números complejos matemática IV

2. INTRODUCCIÓN
LOS NÚMEROS COMPLEJOS CONFORMAN UN GRUPO DE CIFRAS RESULTANTES
DE LA SUMA ENTRE UN NÚMERO REAL Y UNO DE TIPO IMAGINARIO. UN NÚMERO
REAL, DE ACUERDO A LA DEFINICIÓN, ES AQUEL QUE PUEDE SER EXPRESADO
POR UN NÚMERO ENTERO (4, 15, 2686) O DECIMAL (1,25; 38,1236; 29854,152). EN
CAMBIO, UN NÚMERO IMAGINARIO ES AQUÉL CUYO CUADRADO ES NEGATIVO. EL
CONCEPTO DE NÚMERO IMAGINARIO FUE DESARROLLADO POR LEONHARD
EULER EN 1777, CUANDO LE OTORGÓ A V-1 EL NOMBRE DE I (DE “IMAGINARIO”).

3. NÚMEROS COMPLEJOS
SON UNA EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Y FORMAN UN CUERPO
ALGEBRAICAMENTE CERRADO.1 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
SE DESIGNA CON LA NOTACIÓN “C”, SIENDO “R” EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
REALES (“R” ESTÁ ESTRICTAMENTE CONTENIDO EN “C”)

4. NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NÚMEROS COMPLEJOS INCLUYEN TODAS LAS RAÍCES DE LOS POLINOMIOS,
A DIFERENCIA DE LOS REALES. TODO NÚMERO COMPLEJO PUEDE
REPRESENTARSE COMO LA SUMA DE UN NÚMERO REAL Y UN NÚMERO
IMAGINARIO (QUE ES UN MÚLTIPLO REAL DE LA UNIDAD IMAGINARIA, QUE SE
INDICA CON LA LETRA I), O EN FORMA POLAR.

5. OPERACIONES
ELEMENTALES
SUMA
PARA SUMAR DOS NÚMEROS
COMPLEJOS , SE SUMA LA PARTE
REAL A LA PARTE REAL Y LA PARTE
IMAGINARIA A LA PARTE IMAGINARIA.
RESTA
PARA RESTAR DOS NÚMEROS
COMPLEJOS, SE RESTA LA PARTE
REAL DE LA PARTE REAL Y LA PARTE
IMAGINARIA DE LA PARTE IMAGINARIA.
(2 + 7 i ) + (3 – 4 i ) = (2 + 3) + (7 + (–4)) i
= 5 + 3 i
(9 + 5 i ) – (4 + 7 i ) = (9 – 4) + (5 – 7) i
= 5 – 2 i

6. OPERACIONES
ELEMENTALES
MULTIPLICACIÓN
PARA MULTIPLICAR DOS NÚMEROS
COMPLEJOS, SE APLICA PROPIEDAD
DISTRIBUTIVA Y SE COMBINA LOS
TÉRMINOS SEMEJANTES .
DIVISIÓN
PARA DIVIDIR DOS NÚMEROS COMPLEJOS, SE
MULTIPLICA EL NUMERADOR Y EL
DENOMINADOR POR LA CONJUGADA
COMPLEJO, SE DESARROLLA Y SE SIMPLIFICA.
LUEGO, SE ESCRIBE LA RESPUESTA FINAL EN LA
FORMA ESTÁNDAR.(3 + 2 i )(5 + 6 i ) = 15 + 18 i + 10 i + 12 i 2
= 15 + 28 i – 12
= 3 + 28 i

7. REPRESENTACIÓN DE
NUMERO COMPLEJOS
AHORA QUE SABEMOS TRABAJAR CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y LAS
OPERACIONES BÁSICAS DE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN, VAMOS A
INTRODUCIRNOS EN LA REPRESENTACIÓN DE DICHOS NÚMEROS EN EL PLANO
COMPLEJO. PARA LOS NÚMEROS REALES, DIBUJÁBAMOS UNA RECTA Y LOS
ÍBAMOS COLOCANDO ORDENADAMENTE, ES DECIR:

8. PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UN NÚMERO COMPLEJO, DEBEMOS DIBUJARLOS EN
EL PLANO COMPLEJO. ÉSTE ESTÁ FORMADO POR UN EJE REAL Y UN EJE IMAGINARIO.
SOBRE EL EJE REAL REPRESENTAREMOS LA PARTE REAL DEL NÚMERO COMPLEJO,
MIENTRAS QUE EN EL EJE IMAGINARIO REPRESENTAREMOS LA PARTE IMAGINARIA.
DICHOS EJES LOS DIBUJAREMOS PERPENDICULARES Y SECANTES EN EL CERO, QUE
TIENE PARTE REAL E IMAGINARIA NULA.
REPRESENTACIÓN DE
NUMERO COMPLEJOS

9. FORMA CANÓNICA O BINOMIAL
LA FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO ES LA EXPRESIÓN A+BI, A SE
LLAMA LA PARTE REAL Y B LA PARTE IMAGINARIA. SI LA PARTE IMAGINARIA ES
NULA, ENTONCES EL NÚMERO ES REAL. POR TANTO, LOS NÚMEROS REALES
ESTÁN CONTENIDOS EN LOS NÚMEROS COMPLEJOS. SE LLAMAN NÚMEROS
IMAGINARIOS PUROS A LOS QUE TIENEN PARTE REAL IGUAL A CERO.

10. DEFINICIÓN DE INVERSO
CADA NÚMERO COMPLEJO TIENE SU INVERSO ADITIVO -Z TAL QUE Z+(-Z) = 0 Y
CADA NÚMERO COMPLEJO, DISTINTO DE CERO, TIENE SU INVERSO
MULTIPLICATIVO Z-1, TAL QUE Z·Z-1 = 1.

11. MÓDULO DE UN NÚMERO
COMPLEJO
EL VALOR ABSOLUTO, MÓDULO O MAGNITUD DE UN NÚMERO COMPLEJO Z VIENE
DADO POR LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:
SI EL COMPLEJO ESTÁ ESCRITO EN FORMA
EXPONENCIAL Z = R EIΦ, ENTONCES |Z| = R.
SE PUEDE EXPRESAR EN FORMA
TRIGONOMÉTRICA COMO Z = R (COSΦ +
SENΦ), DONDE COSΦ + SENΦ = EIΦ ES LA
CONOCIDA FÓRMULA DE EULER.

12. CONJUGADA DE UN NÚMERO
COMPLEJO
DOS NÚMEROS COMPLEJOS SON CONJUGADOS SI TIENEN EL MISMO MÓDULO Y
OPUESTOS SUS ARGUMENTOS.

13. DESIGUALDAD TRIANGULAR
ESTE RESULTADO HA SIDO GENERALIZADO A OTROS CONTEXTOS MÁS
SOFISTICADOS COMO ESPACIOS VECTORIALES. DEFINIDO MATEMÁTICAMENTE,
CUALQUIER TRIÁNGULO CUMPLE LA SIGUIENTE PROPIEDAD:

14. FORMA POLAR DE UN
NÚMERO COMPLEJO
LA FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO ES OTRA FORMA DE
REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO. LA FORMA Z = A + BI ES LLAMADA LA
FORMA COORDENADA RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO.
EL EJE HORIZONTAL ES EL EJE REAL Y EL
EJE VERTICAL ES EL EJE IMAGINARIO.
ENCONTRAMOS LOS COMPONENTES
REALES Y COMPLEJOS EN TÉRMINOS DE
R Y Θ DONDE R ES LA LONGITUD DEL
VECTOR Y Θ ES EL ÁNGULO HECHO CON
EL EJE REAL.

15. TEOREMA DE MOIVRE
LA FÓRMULA DE DE MOIVRE, NOMBRADA ASÍ POR ABRAHAM DE MOIVRE AFIRMA
QUE PARA CUALQUIER NÚMERO COMPLEJO (Y EN PARTICULAR, PARA CUALQUIER
NÚMERO REAL) X Y PARA CUALQUIER ENTERO N SE VERIFICA QUE:
(COS X + i SIN X)N = COS(NX) + i SIN(NX)
ESTA FÓRMULA ES IMPORTANTE PORQUE CONECTA A LOS NÚMEROS COMPLEJOS
(“i” SIGNIFICA UNIDAD IMAGINARIA) CON LA TRIGONOMETRÍA. LA EXPRESIÓN "COS
X + I SEN X" A VECES SE ABREVIA COMO CIS X.

16. RAÍCES DE UN NÚMERO
COMPLEJO
SEAN N UN NÚMERO NATURAL Y Z UN COMPLEJO, SIENDO |Z| Y Θ EL MÓDULO Y
EL ARGUMENTO DE Z, RESPECTIVAMENTE. LAS RAÍCES N-ÉSIMAS DE Z (O
RAÍCES DE ORDEN N) SON:

17. RAÍCES DE UN NÚMERO
COMPLEJO
OBSERVAMOS QUE HAY N RAÍCES Y, SI LAS ELEVAMOS A N, TENEMOS Z:

18. RAÍCES DE UN NÚMERO
COMPLEJO
PARA PASAR A LA FORMA BINÓMICA, APLICAMOS LA FÓRMULA DE EULER:

19. CONCLUSIÓN
LOS NÚMEROS COMPLEJOS SON LA HERRAMIENTA DE TRABAJO DEL ÁLGEBRA,
ANÁLISIS, ASÍ COMO DE RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS COMO
VARIABLE COMPLEJA, ECUACIONES DIFERENCIALES, FACILITA EL CÁLCULO DE
INTEGRALES, EN AERODINÁMICA, HIDRODINÁMICA Y ELECTROMAGNETISMO ENTRE
OTRAS DE GRAN IMPORTANCIA. ADEMÁS, LOS NÚMEROS COMPLEJOS SE UTILIZAN
POR DOQUIER EN MATEMÁTICAS, EN MUCHOS CAMPOS DE LA FÍSICA
(NOTORIAMENTE EN LA MECÁNICA CUÁNTICA) Y EN INGENIERÍA, ESPECIALMENTE EN
LA ELECTRÓNICA Y LAS TELECOMUNICACIONES, POR SU UTILIDAD PARA
REPRESENTAR LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y LA CORRIENTE ELÉCTRICA.

20. CITAS ELECTRÓNICAS• Números Complejos (2020) Recuperado de
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https://www.matesfacil.com/BAC/complejos/raices/raices-n-esimas-numeros-complejos-imaginarios-
poligono-regular-argumento-modulo-ejemplos.html