para el patrón del núcleo es
El descenso de la frnm a través del entrehierro es
Bgg 5 X 10-4
:Fg = Hgg = -¡;; = 4rr x 10-7 = 396 A . vueltas
La corriente requerida es
i = :Fe + :Fg = 399 = 0.80 A
N 500

1.4 Excitación de corriente alterna 23
----------------------------------
Repita el ejemplo 1.7, pero en esta ocasión calcule la corriente i para Be = 1.6 T. ¿Por medio de qué factor
la corriente tiene que incrementarse para producir un incremento de 1.6 en la densidad de flujo?
Solución
Puede demostrarse que la corriente ies de 1.302 A. Por lo tanto, la corriente deberá incrementarse con un
factor de 1.302/0.8 = 1.63. Debido a! dominio de la reluctancia del entrehierro, la reluctancia es ligera-
mente mayor que el incremento fracciona! en la densidad de flujo a pesar del hecho de que el núcleo
comienza a saturarse de manera significativa a una densidad de flujo de 1.6 T.
1.4 EXCITACiÓN DE CORRIENTE ALTERNA
En los sistemas de energía de corriente alterna, las configuraciones de onda de voltaje y flujo
son muy aproximadas a las funciones sinusoidales del tiempo. En esta sección se explican las
características de la excitación y las pérdidas asociadas con la operación de corriente alterna en
estado estacionario o estable de los materiales magnéticos bajo ciertas condiciones de opera-
ción. Se utilizará como modelo un circuito magnético de núcleo cerrado, por ejemplo, sin
entrehierro, como el que se muestra en la figura 1.1, o el transformador que se ilustra en la
figura 2.4. La Ion itud de la trayectoria magnética se identifica como le' y Ac e.§el área de la
sección transversal que se encuentra a lo largo de la Ion itud del núcleo. En esta sección tam-
hén se asumirá una ~ación sinusoidal del flujo del núcleo q> (t); de esta forma
q> (t) = tPmáx sen on = Ae Bmáx sen on (1.48)
donde -tPmáx = amplitud del flujo del núcleo q> en webers
Bmáx = amplitud de la densidad de flujo Be en teslas
ro = frecuencia angular = 27t f
f = frecuencia en Hz
A partir de la ecuación 1.27 ,~voltaje inducido en la vuelta N del devanado es
e(t) = roNtPmáx cos (rot) = Emáx cos (rot) (1.49)
donde
(1.50)
En operaciones de corriente alterna del estado estacionario, generalmente se considera
con mayor interés el valor eficaz o valor cuadrático medio o los valores rms de voltajes y
corrientes que los valores máximos o instantáneos. En general, el valor rms de una función
periódica de tiempo.j'(r), o periodo Tse define como
(1.51)

24
Figura 1.11
Fenómenos de exci-
tación. a) Voltaje, flujo
y corrientes de excita-
ción; b) curvas de
histéresis corres-
pondientes.
a) b)
De acuerdo con la ecuación 1.51, es posible demostrar que el valor rms de una onda senoidal es
lJ.,[i veces su valor máximo. Por lo tanto, el valor rms del voltaje inducido es
(1.52)
Para producir un flujo magnético en el núcleo se necesita una corriente en el devanado de
excitación denominad~rriente de excitación, irp.6
Las propiedades magnéticas no lineales
del núcleo requieren que la configuración de la on a correspondiente a la corriente de excita-
ción difiera de la configuración de la onda sinusoidal del flujo. La curva de la corriente de
excitación como función del tiempo puede encontrarse por medios gráficos a partir de las
características magnéticas del material del núcleo, como se ilustra en la figura l.lla. Dado que
Be YHe se relacionan con ep e irpmediante constantes geométricas conocidas, la curva de his-
téresis de corriente alterna que se muestra en la figura l.llb se trazó en términos de ep = Be Ae
e irp= Hel/N. En la figura l.lla se muestran las ondas senoidales del voltaje inducido, e, y
flujo, ep, de acuerdo con las ecuaciones 1.48 y 1.49.
El valor de irp>
a cualquier tiempo dado, correspondiente al valor considerado del flujo, se
calcula directamente a partir de la curva de histéresis. Por ejemplo, a un tiempo t' el flujo será
qI y la corriente será i~; a un tiempo r'Tos valores correspondientes serán qI' e irp".Observe que
cuando la curva de histéresis tiene valores múltiples, es necesario elegir cuidadosamente los
valores del flujo ascendente (en la figura qI) de la porción de flujo ascendente de la curva de
histéresis; de manera similar, la porción descendente del flujo de la curva de histéresis deberá
seleccionarse para los valores del flujo descendente (en la figura qI').
Advierta que debido a que la curva de histéresis presenta un aplanamiento debido a los
efectos de la saturación, la configuración de la onda de la corriente de excitación forma un pico
6 De forma más generalizada, al considerar un sistema con devanado múltiple, la frnm de excitación es el total de
amperes vueltas que actúan para producir un flujo dentro de un circuito magnético.

