2. 1.1Definición y origen de los
números complejos
Origen.
La primera referencia conocida a raíces cuadradas
de números negativos proviene del trabajo de los
matemáticos griegos, como Herón de Alejandría
como resultado de una imposible sección de una
pirámide.
4. Se llama número complejo a toda
expresión de la forma z= a+b.i donde
a y b son números reales; i es la
unidad llamada imaginaria,
5. 1.2 Operaciones fundamentales
con números complejos
Suma.
Para sumar números complejos, se siguen las
normas básicas de la aritmética, sumando los
reales con los reales y los imaginarios con los
imaginarios:
Ejemplo.
Nos da como resultado.
=7+4i
6. Resta.
Al igual que en la suma, se opera como
con los números reales ordinarios:
La suma y diferencia de números complejos se
realiza sumando y restando las partes reales y
las partes imaginarias entre sí, respectivamente
7. Multiplicación.
El producto de los números complejos
se realiza aplicando la propiedad
distributiva del producto respecto de la
suma y teniendo en cuenta que i2 =
−1.
Ejemplo.
8. 1.3 Potencias de “i”, modulo o
valor absoluto de un numero
complejo
El valor absoluto, módulo o magnitud de un
número complejo z viene dado por la siguiente
expresión:
Si pensamos en z como algún punto en el plano;
podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el
valor absoluto de un número complejo coincide
con la distancia euclídea desde el origen del plano.
9. Si el complejo está escrito en forma exponencial z
= r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en
forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ
+ isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.
11. 1.4 Forma polar y exponencial
de un numero complejo
A partir de un numero complejo en forma binomica,
se calcula su modulo y su argumento para
expresarle en forma polar y trigonométrica
Forma polar
12. Un numero complejo en forma
trigonométrica se expresa como:
Z=r(cos∞ + isen∞)
Si sustituimos el contenido del
paréntesis por la igualdad de Euler:
Nos queda
Forma exponencial o de Euler
13. 1.5 Teorema de De Moivre,
potencias y extracción de raíces de
un numero complejo
El teorema de De Moivre describe una formula
para determinar potencias de un numero complejo.
Un numero complejo, en la forma trigonometrica
elevado a un entero positivo, n, se puede
expresar
15. Podemos utilizar el teorema de De
Moivre para desarrollar una formula
para determinar raices positivas de un
numero complejo:
Si z=r(cosØ+sinØ) es un numero
complejo diferente de cero y si n es un
entero positivo, entonces z tiene
exactamente n raices diferentes que
se pueden expresar en radianes
17. 1.6 Ecuaciones polinómicas
Los números complejos surgen ante
la imposibilidad de hallar todas las
soluciones de las ecuaciones
polinómicas de tipo
18. Dados los valores apropiados de los
coeficientes an a a0 , esta ecuación
tendrá n soluciones reales si que
permitirán reescribir el polinomio de la
siguiente forma:
19. Ecuaciones incluso tan sencillas como
x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que
su solución, que teóricamente vendría
dada por
que no existe en el campo de los
reales ya que la raíz cuadrada no está
definida para argumentos negativos
20. Los números complejos sin embargo
permiten ampliar aún más el concepto
de "número", definiendo la unidad
imaginaria o i como i = raíz de -1, lo
que significaría que la ecuación
anterior sí tendría dos soluciones, que
serían x1= i y x2= - i.
21. De esta manera, se define
genéricamente un número complejo
como un número compuesto por dos
partes, una parte real a y una parte
imaginaria b, escribiéndose como
sigue: z = a + bi.
Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.
