Calculo de resortes

1. Versión 2004
CCAAPPIITTUULLOO 55
PPRROOYYEECCTTOO DDEE EELLEEMMEENNTTOOSS AACCCCEESSOORRIIOOSS
EELLAASSTTIICCOOSS
División 1
Mecánica de Resortes y Elásticos
Cálculo de Resortes.
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

2. Versión 2004
1. Introducción
En este capítulo se verá la forma de calcular, dimensionar o verificar resortes, también
llamados elásticos o muelles según la jerga, además de analizar su mecánica básica.
2. Descripción, usos y clases
Un resorte es un elemento de máquina cuya principal característica es aportar flexibilidad a
las conexiones cinemáticas entre elementos mecánicos diversos tales como se pueden
observar en la Figura 5.1. Los resortes tienen la doble misión de aportar una fuerza o un
momento según la geometría del resorte y almacenar energía. La energía se almacena en
forma de deformación elástica (esto es energía de deformación) causada por una solicitación y
se recupera al liberarse la solicitación. Los resortes deben tener la capacidad de soportar
grandes desplazamientos. Entre las aplicaciones más comunes de los resortes se pueden
hallar:
1) Para almacenar y retornar energía, como el mecanismo de retroceso de las armas de
fuego
2) Para mantener una fuerza determinada como en los actuadores y en las válvulas
3) Como aislador de vibraciones en vehículos
4) Para retornar o desplazar piezas como los resortes de puertas o de pedales o de
actuadores mecánicos o de embragues.
5) Como actuadores de cierre o de empuje, tal como los resortes neumáticos.
Los resortes suelen clasificarse según su esfuerzo de deformación predominante, su forma y
aplicación en:
1) Resortes de efecto de Torsión
a. Espira Helicoidal (circular o rectangular) y envolvente cilíndrica (Figura 5.1.a)
b. Espira Helicoidal (circular o rectangular) y envolvente cónica (Figura 5.1.b)
c. de tipo barra (Figura 5.1.c)
d. de bloque elastomérico (Figura 5.1.d)
2) Resortes de efecto flexional
a. de tipo espiral (Figura 5.1.e)
b. de tipo disco (Figura 5.1.f)
c. de láminas, también llamados ballestas (Figura 5.1.g)
3) Resortes de efecto axial
a. de tipo anular cerámico o metálico (Figura 5.1.h)
b. de tambor elastomérico (Figura 5.1.i)
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3. Versión 2004
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h) (i)
Figura 5.1. Diferentes tipos de resortes
Los resortes que se muestran en la Figura 5.1 son los más comunes. Sin embargo existe un
sinnúmero de aplicaciones que requiere de las funciones resortes pero cuya forma es “ad hoc”
para cumplir su cometido, por ejemplo en ciertas viseras para sol de automóviles.
3. Materiales para resortes
En la selección del material de un resorte suelen tener preponderancia consideraciones de
resistencia y de elasticidad. Esto significa “Algún coeficiente de Resistencia (S)” y “Módulo
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4. Versión 2004
de elasticidad (E)”. Uno de los parámetros más empleados es la relación S/E denominada
“Resistencia normalizada”. El concepto de resistencia se debe considerar en función del
material, esto es:
a) Para los metales y polímeros industriales: Resistencia a la fluencia
b) Para los elastómeros: Resistencia al desgarramiento
c) Para materiales compuestos: Resistencia a la Tracción
d) Para resinas fenólicas y maderas: Resistencia a la Tracción
En el caso más común en ingeniería mecánica, es decir el caso a), la relación S/E suele tener
valores del orden entre 0.001 y 0.01. Para los elastómeros la resistencia normalizada suele
variar entre 0.1 y 1.0. Mientras que los casos c), d) y los polímeros poseen una resistencia
normalizada entre 0.01 y 0.1 generalmente. Otro de los parámetros importantes es el
“coeficiente de pérdida (∆v)” que pondera la disipación de energía elástica en un ciclo de
carga y descarga tal como el que se aprecia en la Figura 5.2 para un ensayo experimental. El
coeficiente de pérdida se obtiene como:
U2
U
v
∆
∆ = (5.1)
Siendo ∆U y U la disipación de energía de deformación y la energía de deformación,
respectivamente.
Los elastómeros tienen coeficientes de pérdida más altos que los aceros. Los aceros al
carbono, los aceros inoxidables, diversas aleaciones no ferrosas y hasta los materiales
compuestos laminados con fibra de vidrio son utilizados como materiales para construir
resortes.
