Matematicas basicas 0

MÓDULO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS
Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco
Autores:
Eduardo Mesías Salamanca Blanco
Carlos Arturo Espítia Triviño
ISBN: 978-958-59656-3-8
Diagramación
Alpha Editores
Bosque, Tv. 51 # 20-109
Tels.: 57-5 672 2518
E-mail: comercial@alpha.co
www.alpha.co
Cartagena de Indias, Bolívar, Colombia
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Esta publicación no podrá ser reproducida ni en todo ni en parte,
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o por cualquier otro sin el permiso previo por escrito de los
propietarios del copyright.
Queda hecho el depósito de Ley.
2016

PRESENTACIÓN
La Fundación Universitaria Tecnológico Comfenalco, entre sus programas de
formación, ofrece el curso nivelatorio de Fundamentos Básicos de Matemáticas a
los estudiantes de primer semestre, con el objeto de fortalecer y profundizar en
los conocimientos fundamentales matemáticos, entendiéndolo como una manera
de aportar en la formación integral de los mismos.
La propuesta del módulo en matemáticas básicas está diseñada como estrategia
o mecanismo de ayuda para los estudiantes de primer semestre de la Facultad
de Ingeniería con la finalidad de facilitar el dominio y aplicación de los conceptos
fundamentales de matemáticas para el fortalecimiento de las competencias
lógico-matemáticas. Contiene lineamientos generales, planteamientos básicos
motivadores y técnicas para el proceso de enseñanza-aprendizaje, para el
desarrollo de las asignaturas de Cálculo Diferencial e Integral.

METODOLOGÍA
El presente módulo está diseñado con una metodología sustentada en la aplicación
de estrategias de enseñanza–aprendizaje, las cuales tienen como objetivo
fundamental contribuir a elevar los niveles de profundidad de los conocimientos y
fortalecer las competencias matemáticas. Para el desarrollo de cada eje temático,
se tienen en cuenta cuatro aspectos básicos del aprendizaje significativo:
motivación, comprensión, participación y aplicación.
Que el estudiante quiera aprender, que esté interesado en las matemáticas
(motivación), son catalizadores en los que este módulo se convierte en una
herramienta que lo invita a estudiar mientras que el docente toma el rol de
facilitador dentro del proceso enseñanza – aprendizaje, siendo el estudiante su
actor principal, con métodos de aprendizaje cooperativos.
Se desarrolla el contenido de cada uno de los ejes temáticos con partes teóricas,
ejerciciosyproblemasresueltos,paraqueelalumnocomprendalostemastratados
(comprensión); así, pueden complementar y reforzar sus conocimientos previos.
Quetrabajeactivamenteconlainformaciónquecontieneelmódulo(participación)
le brinda la oportunidad de desarrollar su creatividad, de construir el conocimiento
mediante la generación de preguntas y así, pueda poner en práctica (aplicación) los
conocimientos adquiridos al momento de desarrollar las actividades propuestas
en el módulo, al final de cada tema de trabajo.
De este modo, el docente acompañante deberá tener en cuenta en su práctica
pedagógica, tal como lo plantea Ausubel (aprendizaje significativo), que el
aprendizaje implica una reestructuración activa de las percepciones, ideas,
conceptos y esquemas, que el aprendiz posee en su estructura cognoscitiva.

TABLA DE CONTENIDO
1. Tour por el mundo del conjunto de los números enteros……………………............9
1.1 Evolución histórica………………..……………….................……………………………………..9
1.2 Representación gráfica………………….….……..............…………………………………….10
1.3 Características de los números enteros………....……………………………………….....10
1.3.1 Actividades………………………..........…………………………………………………………….11
1.4 Valor absoluto de un número entero…………………...…....…………………………......13
1.4.1 Actividades……….........…………….……………………………………………………………….14
1.5 Relaciones de orden……….....…………………………………………………………………….14
1.5.1 Actividades propuestas………….....……………………………………………………………15
2. Operaciones básicas y propiedades…………………………………………………………….17
2.1 Suma de números enteros……………....………………………………………………………...17
2.1.1 Propiedades de la suma de números enteros……….………..………………………..18
2.1.2 Actividades……………............……………….…………………………………………………….19
2.1.3 Problemas de aplicación…………….......……………………………………………………….20
2.1.4Actividadespropuestas……………….......……………………………………………………...21
2.2 Resta de números enteros………………...………………………………………..………………25
2.2.1Propiedadesdelarestadenúmerosenteros……………………………………………...26
2.2.2 Actividades……………………………….…………......………………………………...............26
2.2.3 Problemas de aplicación………………….…….....…………………………………………….27
2.3 Multiplicación de números enteros………………………………………..…………………...28
2.3.1 Propiedades de la multiplicación de números enteros…………………..………..28
2.3.2 Actividades…………………......……………….………………………………………...............30
2.3.3 Problemas de aplicación…….....…………………………...……………………………………31
2.3.4 Actividades propuestas………….....………………….…………………………………………32
2.4 División de números enteros…………...…………………………………………..……………..34
2.4.1 Propiedades de la división de números enteros….…………….....…..……………..35

2.4.2 Actividades……………………………….........…….……………………………………………….36
2.4.3 Problemas de aplicación……………………....….……………………..……………………….37
2.4.4 Actividades propuestas………………………...…..……………………………………….......38
2.5 Potenciación de números enteros…………………………..…………………………………..40
2.5.1 Reglas de los signos en las potencias de números enteros…….......…...……41
2.5.2 Propiedades de la potenciación de números enteros……..............………………42
2.5.3 Actividades………………….........………………….……………………………………………….44
2.5.4 Problemas de aplicación………....…………..….……………………………………………….47
2.6 Radicación de números enteros……...……….....………………………………...............48
2.6.1 Ley de los signos de la radicación……………………..…………...…………………………49
2.6.2 Propiedades de la radicación de números enteros………......…….…………………49
2.6.3 Actividades…………….........…….………………………………………………………………….50
2.6.4 Problemas de aplicación…….……....………………………………………………………….52
3. Expresiones Algebraicas………..……………......………....….…………………………………...53
3.1 Actividades…………..........………….……….…………………………………………………………54
3.2 Términos semejantes………….....…………..………………………………………………………55
3.2.1 Actividades………………….........…………………………….…………………………………….56
3.3 Valor numérico de una expresión algebraica………..……..…………..…………………..56
3.3.1 Actividades………….........………………………………………….……………………………….57
4. Destrucción de signos de agrupación…………....……………………………………………..59
4.1 Actividades propuestas………..………....………………………………………………………...60
4.2 Problemas de aplicación…………………..………….………………………………................61
5. Glosario temático……………….........…………………………………………………………………63
6. Respuestas y soluciones de los ejercicios, las actividades y
problemaspropuestos……....…………………………..………………....…........………………69
7. Recursos de páginas web………....…………………………………………….…………………..89
8. Resumen…………….......………………………………………………………….……….................91

Módulo de Matemáticas Básicas
9
1. TOUR POR EL MUNDO
DEL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS ENTEROS
1.1 Evolución histórica
El término entero proviene del alemán zahlen que traduce números. Los números
enteros positivos y negativos son el resultado natural de las operaciones suma
y resta.
Su empleo, con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad; no fue sino hasta
el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos.
El nacimiento de los números enteros se da para resolver casos de imposibilidad
de la sustracción en N, expresiones como 5 - 28 no tienen solución en el conjunto
de los números naturales, pero sí tienen solución en los enteros; las reglas que se
utilizan para resolver este tipo de enunciados ya las utilizaban los matemáticos de
la India desde hace muchos años.
En la antigüedad, los números negativos eran conocidos con el nombre de
números deudos, números absurdos, números ficticios, raíces falsas. En esa época,
el interés central era la solución de los problemas cotidianos en la naturaleza. Las
primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V en Oriente y no llegan
a Occidente, sino hasta el siglo XVI.

10
La representación que actualmente se maneja para los números enteros positivos
y negativos se debe al matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV;
antes de esta fecha, se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para
los negativos.
El conjunto de los números enteros se designa con la letra Z y son un conjunto
infinito de números que incluye a los números naturales, que reciben el nombre
de enteros positivos; los negativos de los números naturales reciben el nombre de
enteros negativos y el 0.
Es decir ℤ = {..., − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3,...}, donde los tres puntos suspensivos
indican que el conteo sigue.
1.2 Representación gráfica
El conjunto de los números enteros se representa en una recta numérica: al lado
izquierdo se ubican los enteros negativos mientras que, al lado derecho, se ubican
los enteros positivos, con el cero en el centro. Es decir: Z = Z-
U { 0 } Z+
1.3 Características de los números enteros
• El conjunto de los enteros Z es un conjunto infinito.
• Elconjuntodelos númerosenteros Z,estáconformadoporlos enterosnegativos
Z-
, el cero y los enteros positivos Z+
.
• Los números enteros sirven para representar el dinero adeudado, temperatura
bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
• Entre dos números enteros siempre existe un número finito de números
enteros. Es decir, Z es un conjunto discreto.
• Z no tiene primer elemento y tampoco tiene último elemento.
• El conjunto de los enteros positivos Z+
, es igual al conjunto de los números
naturales N.
0 1 2 3 5 6 7
4
-1
-2
-3
-5
-6
-7 -4

11
• El conjunto de los naturales N está incluido en el conjunto de los enteros Z, es
decir N pertenece a Z.
• Todo número natural es entero, pero no todo número entero es natural.
• Todo número entero tiene un sucesor.
• Un número entero y su sucesor se llaman consecutivos.
• Todo número entero tiene antecesor.
• Cualquier entero positivo es mayor que todo entero negativo.
• El cero no tiene signo, es neutro.
• Dados dos números negativos, entonces es mayor el que está más cerca del
cero.
• De dos números positivos, es mayor el que está más lejos del cero.
• Los números enteros miden magnitudes tanto positivas como negativas.
• Todo número negativo es menor que cero.
• Todo número positivo es mayor que cero.
1.3.1 Actividades
1. Responda falso o verdadero de acuerdo a cada uno de los siguientes enunciados.
a. El primer elemento del conjunto de los enteros negativos, es el número
menos dos. _________
b. Si un número entero es positivo, se puede decir que es mayor que cero.
c. Si se tienen dos números negativos, se puede asegurar que es menor el
número que encuentra más lejos del cero. _________
d. Dados los números enteros 3 y 8, se puede concluir que el 8 es el sucesor de 3.
__________
e. Si un buzo se encuentra a 30 metros de profundidad, es correcto escribir +30
metros. ___________
f. Si se suelta un globo y a los pocos segundos está a 15 metros de altura, se
concluye que el globo está a + 15 metros.___________

12
2. Complete el texto colocando las palabras adecuadas en los espacios vacíos.
a. El conjunto de los enteros Z es un ___________________.
b. ElconjuntodelosnúmerosenterosZ,estáconformadoporlos_____________
Z-
, el cero y los ________________ Z+
.
c. Los números enteros _______________ el dinero adeudado, __________,
_____________ con respecto ________________, etc.
d. Entre dos números enteros ______________________________ enteros. Es
decir, Z _______________________.
e. ________________ Z no tienen primer elemento y tampoco tienen último
elemento.
f. El conjunto de los enteros positivos Z+
__________________________ N.
g. ___________________ N está incluido en el conjunto de los enteros Z, es
decir, N pertenece a Z.
h. Todo número negativo ___________ que cero.
i. Todo número positivo ____________ que cero.
j. Todo ___________ es entero, pero ________ número entero _________.
k. Todo número entero tiene _______________.
l. Un número entero y su sucesor se llaman ________________
m. Todo número entero tiene _____________
n. Cualquier entero positivo ___________ que todo entero negativo.
o. El cero no tiene signo, ______________.
p. Dadosdosnúmerosnegativos,______________elqueestá______________.
q. De dos números positivos, ____________ el que está _______________.
r. Los números enteros _________________tanto positivas como negativas.
3. Dadas las siguientes situaciones, exprese con un número entero la situación
que se plantea.
a. Nació en el año 314 antes de Cristo. _______
b. El águila vuela a 3480 m de altura.________
c. Ayer el termómetro marcó 5 grados bajo cero en New York. _______
d. El ascensor bajó al tercer nivel del sótano. _______

13
4. Complete la sopa de letras con las propiedades y conceptos relacionados con
los números enteros.
C O N M U T A T I V A D
A V I T A I C O S A O I
E E M E N T O P E T T R
N M A Y O R Q U E S N O
O E R C V Y E E N P E S
I W O G H Q E S L A M E
S Q S U M A S T T B E C
I Z E V T R K O Q A L E
V L C M E N O R Q U E T
I L U I N I O R T U E N
D I S T R I B U T I V A
1.4 Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir
su signo; también se puede decir que es la distancia que lo separa del cero.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales y representa la distancia a
la que se encuentra el número del punto cero u origen de la recta.

