ESCUELA PROFESIONAL
INGENIERIA CIVIL
MATEMÁTICA I

La ecuación del ingreso total
mensual, “I”, de cierta compañía es:
I = 4p2 –180p; donde “p” es el
precio en dólares del producto que
fabrica esa compañía.
Determine: ¿Cuál deberá será el
precio de aquel producto para que
el ingreso total mensual sea de por
lo menos $3 600?
CASO APLICATIVO:

LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de
aprendizaje, el estudiante resuelve
ejercicios y problemas aplicados a
ingeniería haciendo uso de las
ecuaciones con una sola variable y
de grado superior; para lo cual
sigue una secuencia lógica e
interpreta sus resultados.

SABERES PREVIOS
 Números reales.
 Reducir expresiones algebraicas.

TEORÍA DE
ECUACIONES
CLASE DE
IGUALDAD
Una relación de comparación que
se establece entre dos expresiones
el cual nos indica que tienen el
mismo valor:
A = B
1er. Miembro 2do. miembro
Igualdad
Aquella que se verifica para ciertos
valores particulares que se les
atribuye a sus incógnitas.
Ejm: 2x + 1 = x + 7
Se verifica sólo si: x = 6
Aquella que se verifica para todos los
valores asignados a sus incógnitas.
Ejm: 𝑥 + 1 2
= 𝑥2
+ 2𝑥 + 1
la igualdad se verifica para cualquier valor
real de “x”.
una
es
es
Absolutas incondicionales Relativas condicionales
es

ECUACIONES
Una igualdad numérica se compone de dos expresiones
numéricas iguales unidas por el signo igual (=).
2º miembro
1er miembro
10 + 2 = 4 + 8
Una ecuación es una igualdad en cuyos
miembros hay letras y números relacionados
por operaciones aritméticas.
La incógnita es la letra cuyo valor se
desconoce
2x + 3 = 9x -1
3(2-x) = 5(x + 2)

La ecuación es de primer grado si la incógnita
lleva de exponente 1
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Términos
Independientes
Incógnitas
-3 - 2x = 5x + 4
1er Miembro 2do Miembro

CLASES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1. Ecuaciones lineales
2. Ecuaciones con símbolos de agrupación: ( ), [ ], { }
3. Ecuaciones con fracciones
Ejemplos:
2𝑥 + 5 = 3 − 2𝑥 3𝑥 − 2 = 15
5 3𝑥 − 2 + 3𝑥 = 3 + 4𝑥 2𝑥 + 3𝑦 = 13
3𝑥
2
+ 4 =
5𝑥
3
−
1
2

Las ecuaciones de primer grado son del tipo:
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, con 𝑎 ≠ 0,
o cualquier otra ecuación en la que al operar,
trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.
Ecuaciones de primer grado

• Resolución de ecuaciones de primer grado
• En general para resolver una ecuación de primer
grado debemos seguir los siguientes pasos:
• 1º Quitar paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }
• 2º Quitar denominadores.
• 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los
términos independientes en el otro.
• 4º Reducir los términos semejantes
algebraicamente
• 5º Despejar la incógnita.

Transposición de términos en una ecuación
Ya has visto que para resolver ecuaciones lo que
hacemos es eliminar términos sumando, restando,
multiplicando o dividiendo los dos miembros de la
ecuación por un mismo número o expresión. Ese
proceso podemos realizarlo de manera más rápida
haciendo que ese mismo término aparezca en el otro
miembro de forma «inversa» a como estaba:
► Si estaba sumando, aparece restando, y si estaba restando,
aparece sumando.
► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba
dividiendo, aparece multiplicando.
Esta técnica se denomina transposición de términos.

Transposición de términos en una ecuación
a) Si sumamos a los dos
miembros +8,
b) De la misma forma, para eliminar +2x del segundo
miembro lo pasamos al primero como –2x.
c) Operamos y, en la ecuación obtenida 2x = 14,
pasamos el 2 al segundo miembro dividiendo. Este
último paso se llama despejar la incógnita.
2x = 14
x = = 7
14
2
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 2x = 6 + 8
EJEMPLO Transposición de términos
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 = 6 + 2x
4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 8
4x = 6 + 2x + 8
Esto equivale a pasar directamente el término –8 al
segundo miembro como +8.