Figura 5.2. Descripción de un ciclo de carga-descarga. Resultado de un Experimento [4].
Los resortes de acero por lo general se fabrican con procesos de deformación en frío o en
caliente dependiendo del tamaño del material y de las propiedades deseadas, básicamente, el
coeficiente de rigidez y propiedades de resistencia. Los materiales más comunes para resortes
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5. Versión 2004
helicoidales de alambre circular, se pueden ver en la Tabla 5.1, junto con los usos más
comunes y sus métodos de fabricación.
Nombre y
Nomenclatura
Módulo de
elasticidad
lineal en
[GPa]
Módulo de
elasticidad
transversal
en [GPa]
Resistencia
mínima a
tracción
[MPa]
Temperatura
de servicio
máxima [°C]
Densidad
[kg/m3
]
Método de fabricación.
Usos principales
ASTM A227 (C>0.45%)
206,8 79,3 1951 121 7833 Estirado en frío. Resortes de bajo costo
ASTM A679 (C>0.65%)
206,8 79,3 1951 121 7750
Estirado en frío. Resorte de calidad
superior
ASTM A229 (C>0.55%)
Revenido en aceite
206,8 79,3 2020 121 7833
Estirado en frío con tratamiento térmico
previo. Resorte de usos generales
ASTM A230 (C>0.60%)
Revenido en aceite
206,8 79,3 1482 121 7833
Estirado en frío con tratamiento térmico
previo. Resorte de tensión uniforme
Aleación ASTM A231 206,8 79,3 1310 219 7750
Estirado en frío con tratamiento térmico
previo. Usado para cargas de impacto
Aleación ASTM A401 206,8 79,3 1620 246 7750
Estirado en frío con tratamiento térmico
previo. Usado para cargas de impacto
Acero Inox ASTM A313 193,1 68,9 862 288 7889
Estirado en frío. Resistente a corrosión
y al calor para usos generales
bronce ASTM B159 103,4 43,1 724 93.3 8858 Estirado en frío. Resistente a corrosión
Tabla 5.1. Principales propiedades de los materiales metálicos para los resortes
La resistencia a la rotura de un material de resorte, depende fuertemente del tamaño del
alambre, en consecuencia se debe conocer el diámetro del alambre para poder establecer una
relación de resistencia. Las industrias que fabrican resortes y las instituciones abocadas al
estudio y normalización de los mismos (por ejemplo Associated Spring Corp, Barnes Group
Inc, ASTM, DIN, etc) han fijado una serie de estándares, según los cuales se puede establecer
la resistencia del material del resorte según la siguiente expresión (obtenida por regresión
logarítmica de resultados experimentales):
m
P
ut
d
A
S = (5.2)
donde AP es una constante de regresión, d es el diámetro del alambre y m es un exponente de
regresión (normalmente del orden de 0.1 a 0.2). En la Figura 5.3 se puede apreciar la
variación de la resistencia con respecto al diámetro de dos materiales: “Alambre duro
estirado” y “Acero al cromo vanadio”. Estos dos son materiales de alta calidad empleados en
mecanismos aeronavales.
Figura 5.3. Variación de la resistencia a la tracción respecto del diámetro para dos materiales distintos.
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6. Versión 2004
Cuando se tiene que diseñar un resorte, es uso común recurrir a coeficientes de minoración
para obtener una tensión permisible que para las tensiones de corte suele tener la siguiente
expresión:
ypermsy S400S .==τ (5.3)
Esto significa el 40% de la tensión de fluencia obtenida del valor experimental normalizado.
4. Mecánica de los resortes
Resortes helicoidales de envolvente y alambre cilíndricos bajo compresión
Tal como se aprecia en la Figura 5.1.a, el alambre redondo se enrolla sobre una superficie
cilíndrica con paso constante entre espiras adyacentes. En la Figura 5.4 se puede visualizar la
operación constructiva (Figura 5.4.a y 5.4.b) y el efecto de deformación torsional asociado a
este tipo de elementos (Figura 5.4.c). De esta manera el momento torsor actuante en la
sección de la espira viene dado por la clásica ecuación:
RPT .= (5.4)
donde P y R son la fuerza de accionamiento y la distancia desde el eje de la superficie
cilíndrica al centro de la sección circular. Es claro que de acuerdo con la Figura 5.4.c la
sección resistente del resorte soporta tensiones tangenciales debido a CORTE PURO y
TORSION, combinados.
Figura 5.4. Mecánica del resorte de espiras cilíndrico.
En la Figura 5.5 se puede apreciar la superposición de efectos tensionales sobre la sección
resistente. La tensión de corte máxima sin contemplar efectos secundarios de curvatura se
puede obtener de la siguiente forma:






+=





+=+=+=
C2
1
1
d
DP8
D2
d
1
d
DP8
d
P4
d
DP8
3323purocortetorsion
ππππ
τττ
.......
.max (5.5)
siendo C el denominado “índice de resorte” y se calcula como:
d
D
C = (5.6)
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7. Versión 2004
La gran mayoría de los resortes comerciales tiene un índice de resorte que varía entre 3 y 12.
Ahora bien, la expresión (5.5) da una cota inferior de la tensión de corte máxima, sin embargo
no contempla efectos curvatura que conducen a predecir una tensión máxima más alta y
congruente con la realidad. Esta formulación refinada cuyos autores son Timoshenko [5] y
Wahl [6] permite predecir la tensión máxima según la siguiente expresión:






+
−
−
=
C
6150
4C4
1C4
d
DP8
3
...
max
π
τ (5.7)
Para fijar algunas pautas de utilidad de (5.5) y (5.7) se puede mencionar que la (5.5) es útil
por su simplicidad para obtener la carga máxima estática o bien para verificar si se presenta
alabeo o pandeo del resorte, mientras que la (5.7) debe utilizarse para las cargas cíclicas.
Figura 5.5. Estados tensionales en una sección de resorte.
Para obtener el desplazamiento asociado a un resorte helicoidal se recurre al Teorema de
Castigliano, utilizando los aportes energéticos debidos a torsión y a corte puro, es decir:












+





= ∫∫
L
0
2
L
0
2
dx
GA
P
dx
GJ
T
2
1
U (5.8)
Siendo L la longitud total del resorte ( , con NaNDL ..π= a el número de espiras activas). Así
pues, integrando (5.8) la energía de deformación quedará como:
2
a
2
4
a
32
dG
NDP2
dG
NDP4
U
.
..
.
.
+= (5.9)
aplicando el Teorema de Castigliano se tiene:
⇒
∂
∂
=
P
U
δ
( )
Gd
1C2PCN4
C2
1
1
Gd
NPC8
D2
d
1
Gd
NPD8 2
a
2
a
3
2
2
4
a
3
+
=





+=





+=δ (5.10)
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8. Versión 2004
Con la expresión (5.10) se puede obtener el valor de la “constante de resorte” de la siguiente
manera:






+
==
2a
3
C2
1
1NC8
dGP
k
.
δ (5.11)
La expresión (5.11) puede ser cotejada con modelos de elementos finitos de tipo viga
siguiendo un patrón espacial helicoidal, y se podrá observar una concordancia muy buena en
los rangos donde el índice de resorte es válido (esto es C ).[ ]123,∈
Ahora bien, los resortes de compresión pueden presentar diferentes circunstancias de
deformación de acuerdo con la fuerza que se ejerza hasta llegar al contacto pleno de cada
espira con las contiguas. Esto situación se denomina de “contacto sólido”. Cuando el resorte
no tiene ninguna carga actuante, la longitud de resorte se denomina “longitud libre” y cuando
hay “contacto sólido”, la longitud del resorte se denomina “longitud sólida”. Cuando se carga
paulatinamente un resorte de compresión al acercarse al contacto sólido, el comportamiento
del resorte deja de poseer características lineales tal como se puede apreciar en la Figura 5.6
Figura 5.6. Longitudes y comportamiento del resorte de compresión hasta la longitud sólida.
Las terminaciones o extremos de los resortes revisten un papel muy importante dado que
dependiendo de la terminación, varían el paso, la longitud libre, la longitud sólida, y otras
propiedades. En la Figura 5.7 se muestran cuatro tipos convencionales de terminación
denominados:
(A) Simple sin Maquinado
(B) Simple Rectificado
(C) Cuadrado sin Maquinado
(D) Cuadrado rectificado
En la Tabla 5.2 se muestran fórmulas útiles para el cálculo de las entidades más importantes
de un resorte. Nótese como varía un caso con respecto a otro en cuanto a sus longitudes libre
y sólida.
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9. Versión 2004
Figura 5.7. Tipos de terminaciones.
Tipo de terminación
Entidad Simple sin
Maquinado
Simple y
rectificada
Cuadrada sin
Maquinado
Cuadrada y
rectificada
Número de espiras
en los extremos [Ne]
0 1 2 2
Número total
de espiras [Nt]
Na Na+1 Na+2 Na+2
Longitud Libre [Lf] p.Na+d p.(Na+1) p.Na+3.d p.Na+2.d
Longitud sólida [Ls] d.(Nt+1) d.Nt d.(Nt+1) d.Nt
paso [p] Se despeja de la homónima longitud libre.
Tabla 5.2. Propiedades de los resortes según la terminación de sus extremos
Los resortes helicoidales a compresión moderadamente largos, deben verificarse
adicionalmente al pandeo o al alabeo. Wahl [6] propuso una expresión simple como la (5.12)
para calcular el desplazamiento crítico, luego del cual se verifica pandeo o alabeo.








−−= 2
ef
2
1fcritico
C
11CL
λ
δ (5.12)
donde Lf es la longitud libre, es la esbeltez efectiva, y Cefλ 1 y C2 constantes dados por:
D
Lf
ef
.α
λ = ,
( )GE2
E
C1
−
= ,
( )
EG2
GE2
C
2
2
+
−
=
π
(5.13)
Siendo α un factor que depende de las condiciones de borde, de manera que
- α = 0.500 para un resorte apoyado entre superficies planas y paralelas.
- α = 0.707 para un extremo articulado y otro apoyado en superficie plana
- α = 1.000 para ambos extremos articulados
- α = 2.000 para un extremo libre y el otro fijo
Nótese que en (5.12) se debe cumplir que C , de tal forma que se puede obtener la
longitud libre en función de las propiedades elásticas del resorte y su vinculación, según la
siguiente expresión:
12
ef2 ≤λ/
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10. Versión 2004
si ⇒=− 0
C
2
ef
2
λ
1 2f C
D
L
α
= (5.14)
Frecuentemente en los resortes la carga varía en forma cíclica, en consecuencia se debe
considerar una seguridad adicional para este efecto. Se debe tener presente que los resortes
helicoidales NUNCA se usan a compresión y a tracción en una misma aplicación. Con esto se
deslinda que los resortes helicoidales tendrán solicitaciones con valor medio distinto de cero y
un determinado valor alternante. Así pues teniendo los valores de las solicitaciones media y
alternante dadas por las expresiones siguientes:
2
PP
Pa
minmax −
= ,
2
PP
Pm
minmax +
= (5.15)
se pueden obtener las tensiones de corte alternante y media, empleando la (5.7)