-- 1. Excitación de corriente alterna 25
afinado. El valor rms de la corriente ¡<p, rms se define mediante la ecuación 1.51, donde T repre-
senta el periodo de un ciclo. Este valor se relaciona con el valor rms correspondiente He, rms de
He mediante la ecuación que se muestra a continuación
~
_ leHe,rms )
Icp,rms- -N-- (1.53)
Las características de excitación de comen~ que presentan los materiales del nú-
cleo se describen con frecuencia en términos de volts amperes rms en vez de una curva de
magnetización que relacione B y H. La teoría que sustenta esta representación puede explicar-
se al combinar las ecuaciones 1.52 y 1.53. Por lo tanto, a partir de las ecuaciones 1.52 y 1.53,
los volts amperes rms que se requieren para excitar el núcleo de la figura 1.1 considerando una
densidad de flujo específica es igual a
r: , leHrms
Erms1cp,rms = V Znf N AeBmáx--¡:¡-
= ..fin! BmáxHrms(Aele)
(1.54)
En la ecuación 1.54, se observa que el producto Aele es igual al volumen del núcleo y como
consecuencia, los volts amperes rms de excitación que se requieren para excitar el núcleo con
ondas de configuración sinusoidal pueden advertirse como proporcionales a la frecuencia de
excitación, al volumen del núcleo, y al producto del máximo valor de la densidad de flujo y al
valor rms de la intensidad del campo magnético. Para un material magnético con ~dad de
masa p..Q-lamasa del núcleo será AelePe Ylos volts amperes eficaces de excitación por unidad
de masa, Pa' se expresan de la siguiente manera
Erms1cp,rms ..fin!
P¿ = = --- Bmáx Hrms
masa Pe
(1.55)
Observe que en situaciones normales, los volts amperes de excitación rms pueden obser-
varse sólo como una propiedad del material. Asimismo, note que éstos dependen únicamente
de la Bmáx debido a que Hrms es una función particular de Bmáx, como se determinó por medio
de la configuración de la curva de histéresis del material que considera una frecuencia dada!
Como consecuencia, los fabricantes proporcionan con frecuencia los requisitos de excitación
de corriente alterna para materiales magnéticos en términos de volts amperes rms por unidad
de peso, los cuales se determinan mediante pruebas de laboratorio con modelos de núcleo
cerrado del material. Estos resultados se ilustran en la figura 1.12 para acero eléctrico M-5 de
grano orientado.
La corriente de excitación suministra la frnm requerida para producir el flujo del núcleo y
la potencia de entrada que se asocian con la energía dentro del campo magnético en el núcleo.
El resto se observa como potencia reactiva que se relaciona con el almacén energético del
campo magnético. Esta potencia reactiva no se disipa en el núcleo, sino que la fuente de exci-
tación la abastece y absorbe de manera cíclica.
Existen dos mecanismos de pérdida energética que se relacionan con los flujos de varia-
ción temporal en materiales magnéticos. El primer mecanismo es el calentamiento óhmico
12
R, el cual se asocia con las corrientes inducidas (parásitas) en el núcleo del material. A partir
de la ley de Faraday (ecuación 1.26) se observa que los campos magnéticos de variación tem-

26
Figura 1.12
Volts amperes rms de
excitación por kilo-
gramo a 60 Hz para
acero eléctrico M-5
con partícula orientada
y espesor de 0.012.
(Armeo. Ine.)
---
./ ~
/
I
V
V
/
v
f..--- ¡....-
CAPiTULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos
2.2
2.0
1.8
1.6
N
1.4
..§
1.2
.&J
~
i 1.0
Q::¡
0.8
0.6
0.4
0.2
O
0.001 0.01 10 100
0.1
PQ' rms VAlkg
poral producen un aumento en los campos eléctricos. En materiales magnéticos dichos campos
eléctricos resultan en corrientes inducidas, denominadas comúnmente corrientes eddy, las cuales
circulan dentro del material del núcleo y se oponen a los cambios en la densidad de flujo del
material. Para contrarrestar el correspondiente efecto desmagnetizante, la corriente en el deva-
nado de excitación deberá incrementarse. De esta forma, la curva resultante dinámica B-H
bajo operación de corriente alterna es de alguna manera más pronunciada que la curva de
histéresis para condiciones de variación lenta, además, este efecto aumenta al mismo tiempo
que se incrementa la frecuencia de excitación. Es por esta razón que las características de los
aceros eléctricos varían con frecuencia, por lo cual, los fabricantes generalmente suministran
este material con características que se encuentran dentro de la categoría de operación más
solicitada de cada tipo de acero en particular. Advierta, por ejemplo, que los volts amperes rms
de excitación que se ilustran en la figura 1.12 se especifican a una frecuencia de 60 Hz.
Para reducir los efectos de las corrientes de eddy, por lo general, las estructuras magnéti-
cas se fabrican con láminas delgadas de material magnético. Estas hojas, que se alinean en
correspondencia con las líneas del campo magnético, se aíslan una de la otra por medio de una
capa de óxido sobre sus superficies o mediante una fina capa de barniz o esmalte aislante. Este
proceso reduce en gran medida la magnitud de las corrientes de eddy, ya que las capas de
aislante interrumpen la trayectoria de la corriente; entre más delgadas sean las láminas, meno-
res serán las pérdidas energéticas. En general, la pérdida de corrientes de eddy tiende a incre-
mentarse al cuadrado de la frecuencia de excitación y también al cuadrado del pico de la
densidad de flujo.
El segundo mecanismo de pérdida se debe a la naturaleza de la histéresis de los materiales
magnéticos. En un circuito magnético como el que se ilustra en la figura 1.1 o el transformador
que se muestra en la figura 2.4, una excitación de variación temporal causará que el material
magnético sufra una alteración cíclica que se describe mediante una curva de histéresis como
la que se muestra en la figura 1.13.

Figura 1.13
Curva de histéresis; las
pérdidas por histéresis
son proporcionales al
área de la curva (área
sombreada).
B
H
La ecuación 1.45 se utiliza para calcular la energía de entrada Wal núcleo magnético que
se presenta en la figura 1.1 mientras que el material pasa por un ciclo único.
(1.56)
Reconociendo que Aele es el volumen del núcleo y que la integral es el área de la curva de
histéresis de corriente alterna, se observa que cada vez que el material magnético cumple un
ciclo, existe una entrada de energía neta al material. Esta energía se requiere para trasladar los
dipolos magnéticos en el material y se disipa en forma de calor en el mismo. De esta manera,
para un nivel de flujo específico, las pérdidas por histéresis correspondientes son proporciona-
les al área de la curva de histéresis y al volumen total del material. Al considerar que existe
pérdida de energía por ciclo, la pérdida de potencia por histéresis es proporcional a la frecuen-
cia de la excitación que se aplica.
En términos generales, estas pérdidas dependen de las propiedades metalúrgicas del mate-
rial así como de la densidad de flujo y de la frecuencia. De forma habitual, la información de
las características de las pérdidas del núcleo se presentan de manera gráfica. Se grafica en
watts por unidad de peso como función de la densidad de flujo; usualmente se produce una
familia de curvas para diferentes frecuencias. La figura 1.14 muestra las pérdidas del núcleo P;
para acero eléctrico M-5 de grano orientado a 60 Hz.
Casi todos los transformadores y determinadas secciones de las máquinas eléctricas utili-
zan material de hojas de acero, ya que éstas presentan condiciones favorables de magnetización,
lo cual permite que sea menor la pérdida del núcleo y que la permeabilidad alcance altos
niveles. Este material se denomina acero de grano orientado. La propiedad de este material
subyace en la estructura atómica de un cristal formado por la aleación de hierro y silicio, la
cual es un cubo centrado en el cuerpo; cada cubo posee un átomo en cada ángulo así como uno
en el centro del cubo. Dentro del cubo, el eje de más fácil magnetización por la arista es el
borde; un eje transversal que atraviese una cara del mismo, al igual que un eje diagonal presen-
tarán más problemas de magnetización. A través de técnicas de fabricación adecuadas, la ma-

