Matemática i

Prof. Joannolis Hernández
Universidad Bolivariana de Venezuela
Programa de Formación de Grado Informática para la Gestión Social
Unidad Curricular: Matemática I
Sede Monagas
Conjunto de los
Números Reales R
Productos Notables, Factorización,
Radicales, Racionalización, Ecuación de
Primer Grado, Ecuación de Segundo
Grado

Conjunto de los
Números Reales
R
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
Trinomio cuadrado
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Adición de cubos
Diferencia de
cubos
Sin factor común
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Índice mayor que 2
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
 Situaciones que se
resuelven con
ecuaciones
Ecuación de segundo
grado

N
Z
Q
I
R
Conjunto de los Números Reales (R)
Los números reales (R) constituye el conjunto formado por los números racionales (Q) y
los irracionales (I).
El conjunto I no tiene
elementos comunes con Q,
por tanto la intersección
entre ambos conjunto es el
conjunto vacío. También se
dicen que estos dos conjunto
(I y Q) son disjuntos por no
tener elementos en común
R TIPS
Los subconjuntos notables de R son:
El conjunto de los números reales sin el cero, que se denota así: R* = R – {0}
El conjunto de los números reales positivos, que se denota así: R+
El conjunto de los números reales negativos, que se denota así: R-
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Adición y Sustracción de Números Reales (R)
Operación Definición Ejemplo
Adición
La adición es una operación en la cual a cada
par de números reales a y b, llamados
sumandos, le corresponde otro número real
llamado suma. La suma en los reales
presentan los siguiente casos:
Suma de dos números racionales: el
resultado que se obtiene al sumar dos
números racionales es un número racional
Suma de un número racional y un
irracional: el resultado que se obtiene al
sumar un número racional y un irracional es
un número irracional
Suma de dos números irracionales: el
resultado que se obtiene al sumar dos
números irracionales es un irracional
Dos racionales
Racional + Irracional
Dos Irracionales
Operaciones del Conjunto R
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Adición y Sustracción de Números Reales (R)
Sustracción
Esta es una operación de composición
interna, que asocia a cada par de números
reales a y b otro número c llamado
diferencia. De tal manera que al sumarle a
a el simétrico de b nos resulta la diferencia
c.
a + (-b) = a – b = c
Operaciones del Conjunto R
La sustracción en el conjunto R extiende
la sustracción ya conocida en el
conjunto Q . Para restar dos números
reales con expresión decimal limitada
se procede de la manera conocida,
alineando los números por la coma
decimal y restando las cifras de
derecha a izquierda
Recuerda…
7,348
0,707
-
6,641
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Propiedades de la Adición en R
Propiedad Definición Ejemplo
Conmutativa
En esta propiedad se establece que el
orden de los sumando no influye sobre la
suma. En otras palabras;
a + b = b + a para todo a y b ϵ R
Asociativa
Dado tres número a, b, c ϵ R. Al agrupar
estos sumandos de diferentes formas se
obtiene la misma suma
(a + b) + c = a + (b + c)
para todo a, b, c ϵ R
Elemento Neutro
Dado a ϵ R, la suma de a con cero da
como resultado a
a + 0 = a para todo a ϵ R
Elemento
Opuesto
Todo número real a tiene un opuesto
que se denota -a y cumple la siguiente
propiedad
a + (-a) = 0 para todo a ϵ R
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Multiplicación y División en R
Multiplicación
La multiplicación es una operación en la
cual a cada par de números reales a y b,
llamados factores, le corresponde otro
número real llamado producto de a y b,
que se denota a x b.
División
La división es una operación en la que a
cada par de números reales a y b (b≠0),
llamados respectivamente dividendo y
divisor, le corresponde otro número real
llamado cociente de a y b, que se denota
a /b, o a ÷ b.
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Propiedades de la Multiplicación en R
Conmutativa
Dado dos número a, b ϵ R. El orden de
los factores no influye sobre el producto
a . b = b . a para todo a y b ϵ R
Asociativa
Dado tres número a, b, c ϵ R. Al agrupar
estos factores de diferentes formas se
obtiene el mismo producto
(a . b) . c = a . (b . c)
Elemento
Neutro
Cualquier número natural multiplicado
por 1 da como resultado el mismo
número real
a . 1 = a para todo a ϵ R
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Propiedades de la Multiplicación en R
Elemento
inverso
Todo número real a diferente de 0
(a≠0) tiene un inverso multiplicativo
que se denota a-1 y cumple la
siguiente propiedad
Distributiva
(multiplicación
con respecto a
la adición)
Si a, b y c ϵ R, entonces según las
propiedad distributiva se cumple:
a . (b + c) = a . b + a . c
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Potencia en R
Se llama potencia enésima de un número real a, al producto de n factores iguales a a. Al
expresar esta definición simbólicamente, tenemos
n veces
an = a x a x a x . . . x a = b
Términos de una potencia
an
= b
base
exponente
potencia
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Potencia en R
Definición Ejemplo
Exponente entero
positivo
Cuando el exponente n es un número entero
que pertenece a Z+, es decir n>0, se expresa
de la siguiente manera:
an = a x a x a x . . . x a
Exponente entero
negativo
Cuando el exponente n es un número entero
que pertenece al subconjunto Z-, es decir
n<0, se expresa de la siguiente manera:
Exponente racional
Toda potencia con exponente fraccionario se
puede escribir como un radical; en este
caso, el numerador del exponente
corresponde al exponente de la base y el
denominador es el índice de la raíz
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Propiedades de la Potencia en R
Multiplicación de
potencia de igual base
Para multiplicar potencias de igual
base, se coloca la misma base y se
suman los exponentes. Si m, n y a ϵ
R entonces:
am . an = am + n
División de potencia de
igual base
Para dividir potencias de igual base,
se coloca la misma base y se restan
los exponentes. Si m, n y a ϵ R
entonces:
am ÷ an = am - n
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al
producto de las potencias. Esto es: si
n ϵ Z y a, b ϵ R, entonces
(a . b)n = an . bn
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Propiedades de la Potencia en R
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al
cociente de la potencia del
numerador entre la potencia del
denominador. Esto es: si n ϵ Z y a, b
ϵ R, entonces
Potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra
potencia, se coloca la misma base y
se multiplican los exponentes. Esto
es: Si a ϵ R y m, n ϵ Z, entonces
Potencia con exponente
cero
Para todo número a ϵ R, se cumple:
a0 = 1
Potencia con exponente
uno
Para todo número a ϵ R, se cumple:
a1 = a
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Productos Notables
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Expresiones algebraicas
En el trabajo con variables se cumplen las mismas propiedades y se efectúan las mismas
operaciones que ya hemos visto con los números reales
 Los términos semejantes se reducen operando con los coeficientes y manteniendo la
parte literal
 Los signos de agrupación precedidos de un signo + se elimina conservando el signo de
cada término incluido dentro de ellos. Si está precedido del signo -, el símbolo de cada
término cambia
Ejemplo 1
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Productos notables
La multiplicación de polinomios pueden escribirse de manera que sus productos se vean
simplificados en el desarrollo de las operaciones. En algunos casos, la multiplicación de dos
polinomios tiene una forma especial, y es posible conocer el producto sin resolver la
multiplicación . La generalización de estos resultados se conocen con el nombre de
PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia
Suma por diferencia Binomios con término común
Cubo de una suma Cubo de una diferencia
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Factorización
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Factorización de Factor común de un polinomio
Cuando los términos de un polinomio tiene un factor común, se puede factorizar el polinomio
en un producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. El otro factor se
obtiene extrayendo el factor común de cada término del polinomio
Ejemplo 1
Factorización de un trinomio de la forma
Factorización
La factorización, es la operación matemática que permite descomponer un número o una
expresión algebraica en dos o más factores
Si un trinomio tiene la forma , entonces se puede escribir como una
multiplicación en laque sus factores son , es decir
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo 1
Factorizar
Verificar que el primer término sea un
cuadrado perfecto
Es un cuadrado perfecto
Se buscan dos número que multiplicado
de cómo resultado 30
Multiplicaciones de enteros que dan como
resultado 30
3 * 10 = 30; 2 * 15 = 30; 6 * 5 = 30
(-3) * (-10) =30; (-2) * (-15) =30; (-6) * (-5) =30
Seleccionamos el par que al sumar den
como resultado 11
Como el resultado de la suma debe ser positivo,
el par que cumple con esta condición es 6 y 5, es
decir 6 + 5 = 11. entonces
a = 6 y b = 5
Por último se escribe la factorización del
trinomio
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado
Estas expresiones son los desarrollo de los productos notables cuadrados de una suma y
cuadrado de una diferencia respectivamente
Ejemplo 1
Se ordena el trinomio de ser necesario
Se verifica si el primer y tercer termino son
cuadrados perfectos
Se verifica que el segundo termino del trinomio
sea el doble del producto de a por b
Se escribe la factorización, dependiendo el
caso.(cuadrado de una suma o cuadrado de
una diferencia). En este ejemplo se cumple con
el primero de los casos

