INECUACIONES LUISJOSEM1.pptx

I.U.P.
“SantiagoMariño”
SedeBarcelona
Profesor Pedro Beltrán
MATEMÁTICA I

Presentación
 Luis José Hernández Marín
 CI: 31.112.057
IngenieríaCivil
I-Diurno
I.U.P. “SantiagoMariño” SedeBarcelona

Contenido
 Funciones Reales
 Recta real.
_ Desigualdades.
_ Definición.
 Inecuaciones.
- Definición.
-Tipos de inecuaciones.
- Inecuaciones Polinómicas.
- Inecuaciones lineales.
- Inecuaciones cuadráticas.
- Inecuaciones de polinomio de grado mayor o igual
que 2
- Inecuaciones racionales
- InecuacionesValor absoluto

Funciones
Reales
Una Función Real de
Variable Real es una
aplicación que asocia a
cada elemento de un
subconjunto de los
números reales otro
número real único.
Matemáticamente, una
función real se expresa de
la siguiente manera:
f: D ⊆ R → R
x → y = f(x)

Recta Real
La recta numérica o recta real es un gráfico unidimensional o línea recta la cual
contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia
biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los
números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enteros
mediante una recta llamada recta graduada como la entera ordenados y
separados con la misma distancia. Está dividida en dos mitades simétricas por el
origen, es decir el número cero.
Recta numérica de los números enteros entre -9 y 9, con los números negativos
en rojo y los positivos en azul, sobrentendiéndose que se extienden en ambas
direcciones limitadamente.

Propiedades
 A todo número real le corresponde un punto y
sólo un punto sobre la recta.
 A cada punto de la resta le corresponde un
número real. No hay ningún punto de la recta
graduada que no le corresponda un número
real.
 Nunca podremos decir que dos números reales
son consecutivos porque entre ellos hay
infinitos números reales.
 Por ejemplo: 4,23 y 4,24 no son consecutivos
porque entre ellos están por ejemplo los
siguientes números: 4,23003, 4,231, 423222222,
4,230000000001….

Desigualdad
Es una relación que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de
ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros
o los reales, entonces pueden ser comparados.
La notación a b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser
igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente
mayor que".
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b

Desigualdad
Propiedades:
Si a0, entonces az<bz.
Si abz.
Es decir que en una inecuación el signo de la desigualdad cambia o no,
dependiendo del factor por el que se multiplique.
Ejemplo:
3<5 => 3(8)<5(8) => 24<40.
Pero 3<5 => 3(-8)<5(-8) => -24>-40

Inecuaciones
La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.
5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7
Todos los valores de x menores que -7 satisfacen la inecuación.
Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo
una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.
3x > -2 = -9x < 6
Una inecuación es una expresión de la forma:
f(x) < g(x), f(x) <= g(x), f(x) > g(x) o f(x)>= g(x).

Inecuaciones
Propiedades
Se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >)
son reemplazados por sus correspondientes símbolos de
desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad:
Para números reales arbitrarios a, b y c:
Si a > b y b > c entonces a > c.
Si a b y b = c entonces a > c.
Si a 5 y 5>x+2 entonces 3x+2>x+2

Inecuaciones
Adición y sustracción.
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo
número, la inecuación resultante es equivalente.
Ejemplos:
3x + 4 < 5
3x + 4 - 4 < 5 - 4
3x < 1
3x-8>2x-3
3x-8-2x>2x-3-2x
x-8>-3
x-8+8>-3+8
x>5
Propiedades

Inecuaciones
Multiplicación y división.
Por un número positivo
Si a los dos miembros de una
inecuación se les multiplica o divide
por un mismo número positivo, la
inecuación resultante es equivalente a
la dada.
Ejemplos:
2x < 6
2x : 2 < 6 : 2
x < 3
8x+0.5>3
2(8x+0.5)>2 3
16x+1>6
Propiedades
Por un número negativo
Si a los dos miembros de una
inecuación se les multiplica o divide
por un mismo número negativo, la
inecuación resultante cambia de
sentido y es equivalente a la dada.
Ejemplo
-x<5
(−x) · (−1) > 5 · (−1)
x > −5

Inecuaciones
Opuesto.
Para números reales arbitrarios y
Ejemplos:
Propiedades
 Si entonces .
 Si entonces .
, entonces

Inecuaciones
Recíproco
Para números reales y distintos de cero. Ambos positivos o negativos a la vez:
Propiedades
Si entonces
Si entonces
Ejemplo
Ejemplo:
Si a y b son de distinto signo:
 Si entonces
 Si entonces

Tiposde
inecuaciones
Resolvemos inecuaciones polinómicas cuando estén en la forma p(x) ≥ 0, es decir
cuando todos los términos estén en un miembro solamente un 0. Observamos que
en este caso lo que se está preguntando es para que valores de (x), el polinomio es
positivo o nulo. La manera de resolver una inecuación polinómica es calcular el
signo de dicho polinomio, descomponiéndolo y evaluando el signo de sus factores.
Nota Si la desigualdad fuera otra, sería lo mismo: p(x) ≤ 0, nos preguntarían los valores de (x) para los que el polinomio es
negativo o nulo, y lo mismo con desigualdades estrictas.
Se clasifican:
Inecuaciones polinómicas
Clasificación Teoría Ejemplo
De primer grado Se intenta despejar la variable´´x´´. x+6>0
De segundo grado Este tipo de inecuación se da cuando el polinomio es de base 2 x2+2x+4>0
De cualquier grado Ocurre en toda inecuación en la cual el polinomio es de base mayor a 2. x3+x2+3x+6>0

Tiposde
inecuaciones
Inecuaciones cuadráticas
Una inecuación cuadrática de segundo grado o inecuación cuadrática es la que tiene
la forma:
siendo a >0 siempre
ax2
+ bx + c ≤ 0, (ó ≥ 0, ó > 0, ó < 0)
siendo a >0 siempre
Para resolverlas se halla las dos raíces, tomada la expresión como una ecuación,
X1 y X2
Luego se factoriza el polinomio característico:
(X - X1) . (X - X2) ≤ 0 ó (X - X1) . (X - X2) ≥ 0
Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos:
(-ꝏ󠅜 , X1), (X1, X2) y (X2, +ꝏ󠅜 )
La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, X1 y X2,
pertenecen o no a la solución del sistema.

Tiposde
inecuaciones
Inecuación lineal
Una inecuación es un enunciado de una desigualdad que incluye alguna relación de
orden: “mayor que ( > )”; “menor que ( < )”; “mayor que ( ≥ )”; “menor que ( ≤ )”.
Ejemplo
5x – 4 < 3x - 6 Inecuación lineal
5x - 3x < -6 + 4 Aquí estamos resolviendo la ecuación
2x < -2 Nos queda solo hacer una división
X < -1 Resultado de la inecuación
Por lo tanto el conjunto solución CS será abierto desde el infinito negativo hasta el -1. CS = ] -ꝏ, -1 [

Tiposde
inecuaciones
Inecuación racionales
Una inecuación es un enunciado de una desigualdad que
incluye alguna relación de orden: “mayor que ( > )”;
“menor que ( < )”; “mayor que ( ≥ )”; “menor que ( ≤ )”.
Son inecuaciones racionales aquellas en la que tanto el
numerador como el denominador son inecuaciones
polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a
2.
Es una de las que tiene más complicaciones, porque una
inecuación racional es una expresión de tipo fracción,
donde la variable está en el numerador y el denominador.
Las inecuaciones de tipo P(x) / Q(x) ≤ 0 se denominan
racionales.

Tiposde
inecuaciones
Ejemplo
x + 3 ≥ 0
x – 2
Para resolver una inecuación racional se siguen los siguientes pasos:
1. Se calculan las raíces de los dos polinomios
X1 = -3Y X2 = 2
2. Se ordenan de menor a mayor
X1 = - 3 < X2 = 2
3. Se estudian los signos en cada intervalo
(-ꝏ, -3); (-3, 2) y (2, + ꝏ)
R(-4)=1/6 R(0)= -3/2 R(3)=6
4. Se encuentran los intervalos que cumplen la desigualdad. Hay que tener en
cuenta que las raíces del denominador (polos de la fracción algebraica) nunca
pertenecen a las soluciones.
(-ꝏ, -3] U (2, + ꝏ)

Tiposde
inecuaciones
Inecuación de valor absoluto
Una inecuación de valor absoluto es una
combinación de dos conceptos: valores
absolutos e inecuaciones lineales. Por lo
tanto, para resolver una inecuación de valor
absoluto debes usar los métodos de
resolución de problemas de ambas
materias.