14
0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
Nota: El valor absoluto es una distancia, luego siempre será positiva.
Ejemplo:
a. |− 25| = 25
b. |+ 34| = 34
c. - |− 12| = - 12
d. - |− |− 74|| = - 74
1.4.1 Actividades
1. Determine el valor absoluto de las siguientes expresiones.
a. |− |− |− 37||| =
b. - | |−55| − 48| =
c. ||− 76| - |− 24|| =
d. - |− |32| - |19|| =
2. Resuelva los siguientes ejercicios de valor absoluto y grafique su representación
geométrica.
a. ¿A qué distancia se encuentra - 2 de cero?
b. ¿A qué distancia se encuentra +3 de cero?
1.5 Relaciones de orden
Para establecer las relaciones de orden en el conjunto de los números enteros se
utiliza la siguiente ley.

15
Ley de Tricotomía: Dado cualquier par de números enteros a y b, se verifica
necesariamente una y solamente una de las siguientes condiciones:
1. a < b
2. a = b
3. a > b
En consecuencia, decimos que el conjunto de los números enteros está totalmente
ordenado por la relación menor o igual.
Ejemplos:
a. 5 < 8 porque 5 está más cerca del cero que 8.
b. - 9 < 4 porque 9 es negativo.
c. 6 = + 6 porque ambas cantidades son positivas.
d. 7 > 2 porque 7 está más lejos del cero que 2.
e. 4 > - 36 porque 4 es positivo.
1.5.1 Actividades propuestas
1. Determine la relación de orden rellenando el espacio en blanco con >, = , <, en
cada una de las siguientes expresiones.
a. - 21 ___ 9
b. + 76 ___ 29
c. 53 ___ + 53
d. - 17 ___ - 11
e. - 44 ___ 20
2. De acuerdo a los siguientes gráficos, determine las relaciones de orden para los
valores dados.
a. 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4

16
b.
c.
d.
0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4

17
2. OPERACIONES BÁSICAS
Y PROPIEDADES
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición
y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo.
2.1 Suma de números enteros
Al sumar números enteros se pueden presentar las siguientes situaciones.
1. Cuandosumamosdosomásenterospositivos,entoncessesumanlascantidades
y al resultado se le coloca el signo más.
a. (+ 14) + (+ 6) = + 20
b. (+ 4) + (+ 22) + (+ 6) = + 32
c. (+ 19) + (+ 16) = + 35
2. Cuando sumamos dos o más enteros negativos, entonces se suman las
cantidades y al resultado se le coloca el signo menos.
a. (- 8) + (- 7) = - 15
b. (- 11) + (- 12) + (- 15) = - 38
c. - 19 + (- 23) = - 42

18
3. Si sumamos dos enteros de distintos signos, entonces se restan los valores
absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del
número de mayor valor absoluto.
a. (- 14) + (+ 26) = + 12
b. (+ 24) + (- 15) = + 9
c. (- 29) + (+ 7) = - 22
d. (+ 34) + (- 28) = - 6
2.1.1 Propiedades de la suma de números enteros
1. Clausurativa: La suma de dos enteros es otro número entero, es una operación
cerrada. Ejemplos:
a. (- 44) + (+16) = + 60
b. (- 19) + (- 5) = - 24
2. Conmutativa: En esta propiedad se cumple que el orden de los sumandos no
altera la suma, es decir, se obtiene el mismo resultado.
Ejemplos:
a. (- 8) + (+ 6) = (+ 6) + (- 8) = (- 2)
b. (+ 11) + (- 5) = (- 5) + (+11) = (+ 6)
3. Asociativa: Podemos agrupar varios sumandos de diferentes formas y
obtenemos el mismo resultado.
Ejemplos:
a. 3 + (- 5) + 6 = 3 + [(- 5) + 6] = [3 + (- 5)] + 6 = + 4
b. 16 + (- 9) + 8 = [16 + (- 9)] + 8 = 16 + [(- 9) + 8] = + 15

19
4. Elemento neutro: Para la suma el elemento neutro es el cero ya que al sumar
un entero con el cero se obtiene el mismo entero.
Ejemplos:
a. 525 + 0 = 525
b. 0 + (- 37) = - 37
5. Inverso aditivo u opuesto: Todo número entero tiene su opuesto, es decir, el
opuesto de (+ 5) es (-5). Tienen la propiedad de que al sumarlos se obtiene el
elemento neutro.
Ejemplos:
a. 42 + (- 42) = 0
b. (+ 57) + (- 57) = 0
2.1.2 Actividades
a. Complete el siguiente cuadro con los números que elija y realice la operación
teniendo en cuenta el signo.
+ + 8 -9 +11
-7 +1 +4
-12 -21
b. Complete el siguiente cuadro con los números que elija y realice la operación
+ +5 - 21 +19
+2 +7 +21
-8 - 29
-17 -12 +2

20
c. Dados los siguientes valores a = -13, b = +25, c = -11, m = +14, n = +78, x = -9,
y =-7; calcule el resultado de:
1. a + b =
2. b + c =
3. m + n =
4. x + y =
5. a + n =
6. m + y=
2.1.3 Problemas de aplicación
1. El hijo de una persona nació en el año 20 antes de Cristo y murió 45 años
después de Cristo. ¿A qué edad murió?
2. Un avión vuela a 9.000 m de altura y en ese mismo instante un helicóptero se
encuentra exactamente debajo de él a 1.730 m. ¿A qué distancia se encuentran
las dos naves?
3. Manuel vive en el edificio Grand Beach, el ascensor está en el sótano y sube
hasta el piso 14º piso en donde él vive. ¿Cuántos pisos subió el ascensor?
4. Hoy a las 6:00 de la mañana el termómetro de mi casa marcaba 10 grados bajo
cero y continuó así durante todo el día hasta las 4:00 de la tarde, bajando la
temperatura hasta los 14 grados bajo cero. ¿Cuánto descendió la temperatura
en ese periodo?
5. Después de subir 19 pisos, el ascensor del edificio El Estado se detiene en el
piso 18. ¿Desde qué piso salió el ascensor?
6. Se toma la lectura de la temperatura en un termómetro en este momento y
resulta de 27ºC después de haber subido 15ºC. Determine la temperatura inicial.

21
1. Complete el enunciado de los siguientes conceptos.
a. El conjunto de los enteros negativos se representa con la letra mayúscula___
b. El valor absoluto se representa por medio de Dos barras verticales
___
c. El opuesto de + 6 es___
d. El conjunto de los enteros positivos se representa con la letra mayúscula___
e. El valor absoluto de -75 es___
f. El antecesor de - 21 es___
g. El conjunto de los números enteros es un conjunto___
h. El sucesor de 27 es___
2. Ordene de mayor a menor los siguientes enteros.
a. - 34, - 15, 12, (+ 22), - 7.
b. (+ 33), - 9, (+ 13), 0, - 47.
3. Utilice las relaciones de orden entre las siguientes expresiones para que sean
verdaderas.
a. (- 16) ___ (- 8)
b. (+ 155) ___ 155
c. (+ 24) ___ 18
d. (- 25) ___ (+ 17)
e. (- 36) ___ (- 3)

22
4. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la suma de enteros y
realice los cálculos que definen estos valores.
+ + 43 - 39 + 28
- 15
+ 52
- 63
5. ¿Qué propiedad se cumple en cada una de las siguientes situaciones?
a. (+ 45) + 0 = 45
b. (+ 45) + 5 + (+ 3) = 45 + [5 + (+ Res3)] = [(+ 45) + 5] + (+ 3) = + 53
c. (- 17) + (- 38) = (- 38) + (- 17) = (- 55)
d. (+ 75) + (+ 23) = + 98
e. (+ 45) + (- 45) = 0
6. Resuelva los siguientes problemas:
a. En el año 6 antes de Cristo, nació un hombre y contrajo matrimonio a los 38
años después de Cristo. ¿Cuántos años cumplidos tenía el hombre?
b. En la ciudad de Bogotá, en un instante de un día cualquiera el termómetro
marca una temperatura de 15 °C después de haberse incrementado la misma
18 ºC. Se desea saber cuál era la temperatura inicial de ese mismo día.
c. Una persona tiene una cuenta de ahorros en un banco de la ciudad y su
saldo al día de hoy es de $ 540.000 pesos. Si mañana le cargan una factura
de $ 218.000 pesos. ¿Cuál será el nuevo saldo en su cuenta de ahorros?
d. Luis después de subir 14 pisos en el edificio donde habita, llega al piso 24.
¿Desde qué piso partió Luis?

23
7. Dados los siguientes textos matemáticos: ¿de qué manera se expresarían
usando la notación de números enteros?
a. Pedro tiene en su bolsillo $ 2.500 pesos.
b. El globo subió a 150 metros de altura.
c. Una nave submarina bajó a 270 metros de profundidad.
d. Sócrates nació en el año 470 antes de Cristo.
e. El vagón de una mina de carbón descendió hasta una profundidad de 320
metros.
8. Juan le debe $ 10.000 pesos a María y $ 15.000 a Rosa. Exprese con números
enteros las cantidades que está debiendo Luis.
9. Carlos trabaja como mensajero de una empresa comidas rápidas localizada en
la carrera primera y realiza el sábado los siguientes recorridos: 20 cuadras hacia
el oriente y regresa a la empresa, sale nuevamente y se dirige 15 cuadras hacia
el occidente; luego va a almorzar a su casa que queda a 30 cuadras más hacia el
occidente. ¿Cuántas cuadras recorrió Carlos en total?
a. 85 cuadras.
b. 65 cuadras.
c. 5 cuadras.
d. 35 cuadras.
10. En un día de invierno, la temperatura en Quebec, Canadá era de - 5° C a las 10
de la mañana; al atardecer, la radio informó que hacía tres veces más frío que
en la mañana. En ese momento la temperatura en Quebec era de:
a. 15° C.
b. – 15° C.
c. 10° C.
d. – 10° C.