Ejemplo 1
Factorizar
Se escribe cada término como una
potencia cuadrática y se sustituye
Se expresa la diferencia de cuadrados
como el producto de la suma de las
bases de las potencias por su diferencia
Factorización de diferencia de dos cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma de las bases por la diferencia de
las mismas, esto es: , donde x y a son las bases de las potencias
y respetivamente
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo 1
Factorizar
potencia de cubo
Se identifican las bases de las potencias Bases del término
Bases del término
Se aplica la factorización de la adición de
cubos
Factorización de adición de cubos
La suma de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el
primero es un binomio igual a la suma de dos bases de los cubos y el segundo es un trinomio
igual a la suma de los cuadrados de las bases menos el producto de las dos bases, es decir
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo 1
Factorizar
potencia de cubo
Se identifican las bases de las potencias Bases del término
Bases del término
Se aplica la factorización de la
diferencia de cubos
Factorización de diferencia de cubos
La diferencia dos cubos es igual al producto de dos factores. El primero es un binomio igual
a la diferencia de las bases de los cubos y el segundo un trinomio igual a la suma de los
cuadrados de las bases más el producto de las dos bases, es decir
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Factorización de expresiones que no tienen un factor común
En los casos en que ningún término tenga un factor en común con otro, se procede aplicar
Ruffini
1 2 -5 -6
1 4 3 0
2 8 6
Divisores de -6;
± 1; ± 2; ± 3; ± 6
2
Nos queda de la siguiente manera
En el segundo factor podemos aplicar la factorización de un trinomio cuadrado perfecto,
dando como resultado
Entonces
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Radicales
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Potencia de números reales con exponente racional
Toda potencia con exponente fraccionario se puede escribir como un radical; en este
caso, el numerador del exponente corresponde al exponente de la base y el
denominador es el índice de la raíz.
Índice de la raíz
Exponente
Cantidad subradical
o radicando
Signo radical
Ejemplo 1
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Potencia de números reales con exponente racional
Por lo tanto, so siempre se cumple que
Este resultado sólo es válido en los siguientes casos
1. Si a es positivo y n es cualquier entero positivo.
2. Si a es negativo y n es impar
Ejemplo 2 Observa lo que sucede en el siguiente ejemplo
Este resultado es incorrecto, debido que el orden de las operaciones establece que
primero se efectúa la potencia y luego extraer la raíz. Entonces el resultado es:
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Radicales Semejantes
Dos o más radicales son semejantes cuando, reducidos a su forma más simple, tiene el
mismo índice y el mismo subradical
Ejemplo 1
Son semejantes porque tienen el mismo índice 3 y la misma
cantidad subradical 6xy
Ejemplo 2
Determine si los siguientes radicales son semejantes
Solución: Para determinar si son semejantes procedemos a descomponer las cantidades
subradicales en factores primos
150
75
25
5
1
216
108
54
27
9
3
1
2
3
5
5
2
2
2
3
3
3
Son semejantes por tener el mismo índice (2) y la
misma cantidad subradical (6)
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Amplificación de Radicales
Para amplificar una raíz, se multiplica el índice la raíz y los exponente de la cantidad
subradical por un mismo número natural mayor que la unidad
En general, se cumple que
Para amplificar un radical por un factor k, k > 1, se multiplica tanto el índice del radical
como los exponentes de la cantidad subradical por k. El radical obtenido es equivalente al
original
Ejemplo 1
Amplificar por 5 el siguiente radical
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Simplificación de Radicales
La simplificación de radicales, consiste en reducir un radical a su forma más simple, de tal
manera que la cantidad subradical sea entera y de menor grado posible
En general, para simplificar un radical
Se calcula el máximo común divisor de m y n, y luego se divide tanto el índice de la raíz
como el exponente de la cantidad subradical entre el mcd
Donde k es el m.c.d. entre m y n
Ejemplo 1
Simplificar el siguiente radical
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Transformación de radicales de índice diferente a igual índice (mínimo común índice)
En esta operación se siguen os siguientes pasos:
1. Se calcula el mínimo común múltiplo de los índices el cual será el índice común
2. Se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el índice
común entre el índice de su radical
Ejemplo 1
Transformar a un índice común los radicales
El m.c.m. de los índice (3 y 4) es 12
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Radicación de Radicales o Raíz de una Raíz
Para hallar la raíz de una raíz, se multiplican los índices entre sí, se escribe la misma
cantidad subradical, luego se simplifica el resultado si es posible
La raíz de una raíz se expresa:
Propiedades de la Radicación
Ejemplo 1
Aplicando la propiedad nos queda
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Radicación de Radicales o Raíz de una Raíz
Ejemplo 2
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Potencia de una Raíz
Para efectuar la potencia de una raíz, se eleva la cantidad subradical a dicha potencia y se
conserva el mismo índice de la raíz
Ejemplo 1
Resolver
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Raíz de un producto
La raíz enésima del producto a . b es igual al producto de la raíz enésima de a por la raíz
enésima de b
Ejemplo 1
Resolver
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Raíz de un cociente
La raíz enésima de un cociente a/b es igual al cociente de la raíz enésima de a entre la raíz
enésima de b
Ejemplo 1
Resolver
Aplicando la propiedad nos queda
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Producto de radicales de igual índice
Operaciones con radicales
Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los
radicandos entre sí, luego se simplifica el resultado
En efecto
Ejemplo 1
Multiplicamos los coeficientes entre sí y los
radicandos entré sí
Expresamos en potencia los radicandos
Simplificamos el radicando
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Producto de radicales con distintos índice
Para multiplicar radicales de diferentes índice, primero se transforman los radicales a
igual índice y luego se procede a multiplicar como en el caso anterior
Ejemplo 1
Efectuar el producto
Se halla el m.c.m. de los índices y se toma como índice común
m.c.m. (2, 3, 4, 6) = 12
Se divide el índice común entre cada uno de los índices dados
La cantidad subradical se eleva a dicho cociente
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Cociente de radicales de igual índice
Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos
entre sí, luego se simplifica el resultado
En efecto, se comprueba que
Ejemplo 1
Resolver el siguiente cociente
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Cociente de radicales con distintos índice
Reducimos a índice común y dividimos como radicales del mismo índice
Ejemplo 1
Efectuar la siguiente división
Hallamos el m.c.m. de los índices 3 y 4 m.c.m. ( 3 , 4) = 12 y procedemos a reducir los
radicales a un índice común
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Racionalización
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Racionalización del denominador de una fracción
Racionalizar una expresión fraccionaria consiste en transformar su denominador irracional
en un mismo racional. La racionalización de un denominador es un procedimiento mediante
el cual se puede eliminar radicales del denominador en una fracción.
Racionalización de un monomio
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción por la raíz cuadrada
del denominador o por la raíz cuadrada de un número que haga que el denominador sea la
raíz cuadrada perfecta
Primer caso. Cómo racionalizar el denominador de una fracción cuando éste es un radical
de índice 2
Ejemplo 1
Para eliminar la raíz en el denominador, se
multiplica el numerador y el denominador por
Al multiplicar
se obtiene siempre
, y así se elimina
la raíz
R TIPS
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Racionalización de un monomio
Ejemplo 2
Para eliminar la raíz en el denominador, se multiplica el
numerador y el denominador por
Ejemplo 3
En este ejemplo hay factores en el radical que se pueden extraer para
simplificarlo. Antes de racionalizar se procede a extraer los factores que sean
posibles del radical. Lo que da como lo resultado lo siguiente
Ahora se multiplica por y se obtiene
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Racionalización de un binomio
Para racionalizar un binomio que contenga al menos un radical, se utiliza el producto
notable . El factor se llama el conjugado de
y viceversa. De este modo, si se tiene una expresión de la forma , al multiplicar
por su conjugado que es resulta, por el producto notable:
Ejemplo 1
En este caso el conjugado del denominador es
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo 2
Racionalización de un binomio
La conjugada del denominador es
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Racionalización con índices mayores que 2
Para racionalizar un denominador de una fracción cuyo índice es mayor que 2, se multiplica
tanto el numerador como el denominador de la fracción por un radical que tiene el mismo