Tiposde
inecuaciones
Inecuación de valor absoluto
- Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación.
- Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la
ecuación que resulta de cambiar el signo de desigualdad por el
signo de igualdad. La solución de dicha ecuación determina los
límites de los intervalos en la recta numérica.
- Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar
el signo en cada intervalo. La solución la conforman todos los
intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La solución se
puede expresar de distintas formas:
1. Como intervalo
2. Como conjunto
3. Gráficamente
Para resolver una inecuación que contiene valor absoluto, se siguen los
siguientes pasos:

Tiposde
inecuaciones
Ejemplo
Resolver la siguiente inecuación ∣ x - 20 ∣ ≤ 6
Paso 1: Aislar la expresión con valor absoluto a un lado de la inecuación. En este
caso, ya se encuentra aislada la expresión valor absoluto al lado izquierdo de la
inecuación.
Paso 2: Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra resolviendo la ecuación que
resulta de cambiar el signo de desigualdad por el signo de igualdad. La solución de
dicha ecuación determina los límites de los intervalos en la recta numérica.
Vamos a resolver la ecuación:
∣ x - 20 ∣ = 6
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos dos posibilidades:
x - 20 = - 6 x - 20 + 20 = - 6 + 20 x = 14
x - 20 = 6 x - 20 + 20 = 6 + 20 x = 26

Tiposde
inecuaciones
Ejemplo
Paso 3: Seleccionar un punto de prueba en cada intervalo para determinar el
signo en cada intervalo.
1. Intervalo
2. Punto de Prueba
3. Lado izquierdo de la Inecuación evaluada en el punto de prueba.
( - ∞ , 14 )
x = 0| 0 - 20 | = 20
( 14 , 26 )
x = 15 | 15 - 20 | = 5
( 26 , ∞ )
x = 27 | 27 - 20 | = 7

Tiposde
inecuaciones
Ejemplo
Paso 4: Determinar los intervalos que forman parte de la solución. La solución la
conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. En la
tabla anterior evaluamos el lado izquierdo de la inecuación, ahora veamos cuál
de estos intervalos cumple con la desigualdad. En la tabla, vemos que el
intervalo de la segunda fila cumple con ser ≤ 6.
La solución se puede expresar de distintas formas:
Expresando la solución como conjunto: x 14 ≤ x ≤ 26
Expresando la solución como intervalo [ 14 , 26 ]
Gráficamente

Videos
Links
Inecuaciones cuadráticas
https://www.youtube.com/watch?v=_uW4nVdCWzQ
https://www.youtube.com/watch?v=17FQt-9Az5E
Inecuaciones de polinomio de grado mayor que 2
https://www.youtube.com/watch?v=9Am2rkkT1wU
https://www.youtube.com/watch?v=scb1Ze6OoUo
Inecuaciones racionales
https://www.youtube.com/watch?v=QLf7vVb6Wao
https://www.youtube.com/watch?v=tJkkeewcK_s

Videos
Links
Desigualdades
https://www.youtube.com/watch?v=4Nr8qDdTGK4
https://www.youtube.com/watch?v=j4KQZEvOC6g
Inecuaciones
https://www.youtube.com/watch?v=CSPk_iUkc-Q
Inecuaciones Polinómicas.
https://www.youtube.com/watch?v=wqwzxL9Exak
https://www.youtube.com/watch?v=kL0FIjDW6Kw

Videos
Links
InecuacionesValor absoluto
https://www.youtube.com/watch?v=Bfb0efPKb-0
https://www.youtube.com/watch?v=qciUZ4Xev5c
Recta real
https://www.youtube.com/watch?v=u31qRTt6A5Q
https://www.youtube.com/watch?v=Fdta8t80avE
Inecuaciones lineales.
https://www.youtube.com/watch?v=CkVXbU-PNRs
https://www.youtube.com/watch?v=iuZqAlj26hc
https://www.youtube.com/watch?v=j4KQZEvOC6g

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