24
11. Complete el siguiente crucigrama.
CRUCIGRAMA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
VERTICAL
1 1
2 2
3 3
4
5
6
7 4
8
9 5
10 6 7
11
12 8
13 9
14
15
16 10
17 11
18
19 12
20
21 13
22
23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
HORIZONTAL
HORIZONTAL
3. El orden de los sumandos no varía la suma.
5. La resta de números enteros se obtiene sumando el minuendo al opuesto del
sustraendo.
9. El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
10. El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
11. El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos
de dicho número por cada uno de los sumandos
12. Las propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de
la potenciación, puesto que una raíz es una potencia con exponente racional.
13. El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

25
VERTICAL
1. Lapotenciaciónesunaoperaciónmatemáticaentredostérminosdenominados:
base” a” y exponente “n”. Se lee usualmente como “a elevado, a la n”.
2. El valor absoluto de un número entero es un número natural que resulta al
suprimir su signo.
4. El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da
el mismo número.
6. De dos números representados gráficamente, es mayor el que está situado más
a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.
7. La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene
como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que
se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
8. La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como
valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se
obtiene de la aplicación de la regla de los signos
2.2 Resta de números enteros
Para restar dos números enteros, debemos tener en cuenta las siguientes reglas.
Dados dos números enteros, a y b, entonces se cumple que:
1. a - (- b) = a + (+ b)
2. a – (+ b) = a + (- b)
1. Para el primer caso a - (- b) = a + (+ b), podemos decir que cuando aparecen dos
signos menos seguidos, entonces se cambian por dos signos más y se aplican
las reglas de la suma de enteros.
Ejemplos:
a. (+ 7) - (- 1) = (+ 7) + (+ 1) = + 8
b. (- 2) - (- 5) = (- 2) + (+ 5) = + 3

26
2. Para el segundo caso a – (+ b) = a + (- b), podemos decir que cuando aparece
un signo menos seguido de un signo más, estos se intercambian de lugar y se
aplican las reglas de la suma de enteros.
Ejemplos:
a. (+ 2) - (+ 4) = (+ 2) + (- 4) = - 2
b. (- 10) - (+ 3) = (- 10) + (- 3) = - 13
2.2.1 Propiedades de la resta de números enteros
En los números enteros solamente se cumple la propiedad clausurativa, es decir,
la resta de dos números enteros no da como resultado otro número entero.
Ejemplos:
a. (+ 17) - (- 2) = (+ 17) + (+ 2) = + 19
b. (- 2) - (- 15) = (- 2) + (+ 15) = + 13
c. (+ 21) - (+ 4) = (+ 21) + (- 4) = + 17
d. (- 1) - (+ 32) = (- 1) + (- 32) = - 33
2.2.2 Actividades
1. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la resta de números
enteros y realice las operaciones que dan el resultado de la tabla.
__ +13 -48 +28
-15
+24
-63

27
2. Realice las siguientes restas:
a. De (+ 25) restar (- 10) = + 35
b. De (- 30) restar (- 89) = + 69
c. De (+ 191) restar (+ 89) = + 102
d. De (- 39) restar (- 17) = - 22
e. De (- 45) restar (+ 25) = - 70
1. Si una persona camina 325 pasos hacia adelante y luego retrocede 175 pasos.
¿Cuántos pasos avanzó finalmente la persona?
2. Dos termómetros en dos ciudades diferentes a las doce del día marcan
respectivamente las temperaturas –14 ºC y 22 ºC. ¿Cuántos grados de diferencia
hay entre las dos ciudades?
3. Si Sócrates nació en el año 470 a.C, y vivió 71 años, ¿en qué año murió?
4. Un técnico de ascensores llega al sótano del edificio después de bajar 11 pisos.
Senecesitasaberenquépisoseencontrabaeltécnicoantesdebajarelascensor.
5. Al enchufar un congelador, la temperatura comienza a bajar 3 grados cada 10
minutos; al momento de enchufarlo la temperatura estaba en 15°C. Si lleva 1
hora de enchufado, la temperatura en este momento es de:
a. 3°C.
b. – 3°C.
c. 33°C.
d. – 33°C.

28
6. José vendió un caballo en $ 840.000, ganando $ 180.000. ¿Cuánto le costó el
caballo inicialmente?
a. $ 660.000
b. $ 350.000
c. $ 690.000
d. $ 990.000
2.3 Multiplicación de números enteros
Paramultiplicarnúmerosenterosdebemosseguirdospasos:primerosemultiplican
las cantidades y luego se le coloca el signo de acuerdo a la Ley de los signos de la
multiplicación, la cual se detalla en la siguiente tabla.
+ × + = +
- × - = +
+ × - = -
- × + = -
De la tabla anterior podemos deducir que signos iguales siempre resultan positivo
y signos diferentes, siempre negativo.
Ejemplo:
a. (+ 5) (+ 4) = + 20
b. (- 5) (- 6) = + 30
c. (+ 2) (- 6) = - 12
d. (- 4) (+ 7) = - 28
2.3.1 Propiedades de la multiplicación de números enteros
En la multiplicación de números enteros se cumplen las siguientes propiedades.

29
a. Propiedad clausurativa:
La multiplicación de dos o más números enteros nos da como resultado otro
número entero.
Ejemplo:
(- 5) (3) = - 15
b. Propiedad conmutativa.
Al multiplicar dos o más números enteros podemos cambiar el orden de los
factores y obtenemos el mismo resultado.
Ejemplo:
(- 2) (5) = (5) (- 2)
c. Propiedad asociativa.
Al multiplicar dos o más números enteros podemos asociarlos cambiando el orden
de los factores y obtenemos el mismo resultado.
Ejemplo:
[(- 2) (3)] (4) = (- 2) [(3) (4)]
d. Propiedad elemento neutro.
En la multiplicación de números enteros existe un elemento neutro, el número “1”,
que al multiplicarlo con cualquier entero da como resultado el mismo número entero.
Ejemplo:
(- 5) (1) = - 5
e. Propiedad distributiva con respecto a la adición o sustracción.
En la multiplicación de números enteros, podemos repartir o distribuir un
número con respecto a la adición o sustracción. Es decir, tomamos el factor y lo
multiplicamos por cada uno de los sumandos, luego, efectuamos las operaciones
indicadas teniendo en cuenta la ley de los signos.
Ejemplo:
(- 3) (2 + 5) = (- 3) (2) + (- 3) (5)

30
2.3.2 Actividades
1. Encuentre el producto de las siguientes multiplicaciones aplicando las reglas.
a. (12) (5) =
b. (13) (4) =
c. (- 27) (3) =
d. (0) (72) =
e. (- 8) (- 5) =
f. (11) (- 8) =
g. (- 30) (- 4) =
h. (0) (- 40) =
i. (- 35) (3) =
j. (- 6) (- 7) =
k. (- 5) (5) =
l. (- 8) (- 2) =
m. (20) (- 4) =
n. (- 100) (0) =
o. (- 25) (5) =
p. (0) (6) =
q. (9) (7) =
r. (0) (36) =
s. (- 30) (- 4) =
t. (1) (- 34) =
2. Realice las siguientes multiplicaciones siguiendo las reglas.
a. (- 5) (- 6) (+ 3) =
b. (- 4) (- 4) (- 4) =
c. (- 2) (- 4) (+ 5) (+ 3) =
d. (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) =
e. (- 5) (- 3) (- 2) (- 4) (- 6) =

31
3. Indique la propiedad aplicada.
a. (3) (7) = (7) (3)
b. [(8) (9)] (- 4) = (8) [(9) (- 4)]
c. (- 11) x 0 = 0 x (- 11)
d. (4) (- 11) (- 3) = (- 11) (- 3) (4)
e. (27) (1) = 27
f. (3 + 4) (- 5) = (3) (- 5) + (4) (- 5)
1. Camila le debe a Margot, Ximena y a Rosario, la suma de $ 7.000.
a. ¿Cuánta plata debe en total Camila?
b. ¿Qué número entero usarías para representar la deuda que tiene Camila con
las tres?
2. Exprese cada una de las siguientes sumas como una multiplicación y luego halle
el resultado de su producto.
a. 9 + 9 + 9
b. (- 5) + (- 5) + (- 5) + (- 5) + (- 5)
3. Llene cada espacio entre los paréntesis con el número que corresponda en cada
caso, de acuerdo a la propiedad distributiva de la multiplicación.
a. - 17. (- 3 + 14) = 51 + ( ) = ( )
b. - 23. [(13 + 14) - 10] = - 621 + ( ) = ( )
4. Un buzo se encuentra reparando el casco de un submarino a una profundidad
de -48 metros y sube a buscar una herramienta a una velocidad de 5 metros por
segundo. ¿A qué profundidad se encontrará el buzo a los 6 minutos del ascenso?

32
5. En una casa hay dos vitrinas, cada una tiene tres niveles o entrepaños: en la
primera hay 4 docenas de vasos en cada nivel y en la otra vitrina hay 4 decenas
por nivel. Exprese la suma de los vasos que contiene cada vitrina como producto
de dos factores, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación y
también calcule el total de vasos de las vitrinas.
6. En la escuela Pasitos Lindos, 30 niños tenían que pintar la misma cantidad de
figuras navideñas para hacer el pesebre de navidad. Sin embargo, uno de ellos
se enfermó entonces ahora todos los niños tendrán que pintar 3 figuras más.
¿Cuántas figuras navideñas eran en total?
7. Mario cobra al mes $ 650.000 y José $ 75.000 al día. Se requiere saber la
diferencia de dinero cobrada entre los dos al final del año.
8. Un bus de la empresa Copetrán, ha recorrido 515 kilómetros en 5 horas y otro
bus de la empresa Brasilia, hace un recorrido de 749 kilómetros en 7 horas.
Después de 10 horas de marcha de ambos buses, ¿cuántos kilómetros ha
recorrido cada bus?
1. DosbusessalenalmismotiempodelaTerminalNortedeMedellínendirecciones
opuestas: uno va a 95 km/h y el otro a 210 km/h. Al cabo de 8 horas de viaje, la
distancia que los separará es de:
a. 760 km.
b. 1.680 km.
c. 2.440 km.
d. 4.240 km.

33
2. Elvira, tiene una colección de fotos que se incrementa en 3 cada mes, el tiempo
que tiene para aumentar su colección en 120 fotos es de:
a. 40 meses.
b. 10 meses.
c. 20 meses.
d. 12 meses.
3. El producto de tres enteros negativos es:
a. Positivo.
b. Negativo.
c. Neutro.
d. Positivo y negativo.
4. Un tren Sol que sale de Bogotá a las 6 de la mañana, llega a Nemocón a las 10
de la mañana. La velocidad media de los trenes que funcionan por este lugar es
de 50 km/h.
Entre Bogotá y Nemocón, se encuentra la ciudad de Zipaquirá.
A las 8 de la mañana, ha salido de Nemocón otro tren (con la misma velocidad
de 50 km/h) hacia Bogotá y curiosamente ambos llegan a Zipaquirá a la misma
hora. ¿Cuántos kilómetros hay entre Bogotá y Zipaquirá?
5. Un agricultor recogió en su parcela la producción anual de guayaba de 2.500
sacos en total y el peso de cada uno fue 50 kg. ¿Cuál fue el peso total en kg de
su producción?
a. 12. 500
b. 20. 000
c. 125. 000
d. 25. 000

34
6. De la terminal del norte de Medellín parten diariamente 387 buses con 52
pasajeros cada uno. Si durante 20 días se mantuvo la misma demanda de
pasajeros ¿Cuántas personas salieron de dicha terminal?
a. 201. 240
b. 402. 480
c. 387. 000
d. 154. 800
2.4 División de números enteros
La división de dos números enteros arroja como resultado otro número entero y
el signo del resultado se debe tomar de acuerdo a la Ley de los signos, tal como se
detalla en la tabla de abajo.
El resultado de dividir dos números enteros, no siempre es otro número entero;
en algunos casos la división es inexacta, por eso se debe limitar esta operación
solo para la división exacta, en la cual el residuo es cero.
Al dividir dos números enteros, se utiliza la siguiente tabla para identificar el signo
del resultado.
+ ÷ + = +
- ÷ - = +
+ ÷ - = -
- ÷ + = -
De la tabla anterior, se pueden resumir dos grandes reglas:
(a) en la división de números enteros signos iguales siempre dan positivos y
(b) signos diferentes siempre dan negativos.