Resolver las siguientes ecuaciones
1) 3𝑥 + 81 + 16𝑥 − 20 = 15𝑥 + 23 − 6𝑥 + 26
2) 35 − 22𝑥 + 6 − 18𝑥 = 14 − 30𝑥 + 32

a) Resolución de Ecuaciones de primer grado con signos
de agrupación
1)3𝑥 − 2𝑥 − 1 = 7𝑥 − 3 − 5𝑥 + (−𝑥 + 24)
2)𝑥 − 5 + 3𝑥 − 5𝑥 − 6 + 𝑥 = −3

a) Resolución de Ecuaciones de primer grado utilizando propiedad distributiva
Se sabe que la propiedad distributiva de los números reales está dada
por:
𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ.
Resolver las siguientes ecuaciones
1) 10 𝑥 − 9 − 9 5 − 6𝑥 = 2 4𝑥 − 1 + 5(1 + 2𝑥)
2) 4𝑥 − 2𝑥 + 3 3𝑥 − 5 = 49 − (6𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

Resolver las siguientes ecuaciones
1) 3𝑥 −
2𝑥
5
=
𝑥
10
−
7
4
2)
2𝑥−1
3
−
𝑥+13
24
= 3𝑥 +
5(𝑥+1)
8
3)
1
5
𝑥 − 2 − 2𝑥 − 3 =
2
3
4𝑥 + 1 −
1
6
(2𝑥 + 7)

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
La longitud de un rectángulo excede al ancho en 8m. Si cada dimensión se
aumenta en 3 metros el área se aumentaría en 57 m2. Hallar las dimensiones
del rectángulo.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
El perímetro de un triángulo isósceles es
54 cm y la base excede en 3 cm a uno de
los lados del triángulo. Determinar la
medida de los lados del triángulo.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
El signo de Δ nos permite conocer el tipo de soluciones de
la ecuación:
• Si Δ > 0, hay dos soluciones reales distintas.
• Si Δ = 0, hay dos soluciones reales iguales.
• Si Δ < 0, no hay soluciones reales (hay dos soluciones
complejas distintas).
INTRODUCCIÓN
La forma general de una ecuación de segundo grado o
ecuación cuadrática es:
Por comodidad, resolveremos la ecuación de tres formas
distintas según los valores de los coeficientes b y c.
Se llama discriminante Δ,

ECUACIONES INCOMPLETAS
TIPO 1
Si b = 0, la ecuación es de la forma
Las soluciones son:
Ejemplo:
TIPO 2
Si c = 0, la ecuación es de la forma
Las soluciones son
Ejemplo:

ECUACIÓN COMPLETA
Si b, c ≠ 0, se dice que la ecuación es completa y sus soluciones
las proporciona la fórmula
Ejemp
Es una ecuación completa con coeficientes a = 1, b = 3, c = 2.
Aplicamos la fórmula:

MÉTODO DEL ASPA
Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo
grado y el resultado es cero (0) o un número que tiene raíz
cuadrada exacta, entonces, se puede resolver por el
método del aspa, en caso contrario no es posible resolver
por éste método
Para resolver una ecuación de segundo grado, por el
método del aspa, se sigue los siguientes pasos:
 Se factoriza el polinomio (el término de las variables x, y los
términos independientes) en aspa
 La suma algebraica de los términos debe ser igual al
término línea en x
 Cada factor se iguala a cero
 Se despeja las variables, y los resultados obtenidos son el
conjunto solución o raíces de la ecuación

EJEMPLOS
x2 – 6x + 8 = 0
x - 4 - 4x (+)
x - 2 - 2x
x2 + 8 - 6x
(x – 4) (x – 2) = 0
x – 4 = 0 x – 2 = 0
x1 = 4 x2 = 2
x2 – 5x - 24 = 0
x - 8 - 8x (+)
x + 3 + 3x
x2 - 24 - 5x
(x – 8) (x + 3) = 0
x – 8 = 0 x + 3 = 0
x1 = 8 x2 = -3

VALOR DE UN POLINOMIO
3x2 – 4x - 15 = 0
3x + 5 + 5x (+)
x - 3 - 9x
x2 - 15 - 4x
(3x + 5) (x – 3) = 0
3x + 5 = 0 x – 3 = 0
3x = - 5 x2 = 3
x1 = - 5/3

B. Fórmula General
Para determinar las raíces de toda ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, se puede aplicar
la fórmula general. Para obtener esta fórmula, utilizaremos el método de completar cuadrados:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ↔ 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 = −
𝑐
𝑎
↔ 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑏2
4𝑎2
= −
𝑐
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
↔ 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
↔ 𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
↔ 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Por lo tanto, las raíces de una ecuación cuadrática se pueden calcular, aplicando la fórmula general:
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Donde ∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐, se denomina discriminante de la ecuación.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
a) Resolver 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0
𝑥 =
− −2 ± 4 − 4 3 −1
6
=
2 ± 16
6
𝑥1 = 1 ∨ 𝑥2 = −1/3
a) Resolver 2𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0
𝑥 =
− −5 ± 25 − 4 2 4
4
=
5 ± −7
4
No admite solución real.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0
2) 4𝑥2
− 5𝑥 + 1 = 0
3) 𝑥 − 2 𝑥 + 3 = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
4) (5𝑥 − 4)2
− 3𝑥 + 5 2𝑥 − 1 = 20𝑥 𝑥 − 2 + 27

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1. Luciana es dos años mayor que Alejandro, y la suma de los
cuadrados de ambas edades es 130 años. ¿Cuántos años
tiene Luciana?

