Structural Analysis of an Aircraft Fuselage

1. UNIVERSIDAD POLIT´ECNICA DE VALENCIA
Ingenier´ıa Aeron´autica
An´alisis estructural de un fuselaje
Dise˜no Estructural de Aviones
4o
Curso
David Andr´es S´anchez
Adri´an Azor´ın Albero
Valencia, 2013

2. DISE˜NO ESTRUCTURAL DE AVIONES, 2013
TRABAJO DE CURSO. AN´ALISIS DE LA RESISTENCIA DE FUSELAJES.
Titulaci´on Ingenier´ıa Aeron´autica. 4o
Curso
TRABAJO DE CURSO. AN´ALISIS ESTRUCTURAL DE UN FUSELAJE
El presente trabajo tiene como objetivo analizar la capacidad resistente de un fuselaje. La definici´on geom´etrica
del fuselaje se facilita en el plano adjunto, as´ı como los materiales utilizados.
1. Obtener la resistencia a compresi´on fcd de los tres tipos de larguerillos junto con el recubrimiento.
2. Obtener la resistencia a tracci´on fyd de los tres tipos de larguerillos junto con el recubrimiento.
3. Representar las leyes de tensi´on deformaci´on de los tres larguerillos en un mismo gr´afico, seg´un el modelo de
Ramberg-Osgood.
4. Obtener los axiles m´ınimo Nm´ın y m´aximo Nm´ax que resiste la secci´on (para curvatura nula). Calcular los
momentos asociados.
5. Obtener los momentos Mm´ın, Mm´ax para axil nulo (Nx = 0).
6. Obtener y representar el diagrama de interacci´on {Nu, Mu} en hip´otesis no-lineal.
7. Obtener y representar el diagrama de interacci´on {Nu, Mu} asumiendo linealidad entre tensiones/deformaciones
y considerando como criterio de rotura las tensiones m´aximas calculadas arriba. En este apartado debe seguir
asumi´endose que el ancho eficaz es variable con la tensi´on.
8. Obtener el diagrama momento curvatura {χ, M}, cuando Nx = {0.5Nm´ın, 0.2Nm´ın, 0, 0.2Nm´ax, 0.5Nm´ax}.
9. Obtener y representar los flujos debidos a un cortante Vz cuando M = Mm´ax, Nx = 0.
10. Obtener el cortante ´ultimo de la secci´on Vu a partir de los resultados del apartado anterior.
11. Obtener el torsor ´ultimo de la secci´on. Tu.
Notas:
En cada apartado, deber´a realizarse una introducci´on describiendo las bases te´oricas de lo que
se pide, las hip´otesis adoptadas, el procedimiento de c´alculo.
Se recomienda ordenar los c´alculos con una hoja de Excel
Se pueden usar otros programas como Mathematica o Matlab, si se considera necesario.
Se valorar´a el orden y claridad en la presentaci´on de los resultados
Las tensiones se calcular´an en [MPa] y las deformaciones en [mm/m]
Los momentos se obtendr´an en [mkN] y los axiles en [kN]
La curvatura se representar´a en [m−1
]
La presentaci´on del trabajo se realizar´a en formato LaTeX (se facilita plantilla).
Se recomienda ordenar los resultados en forma de tablas y gr´aficos para facilitar la visualizaci´on.

4. DISE˜NO ESTRUCTURAL DE AVIONES
AN´ALISIS ESTRUCTURAL DE UN FUSELAJE
Titulaci´on Ingenier´ıa Aeron´autica. 4o
Curso
1. Resistencia a compresi´on
Para determinar la resistencia a compresi´on de cada larguerillo habr´a que tener en cuenta por una parte
la resistencia a pandeo de Euler y por otra la resistencia a abolladura o crippling. Ambas resistencias se ven
relacionadas mediante la curva de Johnson-Euler, dependiendo de la esbeltez longitudinal (afectar´a a fcr) y la
seccional del perfil (afectar´a a fcc). A continuaci´on se presentan las tablas que se han utilizado para el c´alculo
de las caracter´ısticas de los perfiles y de las diferentes resistencias.
Los larguerillos utilizados son:
Figura 1: Numeraci´on de alas/almas de perfiles seg´un tipo
Para la obtenci´on de los centros de gravedad y los momentos de ´area se han considerado medidas limpias y
pared delgada como se puede ver en la tabla.
bi ti Zi Ai AiZi AiZ2
i fcc,i fcc,iAi
Alma/Ala C´odigo [mm] [mm] [mm] [mm2
] [mm3
] [mm4
] [MPa] [N]
1 1L 25.1 1.2 0 30.06 0.00 0.00 59.95 1802.46
2 1L 25.1 1.2 0 30.06 0.00 0.00 59.95 1802.46
3 2A 10.0 0.6 0 6.00 0.00 0.00 399.17 2395.02
4 2L 5.0 0.6 2.5 3.00 7.50 18.75 303.19 909.57
5 2A 25.0 0.6 12.5 15.00 187.50 2343.75 198.18 2972.70
6 2L 5.0 0.6 22.5 3.00 67.50 1518.75 303.19 909.57
7 2A 10.0 0.6 25 6.00 150.00 3750.00 399.17 2395.02
Totales 93.13 412.50 7631.25 13186.79
Cuadro 1: Larguerillo tipo L1
Los valores de fcc,i se han obtenido de la modelizaci´on de las curvas de crippling para perfiles conformados
en fr´ıo, dependiendo de si su ala o alma tiene borde libre o no y del material del que est´an fabricados. Esto se
refleja en el campo “c´odigo”, cuya explicaci´on (n´umeros y letras) se recoge a continuaci´on:
N´umero:
1: aleaci´on de aluminio 2024-T3
2: aleaci´on de aluminio 7075-T6
1

5. bi ti Zi Ai AiZi AiZ2
i fcc,i fcc,iAi
Alma/Ala C´odigo [mm] [mm] [mm] [mm2
] [mm3
] [mm4
] [MPa] [N]
1 1L 23.4 1.2 0 28.11 0.00 0.00 65.64 1845.30
2 1L 23.4 1.2 0 28.11 0.00 0.00 65.64 1845.30
3 2L 14.0 0.8 0 11.20 0.00 0.00 122.26 1369.35
4 2A 28.0 0.8 14 22.40 313.60 4390.40 226.42 5071.91
5 2A 28.0 0.8 28 22.40 627.20 17561.60 226.42 5071.91
6 2A 28.0 0.8 14 22.40 313.60 4390.40 226.42 5071.91
7 2L 14.0 0.8 0 11.20 0.00 0.00 122.26 1369.35
Totales 145.82 1254.40 26342.40 21645.05
Cuadro 2: Larguerillo tipo L2
bi ti Zi Ai AiZi AiZ2
i fcc,i fcc,iAi
Alma/Ala C´odigo [mm] [mm] [mm] [mm2
] [mm3
] [mm4
] [MPa] [N]
1 1L 112.0 1.2 0 134.40 0.00 0.00 7.95 1067.92
2 1L 112.0 1.2 0 134.40 0.00 0.00 7.95 1067.92
3 2L 16.0 1 0 16.00 0.00 0.00 136.44 2183.01
4 2A 32.0 1 16 32.00 512.00 8192.00 242.47 7759.15
5 2A 32.0 1 32 32.00 1024.00 32768.00 242.47 7759.15
6 2A 32.0 1 16 32.00 512.00 8192.00 242.47 7759.15
7 2L 16.0 1 0 16.00 0.00 0.00 136.44 2183.01
Totales 396.8 2048.00 49152.00 29779.31
Cuadro 3: Larguerillo tipo L3
Letra:
L: borde libre - articulado
A: biarticulado (sin borde libre)
En la figura n´umero 2 mostramos las curvas de resistencia a crippling para perfiles conformados en fr´ıo.
A partir de esta gr´afica podemos estimar la resistencia a compresi´on por abolladura de cada ala y/o alma
del perfil, y con la siguiente f´ormula estimar la del perfil:
fcc =
fcc,1b1t1 + ... + fcc,nbntn
b1t1 + ... + bntn
La resistencia a pandeo de Euler se calcula con la siguiente expresi´on:
fcr =
π2
E
λ2
y
La esbeltez mec´anica se define como sigue:
λy =
LP
iy
siendo LP la longitud de pandeo, que se puede estimar como la longitud entre cuadernas o costillas.
Ambas ecuaciones se relacionan seg´un el modelo de Johnson-Euler, dependiendo de la esbeltez mec´anica. A
continuaci´on definimos los intervalos en los que limita cada resistencia:
fcd =



fcc 1 −
fccλ2
y
4π2E
0 ≤ λy < λL
fcr =
π2
E
λ2
y
λy ≥ λL
o lo que es lo mismo:
2

6. 1
10
100
1000
1 10 100
fcc[MPa]
b/t [-]
Resistencia a crippling para perfiles conformados en frío
1L 2L 1A 2A
Figura 2: Curvas de tensi´on de abolladura para perfiles conformados en fr´ıo
fcd =



fcc 1 −
fccλ2
y
4π2E
fcc/2 ≤ fcd < fcc
fcr fcd < fcc/2
La esbeltez l´ımite se define al igualar fcc/2 y fcr y despejar. Finalmente se obtiene:
λL = π
2E
fcc
En las figuras 3, 4 y 5 se muestran las curvas de Johnson-Euler para cada tipo de larguerillo.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200 250 300
fcc[MPa]
Oy [mm]
Curva de Johnson-Euler L1
Figura 3: Curva de Johnson-Euler para larguerillo tipo L1
Adem´as, el ´area del larguerillo incluye tanto el ´area del perfil como la porci´on de recubrimiento que resiste
la tensi´on.
3

7. 0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200 250 300
fcc[MPa]
Oy [mm]
Curva de Johnson-Euler L2
Figura 4: Curva de Johnson-Euler para larguerillo tipo L2
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 50 100 150 200 250 300
fcc[MPa]
Oy [mm]
Curva de Johnson-Euler L3
Figura 5: Curva de Johnson-Euler para larguerillo tipo L3
Ai = Ωi + bet
El ancho de piel o recubrimiento que contribuir´a a la resistencia a compresi´on depender´a de la tensi´on
aplicada; lo denominaremos ancho eficaz (be = 2 we), y se determinar´a mediante un proceso iterativo, como
sigue:
be = m´ın S, 1.7t
E
|σ|
Los resultados se muestran en la tabla 4.
En la siguiente lista resumimos las caracter´ısticas del perfil tras los c´alculos:
Caracter´ısticas de larguerillo tipo L1:
M´odulo elasticidad: E= 70 GPa
´Area: A = 93.13 mm2
CdG: ZG = 4.429 mm
4

8. Larguerillo L1 L2 L3
fcd[MPa] 116.02 132.71 159.45
λL[−] 98.78 96.48 88.75
we[mm] 25.1 23.4 21.4
Cuadro 4: Resistencias a compresi´on, esbelteces mec´anicas l´ımite y semianchos eficaces
Inercia global: IY = 8433 mm4
Inercia local: Iy = 6605 mm4
Radio giro: iy = 8.42 mm
Longitud pandeo: LP = 500 mm
Esbeltez mec´anica: λy = 59.37
Tensi´on de Euler: fcr = 196.01 MPa
Tensi´on abolladura: fcc = 141.60 MPa
Resistencia compresi´on: fcd = 116.02 MPa
Esbeltez mec´anica l´ımite: λL= 98.78
Espesor recubrimiento: tr = 1.2 mm
Ancho eficaz: we = 25.1 mm
Separaci´on m´axima: S = 174 mm
Caracter´ısticas de larguerillo tipo L2:
M´odulo elasticidad: E= 70 GPa
´Area: A = 145.82 mm2
CdG: ZG = 8.602 mm
Inercia global: IY = 29278 mm4
Inercia local: Iy = 18488 mm4
Radio giro: iy = 11.26 mm
Longitud pandeo: LP = 500 mm
Esbeltez mec´anica: λy = 44.41
Tensi´on de Euler: fcr = 350.36 MPa
Tensi´on abolladura: fcc = 148.44 MPa
Resistencia compresi´on: fcd = 132.71 MPa
Esbeltez mec´anica l´ımite: λL= 96.48
Espesor recubrimiento: tr = 1.2 mm
Ancho eficaz: we = 23.4 mm
Separaci´on m´axima: S = 215 mm
Caracter´ısticas de larguerillo tipo L3:
M´odulo elasticidad: E= 70 GPa
´Area: A = 179.29 mm2
CdG: ZG = 11.423 mm
Inercia global: IY = 54625 mm4
Inercia local: Iy = 31231 mm4
Radio giro: iy = 13.20 mm
Longitud pandeo: LP = 500 mm
Esbeltez mec´anica: λy = 37.88
Tensi´on de Euler: fcr = 481.38 MPa
5

9. Tensi´on abolladura: fcc = 175.44 MPa
Resistencia compresi´on: fcd = 159.45 MPa
Esbeltez mec´anica l´ımite: λL= 88.75
Espesor recubrimiento: tr = 1.2 mm
Ancho eficaz: we = 21.4 mm
Separaci´on m´axima: S = 224 mm
2. Resistencia a tracci´on
Para el c´alculo de la resistencia a tracci´on se proceder´a de igual forma que en el caso anterior; sin embargo,
ahora es m´as sencillo puesto que el ´area de los larguerillos no depende de la tensi´on debido a que se encuentran
traccionados y el ancho eficaz del recubrimiento ser´a m´aximo, es decir:
be = S
La expresi´on para estimar la resistencia a tracci´on es:
fyd =
Ωifyp + bitifyr
Ωi + biti
siendo fyr la resistencia a tracci´on del recubrimiento y fyp la resistencia a tracci´on de los perfiles. Adem´as
cabe comentar que Ωi se refiere al ´area del perfil excluyendo el ancho eficaz que contribuye a soportar la tensi´on.
Finalmente presentamos los resultados en la tabla n´umero 5.
Larguerillo L1 L2 L3
fyd[MPa] 465.43 491.45 501.39
we[mm] 87 107.5 112
Cuadro 5: Resistencias a tracci´on y semianchos eficaces
En la siguiente lista resumimos las caracter´ısticas del perfil tras los c´alculos:
Caracter´ısticas de larguerillo tipo L1:
M´odulo elasticidad: E= 70 GPa
L´ımite el´astico recubrimiento: fyd,rec = 430 MPa
L´ımite el´astico larguerillo: fyd,lar = 530 MPa
´Area: A = 241.8 mm2
CdG: ZG = 1.706 mm
Inercia global: IY = 8450 mm4
Inercia local: Iy = 7747 mm4
Radio giro: iy = 5.66 mm
Resistencia a tracci´on: fyd = 465.43 MPa
Espesor recubrimiento: tr = 1.2 mm
Ancho eficaz: we = 87 mm
Separaci´on m´axima: S = 174 mm
Caracter´ısticas de larguerillo tipo L2:
M´odulo elasticidad: E= 70 GPa
L´ımite el´astico recubrimiento: fyd,rec = 430 MPa
L´ımite el´astico larguerillo: fyd,lar = 530 MPa
6

10. ´Area: A = 347.6 mm2
CdG: ZG = 3.609 mm
Inercia global: IY = 29303 mm4
Inercia local: Iy = 24776 mm4
Radio giro: iy = 8.44 mm
Resistencia a tracci´on: fyd = 491.45 MPa
Espesor recubrimiento: tr = 1.2 mm
Ancho eficaz: we = 107.5 mm
Separaci´on m´axima: S = 215 mm
Caracter´ısticas de larguerillo tipo L3:
M´odulo elasticidad: E= 70 GPa
L´ımite el´astico recubrimiento: fyd,rec = 430 MPa
L´ımite el´astico larguerillo: fyd,lar = 530 MPa
´Area: A = 396.8 mm2
CdG: ZG = 5.161 mm
Inercia global: IY = 54651 mm4
Inercia local: Iy = 44081 mm4
Radio giro: iy = 10.54 mm
Resistencia a tracci´on: fyd = 501.39 MPa
Espesor recubrimiento: tr = 1.2 mm
Ancho eficaz: we = 112 mm
Separaci´on m´axima: S = 224 mm
3. Leyes de tensi´on-deformaci´on
En esta secci´on representaremos las leyes de tensi´on-deformaci´on adoptadas para los tres larguerillos, seg´un
el modelo de Ramberg-Osgood. Este modelo tiene en cuenta la plasticidad del material una vez se sobrepasa
el r´egimen el´astico, se trata por tanto de un modelo no lineal. Empezamos presentando la ecuaci´on que lo
caracteriza:
ǫx =
1
E
σx +
fn
m
σx
fn
m
Se observa que en la expresi´on aparece la tensi´on fn, que desconocemos y, por lo tanto, deberemos calcular
usando la siguiente ecuaci´on que relaciona la tensi´on y deformaci´on ´ultima, el par´ametro m caracter´ıstico del
material y el m´odulo de elasticidad E:
fn = fult
m ǫult E
fult
− 1
m−1
Mostramos a continuaci´on los valores de fn calculados y otros par´ametros relacionados con el modelo em-
pleado que nos servir´an m´as adelante y cuya expresi´on podemos encontrar en la ESDU 76016:
E fyd fn m ǫt k β
Larguerillo [MPa] [MPa] [MPa] [−] [mm/m] [−] [−]
L1 70000 465.43 360.46 23 80 17.310 0.742
L2 70000 491.45 381.55 23 80 17.310 0.742
L3 70000 501.39 389.62 23 80 17.310 0.742
Cuadro 6: Tensiones y par´ametros para tracci´on
Con todo esto podemos representar las curvas para cada larguerillo. Se pueden ver en la figura 6.
7

11. E fcd fn m ǫu k β
Larguerillo [MPa] [MPa] [MPa] [−] [mm/m] [−] [−]
L1 70000 -116.02 -84.52 16 -12 11.777 0.726
L2 70000 -132.71 -97.55 16 -12 11.777 0.726
L3 70000 -159.45 -118.64 16 -12 11.777 0.726
Cuadro 7: Tensiones y par´ametros para compresi´on
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
-20 0 20 40 60 80 100
V[MPa]
ϵ [mm/m]
Curvas de Ramberg-Osgood
L1 L2 L3
Figura 6: Modelo de Ramberg-Osgood
4. Axiles m´ınimo y m´aximo
Para el c´alculo de los axiles m´ınimo y m´aximo deberemos modelizar en primer lugar el fuselaje, obteniendo
las coordenadas de cada larguerillo estableciendo un sistema de referencia inicial arbitrario (se situar´a en el
larguerillo superior 01). A partir de ah´ı se calcular´a el centro de gravedad y se establecer´a ese punto como el
centro del sistema de referencia. Presentamos en la tabla 8 estos resultados.
El centro de gravedad del fuselaje se encuentra, seg´un el sistema de referencia arbitrario:
ZG = 1362.23 mm
YG = 0 mm
Representamos el semifuselaje para mostrar la modelizaci´on hecha en la figura 7.
Ahora deberemos imponer las deformaciones ´ultimas en los larguerillos para calcular el axil m´aximo y
m´ınimo.
4.1. Axil m´ınimo
El axil m´ınimo se corresponde al axil m´aximo en m´odulo de compresi´on. Se calcular´a imponiendo deformaci´on
´ultima de compresi´on (ǫu) en todos los larguerillos:
ǫ1 = ǫu = −12 mm/m
ǫ2 = ǫu = −12 mm/m
Cabe destacar que en la deformaci´on se est´a siguiendo una hip´otesis de deformaci´on plana, es decir, defor-
maci´on lineal. La caracterizaremos por los par´ametros ǫ0 y κ, que son la deformaci´on en z = 0 y la pendiente,
respectivamente. Se calculan como sigue, aunque ya conocemos sus valores para este caso en particular:
8

12. Larguerillo Tipo w1,m´ax w2,m´ax Yi Zi Ai,m´axni Ai,m´axZi zi
[mm] [mm] [mm] [mm] [mm2
] [mm3
] [mm]
1 L1 87.0 87.0 0.00 0.00 241.8 0E+00 -1362.23
2 L1 87.0 87.0 172.59 20.01 483.6 1E+04 -1342.21
3 L1 87.0 87.0 335.99 78.99 483.6 4E+04 -1283.24
4 L1 87.0 87.0 481.50 173.80 483.6 8E+04 -1188.43
5 L1 87.0 87.0 601.37 299.40 483.6 1E+05 -1062.83
6 L2 107.5 107.5 717.32 481.47 695.2 3E+05 -880.76
7 L2 107.5 107.5 817.50 671.88 695.2 5E+05 -690.35
8 L2 107.5 107.5 896.65 871.94 695.2 6E+05 -490.28
9 L2 107.5 107.5 953.84 1079.36 695.2 8E+05 -282.87
10 L2 107.5 107.5 988.43 1291.71 695.2 9E+05 -70.52
11 L2 107.5 107.5 1000.00 1506.55 695.2 1E+06 144.33
12 L3 112.0 112.0 974.93 1729.07 793.6 1E+06 366.85
13 L3 112.0 112.0 900.97 1940.44 793.6 2E+06 578.21
14 L3 112.0 112.0 781.83 2130.04 793.6 2E+06 767.82
15 L3 112.0 112.0 623.49 2288.39 793.6 2E+06 926.16
16 L3 112.0 112.0 433.88 2407.52 793.6 2E+06 1045.29
17 L3 112.0 112.0 222.52 2481.48 793.6 2E+06 1119.25
18 L3 112.0 112.0 0.00 2506.55 396.8 1E+06 1144.33
11505.8 15673531
Cuadro 8: Modelizaci´on de fuselaje: coordenadas de larguerillos
κ =
ǫ2 − ǫ1
z2 − z1
=
ǫ2 − ǫ1
h
= 0 m−1
ǫ0 = ǫ1 − κz1 = ǫ2 − κz2 = −12 mm/m
siendo h la altura total del fuselaje, que es 2506.55 mm; z1 y z2 son la coordenada vertical seg´un el sistema
de referencia situado en el centro de gravedad para el larguerillo inferior y el superior, respectivamente.
Los axiles en cada larguerillo se calculan de la siguiente forma:
Nx,i = Aiσi
Y los momentos asociados:
My,i = Aiσizi = Nx,izi
Presentamos los c´alculos, que recogemos mediante la tabla 9.
Las variables hacen referencia a:
´Area de perfil y ancho eficaz de recubrimiento: Ai = w1t + w2t + Ωi
N´umero de larguerillos (por simetr´ıa vertical de fuselaje): ni
De la tabla anterior obtenemos el axil m´ınimo y su momento asociado:
Axil m´ınimo: Nx,min = Nx,i = −700.55 kN
Momento concomitante asociado: My,Nmin
= My,Ni
= −99.12 kN · m
4.2. Axil m´aximo
El axil m´aximo se corresponde al axil m´aximo en m´odulo de tracci´on. Se calcular´a imponiendo deformaci´on
´ultima de tracci´on (ǫt) en todos los larguerillos:
ǫ1 = ǫt = 80 mm/m
9

13. CdG
0
500
1000
1500
2000
2500
050010001500
Z[mm]
Y [mm]
Coordenadas semifuselaje
Figura 7: Coordenadas de larguerillos en fuselaje
ǫ2 = ǫt = 80 mm/m
Los par´ametros ǫ0 y κ, toman los siguientes valores, sabiendo que estamos en hip´otesis de tensi´on plana:
κ =
ǫ2 − ǫ1
z2 − z1
=
ǫ2 − ǫ1
h
= 0 m−1
ǫ0 = ǫ1 − κz1 = ǫ2 − κz2 = 80 mm/m
Presentamos los c´alculos, que se realizar´an de forma an´aloga al caso anterior, mediante la tabla 10.
De la tabla anterior obtenemos el axil m´aximo y su momento concomitante asociado:
Axil m´aximo: Nx,max = Nx,i = 5649.16 kN
Momento concomitante asociado: My,Nmax
= My,Ni
= 112.34 kN · m
5. Momento m´ınimo y m´aximo para axil nulo
En este apartado se calcular´an los l´ımites de momento cuando se tiene un axil nulo aplicado sobre la secci´on
del fuselaje. Este axil tendr´a asociados dos momentos que ser´an los m´aximos en m´odulo que soportar´a la
secci´on. Como se ver´a m´as adelante, si barremos los diferentes axiles a los que puede estar sometido el fuselaje
(delimitados por el axil m´aximo y m´ınimo previamente calculados), se obtendr´a el diagrama de interacci´on.
5.1. Momento m´ınimo
Para el c´alculo de Mmin impondremos, en principio, la rotura del larguerillo inferior por compresi´on (ǫ1 = ǫu)
y emplearemos como par´ametro de iteraci´on la deformaci´on en el larguerillo superior (ǫ2). Esto es as´ı porque para
el c´alculo de este momento tenemos tracci´on en el larguerillo superior y compresi´on en el inferior, y queremos
obtener justamente el punto en el que se produce la rotura. Estamos suponiendo, en principio, que la rotura se
produce antes a compresi´on que a tracci´on. Dicho esto, definimos la siguiente funci´on objetivo:
ψ (ǫ2) = |Nx (ǫ2) − N0|
10

14. Larguerillo Tipo σi w1 w2 Ωi Ai ni Nx,i My,i
[MPa] [mm] [mm] [mm2
] [mm2
] [−] [kN] [kN · m]
1 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 1 -10.80 14.71
2 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 29.00
3 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 27.72
4 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 25.67
5 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 2 -21.60 22.96
6 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 34.07
7 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 26.70
8 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 18.97
9 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 10.94
10 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 2.73
11 L2 -132.62 23.43 23.43 89.60 145.84 2 -38.68 -5.58
12 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -20.95
13 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -33.02
14 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -43.85
15 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -52.90
16 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -59.70
17 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 2 -57.11 -63.92
18 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 1 -28.56 -32.68
-700.55 -99.12
Cuadro 9: Tensiones y momentos para c´alculo de axil m´ınimo
Larguerillo Tipo σi w1 w2 Ωi Ai ni Nx,i My,i
[MPa] [mm] [mm] [mm2
] [mm2
] [−] [kN] [kN · m]
1 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 1 112.54 -153.31
2 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -302.11
3 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -288.84
4 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -267.50
5 L1 465.43 87.00 87.00 33.00 241.80 2 225.08 -239.23
6 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -300.91
7 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -235.86
8 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -167.51
9 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -96.64
10 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 -24.09
11 L2 491.44 107.50 107.50 89.60 347.60 2 341.65 49.31
12 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 145.97
13 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 230.07
14 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 305.52
15 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 368.52
16 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 415.93
17 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 2 397.90 445.36
18 L3 501.39 112.00 112.00 128.00 396.80 1 198.95 227.67
5649.16 112.34
Cuadro 10: Tensiones y momentos para c´alculo de axil m´aximo
11

15. Donde N0 es el valor del axil para el que vamos a obtener los dos momentos asociados que rompen la secci´on.
Calcularemos Nx (ǫ2) y minimizaremos la funci´on objetivo anterior (tratando de anular la diferencia entre axiles
calculado y dato) mediante la iteraci´on de ǫ2 con el paquete Solver de Excel. De esta manera, una vez anulada
la funci´on objetivo, con el valor de ǫ2 obtenido podemos ya obtener el momento m´ınimo asociado al valor del
axil N0: Mmin = My (ǫ2).
Hay que decir que lo expuesto en el p´arrafo superior es v´alido mientras ǫ2 < ǫt. En el momento en el que en
el larguerillo superior se alcanza ǫt se deber´a cambiar el procedimiento de c´alculo, de manera que a partir de
dicho momento se impondr´a ǫ2 = ǫt y se utilizar´a ǫ1 como par´ametro de deformaci´on en la iteraci´on, obteniendo
el momento m´ınimo como: Mmin = My (ǫ1).
Fijando el axil dato a cero e iterando las deformaciones como se ha comentado obtenemos los resultados
recogidos en la tabla 11.
Larguerillo Tipo σi w1 w2 Ωi Ai ni Nx,i My,i
[MPa] [mm] [mm] [mm2
] [mm2
] [−] [kN] [kN · m]
1 L1 274.60 87.00 87.00 33.00 241.80 1 66.40 -90.45
2 L1 265.74 87.00 87.00 33.00 241.80 2 128.51 -172.49
3 L1 239.55 87.00 87.00 33.00 241.80 2 115.84 -148.66
4 L1 197.39 87.00 87.00 33.00 241.80 2 95.46 -113.44
5 L1 141.54 87.00 87.00 33.00 241.80 2 68.45 -72.75
6 L2 60.57 107.50 107.50 89.60 347.60 2 42.11 -37.09
7 L2 -24.11 54.96 54.96 89.60 221.51 2 -10.68 7.37
8 L2 -101.41 26.80 26.80 89.60 153.92 2 -31.22 15.31
9 L2 -116.18 25.04 25.04 89.60 149.69 2 -34.78 9.84
10 L2 -122.34 24.40 24.40 89.60 148.16 2 -36.25 2.56
11 L2 -125.66 24.07 24.07 89.60 147.38 2 -37.04 -5.35
12 L3 -153.19 21.80 21.80 128.00 180.33 2 -55.25 -20.27
13 L3 -155.31 21.65 21.65 128.00 179.97 2 -55.90 -32.32
14 L3 -156.84 21.55 21.55 128.00 179.72 2 -56.37 -43.28
15 L3 -157.93 21.47 21.47 128.00 179.54 2 -56.71 -52.52
16 L3 -158.67 21.42 21.42 128.00 179.42 2 -56.94 -59.52
17 L3 -159.10 21.39 21.39 128.00 179.35 2 -57.07 -63.87
18 L3 -159.24 21.39 21.39 128.00 179.32 1 -28.56 -32.68
0 -909.61
Cuadro 11: Tensiones y momentos para c´alculo de momento m´ınimo para axil nulo
En la figura 8 se muestran representadas las deformaciones y tensiones en cada uno de los larguerillos en
esta situaci´on (Mmin para axil nulo).
Las deformaciones impuestas para obtener los resultados anteriores han sido:
ǫ1 = −12.00 mm/m
ǫ2 = 3.92 mm/m
ǫ0 = −4.73 mm/m
κ = −6.35 × 10−3
m−1
Finalmente, el momento m´ınimo para axil nulo ser´a:
My,min = −909.61 kN · m
5.2. Momento m´aximo
Para el c´alculo de Mmax el procedimiento es an´alogo al anterior. Impondremos en principio la rotura del
larguerillo superior por compresi´on (ǫ2 = ǫu) y emplearemos como par´ametro de iteraci´on la deformaci´on en el
12

16. 0
500
1000
1500
2000
2500
-15 -10 -5 0 5
Z[mm]
H [mm/m]
Deformaciones
0
500
1000
1500
2000
2500
-200 -100 0 100 200 300
Z[mm]
V [MPa]
Tensiones
Figura 8: Deformaciones y tensiones para la situaci´on de Mmin con axil nulo
larguerillo inferior (ǫ1). Esto es as´ı porque para el c´alculo de este momento tenemos tracci´on en el larguerillo
inferior y compresi´on en el superior, y queremos obtener justamente el punto en el que se produce la rotura.
Definimos la siguiente funci´on objetivo:
ψ (ǫ1) = |Nx (ǫ1) − N0|
Donde N0 es el valor del axil para el que vamos a obtener los dos momentos asociados que rompen la secci´on.
Calcularemos Nx (ǫ1) y minimizaremos la funci´on objetivo anterior (tratando de anular la diferencia entre axiles
calculado y dato) mediante la iteraci´on de ǫ1 con el paquete Solver de Excel. De esta manera, una vez anulada
la funci´on objetivo, con el valor de ǫ1 obtenido podemos ya obtener el momento m´aximo asociado al valor del
axil N0: Mmax = My (ǫ1).
Al igual que en el caso anterior, hay que decir que lo expuesto en el p´arrafo superior es v´alido mientras
ǫ1 < ǫt. En el momento en el que en el larguerillo inferior se alcanza ǫt se deber´a cambiar el procedimiento de
c´alculo, de manera que a partir de dicho momento se impondr´a ǫ1 = ǫt y se utilizar´a ǫ2 como par´ametro de
deformaci´on en la iteraci´on, obteniendo el momento m´aximo como: Mmax = My (ǫ2).
En la tabla 12 se presentan los resultados para axil nulo.
En la figura 9 se muestran representadas las deformaciones y tensiones en cada uno de los larguerillos en
esta situaci´on (Mmax para axil nulo).
Las deformaciones impuestas para obtener estos resultados han sido:
ǫ1 = 2.48 mm/m
ǫ2 = −12.00 mm/m
ǫ0 = −4.13 mm/m
κ = 5.78 × 10−3
m−1
13

17. Larguerillo Tipo σi w1 w2 Ωi Ai ni Nx,i My,i
[MPa] [mm] [mm] [mm2
] [mm2
] [−] [kN] [kN · m]
1 L1 -115.97 25.06 25.06 33.00 93.14 1 -10.80 14.71
2 L1 -115.90 25.07 25.07 33.00 93.16 2 -21.60 28.99
3 L1 -115.69 25.09 25.09 33.00 93.22 2 -21.57 27.68
4 L1 -115.32 25.13 25.13 33.00 93.31 2 -21.52 25.58
5 L1 -114.82 25.19 25.19 33.00 93.44 2 -21.46 22.81
6 L2 -130.33 23.64 23.64 89.60 146.33 2 -38.14 33.60
7 L2 -129.20 23.74 23.74 89.60 146.58 2 -37.88 26.15
8 L2 -127.77 23.87 23.87 89.60 146.90 2 -37.54 18.40
9 L2 -125.88 24.05 24.05 89.60 147.33 2 -37.09 10.49
10 L2 -123.10 24.32 24.32 89.60 147.97 2 -36.43 2.57
11 L2 -118.32 24.81 24.81 89.60 149.14 2 -35.29 -5.09
12 L3 -124.38 24.20 24.20 128.00 186.08 2 -46.29 -16.98
13 L3 -55.30 36.29 36.29 128.00 215.09 2 -23.79 -13.76
14 L3 21.37 112.00 112.00 128.00 396.80 2 16.96 13.02
15 L3 85.41 112.00 112.00 128.00 396.80 2 67.78 62.77
16 L3 133.58 112.00 112.00 128.00 396.80 2 106.01 110.81
17 L3 163.49 112.00 112.00 128.00 396.80 2 129.75 145.22
18 L3 173.63 112.00 112.00 128.00 396.80 1 68.90 78.84
0 585.81
Cuadro 12: Tensiones y momentos para c´alculo de momento m´aximo para axil nulo
Y finalmente, el momento m´aximo para axil nulo ser´a:
My,max = 585.81 kN · m
6. Diagrama de interacci´on en hip´otesis no lineal
6.1. Introducci´on
En el presente apartado vamos a obtener y representar el diagrama de interacci´on {Nu, Mu} en hip´otesis no
lineal. En primer lugar debemos decir que la rotura en la secci´on frente a esfuerzos normales se produce cuando
al menos un larguerillo alcanza la deformaci´on ´ultima, que puede ser a tracci´on o a compresi´on. De esta manera,
el diagrama de interacci´on se define como el conjunto de puntos en los que al menos un larguerillo ha alcanzado
la deformaci´on ´ultima.
Se trata, por tanto, de una regi´on de pares de puntos {momento, axil} en la que no se produce rotura,
delimitada por un contorno de puntos en los que s´ı hay rotura. En el eje horizontal tendremos representado el
axil y en el vertical el momento. Para cada valor del axil hay asociados dos momentos que rompen la secci´on,
que denominaremos Mmax y Mmin.
El procedimiento de c´alculo que se va a llevar a cabo se basa en la obtenci´on de este diagrama punto por
punto, obteniendo las distintas situaciones de rotura de la secci´on. Para ello se va a imponer el l´ımite de rotura
en los larguerillos superior o inferior (ǫ2, ǫ1) dependiendo del caso. En definitiva, estableceremos un intervalo
de valores para el axil Nx y calcularemos para cada uno de ellos los dos momentos asociados que rompen la
secci´on.
6.2. C´alculo y resultados
6.2.1. Proceso de c´alculo
Llegados a este punto podemos proceder de diversas maneras, la primera ser´ıa aplicar lo comentado en el
apartado anterior para diferentes axiles dato, dentro del intervalo [Nx,min, Nx,max], haciendo uso del paquete
Solver. De esta forma se fijar´ıa el axil y se calcular´ıa el par de momentos ´ultimos asociado.
14

18. 0
500
1000
1500
2000
2500
-15 -10 -5 0 5
Z[mm]
H [mm/m]
Deformaciones
0
500
1000
1500
2000
2500
-200 -100 0 100 200
Z[mm]
V [MPa]
Tensiones
Figura 9: Deformaciones y tensiones para la situaci´on de Mmax con axil nulo
Otra forma de calcular el diagrama de interacci´on ser´ıa fijar deformaci´on ´ultima en el larguerillo superior
(ǫ2) o inferior (ǫ1) e ir variando la del otro larguerillo, acatando siempre la hip´otesis de linealidad de las
deformaciones. El procedimiento completo ser´ıa el explicado a continuaci´on:
Fijar ǫ2 = ǫ1 = ǫu → se calcular´ıa el momento ´ultimo asociado al axil m´ınimo.
Fijar ǫ2 = ǫu variando ǫ1 hasta un valor de ǫt → se obtendr´ıan los momentos ´ultimos positivos, desde el
axil m´ınimo hasta el momento ´ultimo m´aximo.
Fijar ǫ1 = ǫt variando ǫ2 hasta un valor de ǫt → se obtendr´ıan los momentos ´ultimos positivos, desde el
axil correspondiente al momento ´ultimo positivo hasta el axil m´aximo.
Fijar ǫ1 = ǫ2 = ǫt → se calcular´ıa el momento ´ultimo asociado al axil m´aximo.
Fijar ǫ2 = ǫt variando ǫ1 hasta un valor de ǫu → se obtendr´ıan los momentos ´ultimos negativos, desde el
axil m´aximo hasta el momento ´ultimo m´ınimo.
Fijar ǫ1 = ǫu variando ǫ2 hasta un valor de ǫu → se obtendr´ıan los momentos ´ultimos negativos, desde el
axil correspondiente al momento ´ultimo negativo hasta el axil m´ınimo.
Cabe destacar que, pese a que este ´ultimo m´etodo es m´as sencillo, adoptamos el comentado en primer lugar,
es decir, fijamos un axil dato y calculamos los pares de momentos ´ultimos asociados mediante iteraci´on de la
funci´on objetivo.
6.2.2. Resultados y diagrama de interacci´on
Hemos establecido un intervalo de valores para el axil desde Nx,min hasta Nx,max, ya calculados antes, con
un espaciado entre valores de 250 kN. Para cada uno de estos valores del axil hemos llevado a cabo el procedi-
miento descrito en los puntos anteriores, obteniendo los resultados recogidos en la tabla 13.
Representando gr´aficamente los valores de la tabla anterior obtenemos el diagrama de interacci´on en hip´otesis
no-lineal (figura 10).
15

19. Nx Mmin Mmax
[kN] [kN · m] [kN · m]
-700.55 -99.12 -99.12
-500.00 -334.92 94.00
-250.00 -630.56 345.46
0.00 -909.61 585.81
250.00 -1174.13 818.10
500.00 -1417.02 1040.77
750.00 -1620.45 1261.44
1000.00 -1797.80 1467.04
1250.00 -1943.84 1651.30
1500.00 -2058.52 1810.65
1750.00 -2140.89 1941.52
2000.00 -2188.03 2047.03
2250.00 -2204.07 2121.32
2500.00 -2186.63 2165.15
2750.00 -2143.65 2174.46
3000.00 -2070.09 2152.47
3250.00 -1979.63 2099.39
3500.00 -1865.21 2016.52
3750.00 -1708.16 1912.44
4000.00 -1502.90 1779.04
4250.00 -1273.72 1634.16
4500.00 -1026.42 1433.33
4750.00 -763.27 1162.12
5000.00 -495.87 857.00
5250.00 -225.28 535.59
5500.00 18.75 225.54
5649.15 112.32 112.32
Cuadro 13: Valores diagrama de interacci´on
16

20. -2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
My[kN·m]
Nx [kN]
Diagrama de interacción
My,mín My,máx
Figura 10: Diagrama de interacci´on (hip´otesis no-lineal)
7. Diagrama de interacci´on en hip´otesis lineal
7.1. Introducci´on
En este punto vamos a obtener y representar el diagrama de interacci´on {Nu, Mu} asumiendo linealidad
entre tensiones/deformaciones y considerando como criterio de rotura las tensiones m´aximas calculadas en los
primeros apartados.
A diferencia del apartado 3, en el que hemos representado las leyes de tensi´on-deformaci´on de los tres tipos
de larguerillo seg´un el modelo de Ramberg-Osgood (modelo no lineal), en este caso vamos a emplear un modelo
lineal. Para determinar el criterio de rotura en deformaciones calcularemos las deformaciones ´ultimas asociadas
a las tensiones m´aximas de tracci´on y compresi´on para cada tipo de larguerillo (ya calculadas antes) a partir
del m´odulo de elasticidad del material E.
Mientras que con Ramberg-Osgood asum´ıamos que el material plastificaba deform´andose una cierta cantidad
tras el punto de cambio de pendiente de la curva hasta alcanzar la deformaci´on ´ultima, en hip´otesis lineal tenemos
un comportamiento totalmente el´astico. La ley de tensi´on-deformaci´on en este caso ser´a:
σx = E ǫx
Y el intervalo de deformaciones a considerar entre los puntos de rotura ser´a el siguiente:
−
fcd
E
≤ ǫx ≤
fyd
E
Por otra parte, hay que decir que aunque vamos a emplear un modelo lineal para la ley de tensi´on-
deformaci´on, vamos a seguir asumiendo que el ancho eficaz es variable con la tensi´on.
Por ´ultimo, dado que el criterio de hip´otesis lineal (elasticidad) es m´as conservador que el criterio no lineal,
es de esperar a priori que el diagrama de interacci´on que obtengamos se encuentre en la regi´on interior del
diagrama obtenido en el punto anterior. Posteriormente se representar´an conjuntamente ambos para comprobar
que se cumple esto.
7.2. Modelo lineal de tensi´on-deformaci´on para cada tipo de larguerillo
De los primeros apartados tenemos los siguientes datos (tablas 14, 15 y 16).
Los puntos l´ımite de rotura en deformaciones para los tres tipos de larguerillo se resumen en la tabla 17.
17

21. E fcd fyd
[MPa] [MPa] [MPa]
70000 -116.02 465.43
Cuadro 14: Tensiones m´aximas (L1)
E fcd fyd
[MPa] [MPa] [MPa]
70000 -132.71 491.45
Cuadro 15: Tensiones m´aximas (L2)
Gr´aficamente las leyes de tensi´on-deformaci´on en hip´otesis lineal para cada uno de los larguerillos son las
mostradas en la figura 11.
7.3. C´alculo y resultados
7.3.1. C´alculo de Mmax
Para el c´alculo de Mmax vamos a suponer, en primer lugar, que la rotura se produce por compresi´on en el lar-
guerillo superior (ǫ2 = ǫu) con el valor de deformaci´on correspondiente al tipo de larguerillo L1 (ǫ2 = −1.66 mm/m).
Estableceremos un intervalo de valores para el axil que abarque desde Nmin hasta Nmax, y para cada valor cal-
cularemos el correspondiente momento m´aximo que produce la rotura.
El valor de Nmin lo obtenemos a partir del an´alisis de los valores de deformaci´on de los larguerillos en el l´ımite
de rotura, mostrados antes en la tabla correspondiente. Podemos ver que los larguerillos tipo L3 son capaces
de soportar hasta una deformaci´on l´ımite por compresi´on ǫu = −2.28 mm/m. Si imponemos directamente este
valor de deformaci´on en todos los larguerillos de la secci´on, l´ogicamente esta habr´a fallado, pues los larguerillos
tipo L1 y L2 rompen antes que los L3.
Si en lugar de eso imponemos en todos los larguerillos de la secci´on el valor m´ınimo de ǫu, correspondiente
a los larguerillos tipo L1, entonces podemos asegurar que en ese punto se producir´a la rotura debido al fallo
por compresi´on de los larguerillos L1, y podemos obtener directamente el valor del axil que provoca esta
situaci´on. No obstante, vamos a demostrar a continuaci´on que la secci´on es capaz de soportar un axil por
compresi´on todav´ıa menor (m´as negativo) que el correspondiente a dicha situaci´on. Para obtener este Nmin,
fijamos ǫ1 = −2.28 mm/m e iteramos con ǫ2 hasta el punto l´ımite en el que se produce la rotura en al menos
un larguerillo intermedio de la secci´on. Los valores obtenidos para dicho punto son los siguientes:
ǫ1 = −2.28 mm/m
ǫ2 = −1.3204 mm/m
Nmin = −652.44 kN
De manera an´aloga obtenemos Nmax fijando ǫ1 = 7.16 mm/m e iterando con ǫ2 hasta el punto l´ımite en el
que se produce la rotura en al menos un larguerillo intermedio de la secci´on. Los valores obtenidos en este caso
son:
ǫ1 = 7.16 mm/m
ǫ2 = 6.579 mm/m
Nmax = 5554.42 kN
E fcd fyd
[MPa] [MPa] [MPa]
70000 -159.45 501.39
Cuadro 16: Tensiones m´aximas (L3)
18

22. fcd ǫu fyd ǫt
[MPa] [mm/m] [MPa] [mm/m]
L1 -116.02 -1.66 465.43 6.65
L2 -132.71 -1.9 491.45 7.02
L3 -159.45 -2.28 501.39 7.16
Cuadro 17: L´ımites de rotura
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
-4 -2 0 2 4 6 8
V[MPa]
ϵ [mm/m]
Ley tensión-deformación con hipótesis lineal
L3 L2 L1
Figura 11: Ley tensi´on-deformaci´on (hip´otesis lineal)
Una vez que tenemos Nmin y Nmax, como hemos comentado antes, estableceremos un intervalo de valores
para el axil entre esos l´ımites con un espaciado de 250 kN. Para cada axil en ese rango calcularemos el momento
m´aximo asociado que produce la rotura, a partir de fijar ǫ2 = ǫu e iterar con ǫ1 minimizando la siguiente funci´on
objetivo con Solver:
ψ (ǫ1) = |Nx (ǫ1) − N0|
No obstante, en cada iteraci´on, una vez que hemos obtenido el ǫ1 correspondiente, debemos comprobar que
no se ha producido la rotura en ninguno de los larguerillos intermedios de la secci´on. Esto es as´ı porque, tal
como se muestra en la tabla de los l´ımites de rotura para cada tipo de larguerillo, el larguerillo inferior puede
llegar a aguantar hasta una deformaci´on por tracci´on de ǫt = 7.16 mm/m, pero los larguerillos intermedios
aguantan menos que este l´ımite. Podr´ıa ocurrir, por tanto, que obtuvi´esemos un valor de ǫ1 por debajo del ǫt
correspondiente, pero ya se hubiese producido la rotura en alguno o varios de los larguerillos intermedios de
la secci´on. Por ello, para cada valor del axil se calcula el momento m´aximo asociado y se comprueba que no
haya roto ning´un larguerillo intermedio. Si se da esta situaci´on, se debe imponer el valor de la deformaci´on m´as
limitante para obtener la situaci´on l´ımite en la que se producir´ıa la rotura de estos larguerillos intermedios, y
entonces obtener el momento correspondiente.
Como ejemplo de lo explicado en el p´arrafo superior vamos a analizar qu´e ocurre cuando deseamos calcular
el momento m´aximo asociado al caso particular de un axil dato Nx = −600 kN. Como estamos calculando
el Mmax imponemos ǫ2 = −1.66 mm/m e iteramos con ǫ1. Al hacer esto obtenemos: ǫ1 = −1.72 mm/m,
pero se ha producido la rotura de los larguerillos 2, 3, 4 y 5 (todos los del tipo L1 menos el primero). Es-
to era de esperar observando el valor obtenido para ǫ1 tras la iteraci´on, pues tenemos en la parte superior
ǫ = −1.66 mm/m, en la inferior ǫ = −1.72 mm/m, los primeros larguerillos (tipo L1) tienen un l´ımite igual al
primero (ǫu = −1.66 mm/m) y al ser el perfil de deformaci´on lineal, estos primeros larguerillos romper´an por
superar el valor l´ımite de deformaci´on a compresi´on que les corresponde.
La soluci´on a lo anterior consiste en imponer entonces ǫ1 = −1.66 mm/m manteniendo ǫ2 = −1.66 mm/m.
19

23. De esta manera estamos ajustando el l´ımite de rotura de los primeros larguerillos que antes romp´ıan al haber
iterado ǫ1. Los valores que obtenemos al hacer esto son:
Nx = −589.47 kN
ǫ1 = −1.66 mm/m
ǫ2 = −1.66 mm/m
Mmax = −35.69 kN · m
Por otra parte, hay que destacar que para los axiles dato positivos el momento m´aximo se calcula como se
ha expuesto al principio del presente punto, es decir, imponiendo ǫ2 = −1.66 mm/m e iterando con ǫ1. Llega un
momento en el que las tracciones en los larguerillos de la parte inferior de la secci´on superan el valor l´ımite de los
larguerillos tipo L3 (ǫt = 7.16 mm/m). Cuando ocurre esto, lo que se hace es imponer entonces ǫ1 = 7.16 mm/m,
que es el que limita a partir de ese punto, e iterar con ǫ2 obteniendo los correspondientes momentos m´aximos.
De esta forma se asegura que no se produce rotura en ninguno de los larguerillos intermedios.
7.3.2. C´alculo de Mmin
El c´alculo de Mmin es an´alogo al c´alculo de Mmax, teniendo en cuenta que en este caso imponemos que la
rotura se produce por compresi´on en el larguerillo inferior (ǫ1 = ǫu) con el valor de deformaci´on correspondiente
al tipo de larguerillo L3 (ǫ1 = −2.28 mm/m). Se itera con ǫ2 para cada valor del axil y se obtiene el correspon-
diente momento m´ınimo. Al igual que se ha explicado en el punto anterior, es necesario ir comprobando en la
iteraci´on para cada valor del axil que no se produce rotura en ninguno de los larguerillos intermedios. En el mo-
mento en el que esto ocurre se ajustan las deformaciones al caso m´as limitante para obtener el correspondiente
Mmin.
7.3.3. Resultados y diagrama de interacci´on
Hemos establecido un intervalo de valores para el axil desde Nmin hasta Nmax, ya calculados antes, con un
espaciado entre valores de 250 kN. Para cada uno de estos valores del axil hemos llevado a cabo el procedimiento
descrito en los puntos anteriores, obteniendo los resultados de la tabla 18.
Representando gr´aficamente los valores de la tabla anterior obtenemos el diagrama de interacci´on en hip´otesis
lineal (figura 12).
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
My[kN·m]
Nx [kN]
Diagrama de interacción
My,mín My,máx
Figura 12: Diagrama de interacci´on (hip´otesis lineal)
20

24. Nx Mmin Mmax
[kN] [kN · m] [kN · m]
-652.44 -116.14
-600.00 -146.16
-589.47 -152.34 -35.69
-550.00 -176.13 -13.03
-500.00 -208.65 15.78
-250.00 -421.93 172.30
0.00 -626.83 353.67
250.00 -821.68 522.73
500.00 -1010.46 683.30
750.00 -1192.80 838.46
1000.00 -1374.03 988.37
1250.00 -1549.41 1136.81
1500.00 -1723.97 1281.89
1750.00 -1826.82 1424.98
2000.00 -1744.29 1567.80
2250.00 -1646.31 1710.13
2500.00 -1522.63 1849.88
2750.00 -1389.31 1875.09
3000.00 -1255.99 1753.77
3250.00 -1122.67 1599.09
3500.00 -989.35 1440.38
3750.00 -856.03 1281.67
4000.00 -722.71 1122.97
4250.00 -589.38 964.26
4500.00 -456.06 805.55
4750.00 -322.74 646.84
5000.00 -189.42 488.13
5250.00 -56.10 329.43
5355.20 0.00 262.64
5554.42 136.17
Cuadro 18: Valores diagrama de interacci´on
21

25. 7.4. Comparaci´on diagramas de interacci´on en hip´otesis no-lineal y lineal
En el siguiente gr´afico se ha representado de manera conjunta el diagrama de interacci´on obtenido antes
para hip´otesis no-lineal y el obtenido para hip´otesis lineal en el presente apartado. Se puede apreciar el efecto
conservador de la hip´otesis lineal entre tensiones/deformaciones, tal como se ha anunciado en los primeros
p´arrafos. El modelo lineal predice unos momentos m´aximos y m´ınimos de rotura de la secci´on menores en valor
absoluto que los predichos por el modelo no lineal, como se puede ver en la figura 13.
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
My[kN·m]
Nx [kN]
Diagrama de interacción
My,mín My,máx My,mín My,máx
Figura 13: Diagrama de interacci´on (hip´otesis no-lineal y lineal)
8. Diagrama momento curvatura
8.1. Introducci´on y proceso de c´alculo
A continuaci´on vamos a obtener el diagrama momento curvatura {κ, M} para diferentes valores del axil.
Concretamente vamos a estudiar los siguientes casos: Nx = {0.5 Nmin, 0.2 Nmin, 0, 0.2 Nmax, 0.5 Nmax} repre-
sentando en cada caso el diagrama momento curvatura correspondiente.
El diagrama momento curvatura para un axil dado representa una sucesi´on de pares de puntos {κ, M} que
abarca desde Mmin hasta Mmax correspondiente a dicho axil. Consta de una parte aproximadamente lineal en
la que la pendiente se corresponde con la rigidez a flexi´on, de acuerdo a la siguiente expresi´on:
My = E Iy κ
El procedimiento de c´alculo que vamos a llevar a cabo consiste en fijar un valor de la deformaci´on y obtener
para dicha deformaci´on la curvatura κ y el momento M correspondientes. Para obtener la parte de curvaturas
y momentos positivos fijaremos ǫ2, mientras que para la parte negativa lo haremos con ǫ1.
Expondremos el proceso de c´alculo solamente para la parte positiva por simplificar, ya que la negativa es
totalmente an´aloga. Como hemos expuesto arriba, fijamos ǫ2 y establecemos un valor inicial para Z0 (posici´on
de la l´ınea neutra de la secci´on), que ser´a nuestro par´ametro de iteraci´on. Se puede trabajar con distintas
combinaciones de par´ametros caracter´ısticos del problema. En nuestro caso, se ha decidido trabajar con ǫ2 y Z0
de tal manera que una vez fijados estos es posible obtener directamente ǫ0 y κ, pues conocemos perfectamente la
geometr´ıa. Con estos dos ´ultimos tenemos la deformaci´on en cada uno de los larguerillos ǫi, con lo que podemos
obtener tensiones σi, ´areas Ai, axiles Ni y momentos Mi. De esta manera tenemos:
Nx (Z0) = Ni
22

26. My (Z0) = Mi
Y definiendo la funci´on objetivo:
ψ (Z0) = |Nx (Z0) − N0|
Se trata ahora de iterar con Z0 para el valor fijado de ǫ2 con objeto de minimizar esta funci´on para el axil
dato que se est´a considerando. Tras la minimizaci´on obtenemos la Z0 soluci´on de tal manera que ya tenemos
κ (ǫ2, Z0) y M (ǫ2, Z0). Repitiendo este proceso para el resto de deformaciones ǫ2 del intervalo escogido iremos
obteniendo los distintos puntos de la parte positiva del diagrama.
Las expresiones empleadas para el c´alculo de ǫ0 y κ las obtenemos a partir de la expresi´on de la deformaci´on
para un larguerillo:
ǫi = ǫ0 + κ zi
Imponiendo lo siguiente:
ǫ2 = ǫ0 + κ (− |z2|)
0 = ǫ0 + κ (− |z2| + Z0)
Resolviendo para ǫ0 y κ:
ǫ0 = ǫ2 1 −
|z2|
Z0
κ = −
ǫ2
Z0
Donde z2, seg´un nuestra geometr´ıa, es: z2 = −1.362 m
Para el caso de la parte negativa de la curva, como se ha comentado antes, el proceso es an´alogo pero
estableciendo un intervalo de valores para ǫ1 en lugar de ǫ2. En este caso trabajaremos con ǫ1 y Z0, obteniendo
ǫ0 y κ a partir de las expresiones que se deducen de las siguientes ecuaciones:
ǫ1 = ǫ0 + κ z1
0 = ǫ0 + κ (− |z2| + Z0)
Resolviendo:
ǫ0 = −ǫ1
Z0 − |z2|
z1 + |z2| − Z0
κ = −
ǫ1
Z0 − z1 − |z2|
Donde z1, seg´un nuestra geometr´ıa, es: z1 = 1.144 m
8.2. Resultados y diagrama momento curvatura
Siguiendo el procedimiento descrito en el punto anterior, y habiendo establecido un intervalo de diez valores
para la deformaci´on ǫ entre 0 y ǫu, los resultados obtenidos se recogen en las tablas 19, 20, 21 y 22.
Hay que decir que para el caso de la curva correspondiente a 0.5 Nmax ha sido necesario a˜nadir adicional-
mente algunos puntos en la zona de curvaturas peque˜nas para obtener una mejor representaci´on gr´afica. No
obstante, en la parte de curvaturas muy peque˜nas correspondientes a la parte negativa del diagrama se obten´ıa
un error significativamente elevado al iterar con Solver.
La figura 14 muestra en un mismo gr´afico los diferentes diagramas momento curvatura para cada uno de los
axiles propuestos en el enunciado.
23

27. 0.5 Nmin (-350.27 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 2.36E-04 9.18E-04 1.49E-03 2.04E-03 2.58E-03
My (kN · m) 0.00 37.04 120.18 159.08 182.92 200.23
0.2 Nmin (-140.11 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 5.85E-04 1.20E-03 1.80E-03 2.36E-03 2.90E-03
My (kN · m) 0.00 177.52 278.24 341.14 372.02 393.32
0 ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 7.40E-04 1.38E-03 1.97E-03 2.54E-03 3.10E-03
My (kN · m) 0.00 276.56 396.52 456.16 492.19 517.62
0.2 Nmax (1129.83 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 1.83E-03 2.54E-03 3.19E-03 3.82E-03 4.43E-03
My (kN · m) 0.00 965.36 1154.77 1274.78 1355.13 1415.48
0.5 Nmax (2824.58 kN) ǫ2 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 3.83E-03 4.89E-03 5.92E-03 0.01 7.97E-03
My (kN · m) 0.00 1706.41 1853.80 1942.41 2010.17 2053.57
Cuadro 19: Momento curvatura (ǫ2 entre 0 y -6 mm/m)
0.5 Nmin (-350.27 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) 3.11E-03 3.63E-03 4.15E-03 4.67E-03 5.18E-03
My (kN · m) 213.58 223.95 232.54 239.83 245.96
0.2 Nmin (-140.11 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) 3.44E-03 3.98E-03 4.51E-03 5.03E-03 5.56E-03
My (kN · m) 409.61 423.44 435.02 444.52 452.53
0 ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) 3.64E-03 4.18E-03 4.72E-03 5.25E-03 5.78E-03
My (kN · m) 536.81 551.81 564.97 576.38 585.81
0.2 Nmax (1129.83 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) 5.02E-03 5.62E-03 6.20E-03 6.79E-03 7.37E-03
My (kN · m) 1459.75 1496.56 1525.64 1546.38 1564.28
0.5 Nmax (2824.58 kN) ǫ2 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) 8.98E-03 1.00E-02 1.10E-02 1.20E-02 1.30E-02
My (kN · m) 2088.78 2117.10 2140.08 2158.19 2172.97
Cuadro 20: Momento curvatura (ǫ2 entre -7.2 y -12 mm/m)
0.5 Nmin (-350.27 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 -3.23E-04 -1.14E-03 -1.77E-03 -2.36E-03 -2.93E-03
My (kN · m) 0.00 -83.45 -289.00 -367.62 -411.87 -441.69
0.2 Nmin (-140.11 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 -6.90E-04 -1.45E-03 -2.10E-03 -2.71E-03 -3.30E-03
My (kN · m) 0.00 -251.85 -476.13 -571.66 -625.20 -662.08
0 ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 -8.69E-04 -1.64E-03 -2.31E-03 -2.93E-03 -3.53E-03
My (kN · m) 0.00 -363.03 -594.39 -699.58 -760.73 -802.52
0.2 Nmax (1129.83 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 -2.17E-03 -3.01E-03 -3.79E-03 -4.57E-03 -5.32E-03
My (kN · m) 0.00 -1161.23 -1448.28 -1594.99 -1683.39 -1740.88
0.5 Nmax (2824.58 kN) ǫ1 (mm/m) 0 -1.2 -2.4 -3.6 -4.8 -6
κ (m−1
) 0.00 -5.53E-03 -7.32E-03 -9.04E-03 -1.07E-02 -1.23E-02
My (kN · m) 0.00 -1730.85 -1868.68 -1946.64 -1993.02 -2028.41
Cuadro 21: Momento curvatura (ǫ1 entre 0 y -6 mm/m)
24

28. 0.5 Nmin (-350.27 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) -3.48E-03 -4.02E-03 -4.56E-03 -5.10E-03 -5.62E-03
My (kN · m) -463.33 -479.68 -493.04 -504.21 -513.52
0.2 Nmin (-140.11 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) -3.88E-03 -4.44E-03 -4.99E-03 -5.53E-03 -6.08E-03
My (kN · m) -689.76 -710.61 -727.76 -741.72 -753.84
0 ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) -4.11E-03 -4.68E-03 -5.25E-03 -5.80E-03 -6.35E-03
My (kN · m) -833.46 -857.70 -878.01 -895.67 -909.61
0.2 Nmax (1129.83 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) -6.07E-03 -6.81E-03 -7.53E-03 -8.25E-03 -8.98E-03
My (kN · m) -1782.79 -1816.23 -1839.46 -1858.89 -1875.84
0.5 Nmax (2824.58 kN) ǫ1 (mm/m) -7.2 -8.4 -9.6 -10.8 -12
κ (m−1
) -1.40E-02 -1.56E-02 -1.72E-02 -1.88E-02 -2.04E-02
My (kN · m) -2056.33 -2078.02 -2096.96 -2113.71 -2127.05
Cuadro 22: Momento curvatura (ǫ1 entre -7.2 y -12 mm/m)
Hay varios aspectos importantes a destacar que se deducen de la figura anterior. En primer lugar, se puede
ver que la curva momento curvatura para cada uno de los axiles dato se mueve entre dos valores de momento
l´ımite, que son precisamente el Mmax y el Mmin asociados al axil en cuesti´on. Si se comparan estos valores
l´ımite para un axil en concreto con los que aporta el diagrama de interacci´on en hip´otesis no lineal (ya mostrado
anteriormente) para dicho axil, se puede comprobar que efectivamente coinciden. Esto ya era de esperar, pues
el intervalo de deformaciones que hemos definido para la representaci´on abarca hasta la deformaci´on ´ultima a
compresi´on (ǫu) que es capaz de soportar el larguerillo superior (ǫ2) o inferior (ǫ1), seg´un el caso para Mmax o
Mmin, repectivamente.
Por otro lado, se puede apreciar tambi´en que a medida que el axil es mayor (m´as positivo) la separaci´on
entre los l´ımites de Mmin y Mmax aumenta, es decir, la secci´on es capaz de soportar momentos mayores hasta
la rotura. Adem´as, puede verse que entre Nx = 0 y Nx = 0.2 Nmax hay un salto especialmente relevante en esta
separaci´on. Este comportamiento queda justificado porque la tracci´on alivia la parte comprimida de la secci´on,
por lo que esta es capaz de soportar un mayor momento hasta alcanzar la deformaci´on ´ultima a compresi´on.
9. Flujos de cortante
9.1. Introducci´on y proceso de c´alculo
En este apartado vamos a obtener y representar los flujos debidos a un cortante Vz cuando M = Mmax,
Nx = 0. Esta situaci´on de momento m´aximo y axil nulo nos determina la geometr´ıa que debemos considerar
para el estudio, pues quedan perfectamente determinados los anchos eficaces a tener en cuenta en la zona de
compresi´on. Por tanto, a partir de la informaci´on de M = Mmax y Nx = 0 definiremos una nueva posici´on del
centro de gravedad y calcularemos un nuevo momento de inercia. Para ello asumiremos los larguerillos con sus
anchos eficaces como ´areas discretas cuyo valor obedece a la siguiente expresi´on:
Ai = w1 t + w2 t + Ωi
Los valores de estas ´areas se muestran en el cuadro 12, mostrado antes para el c´alculo del momento m´aximo
M = Mmax.
El centro de gravedad con esta configuraci´on y el momento de inercia son los siguientes:
ZG = Ai Zi
Ai
= 1.677 m
Iy = Ai z2
i = 4.78 × 109
mm4
Donde la referencia para el c´alculo del centro de gravedad se ha tomado en el larguerillo superior, con la
parte positiva del eje Z hacia abajo. La posici´on se muestra en la figura 15.
25

29. -2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
My[kN·m]
N [-]
Diagrama momento-curvatura
Nx = -350 kN Nx = -140 kN Nx = 0 kN Nx = 2825 kN Nx = 1130 kN
Figura 14: Diagrama momento curvatura
Para el c´alculo de los flujos asumiremos la hip´otesis lineal y los calcularemos de acuerdo a la siguiente
expresi´on general para cada uno de los paneles entre larguerillos:
qij = q0 −
Vz Ai zi
Iy
−
Vy Ai yi
Iz
Asumimos que los flujos se concentran en los paneles entre larguerillos y que el flujo entre dos larguerillos
consecutivos es constante.
En nuestro caso, como solamente vamos a analizar los flujos debidos a un cortante Vz, la expresi´on a emplear
ser´a:
qij = q0 −
Vz Ai zi
Iy
Para calcular el flujo de un panel necesitamos, por tanto, el flujo del panel anterior y el momento est´atico del
´area discreta entre ambos paneles. Hay que a˜nadir que este ´area discreta debe incluir no solamente el ´area del
perfil del larguerillo, sino tambi´en el ancho efectivo de piel a su alrededor que es capaz de resistir los esfuerzos.
Seg´un la hip´otesis de c´alculo no lineal que estamos llevando a cabo, para una situaci´on de M = Mmax, Nx = 0
habr´a unos larguerillos que trabajen a compresi´on y otros a tracci´on, habiendo una reducci´on de ´area en los
que lo hacen a compresi´on, en funci´on de la tensi´on a la que est´an sometidos. Por tanto, para el c´alculo de ca-
da uno de los flujos en los paneles habr´a que considerar el ´area discreta correspondiente para el momento est´atico.
9.2. C´alculo y resultados
Para poder calcular el flujo asociado al panel 1-2 (q1,2) necesitamos imponer la condici´on de simetr´ıa que
tenemos en el fuselaje respecto al eje vertical. Tenemos lo siguiente:
q1,2 = q34,1 −
Vz A1 z1
Iy
26

30. CdG
CdG anchos
reducidos
0
500
1000
1500
2000
2500
-1500-1000-500050010001500
Z[mm]
Y [mm]
Posición CdG para cortante
Figura 15: Posici´on del centro de gravedad con anchos eficaces
Por simetr´ıa: q34,1 = −q1,2
Por tanto:
2 q1,2 = −
Vz A1 z1
Iy
q1,2 = −
Vz A1 z1
2 Iy
A partir del flujo en el panel 1-2 ya podemos calcular el resto de flujos en los paneles, pues conocemos
perfectamente la geometr´ıa y las ´areas discretas para el caso M = Mmax, Nx = 0. Calcularemos los flujos
solamente para los paneles de un lado del fuselaje pues, como hemos comentado ya, hay simetr´ıa respecto al eje
vertical. El proceso de c´alculo es el siguiente:
q1,2 = −Vz A1 z1
2 Iy
= 0.016 Vz
q2,3 = q1,2 − Vz A2 z2
Iy
= 0.049 Vz
q3,4 = q2,3 − Vz A3 z3
Iy
= 0.080 Vz
Y as´ı sucesivamente para todos los paneles.
Los resultados obtenidos se resumen en la tabla 23.
Estos flujos de cortante se representan gr´aficamente sobre la secci´on en la figura 16 y en la 17 podemos verlos
de forma m´as visual aplicados en cada panel.
10. Cortante ´ultimo de la secci´on
10.1. Introducci´on y proceso de c´alculo
En este punto vamos a calcular el cortante ´ultimo de la secci´on Vzu. Para ello necesitamos, en primer lugar,
los flujos de cortante en cada uno de los paneles (ya calculados en el punto anterior). A partir de ellos calculamos
27

31. Panel qij/Vz
[1/m]
1,2 0.016
2,3 0.049
3,4 0.080
4,5 0.109
5,6 0.136
6,7 0.172
7,8 0.203
8,9 0.228
9,10 0.246
10,11 0.258
11,12 0.264
12,13 0.262
13,14 0.250
14,15 0.212
15,16 0.162
16,17 0.101
17,18 0.034
Cuadro 23: Flujos de cortante
las tensiones tangenciales con el espesor de cada uno de los paneles: τij = qij/tij. Una vez calculadas las tensiones
debemos observar qu´e panel tiene el valor de tensi´on tangencial m´as elevado, pues este ser´a el panel cr´ıtico que
primero romper´a. Estableceremos, por tanto, lo siguiente:
τmax = max {τij}
τmax ≤ τu
Donde τu es la resistencia tangencial de la piel, que en nuestro caso vale: τu = 160 MPa. El espesor de la
piel t es constante para todos los paneles y vale: t = 1.2 mm.
De la ´ultima desigualdad obtendremos el cortante ´ultimo Vzu.
10.2. C´alculo y resultados
A partir de los flujos de cortante calculados en el punto anterior, las tensiones tangenciales en cada uno de
los paneles son las mostradas en la tabla 24.
Donde observamos que el panel cr´ıtico es el 11, 12 con un valor de tensi´on tangencial:
τmax = 219.643 Vz
Por tanto:
219.643 Vz ≤ τu
Y obtenemos:
Vz ≤ 728.455 kN
Donde 728.455 kN es el valor del cortante ´ultimo de la secci´on Vzu.
28

32. 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
1,2
2,3
3,4
4,5
5,6
6,7
7,8
8,9
9,10
10,11
11,12
12,13
13,14
14,15
15,16
16,17
17,18
qz,ij/Vz [m-1]
tramoij
Flujos cortantes
Figura 16: Flujos de cortante
11. Torsor ´ultimo de la secci´on
11.1. Introducci´on y proceso de c´alculo
En este apartado vamos a calcular el torsor ´ultimo de la secci´on Txu. Para ello consideraremos el fuselaje
como una secci´on cerrada de una celda en la que tenemos aplicado un torsor Tx. Los flujos ser´an constantes y
de igual valor en todos los paneles, de acuerdo a la siguiente expresi´on:
q =
Tx
2 AR
Donde AR es el ´area encerrada en la celda (secci´on del fuselaje), que en nuestro caso vale:
AR = 3.925 × 106
mm2
Ahora se trata de calcular las tensiones tangenciales en cada uno de los paneles: τij = qij/tij y, como los
flujos tienen el mismo valor en todos ellos, el panel cr´ıtico que est´e sometido a una mayor tensi´on tangencial
ser´a aquel que tenga un espesor t menor. Tendremos, por tanto, lo siguiente:
τmax = max {τij}
τmax ≤ τu
Obteniendo de esta desigualdad el valor del torsor ´ultimo de la secci´on Txu.
29

33. 0
500
1000
1500
2000
2500
-100100300500700900110013001500
z[mm]
y [mm]
Representación visual de flujos por paneles
Figura 17: Flujos de cortante (representaci´on visual)
11.2. C´alculo y resultados
En nuestro caso el espesor es el mismo para todos los paneles (t = 1.2 mm), por tanto, tendremos:
τmax =
q
t
= 106.16 Tx
Donde el valor 106.16 est´a calculado en unidades [1/m3
].
De la desigualdad:
106.16 Tx ≤ τu
Obtenemos:
Tx ≤ 1507.13 kN · m
Donde 1507.13 kN · m es el valor del torsor ´ultimo de la secci´on Txu.
30

34. Panel qij/Vz τij/Vz
[1/m] [1/m2
]
1,2 0.016 13.605
2,3 0.049 40.495
3,4 0.080 66.443
4,5 0.109 90.876
5,6 0.136 113.300
6,7 0.172 143.746
7,8 0.203 169.386
8,9 0.228 189.967
9,10 0.246 205.292
10,11 0.258 215.216
11,12 0.264 219.643
12,13 0.262 217.967
13,14 0.250 208.123
14,15 0.212 176.871
15,16 0.162 134.678
16,17 0.101 84.242
17,18 0.034 28.671
Cuadro 24: Tensiones tangenciales
31