35
Por ejemplo: Realice las siguientes divisiones y aplique la ley de signos.
a. (+ 12) ÷ (+ 3) = + 4
b. (- 25) ÷ (- 5) = + 5
c. (+ 30) ÷ (- 5) = - 6
d. (- 24) ÷ (+ 6) = - 4
Ejemplo: Efectúe la suma en el dividendo de las siguientes divisiones, luego halle
el cociente de las mismas.
a. (+ 12 - 16 + 20) ÷ (2) = (16) ÷ (2) = + 8
b. (- 5 + 20 - 15 + 35 - 85) ÷ (- 5) = (- 50) ÷ (- 5) = + 10
c. (- 15 + 12 - 18 + 21) ÷ (- 3) = (0) ÷ (- 3) = 0
d. (+ 8 - 14 + 20 - 8) ÷ (- 2) = (+6) ÷ (- 2) = - 3
e. (- 8 - 12 + 16 - 20 + 24) ÷ (4) = (0) ÷ (4) = 0
2.4.1 Propiedades de la división de números enteros
El resultado de dividir dos números naturales o enteros, no siempre es otro número
natural o entero, por lo tanto, podemos decir que la división de números enteros
no es una operación interna.
Entonces, en la división de enteros no siempre se cumplen las propiedades
clausurativa y conmutativa; como también No se puede dividir por cero.
Ejemplos:
a. (- 6) ÷ (+ 5) No es una división exacta: se cumple la propiedad Clausurativa.
b. (- 16) ÷ (+ 2) el resultado es (- 8), diferente al resultado de (+ 2) ÷ (- 16) el cual
No es exacto.
c. (-14)÷0nosepuederesolver,porquenoexisteningúncocientequemultiplicado
por 0 sea igual al dividendo.

36
Realice las operaciones necesarias para obtener el resultado de:
a. (- 12) ÷ (+ 4) + [12 – 9 ÷ (+ 3)] (- 3 + 5) + 5(- 2) =
b. (- 7 + 5) (- 3) + [- 4 (4 - (+ 8)) ÷ (+ 4)] + (- 10) ÷ (+ 2) =
c. −12 · 3 + 18 ÷ (−12 ÷ 6 + 8) =
d. 2 · [(− 12 + 36) ÷ 6 + (8 − 5) ÷ (− 3)] − 6 =
e. [(− 2)5 · (− 3)2] ÷ (− 2)2 =
2.4.2 Actividades
1. El edificio Grand Bay tiene una planta baja, 3 sótanos y 45 pisos. La altura de
cada piso es mayor en un metro que la altura de los sótanos. La profundidad a
la que se encuentra el tercer sótano es de - 9 metros. Determine la altura total
del edificio sobre el nivel del suelo.
2. Observe el proceso realizado en los siguientes ejercicios e indique si es correcto
justificando la respuesta.
a. – 48 ÷ [(24) x 2] = (- 48) (- 1) = - 1
b. – 48 ÷ (2) x 24 = (- 48) ÷ 48 = - 1
c. – 48 ÷ 24 x 2 = (- 2) x 2 = - 4
3. Dos ayudantes de albañilería realizan una obra por $ 600.000 y trabajan durante
5 días. Uno recibe un jornal de $ 40.000 diarios. ¿A cuánto corresponde el jornal
del otro?
a. $ 10.000
b. $ 12.000
c. $ 14.000
d. $ 80.000

37
1. Lucía va al supermercado y compra los siguientes artículos: 5 libras de frijol
rojo, 4 libras de lenteja, un pan tajado y una libra de arroz. Si la libra de frijol
cuesta $1.750, la libra de lenteja $ 1.550, el pan $ 3.250 y una libra de arroz $
1.700.
a. ¿Cuánto debió pagar Lucía por las compras que realizó?
b. Si Lucía sólo llevó un billete de $ 20.000, ¿le alcanzó para pagar todas sus
compras?
2. Fredy, tiene una tarjeta de ahorro y su saldo la semana pasada era de
$1.300.000. Ha hecho varios retiros y una consignación así: el primero para
pagar los servicios públicos de $ 240.000, el segundo para cancelar la cuota del
celular de $ 185.000 y el tercero para pagar el crédito de la universidad de $
570.000; la otra transacción que realizó fue la consignación de $ 150.000.
a. Después de realizar los movimientos ¿le quedó dinero a Fredy?
b. ¿Cuál es su nuevo saldo?
3. Un equipo de fútbol de la Región Atlántica en el campeonato nacional ha subido
8 posiciones; después, ha bajado 3; más tarde, ha bajado 5, y finalmente, ha
subido 7. Indique mediante operaciones con números enteros las situaciones
por las que ha pasado el equipo y diga cuál es la posición final del equipo
respecto de la inicial.
4. Pedro y Pablo van en motocicleta y salen del mismo lugar. Pedro avanza 10 km
y luego retrocede 7 km, mientras que Pablo avanza 12 km y retrocede 4 km.
a. ¿A qué distancia se encuentra Pedro de Pablo?
b. ¿Quién ha avanzado más de los dos?
c. ¿Quién ha recorrido más km?

38
5. Un edificio está formado por 4 sótanos, la planta baja y 25 pisos más. La altura
de cada sótano es un metro mayor que la de cada piso. El sótano – 4 está a una
altura de – 16 m. ¿Cuál es la altura del edificio?
1. Lea la siguiente información: Santiago resolvió el siguiente ejercicio y el profesor
le dijo que el resultado es incorrecto. Encuentre y marque con lápiz los errores
que tuvo Santiago al resolverlo y escriba el resultado correcto.
-36 ÷ (- 8 ÷ (- 5 + 3) + 12 ÷ (- 2 + 2 · 4)) + 3 · (- 8) + 3 · (- 12 + 5 · 2)=
= -36 ÷ (-8 ÷ -2 + 12 ÷ (-2 + 8)) + 3 · (-8) + 3 · (-12 + 5 · 2)
= -36 ÷ (- 8 ÷ -2 + 12 ÷ 6) + 3 · (-8) + 3 · (-12 + 5 · 2)
= -36 ÷ (4 + 2) + 3 · (-8) + 3 · (-7 + 2)
= -36 ÷ 6 + 3 · (-8) + 3 · -14
= -6 + 3 · (-8) + 3 · -14
= -3 · (-8) + 3 · -14
= -24 + -42
= -18

39
2. Marque con una X en los siguientes ejercicios de números enteros combinados,
los que tienen soluciones correctas:
a. 16 ÷ (- 2) – (- 4 + 2) + 5 · (- 1) = - 11 ( )
b. 8 – 6 ÷ (- 3) + 4 · (2) + 5 · (- 10) = - 58 ( )
c. 4 – (- 5 + 2) – 15 ÷ (- 5) + 4 · (- 2) = - 2 ( )
d. 2 + (8 ÷ 4) – (- 2 · 3) + 9 ÷ (- 3) = 13 ( )
e. 8 ÷ (- 4) – (- 5 – 3) + 3 · 2 = 12 ( )
f. 4 · 14 ÷ (- 2) + 9 · (- 3) – 2 ÷ (- 2) = - 54 ( )
g. 3 – 4 ÷ (- 4) + 4 · (- 4) – 1 = - 3 ( )
3. Encuentre los valores de las letras a, b y c que cumplan en todos los ejercicios
siguientes, la premisa de que su cálculo sea igual al de la solución dada al
reemplazar las letras.
a. a + b – c = - 3
b. a – b + c = - 1
c. a + 2b – 2c = - 4
d. 7b : (b + c) = 3
e. a ∙ c + 2b – 2c = - 10
f. c · (b – a) = 20
4. Lea las siguientes situaciones e identifique qué operaciones se necesitan para
resolverlas
a. Rosalía desea saber qué es más conveniente: si comprar 5 bolsas de un kilo
de azúcar o comprar una bolsa de 5 kilos de azúcar. Sabe, además, que el
valor de la bolsa de un kilo es $ 2.240 y el valor de la bolsa de 5 kilogramos
es $ 11.200.
b. 20 trabajadores pavimentan 20 kilómetros de una carretera en 200 días.
Suponiendo que todos trabajadores lo hacen de la misma forma.

40
¿Qué operación se debe hacer para saber cuántos kilómetros pavimenta 1
trabajador en 200 días?
c. Un maestro pintor dispone de $ 60.000 y debe comprar 4 galones de pintura
que tienen el mismo valor.
¿Qué operación se debe realizar para saber el precio de un tarro?
5. Hace 30 años se cambió la tubería del agua potable del Barrio Blas de Lezo y
a cada habitante le correspondían 90 litros de agua al día. Desde entonces el
sector ha crecido en todo menos en el suministro de agua, pero en el último
censodeestemismoañoseexplicaquedesdelaSecretaríadeInfraestructura,
que ahora Blas de Lezo tiene 50.000 habitantes más que hace 30 años.
Este incremento de población ha creado muchos problemas con el agua
y a partir de hoy se dispone de 10 litros de agua menos por habitante al
día, lo que permite que esta llegue a todos los hogares del barrio. ¿Cuántos
habitantes tiene hoy Blas de Lezo?
2.5 Potenciación de números enteros
La potenciación es una operación matemática que consiste en elevar un número
entero a un exponente natural, el cual nos indica el número de veces que se repite
el entero como factor, obteniendo como resultado un número llamado potencia.
El número entero recibe el nombre de base entera y el número natural recibe el
nombre de exponente natural. Entonces para todo a y b que pertenecen a los
enteros y para toda n que pertenece a los naturales, se tiene que:

41
Ejemplo: Resolver.
a. (+ 3)2
= (+ 3) × (+ 3) = + 9
Aquí, la base más tres se repite dos veces y se resuelve el producto.
b. (- 4)3
= (- 4) × (- 4) × (- 4) = - 64
Aquí, la base menos cuatro se repite tres veces y se realiza el producto
Resolver las siguientes potencias:
a) (+ 2)2
=
b) (- 3)3
=
c) (+ 5)2
=
d) (- 4)4
=
e) (+ 6)3
=
2.5.1 Reglas de los signos en las potencias de números enteros
Para conocer el signo de la potencia teniendo en cuenta la base y el exponente,
existen las siguientes reglas.
1. Las potencias de números enteros negativos y positivos en donde el exponente
es un número par, arrojan siempre resultado positivo.
Exponente
Potencia
Base
an
= b
an
= b

42
a) ( + )Par
= +
b) ( - )Par
= +
Ejemplos:
a) (+ 8)2
= + 64
b) (- 5)2
= + 25
2. Las potencias de números enteros negativos y positivos en donde el exponente
es un número impar, tienen el mismo signo de la base.
a) ( + )Impar
= +
b) ( - )impar
= -
Ejemplos:
a) (+ 2)5
= + 32
b) (- 3)3
= - 27
2.5.2 Propiedades de la potenciación de números enteros
En la potenciación de números enteros se cumplen las siguientes propiedades.
1. La potencia de 0 es igual a 1.
Cuando se eleva cualquier número entero, excepto el cero a la potencia cero,
se obtiene como resultado de la potencia, el número uno. Es decir: a0 = +1 y, a
pertenece a Z.
Ejemplos:
a) (- 3)0
= + 1
b) (+ 18)0
= + 1
c) (- 345)0
= + 1

