Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace. Explica la definición de la transformada de Laplace y la transformada inversa, y proporciona ejemplos de su cálculo. También establece teoremas sobre la linealidad y condiciones de existencia de la transformada, y lista transformadas comunes de funciones como exponenciales, seno y coseno. El objetivo es proporcionar una visión general de la transformada de Laplace y sus aplicaciones básicas en el análisis de funciones.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ ANTONIO JOSE DE SUCRE ”
VICE - RECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
La Transformada de Laplace
Unidad 1 (clase 1)
Prof. Jenny Gatica
Lic. Jenny Gatica Transformada de Laplace 1 / 11

2. Contenido de la Clase
1 La Transfomada de Laplace
Definición
Ejemplo1
Ejemplo2
Condiciones suficientes para la existencia de L{.}
Transformadas de algunas funciones básicas
Ejemplo
Teorema de linealidad de L{.}
Ejemplo
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3. Contenido de la Clase
1 La Transfomada de Laplace
Definición
Ejemplo1
Ejemplo2
Condiciones suficientes para la existencia de L{.}
Transformadas de algunas funciones básicas
Ejemplo
Teorema de linealidad de L{.}
Ejemplo
2 Transformada Inversa
Definición
Transformada inversa de algunas funciones básicas
Ejemplo
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4. La Transfomada de Laplace Definición
Definición
Sea f(t) una función definida para todo t > 0. La Transformada de
Laplace de f(t) se define mediante la integral
Z ∞
0
e−st
f(t) dt , (1)
siempre que la integral converja.
En ese caso escribimos
L{f(t)}(s) =
Z ∞
0
e−st
f(t) dt = F(s)
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5. La Transfomada de Laplace Definición
Ejemplo 1:
L{1} =
Z ∞
0
e−st
1 dt
= lı́m
u→∞
Z u
0
e−st
dt
= lı́m
u→∞
e−st
−s






u
0
= lı́m
u→∞
he−su
−s
−
e0
−s
i
=
1
s
, s > 0 ,
∴ L{1} =
1
s
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6. La Transfomada de Laplace Definición
Ejemplo 2:
L{cos kt} =
Z ∞
0
e−st
cos kt dt = lı́m
u→∞
Z u
0
e−st
cos kt dt
= lı́m
u→∞
e−st
s2 + k2
(−s cos kt + k sen kt)






u
0
= lı́m
u→∞
h e−su
s2 + k2
(−s cos ku + k sen ku) −
−s
s2 + k2
i
=
s
s2 + k2
, s > 0
∴ L{cos kt} =
s
s2 + k2
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7. La Transfomada de Laplace Condiciones suficientes para la existencia de L{.}
Teorema(Condiciones suficientes para la existencia de L{.})
Si f es una función continua por tramos en [0, ∞) y de orden
exponencial c entonces L{f(t)} existe para s > c.
Se dice que f es de orden exponencial c si existen constante c,
M > 0 y T > 0 tales que |f(t)| ≤ Mect para toda t > T.
f es continua por tramos en un intervalo si f es continua o
presenta una cantidad finita de discotninuidades de salto en el
intervalo
PROPUESTO
Qué significa que las caracterı́sticas orden exponencial y
seccionalmente continua, sean condiciones suficientes para la
existencia de L{.}?. Ejemplifique.
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8. La Transfomada de Laplace Transformadas de algunas funciones básicas
Teorema(Transformadas de algunas funciones básicas)
L{1} =
1
s
L{tn} =
n
sn+1
, n = 1, 2, · · ·
L{eat } =
1
s − a
L{sen kt} =
k
s2 + k2
L{cos kt} =
s
s2 + k2
L{senh kt} =
k
s2 − k2
L{cosh kt} =
s
s2 − k2
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9. La Transfomada de Laplace Teorema de linealidad de L{.}
Teorema de linealidad de L{.}
La Transformada de Laplace es un operador Lineal
L{f1(t) + kf2(t)} = L{f1(t)} + kL{f2(t)} ,
donde k es una constante y f1(t) y f2(t) son funciones con
transformada de Laplace.
Ejemplo:
L{5 − 3t + 4 sen 2t − 6e4t
} = L{5} − L{3t} + L{4 sen 2t} − L{6e4t
}
= 5L{1} − 3L{t} + 4L{sen 2t} − 6L{e4t
}
=
5
s
− 3
1
s2
+ 4
2
s2 + 4
− 6
1
s − 4
.
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10. Transformada Inversa Definición
Definición
Sea F(s) la transfomada de Laplace de una función f(t):
F(s) = L{f(t)}(s), diremos que la función f(t) es la transformada
inversa de F(s) y escribimos L−1{F(s)} = f(t)
Observación
La Transformada Inversa de Laplace es un operador Lineal.
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11. Transformada Inversa Transformada inversa de algunas funciones básicas
Teorema(Transformada inversa de algunas funciones básicas )
L−1{
1
s
} = 1
L−1{
n
sn+1
} = tn , n = 1, 2, · · ·
L−1{
1
s − a
} = eat
L−1{
k
s2 + k2
} = sen kt
L−1{
s
s2 + k2
} = cos kt
L−1{
k
s2 − k2
} = senh kt
L−1{
s
s2 − k2
} = cosh kt
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12. Transformada Inversa Transformada inversa de algunas funciones básicas
Ejemplo
L−1
n
10s
s2−25
+ s
s2+s−20
o
= 10L−1
n
s
s2−25
o
+ L−1
n
s
(s+5)(s−4)
o
= 10 cosh 5t + L−1
n 5
9
s+5 +
4
9
s−4
o
= 10 cosh 5t + 5
9 e−5t + 4
9 e4t
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