28
Figura 1.14
Pérdidas en el núcleo
a 60 Hz en watts por
kilogramo para acero
eléctrico M-S de grano
orientado de 0.012 de
espesor (Armco Ine.)
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
N
E
:o 1.2
~
~
1.0
<:el
0.8
/
/
/
V
V
V
¡...
~
0.6
0.4
0.2
O
0.0001 0.001 0.01 0.1
r; W/kg
O
yoría de los bordes cristalinos del cubo se alinean a favor de la dirección del laminado para
facilitar la dirección de magnetización. El comportamiento en esta dirección presenta menores
pérdidas en el núcleo, así como mayor permeabilidad en comparación con los aceros sin orien-
tación de partícula en donde los cristales se orientan al azar para producir un material con
características uniformes en todas direcciones. Como consecuencia, los aceros eléctricos orien-
tados pueden operarse a más altas densidades de flujo que los aceros sin partícula orientada.
Los aceros eléctricos de grano no orientado se emplean en aplicaciones en las que el flujo
no sigue una trayectoria que puede orientarse de acuerdo con la dirección del laminado, en la
que un costo bajo se considera un factor importante. En este tipo de acero las pérdidas son un
poco mayores y la permeabilidad es mucho menor que en los aceros de grano orientado.
~~---------------------------------------
El núcleo magnético que se presenta en la figura 1.15 se elaboró a partir de láminas de acero eléctrico
M-5 con grano orientado. El devanado alcanza excitación a un voltaje de 60 Hz para producir una densi-
dad de flujo en el acero de B = 1.5 sen de (¡) t T, donde to = 2n 60", 377 rad/seg. El acero ocupa 0.94 del
área de la sección transversal del núcleo. La densidad de la masa del acero es de 7.65g1cm3
. Calcule a) el
voltaje aplicado, b) la corriente máxima, e) la corriente de excitación rrns y el) las pérdidas en el núcleo .
• Solución
a) A partir de la ecuación 1.27 el voltaje es
drp dB
e = N- =NAc-
dt dt
= 200 x 4 in2 x 0.94 x
(
_I_.0-"m_.2-:;-2)
x 1.5 x (377 cos(377t»
39.42 In
= 274cos(377t)V

Figura 1.15
Núcleode acero lami-
nado con devanado
para consideración en
el ejemplo 1.8.
1-' ---8 in---' 1
e
10
in
2in
+0---+--_
2in
b) La intensidad del campo magnético que corresponde a Bmáx = 1.5 T se obtiene de la figura 1.10
Hmáx = 36A vueltas/m. Advierta que, como se esperaba, la permeabilidad relativa J.tr= Bmáx/(J.tolImáx)
= 33 000 a un nivel de flujo de 1.5 T es menor que el valor de mr= 72 300 calculado en el ejemplo
1.4 y que corresponde a un nivel de flujo de 1.0 T, aún significativamente mayor que el valor de
2900 que corresponde a un nivel de flujo de 1.8 T.
(
1.0m)
le = (6 + 6 + 8 + 8) in -_.- = 0.71 m
39.4 10
La corriente máxima es
_ Hmáxle _ 36(0.71) _ O 3
1---- - .1 A
N 200
e) La corriente rms se obtiene a partir del valor de P¿ de la figura 1.12 para Bmáx = 1.5 T.
r,= 1.5 VA/kg
El volumen y peso del núcleo son
Ve = (4 in2
)(0.94)(28 in) = 105.5 irr'
(
2.54cm)3 (7.65 )
w, = (105.5 irr') --o - ---g3 = 13.2 kg
1.010 1.0 cm
El total de voltamperes y de la corriente es
Pa = (1.5 VA/kg)(l3.2 kg) = 20 VA
r. 20
1<p.rTf15 = ErTf15 275(0.707) = 0.10 A

tI) La densidad de pérdidas en el núcleo se obtiene de la figura 1.14 como Pe= 1.2 Wlkg. Por consi-
guiente, la pérdida total en el núcleo se representa así
P¿ = (1.2 Wlkg)(13.2 kg) = 16 W
~~---------------------------------
Repita el ejemplo 1.8 para un voltaje de 60 Hz con B = 1.0 sen OJ 1T.
Solución
a) V = 185 cos 3771 V
b) I=O.04A
e) Irp=0.061A
tI) Pe=6.7W
1.5 IMANES PERMANENTES
La figura 1.16a muestra el segundo cuadrante de la curva de histéresis para Alnico S, material
característico de imán permanente, mientras que la figura 1.16b muestra el segundo cuadrante
de la curva de histéresis para acero M-S? Advierta que las curvas son similares en naturaleza.
Sin embargo, la curva de histéresis de Alnico S se caracteriza por un alto valor de la densidad
deflujo residual o magnetización remanente, B; (aproximadamente 1.22 T) así como un valor
alto de coercitividad, He (aproximadamente -49kA/m).
La magnetización permanente, Br, corresponde con la densidad de flujo que permanecería
dentro de una estructura magnética cerrada, como la de la figura 1.1, al construirse a partir de
este tipo de material, si la frnrn aplicada, y por consecuencia la intensidad del campo magnéti-
co H, se reducen a cero. Sin embargo, a pesar de que el acero eléctrico M-S con grano orienta-
do presenta también un valor alto de magnetización remanente (aproximadamente de 1.4 T),
presenta un valor bajo de coercitividad (aproximadamente de -6 Alm, menor por un factor
mayor de 7 SOO).La coercitividad He corresponde con el valor de la intensidad del campo
magnético (el cual es proporcional a la frnrn) que se requiere para reducir la densidad de flujo
del material a cero.
La importancia de la magnetización remanente reside en que es capaz de producir flujo
magnético dentro de un circuito magnético en ausencia de excitación externa (como el caso de
las corrientes de devanado). Éste es un fenómeno usual para toda persona que haya colocado
imanes en la puerta de su refrigerador, y también se aplica de manera amplia en dispositivos
tales como altavoces y motores de imán permanente.
Al observar la figura 1.16, pareciera que tanto el Alnico S como el acero eléctrico M-S son
útiles para producir un flujo dentro de circuitos magnéticos sin excitación, ya que ambos po-
seen valores altos de magnetización remanente. Sin embargo, esta apreciación no es real, lo
cual se demostrará con el ejemplo que se presenta a continuación.
7 Para obtener un valor alto de magnetización remanente, las curvas de histéresis que se ilustran en la figura 1.16
se obtendrían si los materiales se estimularan con una fmm suficiente para asegurar que se saturaran completamente.
Lo anterior se presenta con más detalle en la sección 1.6.

