complejos teorias ejercicios

1. UNIDAD 1
NUMEROS
COMPLEJOS

2. 1.1Definición y origen de los
números complejos
Origen.
La primera referencia conocida a raíces cuadradas
de números negativos proviene del trabajo de los
matemáticos griegos, como Herón de Alejandría
como resultado de una imposible sección de una
pirámide.

3. Definición.
 Un número complejo es una
combinación de un número real y
un número imaginario

4.  Se llama número complejo a toda
expresión de la forma z= a+b.i donde
a y b son números reales; i es la
unidad llamada imaginaria,

5. 1.2 Operaciones fundamentales
con números complejos
 Suma.
 Para sumar números complejos, se siguen las
normas básicas de la aritmética, sumando los
reales con los reales y los imaginarios con los
imaginarios:
Ejemplo.
Nos da como resultado.
=7+4i

6.  Resta.
Al igual que en la suma, se opera como
con los números reales ordinarios:
La suma y diferencia de números complejos se
realiza sumando y restando las partes reales y
las partes imaginarias entre sí, respectivamente

7.  Multiplicación.
 El producto de los números complejos
se realiza aplicando la propiedad
distributiva del producto respecto de la
suma y teniendo en cuenta que i2 =
−1.
Ejemplo.

8. 1.3 Potencias de “i”, modulo o
valor absoluto de un numero
complejo
 El valor absoluto, módulo o magnitud de un
número complejo z viene dado por la siguiente
expresión:
 Si pensamos en z como algún punto en el plano;
podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el
valor absoluto de un número complejo coincide
con la distancia euclídea desde el origen del plano.

9.  Si el complejo está escrito en forma exponencial z
= r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en
forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ
+ isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.

10.  Potencias de “i”

11. 1.4 Forma polar y exponencial
de un numero complejo
 A partir de un numero complejo en forma binomica,
se calcula su modulo y su argumento para
expresarle en forma polar y trigonométrica
Forma polar o
binomica

12.  Un numero complejo en forma
trigonométrica se expresa como:
 Z=r(cos∞ + isen∞)
 Si sustituimos el contenido del
paréntesis por la igualdad de Euler:
 Nos queda
Forma exponencial o de Euler

13. 1.5 Teorema de De Moivre,
potencias y extracción de raíces de
un numero complejo
 El teorema de De Moivre describe una formula
para determinar potencias de un numero complejo.
 Un numero complejo, en la forma trigonometrica
elevado a un entero positivo, n, se puede
expresar

14.  Ejemplo.

15.  Podemos utilizar el teorema de De
Moivre para desarrollar una formula
para determinar raices positivas de un
numero complejo:
 Si z=r(cosØ+sinØ) es un numero
complejo diferente de cero y si n es un
entero positivo, entonces z tiene
exactamente n raices diferentes que
se pueden expresar en radianes

16.  Ejemplo.