índice y cuya cantidad subradical tiene la misma base, pero los exponentes son las
cantidades que le faltan a cada exponente para ser igual al índice del radical o el múltiplo
más cercano a éste.
Ejemplo 1
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Racionalización de un binomio con un radical de índice 3
Para racionalizar un denominador de una fracción cuyo índice es mayor que 2, se multiplica
tanto el numerador como el denominador de la fracción por un radical que tiene el mismo
índice y cuya cantidad subradical tiene la misma base, pero los exponentes son las
cantidades que le faltan a cada exponente para ser igual al índice del radical o el múltiplo
más cercano a éste.
Ejemplo 1
Se aplica el siguiente producto notable
Por tanto, la fracción se debe multiplicar por:
Resulta:
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Racionalización de un binomio con un radical de índice 3
Ejemplo 1
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ecuación de
Primer Grado
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Los enunciados matemáticos, así como también parte de los de otras ciencias, están
formulados en el lenguaje del álgebra, con «frases» en forma de ecuaciones compuestas por
«palabras» que nombran incógnitas, coeficientes y operaciones.
Introducción
El lenguaje algebraico
La escritura mediante literales permite mostrar el sentido de lo expresado de una manera más
concisa. Si se tiene en cuenta que a y b representan números, y que da igual qué números sean,
se ha logrado resumir la idea de una forma clara y breve . La escritura mediante literales se
rige por las siguientes reglas:
Para referirse a cualquier número cuyo valor se considera indeterminado, se usan las letras
a, b, c, d, …, x, y, z
 Para indicar la suma de los números, se usan expresiones como:
a + b c + d y + x
Para el caso de la resta, se escribe:
a - b c - d y – x
El producto de dos números se indica como:
a . b c . d y . x
Aunque es frecuente omitir el signo de la operación
ab cd yx
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Por último, la división se escribe en algebra de la siguiente manera:
Aunque es frecuente indicarlas también mediante el signo ÷, es decir, como
Las fórmulas algebraicas son representaciones de un conjunto de operaciones que han de
realizarse en un orden determinado para obtener así el resultado que se busca.
En matemáticas muchas veces debe llevarse a cabo varias operaciones combinadas. En tales
casos, aparece con frecuencias el paréntesis, que permite determinar qué operaciones debe
hacerse en primer lugar. Siempre que se encuentra un paréntesis, la operación interna será la
primera en realizarse. Por ejemplo, si se tiene la expresión:
4 . (5 + 2) . 5
Se realiza la operación que se encuentra entre el paréntesis, y se obtiene:
4 . 7 . 5
Jerarquía de operaciones
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Si se encuentra un paréntesis dentro de otro, o de corchetes [ ] o llaves { }, las operaciones se
ejecutan desde la más interna hacia el exterior.
Si se considera ahora la siguiente operación:
3 . 5 + 6
En estos casos se usa la jerarquía de operaciones para decidir cual de ellas debe hacerse
primero. La jerarquía de operaciones establece que la multiplicación y la división tiene
preferencia frente a la suma y la resta. Si la expresión algebraica únicamente combina
operaciones de multiplicación y división, es indiferente el orden en que se hagan las
operaciones. Lo mismo ocurrirá cuando las operaciones combinadas sean solo suma y restas
Jerarquía de operaciones
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Primeras reglas de la escritura algebraica
Se llama suma algebraica a una combinación de sumas y restas de números, como por ejemplo;
7 – 5 + 6 – 3 – 4 +8 + 9 + 3
Cada uno de los números de la suma algebraica separados por un signo más (+) o menos (–) se
denominan términos. Los términos precedidos por el signo más, son términos positivos, y los
precedidos por el signo menos, términos negativos. Si el primer término no viene precedido por
un signo, se sobreentiende que el término es positivo.
Para simplificar una suma algebraica se agrupan los términos positivos y se resta la suma de
los término negativos agrupados, utilizando paréntesis. Ejemplo, se tiene;
de acuerdo, a lo explicado anteriormente, procedemos de la siguiente manera
Se realizan las operaciones dentro de cada paréntesis, y resulta
Finalmente, se efectúa la última operación:
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Primeras reglas de la escritura algebraica
Si tiene una expresión algebraica con varios literales distintos, como:
La forma de simplificar esta expresión consiste en agrupar los términos que son semejantes, es