1.5 Imanes permanentes
Punto del
producto
máximo
de energía
Producto energético, kJ/m3
-- _ _ Línea de carga para
- - _ el ejemplo 1.9
. ------------
H,kA/m -50
a)
-40 -30 -20 -10
B,T
1.5
H,Nm -10 -5
b)
1.0
, 3.8 X 10-5
,
,
, Línea de carga para
" el ejemplo 1.9
,
,
,
rL
Pendiente = "
-628 x 10-6 ,
. ,
Wb/A· m ,
,
,
,
0.5
31
B,T
1.0
0.5
O
B,T
4 X 10-5
2 X 10-5
O H,Nm -6 O
e)
Figura 1.16
a) Segundo cuadrante de la curva de histéresis para Alnico 5; b) segundo cuadrante de la curva de
histéresis para acero eléctrico M-5; e) curva de histéresis para acero eléctrico M-5 aumentado por
debajo del valor de B. (Armeo Ine.)

~-------------------
Figura 1.17
Circuito magnético
elaborado para el
ejemplo 1.9.
Como se ilustra en la figura 1.17, un circuito magnético consiste en un núcleo de alta permeabilidad
(1-" ~ 00), un entrehierro con longitud de g = 0.2 cm, y una sección de material magnético con longitud
lm = 1.0 cm. El área de la sección transversal del núcleo y del entrehierro es igual a Am = Ag = 4 cm",
Calcule la densidad de flujo Bg en el entrehierro si el material magnético es a) Alnico 5 y b) acero
eléctrico M-5 .
• Solución
a) Al considerar la permeabilidad del núcleo como infinita, es posible ignorar H en el núcleo. Reco-
nozca que la frnrn que actúa sobre el circuito magnético de la figura 1.17 es cero, y lo puede expresar
de la siguiente manera
o
donde Hg YHm son intensidades del campo magnético en el entrehierro y en el material magnético,
respectivamente.
Dado que el flujo deberá ser continuo a través del circuito magnético, tenemos la siguiente
expresión
o
donde Bg Y Bm representan las densidades de flujo magnético en el entrehierro y en el material
magnético, respectivamente.
Estas ecuaciones pueden resolverse para dar lugar a una ecuación lineal para B¿ en términos
deHm
( Ag) (lm) -6
B; = -1-"0 Am g H; = -51-"0 Hm = -6.28 x 10 H¿
Área
Am Material
T "="",,,-,d..-- magnético
1m Permeabilidad ..•.
'--- Tg
1. del entrehierro, ,...-- -
#0' ÁreaAg
./

1.5 Imanes permanentes 33
Al resolver la ecuación para Bm es posible reconocer que en el caso de Alnico 5, Bm Y Hm
también se relacionan mediante la curva de la figura l.16a. De esta manera, esta relación lineal,
también denominada línea de carga, se grafica en la figura 1.16a y la solución puede obtenerse por
medios gráficos, la cual da como resultado la siguiente expresión
b) Para obtener la solución para el acero eléctrico M-5 se procede de la misma forrna que en el inciso
anterior. La linea de carga también es la misma que la del inciso a) debido a que se determina
únicamente por medio de la permeabilidad del entrehierro y por las formas geométricas del imán y
del entrehierro. Por lo tanto, a partir de la figura l. l6c surge la siguiente expresión
Bg = 3.8 X 10-5
T = 0.38 gauss
esta ecuación da como resultado un valor mucho menor que el obtenido para el Alnico 5.
El ejemplo 1.9 muestra que existe una enorme diferencia entre los materiales de imán
permanente (con frecuencia denominados materiales magnéticos duros) como el Alnico 5 y
los materiales magnéticos suaves como el acero eléctrico M-S. Esta diferencia se basa princi-
palmente en la inmensa diferencia de sus coercitividades He- La coercitividad se ilustra como
una medida de la magnitud de fmm requerida para desmagnetizar el material. Como se obser-
vó en el ejemplo 1.9, también es una medida de la capacidad del material para producir un flujo
dentro de un circuito magnético que incluya al entrehierro. De esta manera, se observa que los
materiales que constituyen buenos imanes permanentes se caracterizan por amplios valore de
coercitividad He (considerablemente un valor mayor de 1 kA/m).
Una medida útil de la capacidad de los materiales de imán permanente se denomina pro-
ducto energético máximo. Esta medida corresponde al mayor B-H producto (B-H)máx' la cual
atañe a un punto en el segundo cuadrante de la curva de histéresis. Como se advierte en la
ecuación 1.56, el producto de B y H presenta las dimensiones de la densidad de la energía
(joules por metro cúbico). A continuación se demuestra que una operación realizada con un
material de imán permanente específico en este caso resultaría en un volumen menor del ma-
terial que se requiere para producir una densidad de flujo dada en un entrehierro. Como conse-
cuencia, elegir el material con el mayor valor disponible del producto energético máximo
podría resultar en el menor volumen de imán requerido.
En el ejemplo 1.9, encontramos una expresión para la densidad de flujo en el entrehierro
del circuito magnético de la figura 1.17:
(1.57)
También se puede notar que la razón de la frnm disminuye a lo largo del imán y el entrehierro
se iguala a -1:
(1.58)