+
−
−
=
C
6150
4C4
1C4
d
DP8
3
a
a
...
π
τ , 





+
−
−
=
C
6150
4C4
1C4
d
DP8
3
m
m
...
π
τ (5.16)
Luego con (5.16) se pueden emplear los criterios de Gerber o Goodman o Sines entre otros
para analizar la capacidad de carga a fatiga en un resorte. Para efectuar este análisis es
necesario estipular los valores de las tensiones de resistencia por fatiga por corte, ya que las
tensiones de este tipo de resortes son preponderantemente cortantes. Joerres [7] determinó los
siguientes valores de referencia para los límites de rotura por corte y de fluencia por corte
,utsu S670S .= utytsy S450S5770S .. == (5.17)
Los límites de fatiga pueden obtenerse de la expresión (2.184) o (2.185) según el caso de
ciclaje que corresponda.
Por otro lado Zimmerli [8] ha efectuado estudios sobre la influencia del tratamiento
superficial en la resistencia a fatiga por corte aceros al alto carbono, aceros de aleación
(corregidos para condición de superficie, temperatura ambiente, medio no corrosivo) y de
alambres para resorte (llamados alambre para piano o para instrumentos). Estos resultados,
que comprendían componentes de tensión alternante y de tensión media se muestran en la
Tabla 5.3, con diferentes condiciones de tratamiento superficial. Estos valores son valores de
rotura.
Componente Unidades
Superficie Sin
Granallar
Superficie
Granallada
ksi 35 57.5
Ssa
Mpa 241 398
ksi 55 77.5
Ssm
Mpa 379 534
Tabla 5.3. Componentes de resistencia (hasta rotura) por corte a tensiones alternantes
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11. Versión 2004
De manera que para los materiales de Tabla 5.3, conociendo la resistencia a la rotura se puede
establecer, de acuerdo con la ley de Gerber o Goodman, etc, la tensión por corte de resistencia
a la fatiga, empleando el concepto de línea de carga visto en el Capítulo 2 (Ver Ejercicios en
TP12-2004).
Para fijar ideas Zimmerli [8], calculó los límites de resistencia a fatiga por corte para aceros
de resortes de menos de 10 mm (3/8”). Estos valores se exponen a continuación y son válidos
para todos los aceros de la Tabla 5.1.
Mpa310ksi045Sse ==′ . para resortes sin granallar (5.18)
Mpa465ksi567Sse ==′ . para resortes granallados (5.19)
Resortes helicoidales para extensión
Estos resortes se muestran en la Figura 5.8. Se los construye con terminaciones en forma de
gancho o con espiras trabajadas especialmente para favorecer el enganche en el dispositivo en
el que actúan.
Figura 5.8. Resortes helicoidales de extensión.
El número de espiras totales y la longitud del cuerpo vienen dadas por las siguientes
expresiones:
1NN at += (5.20)
tb Ndl .= (5.21)
siendo Na la cantidad de espiras activas y d el diámetro del alambre.
Algunos resortes de extensión se construyen con una precarga Pi, de manera que se debe
superar esta carga antes de que se evidencie deformación alguna en el resorte, teniendo un
comportamiento lineal luego de superada la precarga, tal como se ve en la Figura 5.9.
La variación de la carga viene dada por la siguiente expresión.
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12. Versión 2004
3
a
4
i
DN8
dG
PP
.
..δ
+= (5.22)
de tal forma que la constante de resorte se puede obtener como:
3
a
3
a
4
i
CN8
dG
DN8
dGPP
k
.
.
.
.
==
−
=
δ
(5.23)
Ahora bien, para establecer la precarga Pi, se suele recurrir al valor de la tensión inicial
permisible, la cual depende del “índice de resorte (C)”. Para ello se elige algún valor dentro
de la zona de preferencia indicada en la Figura 5.10. De tal manera que la precarga se puede
obtener con la siguiente expresión (que surge de la tensión por torsión)
C8
d
D8
d
P
2
i
3
i
i
.
.
.
. πτπτ
== (5.24)
donde τi es la tensión inicial.
Figura 5.9. Variación de la carga del resorte de extensión con una precarga
.
Figura 5.10. Rango de preferencia para obtener las tensiones de precarga.
Por otro lado, existen tensiones criticas en las zonas A y B de los ganchos de amarre, como se
ve en la Figura 5.8. Estas tensiones se deben a flexión y y corte transversal en la sección A,
mientras que en la sección B solo se debe a torsión. De tal manera que para la sección A y B
las tensiones correspondientes tendrán los valores:
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13. Versión 2004
2
A
3
1
3
1AA
3
1
A
d
P4
r
r
d
rP32
A
P
r
r
I
Mc
ππ
σ +











