Guia trabajo uno_en_casa_trigonometria_2021_(1)

Lic. DAVID ADRIAN SALGADO ARIAS Y JOSE NOLBERTO PATIÑO CALDERON
INSTITUCIÓN EDUCATIVA
INEM Jorge Isaacs
Unidos en el amor formamos la mejor institución
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
GUIA DE APRENDIZAJE UNO GRADO DÉCIMO
TRIGONOMETRIA PRIMER PERIODO
Esperando que todos los estudiantes y sus familias se
encuentren muy bien de salud en estos tiempos
difíciles para todos “Dios los bendiga”
Guía de aprendizaje número uno: Matemáticas Décimo
Docentes: Juan Carlos Llantén,Fernando Bastidas, Paulo Cesar Dávalos, Javier Ochoa, JoséNolberto Patiño,
David Salgado, Jaime Londoño, Justo Javier Ortiz, Juan José Jaramillo
Periodo académico: Periodo uno (febrero 1 al 7 de mayo) del2021
Estándar: Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números
reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.
Reconoce una función polinómica, tabula, gráfica y comprende lo que representa.
Analizo en representaciones algebraicas, gráficas y tabulares los comportamientos de cambio de las funciones
elementales de la matemática.
Derechos básicos de aprendizaje: Utiliza las propiedades de los números reales para justificar
procedimientos y diferentes representaciones de subconjuntos de ellos. (DBA#1)
Reconoce la familia de las funciones logarítmicas f(x) = loga (x) junto con su dominio, rango, propiedades y gráficas.
(DBA#3).
Reconoce características generales de las funciones polinómicas observando regularidades. (DBA#8)
Niveles de desempeño:
Básico: Reconoce el significado de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo para ángulos
agudos, en particular, seno, coseno y tangente.
Calcula algunos valores de las razones seno y coseno para ángulos no agudos, auxiliándose de ángulos de
referencia inscritos en el círculo unitario.
Alto: Justifica el cómo y por qué para llegar a una solución de situaciones problema que involucran
triángulos de cualquier clase.

INEM Jorge Isaacs
Superior: Justifica la elección de métodos e instrumentos para la solución de un problema en contextos
geométricos y trigonométricos.
Desarrolla y aplica diferentes estrategias para la solución de un problema que involucran situaciones con
triángulos de diferentes clases.
Conjunto de números reales
Concepto
Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades
estructurales.
Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números
naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
Historia
Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los
tiempos.
En el siglo XXII a. de C para poder realizar importantes obras, los babilonios tuvieron que desarrollar un
sistema de numeración útil, el mismo era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10). Los chinos
también conocían las fracciones, y sabían reducir a común denominador. Llamaban "hijo" al numerador, y
"madre" al denominador.
La escuela pitagórica (siglo V a. de C.) descubrió que sólo con los números naturales y las fracciones no
pueden realizarse todas las medidas posibles. Existían pares de segmentos, como la diagonal y el lado de
un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fracción y llamaron a tal razón "alogos" o irracional.
Hacia el año 500, en la India se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las
soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números
que no podían ser expresados mediante números racionales.
Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción,
se solucionaban algunos problemas y surgían otros como por ejemplo resolver ecuaciones de segundo
grado y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de números
negativos que no se sabían interpretar, de aquí surge nuevo tipo de números, que denominaron ficticios,
como solución a las raíces cuadradas de números negativos.
El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el siglo XVII, cuando Fermat,
matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que
expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales.
Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en 1777, cuando Euler dio a
la raíz cuadrada de -1 el nombre de i (imaginario) y en 1799, Gauss acabó de resolver el problema al

INEM Jorge Isaacs
demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un
conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario"
(hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.
Evolución
1) Conjunto de los Números Naturales (N).
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser
humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
 Tiene un número infinito de elementos
 Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
 El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene
restando uno (-1).
2) Conjunto de los Números Cardinales (N*).
N* = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el
Conjunto de los Números Cardinales.
3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+)
Q+ = {0, ½, 2, 3/4 3, 9/7,...}
Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números
naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución
dicho conjunto.
Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de la forma o como una expresión decimal
periódica.
4) Conjunto de los Números Enteros (Z).
Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos
Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa
un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es
aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos.
Z = Tiene 3 Subconjuntos:

INEM Jorge Isaacs
 Enteros Negativos: Z ¯
 Enteros Positivos: Z +
 Enteros Positivos y el Cero: Z+ U {0}
Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
Z = Z - U {0} U Z +
5) Conjunto de los Números Racionales Q.
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾, ....}
El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en
el conjunto de los números naturales, números cardinales y números enteros.
Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es
múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está
formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número
entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.
El conjunto de los números racionales (Q) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros
(Z).
Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios
iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con
denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.
6) Conjunto de Números Irracionales (I).
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos
anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los
números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una
fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos,
infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.
Ejemplos: 1,4142135....
0,10200300004000005....
7) Conjunto de Números Reales (R).
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2,5 , .....}
Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R.
R= {Q U irracionales}.
8) Conjunto de Números Imaginarios (i)

INEM Jorge Isaacs
Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La
unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.
Debes tener en cuenta:
i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.
9) Conjunto de Números Complejos (C)
La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.
Las características estructurales más importantes de los conjuntos numéricos son:
1. No son conjuntos finitos.
2. Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable.
3. Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo).
4. Admiten relación de orden.
5. Admiten relación de equivalencia.
6. Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn,
pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma
característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de
Hasse (es una recta).
7. Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más
compleja.
8. El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el
siguiente:
a. N: Conjunto de los números naturales
b. Q+: Conjunto de los números fraccionarios
c. Z: Conjunto de los números enteros
d. Q: Conjunto de los números racionales
e. I: Conjunto de los números irracional
f. R: Conjunto de los números reales
g. C: Conjunto de los números complejos
Nota: Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto de los números
complejos.
El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de
Llaves. (tomado de: https://www.ecured.cu/Conjuntos_num%C3%A9ricos)

INEM Jorge Isaacs
Actividad # 1
PROPÓSITO: Partiendo de los conocimientos previos aplico propiedades de los números reales para
resolver ejercicios numéricos.
 Resolver los siguientes ejercicios con aplicando las propiedades de las operaciones con
números enteros

INEM Jorge Isaacs
 Resolver las siguientes operaciones, con números racionales
Comparar los siguientes números racionales colocando el símbolo <, =, o > , en el caso que sea
necesario colocar la fracción.

INEM Jorge Isaacs
 Realizar las siguientes operaciones con racionales
Sumas
Restas

INEM Jorge Isaacs
Multiplicaciones
Divisiones

INEM Jorge Isaacs
Relaciones y Funciones.
Parejas ordenadas
Una pareja ordenada se compone de dos elementos “x” y “y”, escribiéndose (x ; y), donde “x” es la primera
componente o (Abscisa) que esta ubicada en el eje horizontal del plano cartesiano y “y” la segunda
componente u (Ordenada) que está ubicada en el eje vertical del plano cartesiano. Teniéndose dos parejas
ordenadas (x ; y) y (z ; w), serán iguales si se cumple que x=z y y=w
Producto cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (simbolizado A x B) es el conjunto formado por todas la
posibles parejas (x , y), tal que “x” pertenece al primer conjunto A y “y” pertenece al segundo conjunto B es
decir AxB   x, y  / x  A, y  B

Ejemplo

INEM Jorge Isaacs
Concepto de relación y función
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo
conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o
más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio
le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no
todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

INEM Jorge Isaacs
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par
ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier
subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {(x, y)
/ y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente,
R2 = {(x, y) / x < y}
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos
unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {(x, y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que
define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores
de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos delos dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la
relación R = {(x, y) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados

INEM Jorge Isaacs
C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:R = {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante
la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C,
el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los
dos conjuntos.
Dominio y rango de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los
elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del
conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y” es el
doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8),
(4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo,
“2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto, el Dominio es un subconjunto de A.

INEM Jorge Isaacs
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
Representación gráfica de las relaciones
Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagramas sagitales o por medio
de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla
R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la relación (que cumplen con y = 2x + 1) son: R = {(1, 3), (2, 5),(3,
7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:

INEM Jorge Isaacs
FUNCIÓN
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro
conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio
le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también
llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico
común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada
telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda
en la siguiente lista?:
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces “elevar al cuadrado”:

INEM Jorge Isaacs
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función).
Entonces, f es la regla “elevar al cuadrado el número”.
Usualmente se emplean dos notaciones:
x ——–> x2 o f(x) = x2.
Así, f (3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f (3) = 9. De igual modo f (2) = 4, f (4) = 16, f (a) = a2, etc.
Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable
independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama
la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.
Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.
Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto
(variable dependiente), definida por la regla “doble del número más 3”.
x ——-> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3; Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta
regla son:

INEM Jorge Isaacs
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los
elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y
cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y
sólo auno significa que aun mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
Ahora podemos enunciar una definición más formal:
Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un
elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio).
Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método)
que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X.
Usualmente X e Y son conjuntos de números reales.
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A —–> B (o, usando X por A e Y por B f : X —–> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es
el codominio o conjunto de llegada.
f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x).
En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del
número 5.
El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se
obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función.