43
2. La potencia de 1 es igual a ese mismo número
Cuando se eleva cualquier número entero a la potencia uno, se obtiene el mismo
número. Es decir: a1
= a, y a pertenece a los números enteros, Z.
Ejemplos:
a) (- 2)1
= - 2
b) (+7 )1
= + 7
3. Producto de potencias con la misma base
Cuando se tiene el producto de dos potencias con la misma base, el resultado es
otra potencia con esa base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de
cada una de ellas. Es decir: (a)m
× (a)n
= (a)m+n
Ejemplos:
a) (- 2)5
× (- 2)2
= (- 2)5+2
= (- 2)7
= - 128
b) (+ 3)2
× (+ 3)3
= (+ 3)2+3
= (+ 3)5
= + 243
4. División de potencias con la misma base
Cuando se dividen dos potencias de igual base el resultado es otra potencia con la
misma base y cuyo exponente es la diferencia de sus exponentes. Es decir:
(a)m
÷ (a)n
= (a)m-n
Ejemplos:
a) (- 2)5
÷ (- 2)2
= (- 2)5-2
= (- 2)3
= - 8
b) (+ 6)9
÷ (+ 6)7
= (+ 6)9-7
= (+ 6)2
= + 36
5. Potencia de una potencia
Al resolver la potencia de una potencia, se coloca la misma base y se multiplican
sus exponentes. Es decir: (am
)n
= (a)mxn
Ejemplos:
a) [(- 3)2
]2
= (- 3)2x2
= (- 3)4
= + 81
b) [(- 2)3
]2
= (- 2)3x2
= (- 2)6
= + 64

44
6. Producto de potencias con el mismo exponente
Cuando se tiene el producto de dos potencias de diferentes bases, pero de igual
exponente,pararesolverlosemultiplicanlasbasesysecolocaelmismoexponente.
Es decir: (a)m
× (b)m
= (a × b)m
Ejemplos:
a) (- 5)2
× (+ 2)2
= (- 5 × (+2))2
= (- 10)2
= + 100
b) (- 2)3
× (+ 3)3
= (- 2 × (+3))3
= (- 6)3
= - 216
7. Cociente de potencias con el mismo exponente
Para resolver el cociente de potencias con el mismo exponente se deben dividir las
bases y colocar el mismo exponente. Es decir: (a)n
÷ (b)n
= (a ÷ b)n
Ejemplos:
a) (- 12)3
÷ (3)3
= ( - 12 ÷ 3)3
= (- 4)3
= - 64
b) (- 6)3
÷ (2)3
= ( - 6 ÷ 2)3
= (- 3)3
= - 27
2.5.3 Actividades
1. Desarrolle las siguientes potencias:
a. (- 1)8
=
b. (- 2)2
=
c. (2)2
=
d. (- 3)3
=
e. (- 3)4
=
f. (- 4)5
=
g. (- 3)0
=
h. (2)3
=
i. (- 15)4
=
j. (18)0
=
k. (- 2)3
=

45
l. (- 4)2
=
m. (10)3
=
n. (- 345)0
=
o. (- 2)4
=
p. (- 4)3
=
q. (- 1)5
=
r. (765)0
=
2. Aplique las propiedades de las potencias:
a. (32
)3
3 =
b. (73
)5
=
c. [(- 32
)]3
=
d. [(- 4)2
]2
=
e. {[(- 1)2
]3
}5
=
f. [(- y)3
]2
=
g. [(x)2
]3
=
h. {[(- a)2
]2
}0
=
i. 22
. 23
=
j. (- 3)4
. (- 3)2
=
k. (- 1)6
. (- 1)7
=
l. (- 2)5
. (- 2)3
=
m. (2)2
. (- 2)6
. (2)5
=
n. (2)2
. (- 2)6
. (2)4
=
o. (1)5
. (1)3
. (1)4
=
p. (- 5)3
. (- 5)0
=
q. (2)5
÷ (2)3
=
r. (3)6
÷ (3)2
=
s. (10)10
÷ (10)10
=
t. (- 4)5
÷ (- 4)4
=
u. [(3) (4)]2
=
v. [(1) (- 4)]4
=

46
w. [(- 4) (- 8) (1)]0
=
x. [(2) (3) (- 6)]3
=
y. [(+ 15) (+ 3)]0
=
z. [(9) (- 4) (- 10)]0
=
aa. [(- 2) (- 5) (3)]2
=
ab. [(3) (- 7)]3
=
3. Rellene la siguiente tabla con el cuadrado de los diez primeros números.
12
22
32
42
52
62
72
82
92
102
4. Rellene la siguiente tabla con los datos que se solicitan en cada casilla.
Producto Potencia Base Exponente Resultado
7×7×7×7×7 75
35
46
54
65
5. La expresión (342
)2
es equivalente a:
a. 34×2×2
b. (34)2
× (34)2
c. 68
d. (34×2) (34×2)

47
6. Si se tiene (82
)2
, ¿en qué inciso aparece una expresión igual?
a. 28
b. 212
c. 162
d. 48
1. El hotel Costa Norte tiene 5 pisos y en cada piso hay 5 habitaciones. Si en cada
habitación hay cinco personas adultas y cada una de ellas hizo cinco llamadas
telefónicas. ¿Cuántas llamadas hicieron en total las personas?
2. Marthacompró4cajasdechocolatinas.Cadacajatenía4filascon4chocolatinas.
¿Cuántas chocolatinas hay en total en las cuatro cajas? Y si cada chocolatina
costó $750 pesos, ¿cuánto dinero canceló Martha?
3. Enlasiguientetabla,verifiquelosresultadosdelasoperacionesdepotenciación,
y luego una con una flecha los términos de la derecha con los de la izquierda.
35
= 25
23
. 24
. 22
= 420
54
÷ 52
= 10.000
(43
. 42
)4
= 512
(2 ÷ 4)5
= 243
(102
)2
= 1÷ 32

48
2.6 Radicación de números enteros
La radicación de números enteros tiene como finalidad encontrar la base de la
potencia, conociendo la potencia y el exponente. Para establecer una relación
entre operaciones matemáticas podemos decir que la radicación es el proceso
inverso de la potenciación.
En la radicación de números enteros intervienen los siguientes términos: índice,
cantidad subradical, radical (símbolo de la radicación) y la raíz (como el resultado
buscado).
Cuando el índice del radical es 2, recibe el nombre de raíz cuadrada y no se
acostumbra a escribir el índice en la expresión. En los demás casos se debe escribir
el índice de la raíz, es decir: si el índice es 3, raíz cúbica; si es 4, raíz cuarta y así
sucesivamente.
Ejemplos:
√81 = 9, porque 92
= 81
√256 = 4, porque 44
= 256
3
√343 = 7, porque 73
= 343
a = b
n
Símbolo de la raíz: Radical
Índice
del radical
subradical
Raíz

49
2.6.1 Ley de los signos de la radicación
1. Si el índice es impar, la raíz lleva el signo del radicando
2. Si el índice es par, sólo existe la raíz del radicando positivo. La del radicando
negativo No existe.
Ejemplos:
a. √-25 = No existe
b. 3
√-27 = - 3
c. √9 = 3
d. √16 = 4
e. 4
√-1 = No existe.
2.6.2 Propiedades de la radicación de números enteros
En la radicación de números enteros se cumplen las siguientes propiedades:
1. Raíz de un producto
Calcular la raíz de un número se expresa como el producto de las raíces siempre
que estas raíces se puedan calcular, es decir: n
√ (a × b) = n
√a × n
√b
a. √ (36 × 16) = √36 × √16 = 6 × 4 = 24
b. √ (25 × 9) = √25 × √9 = 5 × 3 = 15
c. √ (64 × 49) = √64 × √49 = 8 × 7 = 56
2. Raíz de un cociente
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces siempre que estas existan,
es decir, se reparten las raíces y luego se calculan: n
√ (a ÷ b) = n
√a ÷ n
√b

50
Ejercicios:
a. √ (169 ÷ 81) = √169 ÷ √81 = 13 ÷ 9
b. √ (256 ÷ 296) = √256 ÷ √296 = 16 ÷ 14
c. 3
√ (121 ÷ 27) = 3
√121 ÷ 3
√27 = 11 ÷ 3
d. 3
√ (125 ÷ 216) = 3
√125 ÷ 3
√216 = 5 ÷ 6
3. Raíz de una raíz
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se coloca
misma la cantidad subradical, es decir: m
√(n
√ a) = mxn
√a
Ejercicios:
a) 3
√ (2
√64) = 3x2
√64 = 6
√64 = 2
b) 3
√ (4
√4096) = 3x4
√4096 = 12
√4096 = 2
4. Potencia de una raíz
Para resolver la raíz a una potencia, se conserva el índice y se eleva a la potencia,
la cantidad subradical, es decir: (n
√a)m
= n
√(a)m
Ejercicios:
a) (3
√27)4
= 3
√(27)4
= 81
b) (4
√625)3
= 4
√(625)3
= 125
2.6.3 Actividades
1. Calcule el valor de las siguientes raíces y justifique la respuesta.
a) √121 =
b)3
√512 =
c)4
√625 =
d)3
√216 =
e)5
√243 =

51
2. Resolver los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los radicales de
acuerdo a su tipo.
a) √4 + 3
√64 - 3
√27 =
b) -√81 + √81 ÷ 3
√729 =
c) √16 - 5
√1024 × 3
√125 =
d) √25 + 2
√(2
√256) + 3
√8 =
e) √36 - 4
√(10.000 ÷ 625) - 3
√27 =
3. Preguntas de selección múltiple.
1. La expresión (√6 - √24)2
es igual
a. 6
b. 30
c. 18
d. – 6
2. Si x = 4; y = -1; z = -4, entonces el valor de √(2.x + 3.y - 5.z) es:
a. 5
b. 31
c. - 25
d. 10
3. La expresión √5.√7 es equivalente a:
a. √74
b. √12
c. √35
d.4
√12
4. Si tenemos la raíz cuadrada de x y como resultado exacto 27. ¿Cuál es el valor de x ?
a. El doble de 27.
b. Un tercio de 27.
c. El cuadrado de 27.
d. La raíz de 27.

52
1. El piso de la sala de una casa es cuadrado y tiene en total 100 piezas de
porcelanato de 40 x 40. ¿Cuántas piezas de porcelanato tendrá por cada lado?
2. Encuentre mentalmente la raíz cuadrada de los siguientes números:
a. 49
b. 25
c. 81
d. 100
3. Cecilia piensa así: “El número 12 está entre 9 y 16. Por lo tanto, su raíz cuadrada
debería estar entre 3 y 4”. ¿Tiene razón?
4. ¿Entre qué números naturales debe estar la raíz cuadrada de 40?
5. ¿Entre qué números naturales debe estar la raíz cuadrada de 90?
6. Determine mentalmente el cuadrado de 50. De acuerdo con el resultado de la
raíz de 580, ¿es mayor o menor de 50?
7 Ya se sabe que la raíz de 580 está entre 10 y 50. Determine mentalmente el
cuadrado de 20. De acuerdo con el resultado, ¿la raíz de 580 es mayor o menor
que 20?