=+











=
.
(5.25)






=
4
2
2
B
B
r
r
d
CP8
π
τ
.
(5.26)
Téngase presente que las expresiones (5.25) y (5.26) son solo aproximadas en función de las
hipótesis típicas del cálculo de resistencia de materiales, pero aun así dan una estimación del
estado tensional en el resorte. Para mayores precisiones es necesario efectuar un análisis de
elementos finitos con elementos sólidos o bien recurrir a la información que suministran los
fabricantes.
Resortes helicoidales para torsión
En la Figura 5.11 se puede apreciar un resorte de este tipo. Los extremos de las espiras tienen
diversas formas que dependen de la aplicación específica en la que serán empleados. Estos
resortes se fabrican con las espiras muy apretadas para dar mayor cohesión, en esto son
similares a los resortes de extensión, pero difieren de aquellos en que no se impone ninguna
precarga.
Figura 5.11. Resortes helicoidales.
El par de torsión se aplica en la dirección de la hélice, tal como se puede apreciar en el boceto
de la Figura 5.11. Este par de torsión actúa como si se tratara de un momento flector para cada
una de las secciones del alambre. En estas circunstancias, el esfuerzo predominante en las
secciones es de tipo flexional. Tal como se ve en la Figura 5.11, el momento flector se puede
calcular como:
aPM .= (5.27)
De manera que la tensión flexional se puede calcular según Wahl [6] como:






−
−−
=
C4C4
1CC4
d
M32
2
2
3
π
σ
.
(5.28)
El factor entre paréntesis es un factor que considera efectos geométricos varios entre ellos por
ejemplo el efecto de curvatura y sección circular.
La rotación angular en radianes vendrá dada por la siguiente expresión
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14. Versión 2004
( )
4
aa
rad
dE
NDM64
IE
NDM
.
..
.
..
==
π
θ (5.29)
y consecuentemente la constante del resorte por la siguiente expresión
a
4
rad ND64
dEM
k
..
.
==
θ
θ (5.30)
La (5.29) se podría haber obtenido a partir del teorema de Castigliano. Estos resortes suelen
montarse sobre barras cilíndricas y para evitar roturas en los resortes, estos deben tener un
diámetro interno con huelgo suficiente con respecto al diámetro de la barra cilíndrica. Esto se
debe a que el resorte al ser torsionado, las espiras se contraen en dirección radial. Así pues el
diámetro interior de la espira debe ser tal que
ac
ia
ic
N
DN
D = (5.31)
siendo:
- Na el número de espiras activas sin carga
- Nac el número de espiras activas cargadas
- Di el diámetro interior de la espira sin carga
- Dic el diámetro interior de la espira cargada
El número de espiras activas es:
( )
D3
ll
NNNN 21
beba
π
+
+=+= (5.32)
siendo Nb el número de espiras del cuerpo, Ne el número de espiras de los extremos, l1 y l2, las
longitudes de los extremos.
Resortes de planchuelas a flexión
Los resortes de planchuelas o de hojas múltiples, también llamados ballestas, se muestran en
la Figura 5.12. Este tipo de resortes es muy utilizado en las industrias ferroviarias y
automotrices. Para su análisis el resorte se considera como un tipo de viga simple o
compuesta actuando en voladizo. También se lo puede considerar como una placa triangular
cortada y apilada como se ve en la Figura 5.12.
Figura 5.12. Resorte de planchuelas múltiples.
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15. Versión 2004
Para una planchuela en voladizo de sección transversal rectangular de base b y altura t, se
tiene
222
tb
LP6
tb
xP6
tb
M6
.
..
.
..
.
.
max =⇒== σσ (5.33)
Ahora bien, de acuerdo con (5.33) y teniendo en cuenta que el ancho puede variar, se podrá
obtener una constante para el resorte de forma que:
Const
t
P6
x
xb
2
==
σ.
)(
(5.34)
Se debe tener presente que el resorte de placa triangular y su equivalente de planchas
múltiples tienen tensiones y deflexiones idénticos con dos excepciones:
I) Si se considera la fricción entre láminas lo que genera amortiguamiento
II) El resorte soporta la carga en una sola dirección
La deflexión del resorte de múltiples láminas se obtiene de la siguiente manera (suponiendo
siempre condición de voladizo):
3
3
tbnE
LP6
...
..
=δ (5.35)
En tanto que la constante de resorte se puede calcular como
3
3
L6
tbnEP
k
...
==
δ
(5.36)
Resorte de tipo disco o Belleville
Estos resortes se pueden ver en la Figura 5.1.f.. Estos resortes reciben el nombre de su
inventor quien los patentó en 1867. Están formados por un disco cónico que apoya sobre un
plano. Son resortes especialmente útiles cuando se requieren grandes fuerzas con pequeños
desplazamientos. En la Figura 5.13 se puede apreciar la variación de carga con respecto a la
variación de desplazamiento en la dirección del eje de simetría. En la Figura 5.14 se puede
apreciar el apilado de estos resortes en serie o en paralelo. La relación de carga a deflexión
viene dada por la siguiente expresión
( )
( ) 





+





−−
−
= 3
22
oI
tt
2
hh
1DK
E4
P
δ
δ
ν
δ.
(5.37)
donde E es el módulo de elasticidad, ν es el coeficiente de Poisson, δ es el desplazamiento
desde cero (resorte descargado) y el factor KI viene dado por:
[ ]
( )







 −
= 2
d
2
d
d
I
R
1R
RLn
6
K
.π
, con
i
o
d
D
D
R = (5.38)
La fuerza que se necesita para aplanar por completo un resorte Bellevile viene dada por la
siguiente expresión:
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

16. Versión 2004
( )22
oI
2
aplanado
1DK
thE4
P
ν−
=
...
(5.39)
Figura 5.13. Curvas de carga de los resortes Belleville.
Figura 5.14. Apilado de resortes Bellevile.
5. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000
[4] C.M. Saravia.y F.E. Dotti, “Máquina de Ensayo de Resortes. Cátedra Elementos de
Maquina. Proyecto de la asignatura”. 2002.
[5] S. P. Timoshenko, “Strength of Materials. Part 1”. Ed. van Nostrand. 1956
[6] A.M. Wahl, ”Mechanical Springs”, Ed. McGraw-Hill. 1963
[7] R.E. Joerres, “Standard Handbook of Machine Design. Chapter 24: Springs”. J.E. Shigley
y C.R. Mischke compilers. Ed. McGraw-Hill. 1996
[8] O. Zimmerli, “Human failures in springs Applications”, The Mainspring, Associated
Spring Corporation, Bristol, Connecticut. Agosto-Septiembre 1957.
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan