Lógica y teoría de conjuntos

1. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
TEORÍA DE CONJUNTOS
GUIA 1
TEORIA DE CONJUNTOS
Definiciones:
1. Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera:
números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}
{x/x2
-3x –2= 0}
{Inglaterra, Francia, Dinamarca}
2. Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.
Notación: A⊂B ⇔ ∀x ∈A⇒ x∈B
Ejemplo:
El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece
al conjunto D.
3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto,
excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.
Notación: U
Ejemplo:
A = {1,3,5} B = {2,4,6,8}
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
1. Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro
conjunto.
Notación: φ = { x / x ≠ x }
Ejemplo:
B= {x/x2
= 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.
2. Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones
conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos
corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.
Ejemplo:
A ⊂ B
3. Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o
no factibles de contar.
Ejemplo:
M= {a,e,i,o,u}, M es finito.
N={1,3,5,7...}, N es infinito.
4. Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.
Gráficamente:
1
U
U
A B
B
A

2. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
TEORÍA DE CONJUNTOS
GUIA 1
Ejemplo:
A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o
a B.
Notación: A∪B= {x/x∈A∨ x∈B}
Gráficamente:
Ejemplo
A={3,4,5,8,9} B={5,7,8,9,10}
A∪B={3,4,5,7,8,9,10}
2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos
son comunes a A y B.
Notación: A ∩ B= {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficamente:
A
Ejemplo:
A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14}
A ∩ B={9, 11}
3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A
y que están en el universo.
Notación: Ac
= {x / x ∈U ∧ x ∉A}
Ac
= U - A
Gráficamente:
Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
Ac
= {1,2,5,8,9,10}
2
U U U
A b A B B
A
U U U
A
BA
B
A
Ac
U
A
) B
)
)
AA
AA

3. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
TEORÍA DE CONJUNTOS
GUIA 1
4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son
aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.
Notación: A - B ={x / x ∈A ∧ x ∉ B}
Gráficamente:
Ejemplo:
C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q}
C - D = {x, y, u}
5.- Diferencia Simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos
elementos son aquellos que están en A, pero no en B, unidos con aquellos que están en B, pero
no en A.
Notación: A ∆ B= {x / x ∈ A ∧ x ∉ Β} ∪ {x / x ∉Α ∧ x ∈Β}
A ∆ B= ( A - B ) ∪ ( B -A )
Gráficamente:
Ejemplo:
A= {1,3,4,5,6,7,20,30} B={2,6,20,40,50}
A∆B= {1,3,4,5,7,30} ∪{2,40,50}
A∆Β= {1,2,3,4,5,7,30,40,50}
6.-Producto cartesiano: El producto cartesiano entre dos conjuntos A y B es el conjunto de
todos los pares ordenados que tienen como primera componente un elemento de A y como
segundo componente un elemento de B.
Notación: A x B = {(a, b ) / a ∈Α ∧ b ∈ Β}
Ejemplo:
A= {1,2} B={3,4,5}
A x B = {(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)}
Observaciones:
1.- n(Α) = n ∧ n(Β) = s ⇒ n(A x B) = n • s
2.-Si A = φ Β = φ ⇔ Αx B = φ
3.- A x B ≠ Βx A siempre que se cumpla que A ≠ Β
7.- Cardinalidad:
n(A∪Β) = n(A) + n(B) – n (A∩Β)
3
U U U
A B
A B A
B
A B U U
ΑA
A
A B)
)
)

4. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
TEORÍA DE CONJUNTOS
GUIA 1
n(A∪(Β∪C)) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩Β) - n(Α∩C) – n(B∩C) + n(A∩(Β∩C))
EJERCICIOS
Ejercicios sobre Conjuntos
1. Sean los conjuntos
{ } { } { }gedbCgfedcBdcbaA ,,,y,,,,,,, ===
Determine:
b) BA −
c) AB −
d) BC −
e) BCA −∪ )(
f) )( CBA ∩−
g) )()( CABA ∩−∪
2. Dados los conjuntos
Escriba por extensión los siguientes conjuntos descritos
por comprensión:
a) { }0652/ =−−= xxxA
b) { }excusapalabraladeletralaesx / x=B
c) { }912o092/ =−=−= xxxC
PROBLEMAS
1. En un avión viajan 120 personas, de las cuales:
- Los de ellas no beben
- Los 4/5 de ellas no fuman
- 72 no fuman ni beben
¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben?
2. De un grupo de 100 alumnos. 49 no llevan el curso de
sociología y 53 no siguen el curso de filosofía. Si 27
alumnos no siguen filosofía ni sociología. ¿Cuántos
alumnos llevan solo uno de tales cursos?
3. De los 100 alumnos de un salón, 70 aprobaron el curso
“M”, 80 aprobaron “H” y 78 aprobaron el curso “N”. si los
90 aprobaron exactamente 2 cursos; ¿Cuántos
aprobaron los tres cursos?
4. En una población: 50% toma leche, el 40% come carne,
además solo los que comen carne o solo los que toman
leche son el 54%, ¿Cuál es el porcentaje de los que no
toman leche ni comen carne?
5. De los 300 integrantes de un club deportivo, 160 se
inscribieron en natación y 135 se inscribieron en
gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos
especialidades, ¿Cuántas se inscribieron en ambas
disciplinas?
6. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron
aritmética, 6 hombres aprobaron literatura, 5 hombres y 8
mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en
total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron solo
aritmética, ¿Cuántas mujeres aprobaron solo literatura?
7. De un grupo de 64 alumnos que estudian idiomas se
observó que los que estudian solo ingles es el triple de
los que estudian inglés y francés. Los que estudian solo
francés son la mitad de los que estudian ingles y 4 no
estudian ingles ni francés, ¿Cuántos estudian solo
inglés?
8. De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fabrica
A, 33 trabajan en la fabrica B, 40 laboran en la fabrica C
y 7 trabajadores están contratados en las tres fabricas.
¿Cuántas personas trabajan en dos de estas fábricas
solamente?
4

5. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
TEORÍA DE CONJUNTOS
GUIA 1
9. De un grupo de 80 personas:
- 27 leían la revista A, pero no leían la revista B
- 26 leían la revista B, pero no C
- 19 leían C pero no A
- 2 las tres revistas mencionadas
¿Cuántos preferían otras revistas?
(DEFINICION .DE, 2018)
(Astudillo, 2018)
(Muñoz, 1990)
Referencias
Astudillo, A. (25 de Abril de 2018). Obtenido de Conjuntos:
http://conjuntoset.blogspot.com.co/2015/06/operaci
on-con-conjuntos.html
DEFINICION .DE. (21 de MAYO de 2018). Obtenido de
https://definicion.de/producto-cartesiano/
Muñoz, F. C. (1990). Teoría de conjuntos. Pereira:
Universidad Tecnológica de Pereira.
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6. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LOGICO MATEMATICO
TEORÍA DE CONJUNTOS
GUIA 1
9. De un grupo de 80 personas:
- 27 leían la revista A, pero no leían la revista B
- 26 leían la revista B, pero no C
- 19 leían C pero no A
- 2 las tres revistas mencionadas
¿Cuántos preferían otras revistas?
(DEFINICION .DE, 2018)
(Astudillo, 2018)
(Muñoz, 1990)
Referencias
Astudillo, A. (25 de Abril de 2018). Obtenido de Conjuntos:
http://conjuntoset.blogspot.com.co/2015/06/operaci
on-con-conjuntos.html
DEFINICION .DE. (21 de MAYO de 2018). Obtenido de
https://definicion.de/producto-cartesiano/
Muñoz, F. C. (1990). Teoría de conjuntos. Pereira:
Universidad Tecnológica de Pereira.
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