decir, aquellos que contienen los mismos literales. En este caso, primero los términos que
llevan a, y después, los que figuran con b
Al realizar las operaciones de los paréntesis, se llega al siguiente resulta:
(a + b)2 = a2 + b2
(a - b)2 = a2 - b2
ERRORES
COMUNES
Suma de un mismo literal a + a = 2a
Producto de un mismo literal a . a = 22
Cuadrado de una suma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de una diferencia (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Suma por diferencia (a + b) (a - b) = a2 - b2
R
E
G
L
A
S
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Expresiones Algebraicas
Se denominan expresiones algebraicas a una combinación de uno o varios términos, formados
por números indeterminados, representados por letras, o por números fijos y letras; si aparece
más de un término, se une mediante el signo de adición o sustracción.
La parte constante de un término se llama coeficiente numérico, o simplemente coeficiente; así,
en 6x, el coeficiente es 6, mientras que x es la llamada parte literal.
Se dice que dos términos son semejantes cuando sólo difieren en el coeficiente. Cuando se
tratan con sumas y restas de expresiones algebraicas, uno de los procedimientos habituales
consiste en reducir al máximo los términos semejantes.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir sus
letras por los números que representan, o por valores particulares que se les atribuyen, y
efectuar luego las operaciones indicadas
Ejemplo
El valor numérico de la expresión algebraica es 15
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Identidades y Ecuaciones
Las igualdades entre expresiones algebraicas se pueden clasificar en dos tipos: identidades y
ecuaciones. Algunas igualdades entre expresiones algebraicas son ciertas para cualquier valor
que se asignen a las letras que intervienen en ellas; estas igualdades reciben el nombre de
identidades.
Ejemplo
Es una identidad, porque sea cual sea el valor
que tome x, la igualdad se cumple siempre, es
decir, el valor numérico que tome el primer
miembro es igual al que tome el segundo
miembro
En muchas ocasiones se pueden encontrar expresiones algebraicas relacionadas entre sí
mediante un signo (=). Estas expresiones son conocidas como igualdades algebraicas. Cuando
se tiene una igualdad entre dos expresiones algebraicas se dice que el miembro situado a la
izquierda de la igualdad es el primer miembro, y que el situado a la derecha es el segundo
miembro.
Primer miembro Segundo miembro
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Identidades y Ecuaciones
Existen igualdades matemáticas, que al contrario de las identidades sólo se mantienen para un
valor específico de x, las igualdades de este tipo, para las que sólo algunos valores numéricos
determinados de las letras hacen que se cumpla la equivalencia, se denominan ecuaciones.
¿Por qué la incógnita es la x?
El nombre con el que los matemáticos
árabes designaban la incógnita shay,
que significa cosa, se escribía
latinizado en muchas traducciones
como xay que, abreviado, se convirtió
finalmente en x. En cambio en Italia,
shay se tradujo directamente
mediante el termino cosa por lo que
los que resolvían ecuaciones recibían
el nombre de cosistas y utilizaban co
en lugar de la x
SABIAS QUE…
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ecuaciones lineales o de Primer Grado
Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que se cumple solamente para
ciertos valores de los literales. Estos valores son conocidos como las soluciones de la ecuación.
La diferencia entre una identidad y una
ecuación es que una identidad es una
igualdad entre expresiones algebraicas
que se cumplen siempre, sean cuales
sean los valores de las letras. En
cambio, las ecuaciones sólo se
cumplen para determinados valores de
la incógnita.
RECUERDA
Las ecuaciones que tienen las mismas soluciones son
conocidas como ecuaciones equivalentes. Si se suman,
restan, multiplican o dividen por un mismo número
(siempre y cuando sea distinto de cero en la división)
los miembros de la igualdad, se obtiene otra
equivalente.
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el
exponente o grado máximo de las variables que
intervienen en ellas. Normalmente, dicha clasificación
se hace respecto a una variable determinada de la
ecuación.
Las ecuaciones más sencillas son las ecuaciones de primer grado en que sólo aparece una
incógnita, llamadas con frecuencias ecuaciones lineales.
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Resolución de Ecuaciones lineales mediante la transposición de términos
Para resolver, la ecuación:
Se aplica el procedimiento de la transposición de términos, cuyo objetivo es dejar la incógnita
sola en un miembro y los términos independientes en el otro. En la transposición, para mover al