34 CAPITULO 1 Circuitos magnéticos y materiales magnéticos
La ecuación 1.58 se resuelve para Hg, y el resultado se multiplica por J.Io con el fin de
obtener Bg = J.IoHg• Al multiplicar por la ecuación 1.57 se obtiene la siguiente expresión
(1.59)
o
(1.60)
donde el término Volmag es el volumen del imán, Volentrehierro
es el volumen del entrehierro, y el
signo menos surge debido a que el punto de operación del circuito magnético H en el imán
(Hm) es negativo.
La ecuación 1.60 proporciona el resultado óptimo. Esta ecuación indica que para lograr
una densidad de flujo favorable en el entrehierro, el volumen requerido del imán puede dismi-
nuirse en su operación hasta el punto máximo posible B-H del producto HmBm, es decir, el
punto máximo del producto energético. Además, entre mayor sea el valor de este producto,
menor será la dimensión del imán requerido para producir la densidad de flujo esperada. Por lo
tanto, el producto energético máximo es una unidad útil para medir el funcionamiento de un
material magnético, que con frecuencia se ubica en la hoja de datos como unafigura de mérito
o cifra para materiales de imán permanente.
Advierta que la ecuación 1.59 indica que es posible alcanzar un valor alto, arbitrario de la
densidad de flujo del entrehierro, simplemente al reducir el volumen del entrehierro. Este
hecho es falso en la práctica debido a que en la medida que aumenta la densidad de flujo dentro
del circuito magnético, se alcanzará un punto en el cual el material del núcleo magnético
comenzará a saturarse y la suposición de permeabilidad infinita no podrá seguir considerándo-
se válida, invalidando la ecuación 1.59.
Asimismo, note también que la curva del producto constante B-H es una hipérbola. Un
conjunto de dichas hipérbolas que representan diferentes valores del producto B-H se grafica
en Ía figura 1.16a. A partir de estas curvas, se observa que el producto energético máximo para
Alnico 5 es 40 kl/rrr' y que esto ocurre a un punto B = 1.0 T YH = -40 k:Nm.
~L- _
El circuito magnético que se ilustra en la figura 1.17 se modifica en tal forma que el área del entrehierro
se reduce a Ag = 2.0 cm2
, como se muestra en la figura 1.18. Calcule el volumen mínimo del imán que se
requiere para lograr una densidad de flujo del entrehierro de 0.8 T.
• Solución
El volumen mínimo del imán se alcanzará por medio de la operación del imán a un punto máximo de
producto energético máximo, como se observa en la figura 1.16a. A este punto de operación, Bm = 1.0 T
YHm = -40 kA/m.

1.6 Aplicación de materiales para imanes permanentes 35
.1.
g = 0.2 cm
T
Área
Am
T ¡""""'...,.-,d,..-A1nico
5
i:
1
Permeabilidad !lo,
del entre hierro,
área Ag = 2 cm2
Figura 1.18
Circuito magnético
Por lo tanto, a partir de la ecuación 1.57
Am = Ag (!:)
2 (0.8) 2
= 2cm - = 1.6 cm
1.0
y de la ecuación 1.58 se obtiene la siguiente expresión
i; = _g ( H
g
) = _g (~)
n; J.toHm
(
0.8 )
= -0.2 cm
(47T x 10-7)(-40 x 1(3)
= 3.18 cm
De esta forma, el volumen mínimo para el imán es igual a 1.6 cm2
x 3.18 cm = 5.09 crrr',
~~------------------------------
Repita el ejemplo 1.10 y asuma que el área del entrehierro se redujo a Ag = 1.8 cm2
y que la densidad de
flujo del entrehierro que se espera es de 0.6 T.
Solución
Volumen mínimo para el imán = 2.58 crrr'.
1.6 APLICACiÓN DE MATERIALES PARA
IMANES PERMANENTES
Los ejemplos 1.9 y 1.10 consideran la operación de los materiales de imán permanente bajo la
suposición de que el punto de operación se puede determinar simplemente conociendo la geo-
metría del circuito magnético así como las propiedades de los diferentes materiales implicados

36
Figura 1.19
Curvas de magneti-
zación para materiales
tradicionales de imán
permanente.
I
f---
Neodimio-hierro-boro
f-- ........... Alnico 5
-- Samario-cobalto
/
f---
- - - - Alnico 8
/"/
- - - Cerámico 7
f---
-:
-: .:/
./
V
V:
-: -: :/
-: /'
(-
1:
-: ./ V I
./
,/
/"
·
/" -: I ·
, ¡,.'
/' -: L--~' ~
/' ./ ,.v,
·
./
V
/ /' , ·
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
B,T
-1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100
H,kNm
O
en el mismo. De hecho, la situación es más compleja.P Esta sección basa su objetivo en ampliar
dichos conocimientos.
La figura 1.19 muestra las características de magnetización para algunos materiales de
imán permanente. Alnico 5 es una aleación ampliamente utilizada, elaborada de acero, níquel,
aluminio y cobalto; fue descubierta en 1931. Esta aleación presenta una densidad de flujo
residual relativamente alta, mientras que Alnico 8 posee una densidad de flujo residual baja y
una coercitividad más alta en comparación con el Alnico 5. Por lo tanto, Alnico 8 se encuentra
menos sujeto a la desmagnetización que el Alnico 5. Sin embargo, estas aleaciones presentan
algunas desventajas como son su baja coercitividad y su fragilidad mecánica.
Los materiales cerámicos de imán permanente (también denominados imán deferrita) se
elaboran a partir de óxido de hierro y material pulverizado de carbonato de estroncio o bario,
presentan menor densidad de flujo residual en comparación con los materiales de Alnico, pero
poseen mayor coercitividad. Como consecuencia son menos vulnerables a la desmagnetización.
En la figura 1.19 se muestra la característica de magnetización casi como una línea recta de
uno de estos materiales, llamado Cerámico 7. Los imanes cerámicos poseen buenas propieda-
des mecánicas y su fabricación es económica; como consecuencia, su utilización en numero-
sas aplicaciones de imán permanente es amplia.
8 Para un mayor esclarecimiento de los materiales de imán permanente y sus aplicaciones, véase P. Campbell,
Permanent Magnet Materials and their Application, Cambridge University Press, 1994; R.J. Parker, Advances in
Permanent Magnetism, John Wiley & Sons, 1990;A. Bosak, Permanent-Magnet De Linear Motors, Clarendon Press-
Oxford, 1996;G.R. Slemon y A. Straughen, Electric Machines, Addison-Wesley, 1980,secciones 1.20-1.25;y T.J.E.
Miller, Brushless Permanent-Magnet and Reluctance Motor Drives, Clarendon Press-Oxford, 1989,capítulo 3.

T
i:
Figura1.20 ~
Circuito magnético que
incluye tanto un imán
permanente como un
devanado de
excitación.
/'
"
Núcleo,,u -+ 00
i
---
Material
e
) Nnú
de imán e
) de vu
permanente e ----<l
-,
mero
eltas
El imán permanente de samario-cobalto representa un importante avance de la tecnología
encargada de la elaboración de este tipo de material, la cual empezó en la década de los sesenta
con el descubrimiento de nuevos materiales de imán permanente de tierras raras. En la figura
1.19 podemos observar que dichos materiales presentan una alta densidad de flujo residual
parecida a la que muestran los materiales de Alnico, mientras que al mismo tiempo poseen una
coercitividad mucho mayor y un producto energético máximo. El material de imán permanen-
te de tierra rara más nuevo es el neodimio-hierro-boro. Este material presenta una densidad de
flujo residual y una coercitividad aún mayor, así como un producto energético máximo en
comparación con el imán permanente de samario-cobalto.
Observe el circuito magnético de la figura 1.20, éste incluye una sección de material mag-
nético duro en un núcleo de material magnético suave y altamente permeable, así como un
devanado de excitación de N número de vueltas. Con relación a la figura 1.21, se asume que de
manera inicial el material magnético duro no presenta magnetización (correspondiente al pun-
to a de la figura), además es necesario considerar lo que ocurre cuando se aplica corriente al
devanado de excitación. Dado que se asume que el núcleo posee una permeabilidad infinita, el
B,T
Figura 1.21
Porción de una curva
característica B-H, que
muestra un lazo
secundario y una línea
de desmagnetización.
(d) 1
/1
/ 1
/ 1
I 1
(e) I 1
1
1
1
1
=--:':=~------::::::::=-J(b)
o Hmáx H, kA/m
imáx i,A

eje horizontal que se muestra en la figura 1.21 se considera tanto una medida de la corriente
aplicada i = Hl,jN como una medida de H en el material magnético.
Al incrementarse la corriente i a su máximo valor, la trayectoria B-H aumenta del punto
a de la figura 1.21 hacia su valor máximo referido como el punto b. Para lograr una magne-
tización del material, se considera la suposición de que la corriente se incrementó a un valor
imáx suficientemente grande como para que el material sea llevado a un punto de saturación
b. Entonces, cuando la corriente disminuye a cero, la linea característica B-H comenzará
a formar una curva de histéresis, llegando al punto e a un nivel de corriente cero. En el punto
e observe que el material H presenta un valor de cero, pero B se encuentra en su valor rema-
nente B;
Al tiempo que la corriente adquiere un valor negativo, la línea característica B-H continúa
trazando una curva de histéresis. En la figura 1.21 se observa esta línea como una trayectoria
entre los puntos e y d. Si la corriente se mantiene a un valor de _¡<.tI),el punto de operación del
imán será el que se indica en el punto d. Advierta que, de igual modo que en el ejemplo 1.9,
este mismo punto de operación se alcanzará si el material comienza a operar en el punto e, con
la excitación sostenida a cero y un entrehierro de longitud g = 1m(AglAm)(-J.1olf-tI)/B(tI)) inserta-
do en el núcleo.
Si la corriente se hiciera más negativa, la trayectoria continuaría trazando la curva de
histéresis hacia el punto e. Sin embargo, si en vez de esto la corriente regresara a cero, la
trayectoria no trazaría de forma general la curva de histéresis hacia el punto e; en su lugar
comenzaría a trazar un ciclo de histéresis menor, alcanzando el punto f cuando la corriente
llegara a cero. Si la corriente varía entre cero y _i(tI), la linea característica B-H trazará un lazo
secundario tal como se muestra en la figura.
Como se puede observar en la figura 1.21, la trayectoria B-H entre los puntos d y fse
representa con una línea recta, denominada línea de desmagnetitacián. A la inclinación de esta
linea se le conoce como permeabilidad de desmagnetizacián J-tR. Es posible percibir que una
vez que este material se ha desmagnetizado hasta el punto d, la magnetización remanente
efectiva del material magnético es la que se indica en el punto f, la cual es menor que la
magnetización remanente B, que se esperaría se basara sobre la curva de histéresis. Observe
que la desmagnetización se incrementará más allá del punto d; por ejemplo, hasta el punto e de
la figura 1.21 se presentaría un nuevo lazo secundario, con una nueva linea y permeabilidad de
desmagnetización.
Los recién planteados efectos de desmagnetización de la excitación negativa son equiva-
lentes a aquellos producidos en un entrehierro de un circuito magnético. Por ejemplo, es claro
que el circuito magnético que se muestra en la figura 1.20 podría emplearse como un sistema
para magnetizar materiales magnéticos duros. El proceso sencillamente requeriría que una
excitación amplia se aplicara al devanado y luego esta excitación se redujera a cero, dejando el
material con una magnetización remanente de B,(punto e indicado en la figura 1.21).
Al aplicar este proceso de magnetización, si el material se eliminara del núcleo, sería
equivalente a abrir un entrehierro extenso en el circuito magnético, y el material se desmag-
netizaría de manera similar al caso planteado en el ejemplo 1.9. En este punto el imán se ha
debilitado, ya que si se insertara de nuevo en el núcleo magnético, seguiría una linea de desmag-
netización y volvería a presentar una magnetización remanente algo menor que B; Como con-
secuencia, los materiales magnéticos duros, como los materiales de Alnico de la figura 1.19,
normalmente no operan de forma estable en circunstancias donde varían la frnm y la geome-
tría; además, es frecuente el riesgo de que una manipulación inadecuada logre desmagnetizarlos
significativamente. Los materiales como el Cerámico 7, el samario-cobalto y el neodimio-

hierro-boro muestran una ventaja significativa debido a que presentan una línea característica
recta en el segundo cuadrante (con pendiente aproximada a /Lo), sus líneas de desmagnetización
corresponden a su magnetización propia. Como consecuencia, en estos materiales se reducen
de forma significativa los efectos de desmagnetización y normalmente es posible ignorarlos.
Los materiales magnéticos duros pueden estabilizarse para operar sobre una región espe-
cífica a expensas de una reducción en su valor de magnetización remanente. Este procedimien-
to, basado en la trayectoria de desmagnetización que se muestra en la figura 1.21, se ejemplifica
de mejor manera mediante un ejemplo.
mmDII'--- _
Figura 1.22
Circuito magnético
En la figura 1.22 se expone un circuito magnético que contiene material magnético duro, un núcleo y un
émbolo de alta permeabilidad (se asume como infinita), también hay un devanado de monoespira o de
una vuelta, que se empleará para magnetizar material magnético duro. El devanado se eliminará después
de que se haya magnetizado el sistema. El émbolo se mueve en dirección x como se indica en la figura,
con el resultado de que el área del entrehierro puede variar (2 cm2
~ Ag ~ 4 cnr'). Se toma en cuenta la
suposición de que el material magnético duro es Alnico 5 y que el sistema inicialmente se magnetiza con
Ag = 2 cm, a) calcule la longitud del imán 1mde manera tal que el sistema opere en una línea de rebote que
corte con el punto de producto máximo de B-H en la curva de magnetización para Alnico 5, b) deduzca un
procedimiento para magnetizar el imán y e) calcule la densidad de flujo Bg en el entrehierro mientras el
émbolo se mueve de adelante hacia atrás y el entrehierro varía entre estos límites .
• Solución
a) La figura 1.23a muestra una curva de magnetización para Alnico 5 a dos líneas de carga que corres-
ponden a los dos extremos del entrehierro, Ag = 2 cm2
y Ag = 4 cm2
• Se observa que el sistema
operará con la línea de rebote deseada si la línea de carga para Ag = 2 cm2
corta con la línea caracte-
rística B-H en el punto máximo de producto energético (indicado como el punto a en la figura 1.23a,
Bf:)= 1.0 T YHf:) = -40 kNm.
Área de material
magnético duro
Am = 2cm2
Núcleo ¡,t ~ 00
Entrehierro, g = 0.2 cm
2 cm2:5Ag:54cm2
J) .i g/2
Émbolo
móvil
Bobina --+-
magnetizante
de 100 vueltas

Línea de carga,
Ag=4cm2
Línea de carga,
Ag = 2 cm2
1.08
1.0
0.5
Hm,kNm -50 -40 -30
a)
-20 -10 O
La magnetización
termina en este Bm
por
(a)
I
I
I
I
I
La línea de carga
se mueve a la
izquierda al
disminuir i
I
I
I
I
I
I
Material inicialmente
no magnetizado
b)
Figura 1.23
a) Curva de magnetización para Alnico 5 graficada para el ejemplo 1.11: b) serie de líneas de carga
para Ag = 2 cm2
y valores variables de i que muestran el procedimiento de magnetización del ejemplo
1.11.

A partir de las ecuaciones 1.57 y 1.58, observamos que la pendiente de la línea de carga reque-
rida está dada por
y de esta forma
(
A ) ( B(a) )
l - ~ m
m - g Ag -¡'¿oH~a)
(2) ( 1.0 )
= 0.2 cm - = 3.98 cm
2 4JTx 10-7 X 4 X 104
b) La figura 1.23b muestra una serie de líneas de carga para el sistema con Ag = 2 cm2
y con corriente
iaplicada al devanado de excitación. La ecuación general para estas líneas de carga pueden derivar-
se de la ecuación 1.5
Ni = Hmlm + Hgg
Yde las ecuaciones 1.3 y 1.7 tenemos la siguiente expresión
De esta manera
De esta ecuación y de la figura 1.23b se observa que para llevar el material magnético a la saturación
en punto Bmáx - Hmáx, la corriente en el devanado magnetizante deberá incrementarse al valor imáx
donde
imáx =
Bmáx +2.50 X 10-5
Hmáx A
6.28 X 10-2
En este caso, no se presenta una curva completa de histéresis para Alnico 5, por lo tanto, se ten-
drá que calcular Bmáx Y Hmáx' Al extrapolar !inealmente la curva B-H con H = O de coercitivi-
dad cuatro veces, se obtiene lo siguiente: Hmáx = 4 x 50 = 200 kA/m, lo cual da como resultado una
Bmáx = 2.1 T. Este valor indudablemente es extremo y de alguna manera sobreestimará la corriente
requerida. Sin embargo, al emplear Bmáx = 2.1 T Yuna Hmáx = 200 kA/m se produce una imáx =45.2 A.
De esta forma, con el área del entrehierro fija a 2 cm2
, la corriente en aumento a 45.2 A Yluego
al reducirla a cero, se alcanzará la desmagnetización deseada.
e) Debido a que no se posee información específica acerca de la pendiente de la línea de rebote, se
deberá suponer que dicha pendiente es la misma que la que presenta la línea B-H característica al
llegar al punto H = O,B = B; De la figura 1.23a, con la línea de rebote trazada con esta pendiente, se
observa que mientras el área del entrehierro varía entre 2 y 4 cm2
, la densidad de flujo del imán Bm
también presenta una variación entre 1.00 y 1.08 T. Dado que la densidad de flujo del entrehierro
iguala Am lAg veces su valor, la densidad de flujo del entrehierro será igual a (2/2)1.00 = 1.0 T

cuando Ag = 2.0 cm2
y (2/4)1.08 = 0.54 T cuando Ag = 4.0 cm2
. Observe en la figura 1.23a que al
operar con estas variaciones del entrehierro, el imán presenta una densidad de flujo residual de 1.17
T en lugar de presentar el valor inicial de 1.24 T. Advierta que mientras la variación del entrehierro
se encuentre entre los límites citados en este ejemplo, el sistema continuará operando en la denomi-
nada línea de rebote que se muestra en la figura 1.23a y podrá considerarse estabilizado al imán.
Como se planteó en este capítulo, los materiales magnéticos duros como el Alnico 5 pue-
den estar sujetos a desmagnetización, los materiales de imán permanente como el Alnico 5
pueden estar sujetos a desmagnetización y su punto de operación deberá variar ampliamente.
Como se demostró en el ejemplo 1.11, estos materiales pueden estabilizarse y presentar alguna
pérdida de magnetización efectiva remanente. Sin embargo, este procedimiento no garantiza
estabilidad absoluta de operación. Por ejemplo, si el material citado en el ejemplo 1.11 presen-
tara un área de entrehierro menor a los 2 cm2
o se sometiera a una corriente de desmagnetización
excesiva, se eliminaría el efecto de estabilización y el material operaría en una nueva línea de
rebote con magnetización reducida.
No obstante, numerosos materiales como el samario-cobalto, el Cerámico 7 y el neodimio-
hierro-boro (véase la figura 1.19), los cuales presentan amplios valores de coercitividad, po-
seen valores muy bajos de permeabilidad de rebote, y la línea de desmagnetización es tangente
a la línea característica B-H para una porción grande de la zona de operación útil. Por ejemplo,
este hecho puede observarse en la figura 1.19, la cual ilustra la curva de magnetización de
corriente directa para el neodimio-hierro-boro, en la que se observa que este material presenta
una magnetización remanente de 1.25 T Y una coercitividad de -940 kA/m. La sección de la
curva que se encuentra entre estos puntos es una línea recta, con una pendiente igual a 1.06 /-Lo,
la cual es la misma pendiente que se observa en la línea de rebote. Mientras que estos materia-
les se operen sobre esta sección de permeabilidad incremental baja, no requerirán estabiliza-
ción, siempre que no sean desmagnetizados excesivamente.
Para estos materiales, es conveniente suponer que su curva de magnetización de corriente
directa es lineal dentro de su categoría de operación útil y que presenta una pendiente igual a la
permeabilidad equivalente J.LR. Al considerar esta suposición, la curva de desmagnetización de
corriente directa para estos materiales se expresan en la siguiente ecuación
(1.61 )
En este caso, H~es la coercitividad aparente asociada con esta ecuación lineal. Como se apre-
cia en la figura 1.19, la coercitividad aparente en general es de alguna manera mayor en mag-
nitud (por ejemplo, un valor negativo mayor) que el material de coercitividad He debido a que
la magnetización de corriente directa característica tiende hacia abajo para valores menores de
la densidad de flujo.
1.7 RESUMEN
Los dispositivos electromecánicos que emplean campos magnéticos, con frecuencia utilizan
materiales ferromagnéticos para guiar y concentrar estos campos. Debido a que la permeabili-
dad magnética de los materiales ferromagnéticos puede ser alta (hasta diez mil veces el espa-
cio que lo rodea), la mayor parte del flujo magnético se limita a patrones bien definidos deter-
minados mediante la geometría del material magnético. Además, a menudo las frecuencias de

1.8 Problemas 43
interés son suficientemente bajas para permitir considerar cuasiestáticos a los campos magné-
ticos, y como consecuencia poder determinarlos simplemente a partir de un conocimiento de la
fmm neta que actúa sobre la estructura magnética.
Por lo tanto, la solución para los campos magnéticos en estas estructuras se obtiene en una
forma regular por medio de las técnicas de análisis de circuitos magnéticos. Estas técnicas
pueden emplearse para reducir una solución de campo magnético tridimensional a lo que es en
esencia un problema unidimensional. Como en todas las soluciones técnicas, se requiere de
cierta cantidad de experiencia y juicio, no obstante, la técnica proporciona valiosos resultados
en numerosas circunstancias de interés práctico.
Los materiales ferromagnéticos están disponibles con una gran variedad de característi-
cas. En términos generales, su comportamiento no es lineal y su curva característica B-H se
representa como las formas que se ubican dentro de la familia de las curvas de histéresis (B-H).
Las pérdidas, tanto por histéresis como por corrientes parásitas (eddy), son funciones del nivel
de flujo y de la frecuencia de operación, así como de la composición del material y del proceso
de fabricación que se utilizó. Una comprensión básica de la naturaleza de estos fenómenos es
muy útil en la aplicación de estos materiales en los dispositivos. De manera típica, las propie-
dades importantes están disponibles en la forma de curvas que son proporcionadas por los
fabricantes del material.
Ciertos materiales magnéticos, conocidos normalmente como materiales de imán perma-
nente, se caracterizan por amplios valores de magnetización remanente y de coercitividad.
Estos materiales producen un importante flujo magnético, aun en los circuitos magnéticos con
entrehierros. Con un diseño apropiado, es posible lograr que operen de manera estable en
situaciones donde se expongan a una amplia variedad de fuerzas de desestabilización y de
fuerzas magnetomotrices. Los imanes permanentes se aplican en numerosos dispositivos pe-
queños, que incluyen altavoces, motores de corriente alterna y directa, micrófonos y medidores
eléctricos analógicos.
1.8 PROBLEMAS
Figura 1.24
Circuito eléctrico para
el problema 1.1.
1.1 En la figura 1.24 se ilustra un circuito magnético con entrehierro simple. Las dimensio-
nes del núcleo son:
Área de la sección transversal Ae = 1.8 X 10-3
m2
Longitud del núcleo principal le = 0.6 m
Longitud del entrehierro g = 2.3 X 10-3
m
N = 83 vueltas
N número
de vueltas
Núcleo:
Longitud media le.
área.Ae'
permeabilidad ¡,t

44
Figura 1.25
Circuito magnético
esquematizado para el
problema 1.6.
Suponga que el núcleo presenta permeabilidad infinita ()1. --7 (0) e ignore los efectos de
dispersión magnética en el entrehierro y de acoplamiento de flujo. a) Calcule la reluctancia
del núcleo Re Ydel entrehierro Rg. Si se considera una corriente de i = 1.5 A, determine
b) el flujo total é, e) los acoplamientos de flujo de la bobina íl, y el) la inductancia de la
bobina L.
1.2 Repita el problema 1.1 y considere una permeabilidad finita para el núcleo de IL =
2500 J-Lo.
1.3 Considere el circuito magnético que se ilustra en la figura 1.24 y tome en cuenta las
dimensiones que se presentan en el problema 1.1. Suponga una permeabilidad infinita
para el núcleo y calcule a) el número de vueltas que se requieren para lograr una
inductancia de 12 mH Yb) la corriente del inductor para obtener una densidad de flujo en
el núcleo de 1.0 T.
1.4 Reelabore el problema 1.3 y considere una permeabilidad del núcleo de IL = 1 3~OJ-Lo.
1.5 El circuito magnético que se presenta en el problema 1.1 posee un material no lineal en
el núcleo cuya permeabilidad es una función de Bm Yse encuentra dada por
( 3499)
IL = lLo 1+ VI + O.047(Bm)7.8
donde Bm es la densidad de flujo del material.
a) Mediante el empleo de MATLAB, grafique una curva de magnetización de corrien-
te directa para este tipo de material (Bm vs. Hm) en una categoría de O $; Bm $; 2.2 T.
b) Determine la corriente que se requiere para alcanzar una densidad de flujo de 2.2 T
en el núcleo.
e) De nuevo, mediante el uso de MATLAB, grafique los acoplamientos de flujo de la
bobina como una función de la corriente y considere que la corriente varía de O al
valor que se determinó en el inciso b).
1.6 El circuito magnético que se muestra en la figura 1.25 consiste en un núcleo y un émbolo
móvil con un espesor lp, cada uno con una permeabilidad }1. El núcleo posee un área de
sección transversal Ae Ylongitud media le' El área de superposición de los dos entrehierros
Ag es una función de la posición del émbolo x y puede considerarse que tendrá una
variación expresada a continuación
Núcleo:
Longitud media le•
...!.-. área Ae'
N número
de vueltas

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