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Un campo rectangular es tal que su largo es el triple de su
ancho. Si se aumenta el largo en 20 metros y el ancho en 8
metros, el área se triplica. ¿Cuál es el área del rectángulo?

2. Dos automóviles parten de una intersección a la misma hora. Un
auto viaja hacia el norte y el otro hacia el oeste. Cuando el auto que
iba al norte había viajado 24 millas, la distancia entre los autos era
de cuatro millas más que tres veces la distancia recorrida por el auto
que iba al oeste. Halle la distancia entre los automóviles en ese
momento.
Primero haga un diagrama.
Dado que los automóviles viajan al
norte y al oeste desde el mismo
punto de partida, el triángulo hecho
para conectar la distancia entre
ellos es un triángulo rectángulo.
Dado que tiene un triángulo
rectángulo, puede usar el teorema
de Pitágoras para establecer una
ecuación que relacione las
longitudes de los lados del triángulo.

El teorema de Pitágoras es un teorema de geometría que
establece que en todo triángulo rectángulo,
a2 + b2 = c2
donde a y b son los catetos del triángulo y c es el lado más
largo, la hipotenusa.
La ecuación para este problema es:
x2 + 242 = (3x + 4)2
x2 + 576 = 9x2 + 24x + 16 x2 - 9x2 - 24x + 576 - 16 = 0
-8x2 - 24x - 560 = 0 8x2 + 24x + 560 = 0
8 ÷(8x2 + 24x + 560) = 0 x2 +3x + 70 = 0
(x – 7)(x + 10) = 0 x – 7 = 0 x + 10 = 0
x = 7 x = -10 (se
descarta por
ser negativo
Remplazando: 3(7) + 4 = 25 millas

ECUACIONES POLINÓMICAS
3.-Ecuaciones Polinómicas de mayor grado
Son aquellas ecuaciones de la forma:
𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0
Donde 𝑛 ≥ 3 y 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 son números reales.
Método de resolución de ecuaciones de grado superior
Para obtener las soluciones de una ecuación de grado superior, es necesario factorizar
el polinomio en factores lineales. Para ello aplicaremos el método de Ruffini (también
puede aplicar métodos algebraicos). Luego de descomponer el polinomio, igualamos
cada factor a cero y se obtiene las raíces de la ecuación.

ECUACIONES POLINÓMICAS

ECUACIONES POLINÓMICAS

ECUACIONES POLINÓMICAS

ECUACIONES POLINÓMICAS

ECUACIONES RACIONAL
A.2.-Ecuaciones Racionales
Son aquellas ecuaciones equivalentes a una ecuación cuyo primer
término es un cociente de polinomios y el segundo es cero, es decir:
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
= 0
Podemos notar que la incógnita aparecerá en el denominador.
Las soluciones de estas ecuaciones son las soluciones de la ecuación
Polinómica obtenida al igualar el numerador a cero que además NO
anulan al polinomio del denominador, es decir las soluciones de la
ecuación P(x)=0 que no anulan al denominador Q(x).

ECUACIONES RACIONAL
PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN RACIONAL
Paso 1.- Factorizamos los denominadores, de presentarse el caso.
Paso 2.- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.
Paso 3.- Reducimos a una sola fracción, operando las fracciones.
Paso 4.-Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los
denominadores. Recuerde que los valores donde el denominador es cero, no son
parte de la solución.
Paso4.- Resolvemos la ecuación del denominador.

ECUACIONES RACIONAL

ECUACIONES RACIONAL

ECUACIONES RACIONAL

ECUACIONES RACIONAL

ECUACIONES IRRACIONAL
Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales son igualdades con incógnitas que aparecen dentro de radicales.
Para resolver este tipo de ecuaciones, debemos tener en cuenta el siguiente teorema:
Teorema
Sea 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, entonces:
𝒂 = 𝒃 ↔ 𝒂 ≥ 𝟎 ∧ (𝒃 ≥ 𝟎 ∧ 𝒂 = 𝒃𝟐
)

ECUACIONES IRRACIONAL

ECUACIONES IRRACIONAL

ECUACIONES IRRACIONAL

ECUACIONES IRRACIONAL

ECUACIONES VALOR ABSOLUTO
Ecuaciones con valor absoluto
Para resolver este tipo de ecuaciones se tiene en cuenta las siguientes propiedades:
𝑎) 𝑎 = 0 ↔ 𝑎 = 0
𝑏) 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏
𝑐) 𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 = −𝑏

ECUACIONES VALOR ABSOLUTO

ECUACIONES VALOR ABSOLUTO

ECUACIONES VALOR ABSOLUTO

ECUACIONES VALOR ABSOLUTO