53
3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y signos de
operaciones matemáticas que nos permiten traducir al lenguaje matemático,
expresiones del lenguaje habitual.
Ejemplos:
a) 7x2
b) 4x3
+ 6x
Las letras representan cantidades desconocidas, reciben el nombre de variables
o incógnitas y son utilizadas en diversos campos de estudio como la matemática,
geometría, física, economía, entre otros.
En la siguiente figura, el largo del rectángulo mide x cm, el ancho mide y cm,
entonces se puede expresar:
x
y
a. El perímetro como: 2x + 2y
b. El área de la figura como: x.y

54
En las expresiones algebraicas se utilizan los conceptos de término, parte o factor
numérico, parte o factor literal, y exponente.
Un término en una expresión algebraica es cada sumando que está separado por
el signo más o el signo menos.
Ejemplo:
3x2
y + 5x - 12y
Primer término Segundo término Tercer término
3.1 Actividades
1. Indiqueelnúmerodetérminosqueposeecadaunadelassiguientesexpresiones
algebraicas:
a. 8x3
- 6y: Dos términos.
b. 9a2
+ 4b – 5: Tres términos.
c. - 5x3
- 8xy + 4y: Tres términos.
d. 5m4
+ m3
– 3m2
+ 7m: Cuatro términos.
e. 25m4
n 3
+ m 3
n5
– 3m 2
n 7
+ 7mn 9
– 4: Cinco términos.
Existendiferentestiposdeexpresionesalgebraicasyrecibensunombredeacuerdo
al número de términos.
5x3
Expresión algebraica
Parte
numérica
Parte literal
Exponente

55
a. Si tiene un solo término recibe el nombre de Monomio. Ejemplo: 6x 2
b. Si tienen dos sumandos reciben el nombre de Binomio. Ejemplo: 7x 3
+ 2y
c. Si tienen tres términos reciben el nombre de Trinomio. Ejemplo: 9x2
- 8xy + 3x
d. Si tienen varios términos reciben el nombre de Polinomio.
2. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo al número de
términos:
a. 4 x 3
– 7 y + 3: Trinomio.
b. 5 a 2
+ 4 b: Binomio.
c. - 5 x 3
: Monomio.
d. – 8xy +14 y: Binomio.
e. 5m 4
+ m3
– 8m2
+ 3m: Polinomio.
3.2 Términos Semejantes
Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y los mismos
exponentes. En ellos, la parte numérica no se tiene en cuenta al momento de
clasificarlos.
Ejemplo: los términos 32 a2
y - 25 a2
son términos semejantes porque la parte
literal a tiene el mismo exponente, que es 2.
Ejemplo: los términos -7 a2
b y 25 ab2
no son términos semejantes porque las
partes literales a y b, no tienen los mismos exponentes.

56
3.2.1 Actividades
1. Relacione los términos semejantes.
1 7m3
n4
a 8 a2
b2
2 -14x3
y b w2v2
3 mnp c -9pmn
4 -9abcd d 45x3
y
5 a2
b2
e 5dcba
6 -6h2
j3
k4
f -2y3
xz4
7 -5xy3
z4
g 45h2
j3
k4
8 15v3
w h -5n4
m3
2. Escriba tres términos semejantes para uno de los siguientes términos.
a. 4 m2
n:
b. 24 x2
y:
c. 7 y3
x2
:
d. 8 y4
x3
:
e. 5 z3
n5
:
3.3 Valor Numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebraica se reemplazan las letras por números asignados y
se realizan las operaciones indicadas, entonces se obtiene un número que es el
valor numérico de la expresión algebraica.
Ejemplo: Dada la expresión 4 m2
n + mn y los valores m = 3, n = 2 entonces su valor
numérico está dado por:

57
4 m2
n + mn = 4 (3)2
(2) + 3.2
= 4 (9) (2) + 6
= 72 + 6
= 78
Ejemplo: Dada la expresión -5a3
b4
+ 3a2
-7ab3
y los valores a = 1 y b = 1, entonces
su valor numérico está dado por:
- 5a3
b4
+ 3a2
- 7ab3
= - 5(1)3
(2)4
+ 3(1)2
– 7(1)(2)3
=
= -5 . 1 . 16 + 3 . 1 -7 . 1 . 8 =
= -80 + 3 - 56 = - 133
3.3.1 Actividades
1. Un jugador de tiro al blanco recibe $ 500 por cada acierto y paga $ 450 cada vez que
no acierta. Si de 30 tiros acierta 13, ¿en qué situación queda después del juego?
a. No gana ni pierde porque el dinero perdido es exactamente igual al dinero
ganado.
b. Le quedan $ 14.150 porque: 13(500) + (- 450) = $ 14.150.
c. Gana $ 650 porque el número de aciertos es mayor que el número de
pérdidas.
d. Queda debiendo $ 1150 porque: 13(500) + 17(- 450) = - 1150.
2. Si a = (- 5), ¿cuál expresión es la correcta?
a. І a І = (- 5) porque el valor absoluto de un número es el mismo número.
b. (-1) . a = (- 5) porque el producto de dos números de distinto signo siempre
es negativo.
c. (- a) + a = 2a porque remplazando a por (- 5) en ambos términos de esta
igualdad, da (- 10).
d. (- a) = 5 porque la expresión (- a) representa el opuesto de (a).

58
3. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión, c - 3(2a + b) cuando a = 5, b = 7 y c = 9?
a. 51.
b. – 32.
c. 42.
d. – 42.

59
4. DESTRUCCIÓN DE SIGNOS
DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más usados en el campo de las matemáticas son:
a. El paréntesis ( )
b. El corchete [ ]
c. Las llaves { }
d. El vínculo o barra _______
Para saber qué signo le corresponde a cada término se deben comprender las
siguientes reglas:
a. Si el signo de agrupación está precedido del signo más, entonces los términos
que están dentro del signo de agrupación resultarán con el mismo signo.
Ejemplo: Resolver: {- 20 + 53 – 56}
{- 20 + 53 – 56} =
= {- 63} =
= - 63
b. Si el signo de agrupación está precedido del signo menos, entonces los términos
que están dentro del signo de agrupación resultan con signos contrarios, es
decir, se les cambia el signo.

60
Ejemplo: Resolver: - {- 40 + 83 – 36}
- {- 40 + 83 – 36} = = - {7} =
= - 7
Cuando se tiene una expresión algebraica con diferentes signos de agrupación y se
busca eliminarlos, se empieza de adentro hacia afuera: primero se resuelven los
paréntesis, el vínculo o barra, luego los corchetes y las llaves. Todo esto teniendo
en cuenta las dos reglas básicas de los signos aritméticos; por último, sumamos
los términos semejantes.
Ejemplo: Resolver: - {- 5 + 3[- 7 – 9 - 6(5 + 4 - 12) + 6 - 11]}
- {- 5 + 3[- 7 – 9 - 6(5 + 4 - 12) + 6 - 11]} = - {- 5 +3[- 16 - 6(- 3) – 5]}
= - {- 5 + 3[- 16 + 18 - 5]}
= - {- 5 + 3[- 3]} = - {- 5 - 9}
= 14
4.1 Actividades propuestas
1. Destruya los signos de agrupación de las siguientes expresiones:
a. 5 + [4 - {22x - 20y + 15 - (45 -12x -25y)}]
b. 16 + (10x -12y - 6x) - (30 -15y -0x)
c. 7+ [4 - {22x - 20y + 15 + (3 + 4x + 30 - 6y) - (45 - 12x - 25y)}]
2. Determine el número que representa cada una de las siguientes expresiones.
a. { - 10 . [7. 8 - (5 - 9)] + 17} + 5
b. 22 + 15 – 17 – 14 + 35
c. 8 – 22 - 14 + 25
d. 2(13 - 2) + [{3 – 4 + (2 - 7)} - 8] - 6
e. 8 – 6 . [ (5 . (6 – 3 . (5 - 2)) + 2) - 1] + 7
f. 3 . [2 . { - (3 - 2) + 7 . 4 – 5 . (11 - 6)} + 8] - 2

61
3. Al simplificar – [x + {- (x + y) - [- x + (y - z) - (- x + y)] - y}] se obtiene:
a. 2y – z
b. - 2x – z
c. - 2y + z
d. 2x + z
4. Al simplificar: 8a - { 3b – [7 - (a - b) + (9a - 5)]} se obtiene:
a. 16a - 2b + 2
b. 3b – 2 + 8a
c. 8a – b
d. 8a + b – 2
4.2 Problemas de aplicación
1. El nivel de una represa ha descendido 12 cm diarios durante 5 días y luego
descendió 8 cm diarios durante 4 días. Para encontrar la modificación total,
indique cuál de las cuatro opciones representa el comportamiento en la represa:
a. Adicionamos los dos descensos:
(- 12) . 5 + (- 8) . 4 = (- 92). El nivel descendió 92 cm.
b. Buscamos la diferencia entre el primer descenso y el segundo:
(- 60) - (- 32) = (- 28). El nivel descendió 28 cm.
c. Como el descenso duró 9 días, multiplicamos cada valor por 9:
(- 12) . 9 + (- 8) . 9 = (- 180). El nivel descendió 180 cm.
d. Adicionamos lo que bajó por los primeros 5 días con lo que bajó los últimos
4 días:
(- 12) . 5 + (- 8) . 4 = 60 - 32 = 28. El nivel descendió 28 cm.

62
2. A partir del décimo día el nivel de la represa comenzó a subir 2 cm diarios. ¿En
cuántos días habrá recuperado el nivel inicial?
a. Como había bajado 12 cm diarios durante 5 días, subiendo 2 cm diarios
recupera el nivel en 30 días.
b. Como el descenso duró 9 días, se necesitarán otros 9 días para recuperar el
nivel.
c. Como el nivel bajó primero 60 cm y luego 32, cuento de 2 en 2 hasta 92:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +…+ 2 = 92. El ascenso durará 46 días.
d. Como el descenso total fue 60 cm + 32 cm = 92 cm, divido 92 por 2:
92 ÷ 2 = 46. El ascenso dura 46 días.

63
5. GLOSARIO TEMÁTICO
El objetivo de este glosario es poner a disposición de los estudiantes un recurso
más que contribuya al fortalecimiento y apropiación del lenguaje matemático
de las operaciones aritméticas básicas con números enteros y la destrucción de
signos de agrupación.
• Aritmética:eslaramamásantiguadelaMatemáticaqueseusauniversalmente,
propia del quehacer cotidiano, desde lo más elemental hasta en los cálculos
más avanzados.
• Cociente: el cociente es el resultado de una división.
• Cociente: es la parte que se obtiene en el proceso de la división y corresponde
al valor que representa las veces que contiene el divisor en dicha división.
• Cocientes de potencias de una misma base: es otra potencia en donde su
exponente final se obtiene realizando una resta de los exponentes de las
potencias.
• División de Números Enteros: la división de dos números enteros es igual al
valor absoluto del cociente de los valores absolutos, entre el dividendo y el
divisor, y su signo se obtiene de la aplicación de la Ley de los signos.

64
• División Exacta: una división es exacta cuando el residuo es cero. En una división
exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.
• División: la división es una operación matemática que consiste en determinar
cuántas veces un número está contenido en otro número.
• Divisor: un número es divisor de otro cuando lo divide exactamente. A los
divisores también se les llama factores.
• Elementos que conforman la operación aritmética división: dividendo, divisor,
cociente y residuo.
• Fracción: una fracción es la expresión de una cantidad dividida entre otra.
Diversas fracciones pueden tener el mismo valor, y el conjunto de todas las
fracciones equivalentes se denomina, número racional.
• Ley de signos en la agrupación: cuando entre un número y un paréntesis o
corchete, o entre dos paréntesis, o entre un paréntesis y corchete no aparece
signo alguno, se considera que es un producto.
• Multiplicación: es una operación aritmética que consiste en sumar
reiteradamente la primera cantidad tantas veces como lo indica la segunda.
• Número Opuesto: un número opuesto a un número entero es otro número,
pero con signo contrario y con el mismo valor absoluto.
• Números Enteros Negativos: son los números que están precedidos del signo
menos.
• Números Enteros Positivos: son los números que están precedidos del signo
más.

65
• Números Enteros Positivos: todos los números enteros positivos son mayores
que cero.
• Números Enteros: son todos los números naturales precedidos por un signo,
positivo o negativo.
• Números Enteros: son una generalización del conjunto de los números
naturales, es decir, que el conjunto de los números enteros está constituido
por números positivos, negativos y el cero.
• Números Enteros: un número entero se reconoce porque no tiene parte
decimal.
• Potencia de una potencia: es otra potencia en donde su resultado se da por la
multiplicación de sus exponentes.
• Potenciación: la potenciación de un número muestra cuantas veces se usa el
número en una multiplicación.
• Producto de potencias de una misma base: es la multiplicación de dos potencias
que da como resultado una potencia con la misma base, en la que el exponente
es igual a la suma de los exponentes de los factores.
• Producto: es el resultado obtenido del proceso que se deduce de la operación
aritmética de la multiplicación.
• Propiedad Asociativa: al sumar números enteros, la manera de asociarlos no
altera su resultado.
• Propiedad Conmutativa: el resultado de la suma de enteros no depende del
orden en que se suman.

66
• Propiedad Elemento Neutro: el elemento neutro de la suma de números
enteros es el número cero (0), porque al sumar cero con cualquier número, el
resultado es el mismo.
• Propiedad Elemento Opuesto: es aquel número entero que tiene el mismo
valor absoluto de ese número, pero de distinto signo.
• Propiedad o jerarquía en las operaciones con enteros: primero se resuelven los
paréntesis y corchetes, luego las llaves resolviendo las operaciones ubicadas
dentro o fuera de ellas. Seguidamente se hallan los productos y divisiones para
después resolver las restas y las sumas.
• Radicación: es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado
por sí mismo una cantidad de veces arroje como resultado otro número
determinado.
• Radicación: es una operación inversa de la potenciación en donde se evidencia
el total y el exponente, y se requiere hallar la base.
• Raíz cuadrada de un número entero: es la operación que da como resultado
otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.
• Representación de los números enteros: al conjunto de los números enteros se
les simboliza por la letra mayúscula Z.
• Representación de los números enteros: cuando se representan los números
enteros en una recta, un número es mayor que otro si se encuentra situado
más a la derecha y es menor si está a la izquierda.
• Resta o sustracción: es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética;
se trata de una operación que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una
parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia.

67
• Resultado de una suma o resta: es el valor obtenido al sumar o restar números
enteros.
• Suma de Enteros Positivos y Negativos o viceversa: se restan los valores
absolutos de ambos números y al resultado se le pone el signo del que tiene el
mayor absoluto.
• Suma o adición: es la operación matemática que consiste en combinar o añadir
dos números o más, para obtener una cantidad total, también se define como
el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una
colección final.
• Valor Absoluto: entre los números enteros negativos, es mayor el que tiene
menor valor absoluto.
• Valor Absoluto: entre los números enteros positivos, es mayor el que tiene
mayor valor absoluto.
• Valor Absoluto: es el número que se representa entre dos barras verticales; si
se trata de un número entero este se obtiene al quitarle el signo.

68

69
6. RESPUESTAS Y SOLUCIONES DE
LOS EJERCICIOS, LAS ACTIVIDADES
Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Capítulo 1
Actividades 1.3.1 Páginas 11 - 13
1. Responda falso o verdadero de acuerdo a cada uno de los siguientes
enunciados
a. Falso
b. Verdadero
c. Verdadero
d. Falso
e. Falso
f. Verdadero
2. Complete el texto colocando palabras adecuadas en los espacios vacíos
a. Conjunto infinito
b. Enteros negativos. Enteros positivos
c. Sirven para representar. Temperatura bajo cero. Profundidades. Al nivel del mar
d. Siempre existe un número finito de números. Es un conjunto discreto.
e. Los números enteros
f. Es igual al conjunto de los números naturales
g. El conjunto de los naturales

70
h. Es menor
i. Es mayor
j. Número natural. No todo. Es natural
k. Un sucesor
l. Consecutivos
m. Antecesor
n. Es mayor
o. Es neutro
p. Entonces es mayor. Más cerca de cero
q. Es mayor. Más lejos del cero
r. Miden magnitudes
3. Dadas las siguientes situaciones, exprese con un número entero la situación
que se plantea
a. - 314
b. + 3480
c. - 5
d. – 3
4. Complete la sopa de letras con las propiedades y conceptos relacionados con
los números enteros
Solución:
• Conmutativa.
• Asociativa.
• Opuesto.
• Resta.
• Suma
• División.
• Distributiva.
• Neutro.
• Antecesor.

71
• Sucesor.
• Mayor que.
• Menor que.
• Elemento.
Actividades 1.4.1 Página 14
1. Determine el valor absoluto de las siguientes expresiones
a. + 37
b. - 7
c. + 52
d. – 51
2. Resuelva los siguientes ejercicios de valor absoluto y grafique su
representación geométrica
a. + 2
b. + 3
Actividades propuestas 1.5.1 Páginas 15 - 16
1. Determine la relación de orden rellenando el espacio en blanco con >, = , <, en
cada una de las siguientes expresiones.
a. <
b. >
c. =
d. <
e. <
2. De acuerdo a los siguientes gráficos, determine las relaciones de orden para
los valores dados
a. En la gráfica a de la recta numérica, - 4 es menor que 3, o lo que es lo
mismo - 4 < 3.

72
b. En la gráfica b de la recta numérica, el valor - 3 es mayor que el valor - 1, lo
que quiere decir que - 1 > - 3.
c. En la gráfica c de la recta numérica, el valor de 1 es menor que el de 4,
porque 4 se encuentra más lejos del cero en la recta real; es decir 1 < 4.
d. En la gráfica d de la recta numérica, se puede deducir que los valores de - 4
y de 4 se encuentran a igual distancia del cero, es decir son iguales a + 4.
Capítulo 2
a. Complete el siguiente cuadro con los números que elija y realice la operación
Respuestas:
i. (- 7) + (- 9) = - 16
ii. (- 12) + (+ 8) = - 4
iii. (- 12) + (+ 11) = -1
b. Respuestas:
i. (+ 2) + (- 21) = - 19
ii. (- 8) + (+ 5) = - 3
iii. (- 8) + (+19) = + 11
iv. (- 17) + (-21) = - 38
c. Dados los siguientes valores a = - 13, b = + 25, c = - 11, m = + 14, n = + 78,
x = - 9, y = - 7; calcule el resultado de:
Respuestas:
I. (- 13) + (+ 25) = + 12
II. (+ 25) + (- 11) = + 14
III. (+ 14) + (+ 78) = + 92
IV. (- 9) + (- 7) = - 16
V. (- 13) + (+ 78) = + 65
VI.
(+ 14) + (- 7) = + 7

73
Problemas de aplicación 2.1.3 Página 20
1. Solución: Como nació en el año 20 a.C entonces tenemos - 20, pero como no
puede existir una edad negativa, para significar su valor se usa el valor absoluto
de este número, es decir: |- 20| = + 20
De la misma manera, la edad en que murió será una cantidad positiva, por
tanto, tenemos: |- 20| + 45= + 20 + 45 = + 65.
Respuesta: murió a los 65 años de edad
2. Solución: En esta situación se debe realizar una resta de números enteros así,
9.000 - 1730 = 7.270.
Respuesta: 7.270 m.
3. Solución: Como Manuel se encuentra en el sótano, se dice –1 y como vive en el
piso 14, se dice +15, entonces tenemos una suma de | -1| + 14 = + 1+ 14 = 15.
Respuesta: Subió 15 pisos
4. Solución: Como se trata de dos números negativos, se debe realizar una resta
para obtener el resultado, así: (-14) - (-10) = - 4ºC.
Respuesta: descendió 4º bajo cero.
5. Solución: En este caso tenemos la resta de: 18 - (+19) = - 1.
Respuesta: Salió del sótano 1.
6. Solución: Como la temperatura actual es de 27ºC y había subido 15ºC, entonces
se debe realizar una resta así: 27 - 15 = 12.
Respuesta: La temperatura inicial era de 12ºC.

74
1. Complete el enunciado de los siguientes conceptos
Respuestas:
a. Z-
b. – 6
c. Z+
d. ||
e. |- 75|
f. -20
g. Infinito
h. 28
2. Ordene de mayor a menor los siguientes enteros.
a. 22 >12 > - 7 > - 15 > - 34
b. 33 >13 > 0 > - 9 > - 47
3. Utilice las relaciones de orden entre las siguientes expresiones para que sean
verdaderas
Respuestas:
a. <
b. =
c. >
d. <
e. <
4. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la suma de enteros y
realice los cálculos que definen estos valores
Respuestas:
a. (- 15) + (+ 43) = + 28
b. (- 15) + (- 39) = - 54
c. (- 15) + (+ 28) = + 13

75
d. (+ 52) + (+ 43) = + 95
e. (+ 52) + (- 39) = + 13
f. (+ 52) + (+ 28) = + 80
g. (- 63) + (+ 43) = - 20
h. (- 63) + (- 39) = - 102
i. (- 63) + (+ 28) = - 35
5. ¿Qué propiedad se cumple en cada una de las siguientes situaciones?
Respuestas:
a. Elemento neutro.
b. Asociativa.
c. Conmutativa.
d. Clausurativa.
e. Inverso aditivo u opuesto
6. Resuelva los siguientes problemas.
a. 44 años
b. 3 °C
c. $ 322.000 pesos
d. Desde el piso 10
7. Dados los siguientes textos matemáticos. ¿de qué manera se expresarían usando
la notación de números enteros?
Respuestas:
a.(+ 2.500)
b.(+ 150)
c.(- 230)
d.(- 470)
e.(- 320)

76
8. Juan le debe $ 10.000 pesos a María y $ 15.000 a Rosa. Exprese con números
enteros las cantidades que está debiendo Luis.
Respuesta: Luis debe a María, - 10.000; Luis debe a Rosa, - 15.000
9. Carlos trabaja como mensajero de una empresa comidas rápidas localizada en
la carrera primera y realiza el sábado los siguientes recorridos: 20 cuadras hacia
el oriente y regresa a la empresa, sale nuevamente y se dirige 15 cuadras hacia
el occidente; luego va a almorzar a su casa que queda a 30 cuadras más hacia el
occidente. ¿Cuántas cuadras recorrió Carlos en total?
Respuesta: a. 85 cuadras
10. En un día de invierno, la temperatura en Quebec, Canadá era de - 5° C a las 10
de la mañana; al atardecer, la radio informó que hacía tres veces más frío que
en la mañana. En ese momento la temperatura en Quebec era de:
Respuesta: - 15 °C
11. Complete el siguiente crucigrama
Solución
Horizontales
3 - Conmutativa
5 - Resta
9 - Elemento Opuesto
10 - Interna
11 - Distributiva
12 - Raíz
13 - Asociativa
Verticales
1 - Potencia
2 - Valor absoluto
4 - Elemento Neutro
6 - Orden

77
7 - Multiplicación
8 - División
1. Complete el siguiente cuadro, siguiendo las reglas de la resta de números
enteros y realice las operaciones que dan el resultado de la tabla
Respuestas:
a. (- 15) - (+ 13) = (- 15) + (- 13) = - 28
b. (- 15) - (- 48) = (- 15) + (+ 48) = + 23
c. (- 15) - (+ 28) = (- 15) + (- 28) = - 43
d. (+ 24) - (+ 13) = (+ 24) + (- 13) = + 9
e. (+ 24) - (- 48) = (+ 24) + (+ 48) = + 72
f. (+ 24) - (+ 28) = (+ 24) + (- 28) = - 4
g. (- 63) - (+ 13) = (- 63) + (- 13) = - 76
h. (- 63) - (- 48) = (- 63) + (+ 48) = - 15
i. (- 63) - (+ 28) = (- 63) + (- 28) = - 91
2. Realice las siguientes restas:
Respuestas:
a.+ 35
b.+ 69
c.+ 102
d.– 22
e.- 70
Problemas de aplicación 2.2.3 Páginas 27 - 28
1. Solución: 325 – 175 = 150, la persona avanzó 150 pasos.
2. Solución: 22 - (- 14) = 22 + 14 = 36 ºC. Entre las dos ciudades hay 36 ºC de
diferencia.

78
3. Solución: Teniendo en cuenta que la fecha de nacimiento es antes de Cristo se
debe considerar como negativo el número, por tanto, se plantea: - 470 + 71 = -
399. Luego, Sócrates murió en el año 399 a.C.
4. Solución: - 1 + 11 = 10. El técnico se encontraba en el piso 10.
5. Solución: b. -3°C
6. Solución: a. $ 660.000
1. Encuentre el producto de las siguientes multiplicaciones aplicando las reglas
Respuestas:
a. + 60
b. + 52
c. – 81
d. 0
e. + 40
f. – 88
g. + 120
h. 0
i. – 105
j. + 42
k. - 25
l. + 16
m. – 80
n. 0
o. - 125
p. 0
q. + 63
r. 0
s. 120
t. - 34

79
2. Realice las siguientes multiplicaciones siguiendo las reglas.
Respuestas:
a. + 90
b. – 64
c. + 120
d. + 81
e. – 720
3. Indique la propiedad aplicada.
Respuestas:
a. Conmutativa.
b. Asociativa.
c. Conmutativa.
d. Conmutativa.
e. Elemento neutro.
f. Distributiva.
1.
Solución:
a. $ 7.000 x 3 = $ 21.000. Camila debe $ 21.000 pesos.
b. La deuda se representa con el número entero: - 21.000
2.
Solución:
a. 27
b. - 25
3.
Solución:
a. - 17. (- 3 + 14) = 51 + ( - 238 ) = ( - 187 )
b. - 23. [(13 + 14) - 10] = - 621 + ( 230 ) = (- 391 )

80
4.
Solución:
El buzo ha ascendido 5 x 6 = 30 metros y se encontrará a una
profundidad de: - 48 + 30 = - 18 metros.
5.
Solución:
Una docena son 12 vasos.
Una decena son 10 vasos
Luego la suma de los vasos es: 4 x 12 + 4 x 10
Teniendo en cuenta la propiedad distributiva tenemos:4 x (12 + 10) = 88 El total
de vasos de las vitrinas es 88.
6.
Solución: Ahora son 29 niños que tendrán que pintar 3 figuras más cada uno, es
decir, el que se enfermó pintaba 29 x 3 = 87 figuras.
Luego como todos tenían que pintar la misma cantidad de figuras, entonces: 87 x
30 = 2.610 figuras.
En total eran 2.610 figuras navideñas.
7.
Solución:
Mario cobrará en un año: 650.000 x 12 = $ 7.800.000.
En un año de 365 días José habrá cobrado: 365 x $ 75.000 = $ 27.375.000.
La diferencia a favor de José será: $27.375.000 – $7.800.000 = $ 19.575.000.
La diferencia de dinero al final cobrada entre los dos es de, $ 19.575.000.
8.
Solución:
El bus de Copetrán ha recorrido 1.030 km, y el bus de Brasilia, 1.070 km.

81
1. c. 2240 Km
2. a. 40 meses
3. b. Negativo
4. 200 kilómetros
5. c. 125.000 kg
6. b. 402.480 personas
1. Solución:
La profundidad o altura de cada sótano es de – 9 ÷ 3 = - 3
La atura de cada piso es de 4 metros, luego como el edificio tiene 46 pisos, incluida
la planta baja, entonces su altura total es: 46 x 4 = 184 metros.
2. Solución:
Los procedimientos a y b son correctos porque en el punto a se debe resolver
primero lo que está dentro del corchete. Si no hay paréntesis, se empieza por la
operación que está a la izquierda, que en este caso es la división como ocurre en
el punto b.
3. d. $ 80.000
1.
Respuestas:
c. Lucia, debió pagar $ 19.900 pesos
d. Sí, le alcanzó con el billete que llevó.

82
2.
Respuestas:
a. Sí
b. El nuevo sueldo es de $ 455.000 pesos
3.
Respuesta: 8 – 3 - 5 + 7 = 7.
La posición final que ocupa el equipo es el séptimo puesto del campeonato, es
decir una posición por debajo de la posición inicial.
4.
Respuestas:
a. A 5 km
b. Pablo, ha alcanzado más
c. Pedro ha recorrido más kilómetros
5.
Respuesta:
La altura del edificio es de 94 metros.
1.
Forma correcta de solución:
- 36 ÷ (- 8 ÷ (- 5 + 3) + 12 ÷ (-2 + 2. 4)) + 3 · (- 8) + 3. (- 12 + 5 · 2)=
= - 36 ÷ (- 8 ÷ (- 2) + 12 ÷ (- 2 + 8)) + 3 · (- 8) + 3 · (- 12 + 10)
= - 36 ÷ (4 + 12 ÷ 6) - 24 + 3 · (- 2)
= - 36 ÷ (4 + 2) - 24 - 6
= - 36 ÷ 6 - 30
= - 6 - 30
= - 36

83
2.
Respuestas: a = - 11, e = 12 y f = - 54
3.
Respuestas: a = - 2, b = 3 y c = 4.
4.
Respuestas:
a. Las operaciones que se necesitan para resolver el problema son multiplicación
o división.
b. La operación que se debe hacer para resolver el problema es una división.
c. La operación que debe realizar para resolver el problema es una división.
5.
Respuesta: 450.000 habitantes.
Actividad 2.5 Página 41
Respuestas:
a. + 8
b. 27
c. + 25
d. + 256
e. + 108
1.
a. 1
b. 4
c. 4
d. - 27

84
e. 81
f. - 1024
g. 0
h. 8
i. 50625
j. 0
k. - 8
l. 16
m. 1000
n. 0
o. 16
p. - 64
q. - 1
r. 0
2.
a. 2187
b. 729
c. 256
d. 1
e. y6
f. x6
g. 1
h. 32
i. 729
j. -1
k. 256
l. 8192
m. 4096
n. 1
o. -125
p. 4

85
q. 81
r. 1
s. -4
t. 144
u. 256
v. 1
w. -46656
x. 1
y. 1
a. 900
ab. 9261
3.
12
22
32
42
52
62
72
82
92
102
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
4.
Producto Potencia Base Exponente Resultado
7 × 7 × 7 × × 7 75
7 5 16.807
3 × 3 × 3 × 3 × 3 35
3 5 243
4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 46
4 6 4.096
5 × 5 × 5 × 5 × 5 55
5 5 3.125
6 × 6 × 6 × 6 × 6 65
6 5 7.776
5. b. (34)2
× (34)2
6. b. 212
1. Respuesta: 55
= 3.125 llamadas
2. Respuesta: 43
chocolatinas y canceló $ 48.000 pesos.

86
1.
Respuestas:
a) 11
b)
8
c)
5
d)
6
e)
3
2.
Respuestas:
a) 3
b) 0
c) -14
d) 12
e) 1
3.
1. a. 6
2. a. 5
3. c. √35
4. c. El cuadrado de 27
1.
Respuesta: Tiene 10 piezas por cada lado, por lo que la raíz cuadrada de 100 es 10.
2.
Respuestas: 7, 5, 9 y 10 respectivamente

87
3.
Respuesta: Sí, porque, aunque no son exactas las raíces, entre ellas está la solución.
4.
Respuesta: Entre 6 y 7
5.
Respuesta: Entre 9 y 10.
6.
Respuesta: Es menor de 50.
7.
Respuesta: Es mayor de 20.
Capítulo 3
1.
Respuesta: d. Queda debiendo $ 1150 porque: 13(500) + 17(- 450) = - 1150.
2.
Respuesta: d. (- a) = 5 porque la expresión (- a) representa el opuesto de (a).
3.
Respuesta: d. – 42

88
Capítulo 4
Actividades propuestas 4.1 Páginas 60 - 61
1.
a. Respuesta: 55 – 34 x – 5 y
b. Respuesta: 21 + 14 x + 2 y
c. Respuesta: 26 – 14 x – y
2. Respuestas:
a. 578.
b. 41.
c. – 3.
d. 2.
e. 92.
f. 34.
3. Respuesta:
a. 2y – z
4. Respuesta:
a. 16a - 2b + 2
Problemas de aplicación 4.2 Páginas 61 - 62
1. Respuesta:
a. Adicionamos los dos descensos: (-12) . 5 + (- 8) . 4 = (- 92). El nivel descendió 92 cm
2. Respuesta:
a. Como había bajado 12 cm diarios durante 5 días, subiendo 2 cm diarios recupera
el nivel en 30 días.

89
7. RECURSOS DE PÁGINAS WEB
Autor desconocido. (s.f.). Matemáticas: Potencia y radicación. Recuperado de
Barbero Corral, E. (s.f.) Documento sin título. Recuperado de http://recursostic.
educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena2/1quincena2_
presenta_1a.htm.
Centro de Estudios Universitarios “Adolfo López Mateos”. (s.f.) Recuperado de
http://www.ceualm.com/CGI-BIN/material/20140828125950.pdf.
Coordinación de Universidad Abierta y Educación a distancia – (UNAM). (2011).
Introducción a los números enteros. Recuperado de http://cuaed.unam.mx/
math_media/aritmetica/intro_num_enteros/index.php.
Fundación Universitaria San Martín. (s.f.). Recuperado de http://www.sanmartin.
edu.co/distancia/sistema/matcero/capitulo2.htm.
Galeazzi Alvarado, J. (s.f.). Guía de Matemáticas para el examen de ingreso a
la UNAM. (Parte 1, p.2). Recuperado de http://www.monografias.com/
trabajos67/guia-matematicas-uno-ingreso/guia-matematicas-uno-ingreso2.
shtml.
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas133.htm

90
Norma. (2004). Alfa 7 con estándares. (3ª edición) Recuperado de https://books.
google.com.co/books?id=6O13lWwGPqoC&pg=PA3&lpg=PA3&dq=glosario
+de+los+n%C3%BAmeros+enteros&source=bl&ots=1dNjUu2Ued&
sig=wspPoq6Z_N2h2g5kCNoROTRgpu8&hl=es-.419&sa=X&ved=0CDcQ6A
EwBWoVChMIzLCY8KLwxwIVxyoeCh27BQy-#v=onepage&q=glosario%20
de%20los%20n%C3%BAmeros%20enteros&f=false
Ramo García, A. (1999). Problemas, ejercicios, Matemáticas de Aplicaciones
Didácticas. Recuperado de http://www.aplicaciones.info/decimales/
problemas.htm.
Waner, S. (2007). Radicales y Exponentes Racionales. Recuperado de http://www.
zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_2B.html.

91
8. RESUMEN
Propiedades de las operaciones de los números enteros:
Z
+ ×
Propiedad asociativa a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Propiedad conmutativa a + b = b + a a × b = b × a
Elemento neutro a + 0 = a a × 1 = a
Elemento opuesto a + (- a) = 0 -----------
Propiedad distributiva a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

92

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