1. Procesos Industriales Área Manufactura
Temas:
Métodos de conteo
Diagramas de árbol
Combinaciones
Permutaciones
Laura Anguiano Acosta

2. Introducción
En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad
de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en
muy diversos problemas, ya sea como la solución completa de un
problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidad frecuente,
se requiere resolverlos en forma eficiente.

3. Método de conteo
Los métodos de conteo son estrategias utilizadas
para determinar el número de posibilidades
diferentes que existen al realizar un experimento.
Entre estos métodos destacan el método del
producto y el método del diagrama de árbol.
En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o
todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir
por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los
elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán
llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá
que son agrupaciones con repetición. Entre los métodos de conteo más
conocidos tenemos: permutación, combinación y ordenación.
Suponga usted que tenemos las letras T, A, C y G (que en realidad
corresponden a las bases timina, adenina, citosina y guanina). ¿De
cuantas maneras diferentes podemos formar una secuencia de longitud 4
ocupando estas cuatro bases, sin repetir ninguna base? Por ejemplo, un
resultado sería justamente TACG, otro sería CGTA. Ahora bien, cuántas de
estas secuencias podemos formar?
Vamos a suponer que una secuencia en particular la podemos ubicar en
los siguientes cuatro casilleros
Notemos que en el primer casillero podemos ubicar una de las cuatro
bases, de modo que tenemos 4 formas de llenar este casillero; ahora bien,
sea la base que sea que hayamos elegido para el primer casillero, nos
quedan tres bases no seleccionadas, de modo que el segundo casillero
podrá llenarse de tres maneras diferentes. Hasta el momento, entonces,
hemos utilizado 2 bases, nos faltan las dos restantes, de modo que el tercer
casillero se puede llenar de dos maneras diferentes. Una vez llenado el
tercer casillero, queda una sola base que deberá ser ubicada en el cuarto
casillero. De modo que el total de formas diferentes de llenar estos cuatro
casilleros es

4. Observemos que en este caso el orden de elección tiene mucha
importancia (en rigor, el orden de una secuencia de nucleótidos es
fundamental en la traducción para la formación de las proteínas), esto
quiere decir que el resultado TACG es absolutamente diferente al ATCG.
Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar
todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de
la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman
parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la
construcción del diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles
resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada
uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una
rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su
probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera
generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un
nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda
generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo
representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de
tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de
cada rama de primera generación y que la suma de probabilidades de las
ramas de cada nudo ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos
sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad:
multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes
(contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las
sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto,
el ejemplo de encontrar un alumno.

5. Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
 La 1ª con el 50% de estudiantes.
 La 2ª con el 25% de estudiantes.
 La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en
cada facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

6. Pero también podría ser lo contrario.

7. Permutación
Llamamos permutación de un conjunto a cada una de las posibles
ordenaciones de todos los elementos de dicho conjunto.
Por ejemplo, en el conjunto {1, 2,3}, cada ordenación posible de sus
elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6
permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y
"3,2,1".
La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de
los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje
de funciones matemáticas.
Una permutación de un conjunto X es una función
biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.
Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.
Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción.
En el ejemplo, X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí
mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
 1→1
 2→2
 3→3

8. Puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
 1→3
 2→2
 3→1
puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna
sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común
considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar
permutaciones.
La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de
los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje
de funciones matemáticas.
Una permutación de un conjunto X es una función
biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.
Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.
Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción.
En el ejemplo, X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí
mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
 1→1
 2→2

9.  3→3
Puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
 1→3
 2→2
 3→1
Puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna
sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común
considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar
permutaciones.
Notaciones
Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura
compuesta por 2 ciclos de longitud 4.
La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más
compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando
en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las
imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2),
σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado {1,...,8} podemos expresar una
permutación σ sobre éste mediante una matriz de correspondencias:
Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación
inversa σ − 1 de forma que su composición genera la aplicación
identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y
finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del
dominio queden ordenados de forma natural: