Teoría

1. 1
Radicales
Definición de √ 𝑎𝑛
𝑆𝑒𝑎 𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 1, 𝑦 𝑠𝑒𝑎 𝑎 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.
1) 𝑆𝑖 𝑎 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √ 𝑎𝑛
= 0.
2) 𝑆𝑖 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √ 𝑎𝑛
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑏 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑛 = 𝑎.
3)
√ 𝑎𝑛
𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 " 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛𝑒 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑎
𝑆𝑖 𝑛 = 2, 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠√ 𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑑𝑒 √ 𝑎2
𝑦 𝑎 √ 𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎,
𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑎
𝑆𝑖 𝑛 = 3, 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 √ 𝑎3
𝑦 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 𝑜 𝑟𝑎í𝑧 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑎.
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 √ 𝑎𝑛
(𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)
Propiedad Ejemplos
1) (√ 𝑎
𝑛
)
𝑛
= 𝑎 𝑠𝑖 √ 𝑎
𝑛
𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 (√3)
2
= 3 , (√−9
3
)
3
= −9
2) √ 𝑎 𝑛𝑛
= 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0 √72 = 7 , √433
= 4
3) √ 𝑎 𝑛𝑛
= 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 √(−5)33
= −5 , √(−6)55
= −6
4) √ 𝑎 𝑛𝑛
= | 𝑎| 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 √(−8)2 = |−8| = 8 , √(−3)44
= |−3| = 3
𝑎) 𝑆𝑖 𝑎 < 0, 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √ 𝑎𝑛
𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑏 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑛 = 𝑎.
𝑏) 𝑆𝑖 𝑎 < 0, 𝑦 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √ 𝑎𝑛
𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

2. 2
Leyes de los radicales
Ley Ejemplos
1) √ 𝑎𝑏
𝑛
= √ 𝑎𝑛
. √ 𝑏
𝑛 √50 = √25 .2 = √25 .√2 = 5√2
√−108
3
= √(−27)(4)3
= √−27
3
√4
3
= −3√4
3
2) √
𝑎
𝑏
𝑛
=
√ 𝑎𝑛
√ 𝑏
𝑛 √
5
8
3
=
√5
3
√8
3 =
√5
3
2
3) √√ 𝑎𝑛𝑚
= √ 𝑎𝑚.𝑛
√√64
3
= √64
2(3)
= √266
= 2
Las leyes anteriores de pueden leer de derecha a izquierda
Multiplicación de radicales con igual índice
√ 𝑎𝑛
. √ 𝑏
𝑛
= √ 𝑎𝑏
𝑛
En palabras: Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el
mismo índice.
División de radicales con igual índice
√ 𝑎𝑛
√ 𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
En palabras: Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Un radical se puede escribir como una potencia de exponente racional o fracción:
√ 𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛
También una potencia con exponente racional o fraccionario se puede convertir en un radical
𝑎
𝑚
𝑛 = √ 𝑎 𝑚𝑛
¡No cometa los siguientes errores!
𝑺𝒊 𝒂 ≠ 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎 Ejemplos
1) √ 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 𝑎 + 𝑏 √32 + 42 = √25 = 5 ≠ 3 + 4 = 7
2) √ 𝑎 + 𝑏 ≠ √ 𝑎 + √ 𝑏 √4 + 9 = √13 ≠ √4 + √9 = 5

3. 3
Radicales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se
multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:
𝑎
𝑚
𝑛 = 𝑎
𝑘.𝑚
𝑘.𝑛 = √ 𝑎 𝑘.𝑚𝑘.𝑛
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente o exponentes del radicando por un mismo número
natural, se obtiene otro radical equivalente.
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene
un radical simplificado.
Reducción a índice común
Para reducir a común índice dos a más radicales:
1 - Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2 - Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus
exponentes correspondientes.
Extracción de factores en un radical
Para extraer factores de un radical se descompone el radicando en factores. Si:
1 - Un exponente del radicando es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
2 - Un exponente del radicando es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
3 - Un exponente del radicando es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente
obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del
radicando.
Introducción de factores en un radical
Para introducir factores en un radical se elevan los factores al índice del radical.
𝑏 𝑚
√ 𝑎𝑛
= √𝑎𝑏 𝑚𝑛𝑛

4. 4
Suma o resta de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son
radicales con el mismo índice e igual parte subradical o radicando.
Multiplicación de radicales con distinto índice
Primero se reducen a común índice y luego se multiplican.
Multiplicación de radicales compuestos
El producto de un radical compuesto por uno simple se halla como el producto de un polinomio por un
monomio, y el producto de dos radicales compuestos se halla como el producto de dos polinomios.
División de radicales con distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de un radical
Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
( √ 𝑎𝑛
)
𝑚
= √𝑎 𝑚𝑛
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
√ √ 𝑎𝑚𝑛
= √ 𝑎𝑛.𝑚
Racionalización
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el
cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos:
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐼: 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑎
𝑏√ 𝑐
En este caso se debe multiplicar tanto numerador como denominador por √ 𝑐
𝑎
𝑏√ 𝑐
.
√ 𝑐
√ 𝑐
=
𝑎.√ 𝑐
𝑏.(√ 𝑐)
2 =
𝑎.√ 𝑐
𝑏. 𝑐
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐼𝐼: 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑎
𝑏 √ 𝑐 𝑚𝑛

5. 5
En este caso se debe multiplicar tanto numerador como denominador por √ 𝑐 𝑛−𝑚𝑛
𝑎
𝑏 √ 𝑐 𝑚𝑛
.
√ 𝑐 𝑛−𝑚𝑛
√ 𝑐 𝑛−𝑚𝑛
=
𝑎 √ 𝑐 𝑛−𝑚𝑛
.
𝑏. √ 𝑐 𝑚. 𝑐 𝑛−𝑚𝑛
=
𝑎 √ 𝑐 𝑛−𝑚𝑛
𝑏. √ 𝑐 𝑛𝑛
=
𝑎 √ 𝑐 𝑛−𝑚𝑛
𝑏. 𝑐
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝐼𝐼𝐼: 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑜
𝑎
√ 𝑏 + √ 𝑐
Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y
denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado.
Ejemplos de algunos conjugados:
Binomio Conjugado
√ 𝑎 + √𝑏 √ 𝑎 − √𝑏
√ 𝑎 − √𝑏 √ 𝑎 + √𝑏
−𝑎 − √𝑏 −𝑎 + √𝑏
−𝑎 + √𝑏 −𝑎 − √𝑏
Se debe tener en cuenta siempre en este tipo de racionalización la aplicación del producto notable suma por
diferencia de binomios: ( 𝑎 + 𝑏)( 𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2