otro miembro de la ecuación los términos que se suman, estos han de pasar a restarse. De
manera similar, los términos que se restan pasan a sumarse, los que multiplican cambian de
términos dividiendo, y los que dividen pasan a multiplicar en su nueva posición. La resolución de
la ecuación anterior mediante el método de transposición de término será la siguiente:
Se pasa el 3 al otro miembro de la
igualdad, pero con valor negativo
Se simplifica la expresión de los términos
agrupados ( se resuelve)
Se despeja x pasando 2 (su coeficiente) a
dividir al término independiente
Finalmente, resulta
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ecuaciones lineales con incógnita en ambos miembros
Para resolver, la ecuación:
Se agrupan los términos independientes en un miembro y los términos que poseen incógnitas en
el otro, mediante la transposición de términos
Al agrupar los términos de ambos
lados resulta
se despeja la x
El valor de x resulta
Sustituimos el valor de x, para verificar
la igualdad
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Situaciones que se resuelven con Ecuaciones
Algunas situaciones se pueden resolver a través de una ecuación. Para eso se debe contemplar
lo siguiente:
 Interpretación del enunciado. Se identifican los datos y lo que se busca calcular en el
enunciado. Luego se asigna una letra (incógnita) a la información desconocida.
 Planteamiento y solución de la ecuación. Se escribe la expresión como una ecuación.
Después se resuelve la ecuación y se redacta la solución en términos de problema.
 Comprobación de la solución. Se verifica si la solución cumple las condiciones del
enunciado del problema.
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo
Si el dinero que tiene una persona se le agrega la mitad de lo que tiene más Bs. 100 entonces
tendrá Bs. 1000. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?
Procedimiento
1. Se expresan los datos con números racionales Dinero de la persona → x
La mitad de lo que tiene →
2. Se plantea la ecuación
3. Se resuelve la ecuación, aplicando propiedad de
igualdad
Se verifica la respuesta
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ecuación de Segundo
Grado
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ecuación de segundo grado
La Ecuación de segundo grado es de la forma
Aplicando la siguiente fórmula podemos hallar la solución de la ecuación
Para conocer si la ecuación
tiene o no solución,
calculamos la discriminante
(Δ) la cual nos señalará
cuantas soluciones tiene la
ecuación
Esg TIPS
Para ello, seguimos los siguientes pasos
Paso 1. Identificamos los valores de a, b y c
Y se representa de la siguiente manera Δ,
Pueden presentarse tres casos:
•Δ > 0
•Δ = 0
•Δ < 0
Paso 2.. Calcular la discriminante, la cual está compuesta por la
siguiente expresión
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Caso 1. si b2 – 4ac > 0 (Δ > 0)
Cuando la discriminante es positiva, la ecuación tiene dos soluciones distintas x1 y x2
Paso 3. Una vez calculado la discriminante entonces evaluamos
Caso 2. si b2 – 4ac = 0 (Δ = 0)
Cuando la discriminante es igual a ceo (0), la ecuación tiene una solución x1
Caso 3. si b2 – 4ac < 0 (Δ < 0)
Cuando la discriminante es igual a ceo (0), la ecuación no tiene solución en , es
decir en el Conjunto de los números reales
Caso 1. si b2 – 4ac > 0 (Δ > 0)
Caso 2. si b2 – 4ac = 0 (Δ = 0)
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo
Paso 2.. Calcular la discriminante, la cual está compuesta por la siguiente expresión
Paso 3. Una vez calculado la discriminante entonces evaluamos, notamos que Δ > 0,
entonces tiene dos soluciones
Determinar cuantas soluciones tiene la siguiente ecuación,
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo
Paso 3. Una vez calculado la discriminante entonces evaluamos, notamos que Δ = 0,
entonces tiene una solución
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Ejemplo
Paso 3. Una vez calculado la discriminante entonces evaluamos, notamos que Δ < 0,
entonces no tiene solución en
Conjunto R
Definición
Subconjunto
Notable en R
Operaciones en R
Potencia en R
Producto notable
Factorización
Factor común
perfecto
Diferencia de
Cuadrado
Diferencia de
cubos
Radicales
Semejantes
Amplificación
Simplificación
Transformar a
índices iguales
Propiedades
Operaciones
Racionalización
De un monomio
De un binomio
Ecuación de Primer
Grado
 Resolución de
ecuaciones lineales
mediante
transposición de
términos
resuelven con
ecuaciones
grado

Matemática i

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (14)

Similar a Matemática i

Similar a Matemática i (20)

Más de Universidad Bolivariana de Venezuela

Más de Universidad Bolivariana de Venezuela (6)

Último

Último (20)

Matemática i