INEM Jorge Isaacs
Ejemplo 3
Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10,
12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es “asignar a cada elemento su
cuádruplo”.
Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos el dominio y recorrido.
Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del
conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia
es una función (función de A en B).
Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}
Aquí debemos recordar que todafunción es una relación,pero no todas las relaciones son funciones. Como
ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:
Si tenemos los conjuntos
A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}
Podemos establecer las relaciones
f = {(1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5)}
g = {(1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5)}
h = {(1; 1); (2; 2); (3; 3)}:
Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto
A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del
dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el4).
Ejemplo 4
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es ” asignar a cada
elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada”.
Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y.

INEM Jorge Isaacs
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero
a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se
corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.
Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida;
es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x).
Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número
real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales.
En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para loscuales
−1< x < 2, porque, aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en
qué intervalo está comprendida.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los
cuales la función tiene sentido.
En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o
iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada.
Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente:
Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para
los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.
Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn (donde a0, a1, a2,…,
an son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los
números reales.
Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos
los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero.
El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto
conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están
determinados, además, por el dominio de la función.
Ejemplo

INEM Jorge Isaacs
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0.
Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar
los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.
TOMADO DE (http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html)
Actividad #2
PROPOSITO: Identifico y determino el dominio y rango de funciones, según sus caracteristicas

INEM Jorge Isaacs
2. Completar en cada caso lo preguntado en las columnas
Grafica Función Relación Dominio Rango

INEM Jorge Isaacs

INEM Jorge Isaacs
3. Dadas las siguientes expresiones matemáticas realizar sus respectivas gráficas y determinar el
dominio y el rango.
 y  x2
1
 y  3x 2
1
 y  log2 x
 1 
 x
 y  
2

 y  x 2
5
 
 y  log4 x
 y  3x
 y  sen(x) si x 0°  x  360
 y  2x2
 4x 1
 y  x3
3

x
INSTITUCIÓN EDUCATIVA INEM JORGE ISAACS
UNIDOS EN EL AMOR FORMAMOS LA MEJOR INSTITUCIÓN
PLAN DE AULA
CÓDIGO: CEFR41 VERSIÓN:01 FECHA: 2020 09 09 PÁGINA: 27 de 5
4. En los siguientes ejercicios realizar la gráfica mediante la tabulación y trazado de puntos,
determinar dominio y rango.
 f x 
1
x  2
2
 y  52x
 f  x 
3

x
 f x 
1

 y  4 x2

 f x  x 3
2

 y  6
 y 
x  2
 f x  2x2
 2x
 f  x 
5

x  4
5. Resolver los siguientes problemas de aplicación
A. Si el costo de fabricación de un bolígrafo es de $0,3 por unidady se venden por $0,5, calcular:
La función de beneficios en función del número de bolígrafos vendidos. Representar sugráfica.
 Calcular los beneficios si se venden 5.000 bolígrafos.
 Calcular cuántos bolígrafos deben venderse para generar unos beneficios de $1.648.
B. Una empresa discográfica realiza una inversión inicial de $5.000 para preparar las canciones de un
álbum musical. El costo de fabricación y grabación de cada disco es de $4. Además, la discográfica
debe pagar al cantante $1 por cada disco, por derechos de autor. Se decide que el precio de venta
del disco sea $15. Se pide:
 La función de beneficios (ganancias menos gastos) de la empresa en función del número de
discos vendidos. Representar su gráfica.
 Elnúmero dediscos quedeben venderse paraque la empresa tenga unas ganancias de $100.000.
 ¿Cuáles son los beneficios si se venden sólo 200 discos?
C. Se estima que en un campo de 360 árboles de cítricos producirá 30.240 mandarinas. Suponiendo
que todos los árboles producen la misma cantidad de frutos, calcular:
 La función que proporciona el número total de mandarinas en función del número de árboles de
cítricos. ¿Qué tipo de función es? Representa su gráfica.
 ¿Cuántas mandarinas se producirían en total si se plantan 70 árboles de cítricos más?
 ¿Cuántos árboles se necesitan para producir un mínimo de 50.000 mandarinas?
D. El dueño de una tienda invirtió $18 para para comprar 60 bolsas de frituras. Si vende cada bolsa en
$0,5, obtener:
 La función que proporciona las ganancias con respecto del número bolsas vendidas
(descontando la inversión inicial).
 ¿Cuántas bolsas deben venderse para recuperar la inversión?
x  2

INEM Jorge Isaacs
TRIGONOMETRIA PRIMER PERIODO 2021
 ¿Cuál es la ganancia si venden las 60 bolsas?
E. El oso panda de un zoológico pesó 3,5kg al nacer. Sabiendo que los ejemplares de su especie
aumentan una media de 2,5kg cada mes durante los primeros 3 años de vida, calcular:
 La función que proporciona el peso del oso en función de su edad (en número de meses). Indica
el dominio de la función.
 Representar la gráfica de la función del apartado anterior.
 Calcular, aplicando la función, el peso del oso a los 6 meses, 9 meses y 2 años de edad.
 ¿A qué edad el oso sobrepasará los 80kg de peso?


















INEM Jorge Isaacs
Teorema de Pitágoras
“El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo
rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del
tercero.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es
rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.
Como ya sabréis, un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es
decir, es un ángulo recto. Está claro que si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo,
pues deben sumar entre los tres 180 grados. En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de
otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros
dos lados catetos.” Tomado dehttps://matematicascercanas.com/2019/02/16/teorema-de-pitagoras/”
Pues bien, el Teorema de Pitágoras dice que: «En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

INEM Jorge Isaacs
Actividad número tres teorema de Pitágoras
PROPOSITO: Utilizo el teorema de Pitágoras de forma analítica para solucionar triángulos rectángulos
1. Resolucionar los siguientes triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras

INEM Jorge Isaacs

INEM Jorge Isaacs
Razones trigonométricas
Dado un triángulo rectángulo, llamaremos razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos agudos al
seno, al coseno y a la tangente. Las definiremos del siguiente modo:
Seno
El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.
Coseno
El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se
denota por cos B.

INEM Jorge Isaacs
Tangente
La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se
denota por tan B o tg B.

INEM Jorge Isaacs
Cosecante
La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B. Se denota por csc B o cosec B.
Secante
La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.

INEM Jorge Isaacs
Cotangente
La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cot B o ctg B.
Actividad tres: Razones trigonométricas
PROPOSITO: Aplico las razones trigonométricas para la solución de triángulos rectángulos
2. Para los siguientes triángulos calcular las razones trigonométricas para el ángulo indicado.

INEM Jorge Isaacs
ANGULOS DE ELEVACIÓN
PROPOSITO: Aplico la razones trigonométricas para resolucionar problemas de aplicación ángulos de
elevación y depresión.
Al observar que por encima de ti hay un objeto, y tú lo puedes visualizar, estamos hablando que debes
hacer un levantamiento de mirada para poderlo ver, a este levantamiento le llamamos ángulo de
elevación (es el ángulo formado por la línea de la visión y la horizontal imaginaria de la visión)

INEM Jorge Isaacs
De igual forma cuando estas en un punto elevado, y observas un objeto que está ubicado debajo de ti, el
ángulo que forma la línea de visión, con la horizontal imaginaria, es llamado el ángulo de depresión.
Ejemplo: Un piloto de un barco observa al vigía de un faro con un ángulo de elevación de 32º. Si la altura
del faro es de 135 m, calcular la distancia del faro al barco, y la visual del piloto.

INEM Jorge Isaacs
Solución: una imagen del problema lo tenemos a continuación
A continuación veremos los datos en la figura
Si observamos se formaría el siguiente triangulo rectángulo

INEM Jorge Isaacs
En este sentido debemos determinar la medida del segmento a y la medida del segmento v
A continuación determinaremos cuanto mide el segmento a que es la distancia del piloto a la base del faro,
para ello utilizaremos la razón trigonométrica tangente que es igual al cateto opuesto sobre el cateto
adyacente.
La distancia de la base del faro al piloto del barco es 216 metros.
A continuación determinaremos el valor de la distancia del piloto del barco hasta la punta de faro, esto lo
hallaremos con la razón trigonométrica del seno, la cual es cateto opuesto sobre hipotenusa.

INEM Jorge Isaacs
La distancia que hay desde el piloto hasta la punta del faro es 254,72 metros. De esta manera queda resuelto
el ejemplo, tenga en cuenta que en este tipo de ejercicios solo se utilizan las tres razones fundamentales
que son seno, coseno o tangente.
Explicación para el cálculo de un ángulo en este caso el tercer ángulo del ejercicio, según la figura
Para ello vamos a utilizar la razón tangente como sigue.

INEM Jorge Isaacs
Actividad #3: Ángulos de elevación y depresión
3. Camilo practica skateboard en una rampa, cuya altura es de tres metros, la distancia desde lo más
alto de la rampa hasta donde termina en el piso es 5 metros, encuentra la distancia que hay desde
la parte más baja de la rampa hasta la base de lamisma.
4. Encuentre el valor de la variable según sea cada caso
En la calculadora se mantiene presionando la tecla
SHIFT y después la tecla tan obteniendo en la pantalla

INEM Jorge Isaacs
5. Resolver cada triangulo si es posible de no ser así justifica tu respuesta
 En el triángulo ABC, rectángulo en B, c= 4 cm. <A=32°
 En el triángulo MNO, rectángulo en N, n=6 cm y p= 10cm.
 En el triángulo XYZ, rectángulo en Y, x=5cm. y= 5 2 cm.
 En el triángulo HIJ, rectángulo en H, h=8cm. J=10 cm.
 En el triángulo PQR, rectángulo en R, P=58°, q=6cm
6. Para determinar la altura de una torre, pedro se ubica a 10 metros de la torre, y mide un ángulo de
elevación de 40°, como muestra la figura, s la estatura de pedro es de 1,74m determinar la altura de
la torre.
7. El edificio de Nueva York Empaire State tiene 1250 pies de altura. Encuentra el ángulo de elevación
de su último piso desde un punto de la calle que está a 5280 pies desde la base deledificio.
8. Desde el borde de un acantilado el ángulo de depresión de un velero es de 24°. Encuentre la distancia
que hay desde el pie del acantilado hasta el velero.

INEM Jorge Isaacs
9. El copiloto de un aeroplano representado en la figura y que vuela a una altura de 8000 pies sobre
el nivel del mar, descubre una isla. Calcular el ancho de la isla.
10. Una torre de 135 pies de altura está situada en la orilla de un lago, desde la punta de la torre el
ángulo de depresión de un objeto en la orilla opuesta al lago es de 36,3°.calcular el ancho del algo.
11. Un cable para teléfono se tiende, estrechamente entre los postes como muestra la figura ¿Cuál es la
longitud del cable necesario para esta operación, si se requiere un 3% adicional para sujetar al
cable?

INEM Jorge Isaacs
Lo que debo entregar
Debes enviar al correo de tu profesor los procedimientos utilizados para encontrar las respuestas
a las actividades #1, #2 y #3 propuestas en la guía de aprendizaje.
Para esto tendrás tiempo hasta la fecha que se le indique desde la institución será enviado de forma
ordenada y clara a su docente respectivo.
Juan Carlos Llantén d.ine.juan.llanten@cali.edu.co
Fernando Bastidas d.ine.fernando.bastidas@cali.edu.co
Paulo Cesar Dávalos d.ine.paulo.davalos@cali.edu.co
Javier Ochoa d.ine.javier.ochoa@cali.edu.co
José Nolberto Patiño d.ine.jose.patino@cali.edu.co
David Salgado d.ine.david.salgado@cali.edu.co
Juan José Jaramillo d.ine.juan.jaramillo@cali.edu.co
Justo Javier Ortiz d.ine.justo.ortiz@cali.edu.co
Jaime Londoño
MUCHOS EXITOS
d.ine.jaime.londono@cali.edu.co

Guia trabajo uno_en_casa_trigonometria_2021_(1)

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Guia trabajo uno_en_casa_trigonometria_2021_(1)

Similar a Guia trabajo uno_en_casa_trigonometria_2021_(1) (20)

Último

Último (20)

Guia trabajo uno_en_casa_trigonometria_2021_(1)