Matematicas avanzadas i y ii 9001

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Actividad colaborativa en el aula
Instrucciones:

1. Formen equipos de 3 personas.
2. A cada equipo se le entregará un grupo de ejercicios de los que se enlistan
a continuación:

Calculen el producto punto y cruz de los vectores: A = i – j + 2k B = i +
3j + k.
Encuentren el área del triángulo formado por los puntos: (2, 3, 5), (4, 2 -1)
y (3, 6, 4).
Calculen el producto punto y cruz de los vectores: A = 2i + j +
2k B = i + 2j – 2k.
Encuentren el área del triángulo formado por los puntos: (1, 1, 1), (3, 5, 1)
y (7, -2, 3).
Calculen el producto punto y cruz de los vectores: A = -4i + 4j + 2k B =
2i + j + 2k.
Encuentren el área del triángulo formado por los puntos: (1, 1, 0 ) ( 5, 1,
0) (4, 5, 2).
Calculen el producto punto y cruz de los vectores: A = 3i + k B = i + 4j -
3k.
Encuentren el área del triángulo formado por los puntos: (1, 0, 0), (4, 0, 0)
(6 0, 3), además validen su resultado utilizando la fórmula conocida de
geometría plana.
Calculen el producto punto y cruz de los vectores: A = 5i – 4j + 2k B = j –
2k.
Encuentren el área del triángulo formado por: A = -2i –j + 4k y B = 4i + 5j +
6k.

3. Resuelvan en equipo los ejercicios asignados utilizando las notas de clase.
4. Un integrante por equipo debe pasar al pizarrón para resolver los ejercicios
y dar una explicación a sus compañeros sobre los resultados obtenidos.

Al finalizar la clase entreguen a su profesor los resultados de su actividad
colaborativa.

Tarea 2
Instrucciones:

Una vez que revises el material del tema “introducción a los vectores”,
resuelve los siguientes ejercicios:

1. Utiliza la definición para demostrar que A • B = B • A.
2. Determina si los vectores a = <1, 1, 0> y b = <1, 0 ,2> son
perpendiculares.
3. Encuentra el área del triángulo con los vértices en los puntos A (2,



3, 5), B (4, 2, -1) C (3, 6, 4).
4. Encuentra el ángulo que se forma entre los vectores a = 3i + j -
4k y b = -2i + 2j + k.

Entrega la tarea a tu profesor, en formato de práctica de ejercicios.

Instrucciones:

La actividad se realizará en equipos de 3 personas cada uno.

Para antes de la actividad colaborativa:

1. Pónganse de acuerdo para llevar a clase una soga (cuerda).
2. Identifiquen un objeto de tamaño regular que no se rompa o deforme
fácilmente para llevarlo a clase (puede ser también una mesa del salón de
clases, una silla o una mochila).

Para el día de la actividad colaborativa:

1. Realicen la práctica dos personas del equipo y una más tome las notas y
realice los diagramas del ejercicio.
2. Para cada una de las siguientes pruebas contesten:
a. ¿Es posible mover el artículo?
b. ¿Hacia dónde se mueve?
c. ¿Por qué se mueve hacia algún lado en particular?
3. Jalen el objeto entre las dos personas en sentidos contrarios y describan
qué es lo que experimentan.
4. Ahora empujen hacia la misma dirección el artículo, deben hacerlo por las
esquinas opuestas del artículo.
5. Sujeten la cuerda de un extremo y jalen el objeto mediante la cuerda
cuidando que la cuerda tenga un ángulo en relación al objeto.
6. Jalen el objeto mediante la cuerda cuidando que la cuerda esté
completamente horizontal en relación al objeto.
7. De lo anterior concluyan y respondan las siguientes cuestiones:
a. ¿Cuál es la manera que involucra un esfuerzo menor para mover el
artículo?
b. ¿En qué situación no fue posible mover el artículo y por qué?
c. Con la cuerda, ¿cómo fue más fácil mover el objeto y por qué?
8. Justifiquen sus respuestas utilizando los términos vistos en la clase.

colaborativa.



Tarea 1
Instrucciones:

1. Investiga en libros relacionados a nuestra materia (puedes hacer
uso de los libros de apoyo o del libro de texto, también puedes
utilizar alguna fuente confiable en Internet), porqué afectan las
turbulencias el desplazamiento de los aviones. Descríbelo
mediante vectores y suma de vectores.
2. Apoya tus conclusiones con un diagrama.

Entrega la tarea a tu profesor, en formato de resumen.

Instrucciones:

El profesor formará equipos de 3 personas. Cada equipo deberá resolver ejercicios
de los diferentes grupos, una vez finalizados pasarán al pizarrón para anotarlos y
analizar los fundamentos matemáticos que utilizaron para resolverlos.

1. Encuentren el domino y el rango de las siguientes funciones:

2. Dadas las funciones:
encuentren lo siguiente:
a. La suma de z y w, además definan el dominio y el rango de la nueva
función.
b. La diferencia de z y w, además definan el dominio y rango de la
nueva función.
c. La multiplicación de z y w, además definan el dominio y el rango de
la nueva función.
d. El cociente de z y w, además definan el dominio y el rango de la
nueva función.
e. La suma de 2z + w, además definan el dominio y el rango de la nueva
función.
f. La composición de t en w, t(w(x,y)).

3. Encuentren la ecuación general del plano descrito por los siguientes pares
de puntos y grafiquen:



NOTA: deberán encontrar los vectores de posteriormente mediante
el producto cruz encuentren el vector normal y ya con esta información
encuentren la ecuación del plano.
a. P(3, 2, 5), Q(3, 2, 1), S(1, 3, 2)
b. P(1, 5, 0), Q(4, 6, 2), S(3, 4,8)
c. P(3, 5, 1), Q(3, 5, 1), S(2, 3, -1)
d. P(1, 3, 0), Q(-1, 3 0), S(-1 , 3, 0)
e. P(2, 4, 6), Q(1, 2, 3), S(0, -2, 0)
f. P(2, 5, 0), Q(0, 0, -3), S(3, 4, -1)

colaborativa.

Tarea 3
Instrucciones:

1. Investiga en una fuente confiable la importancia de definir el
dominio de una función en varias variables.
2. Encuentra el dominio y rango de la función dada

por

Entrega la tarea a tu profesor, en formato de resumen.

1. El profesor formará equipos de 3 personas. Asignará un ejercicio por equipo
que resolverán entre todos los integrantes, una vez finalizado pasarán al
pizarrón para anotarlo y analizar los fundamentos matemáticos que utilizaron
para resolverlo.
2. Dadas las siguientes ecuaciones describan y obtengan las trazas y
describan de qué superficie se trata:

Tarea 4



Instrucciones:

En esta parte del módulo se han utilizado las coordenadas convencionales
(rectangulares).

1. Investiga en una fuente confiable las coordenadas esféricas y da un ejemplo
de su
2. aplicación.
3. Descarga el software WinPlot de la
página http://spot.pcc.edu/~ssimonds/winplot/ En el software primero
selecciona el espacio en el que se desea graficar, por ejemplo si es en dos
dimensiones sería usando 2-dim. Después introducir la función a graficar.

4. En el software grafica la ecuación: identifica de qué
superficie se trata y encuentra las diferentes trazas.

Instrucciones:

2. Cada equipo tomará un conjunto de funciones descritas a continuación
para elaborar lo siguiente:
a. Suma y resta de dos funciones vectoriales.
b. Derivada de cada una de las funciones vectoriales.
c. Derivada u . v.
d. La integral de cada una de las funciones vectoriales.
3. Cuando terminen de realizar los ejercicios en equipo, compartan con el
grupo los resultados obtenidos y comenten su experiencia al realizar el
ejercicio.
4. El profesor realizará el cierre de la actividad comentando con los alumnos.

Funciones vectoriales u Funciones vectoriales v



colaborativa.

Tarea 5
Instrucciones:

utilizar alguna fuente confiable en Internet), la definición y uso
principal de las coordenadas esféricas. Proporciona al menos dos
ejemplos de su uso.
2. Para el par de funciones vectoriales dados u(t) = cos( i +
sen(t)j + tk y v(t) = 4 i+3 - k, calcula lo siguiente:
a. Suma y resta de u y v.
b. Derivada de cada una de las funciones vectoriales.
c. Derivada .
d. La integral de u(t).

Instrucciones:

2. Cada equipo tome un conjunto de funciones de las descritas a
continuación, para determinar lo siguiente:
a. La velocidad en cualquier instante.
b. La velocidad para t = 2.
c. El vector aceleración.
d. La componente tangencial y normal de la aceleración en el instante t
= 2s.
e. Dibuja el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes
tangencial y normal en tal instante.

Funciones a seleccionar:

r(t) = 4 cos t i + 3 sent j
r(t) = (5 cos t – cos 5t) i + (5 sen t – sent 5t) j
r(t) = cos 2t i + sen t j



r(t) = cos 3t i - sen 5t j
r(t) = 2t3 i + sen4t j

colaborativa.

Tarea 6
Instrucciones:

utilizar alguna fuente confiable en Internet), la definición y relación
entre gradiente. Proporciona al menos dos ejemplos de su uso.
2. Para el vector de posición: r(t) = encuentra lo
siguiente:
a. La velocidad en cualquier instante.
b. La velocidad para t = 1.
c. El vector aceleración.
d. La componente tangencial y normal de la aceleración en el
instante t = 1s.
e. Dibuja el vector velocidad, el vector aceleración y las
componentes tangencial y normal en tal instante.

Instrucciones:

Para antes de la actividad colaborativa:

2. Pónganse de acuerdo para llevar para la próxima clase lo siguiente:
 Una cartulina
 Un compás
 Una cinta métrica
 Tijeras

Para el día de la actividad colaborativa:

1. Reúnanse con su equipo.
2. Dibujen en la cartulina dos circunferencias de radio diferentes, considerando
que el radio de un círculo sea el doble del radio del otro círculo.
3. Recorten ambos círculos.
4. Realicen una marca “A” en cada uno de las circunferencias.
5. Determinen las ecuaciones paramétricas para x y y utilizando como
referencia los círculos y los radios de éstos.



6. Realicen una segunda marca “B” en cada una de las circunferencias.

7. Midan con la cinta métrica la longitud de A a B.
8. Calculen el radio de curvatura y longitud del arco de A a B utilizando las
ecuaciones paramétricas.
9. Discutan sus resultados con los compañeros del grupo.
10. Después de haber realizado el ejercicio anterior, por equipos resuelvan las
siguientes integrales en línea, evaluando sobre la superficie que se muestra
del lado derecho y compartan los resultados obtenidos con sus compañeros
en el pizarrón del salón de clases.

Integren Sobre la superficie C

C: x = t3 y = t 0 t 2

C: x = t2 y = 2t 0 t 1

C: es el segmento de recta de (0, 1) a (2, 8).

C: es el arco de la curva Y = de (0, 1) a
(3, 5).

C: es el arco de la parábola y = x2 desde (0,
0) hasta (2,3).

Instrucciones:

2. Cada equipo tome un conjunto de funciones de las descritas a continuación
para elaborar lo siguiente:
a. F es un campo vectorial conservativo.
b. Encuentren el trabajo realizado.
ejercicio.



4. El profesor realizará el cierre de la actividad comentando con los alumnos.

F (campos vectoriales) D (región de movimiento)
F(x, y) = x2i + y2j y = 4x2 de (-2, 1) a (4, 6)
r(t) = (t + sen πt)i + (t + sen πt)j
F(x,y) = xy2i + x2yj
en (0,1)
F(x, y) = (y3 +1)i + (3xy2 + r(t) = (1 – cos t , sen t) de (0,0) a
1)j (2,0)
F(x, y) = 6xyi + 3x2j Y = x2 de (0,0) a (3, 3)
F(x, y) = (y, x2) Y = 4x – x2 de (2, 0) a (1, 2)

colaborativa.

Tarea 8
Instrucciones:

Revisa el material del tema funciones vectoriales y realiza lo siguiente:

1. Describe con tus propias palabras los conceptos más importantes
de este tema.
2. Resuelve el siguiente ejercicio:
a. Encuentra el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(x,
y, z) sobre una partícula que se
mueve a lo largo de la hélice dada por: r(t) = - sen 2t i + cos
2t j + t k. Desde el punto (1, 0, 1) hasta el punto (0, -2, 3π).
b. Determina si F es un campo conservativo, justifica tu
respuesta.

Instrucciones:

2. Cada equipo tomará un par de funciones descritas de cada grupo por
renglón de la tabla para calcular lo siguiente:
a. La derivada parcial con respecto a x.
b. La derivada parcial con respecto a y.
c. La segunda derivada parcial de xy.
d. La segunda derivada parcial de yx.
e. La diferencia total.



ejercicio y la interpretación del resultado obtenido.
4. El profesor realizará el cierre de la actividad comentando a los alumnos.

colaborativa.

Tarea 9
Instrucciones:

1. Investiga en una fuente confiable, una aplicación de las derivadas
segundas parciales, describe el ejemplo, resuélvelo e interpreta el
resultado obtenido.
2. Para las siguientes funciones encontrar:
a. La derivada parcial con respecto a x.
b. La derivada parcial con respecto a y.
c. La segunda derivada parcial de xy.
d. La segunda derivada parcial de yx.
e. La diferencia total.

Instrucciones:

2. Cada equipo tomará un par de funciones descritas, de la columna izquierda
encuentren la derivada utilizando la regla de la cadena, de la columna
derecha encuentren la derivada direccional.
3. Cuando terminen de resolver los ejercicios en equipo, compartan con el
ejercicio y la interpretación del resultado obtenido.



4. El profesor realizará el cierre de la actividad comentando a los alumnos.

Derivada de la cadena Derivada direccional
f(x, y) = x2 sen4y en (0, π)
en la dirección v= 2i – 4j
f(x, y, z) = x2 - y2 + z2 en la
dirección de v = 4i – 5j + 3k

En la dirección del vector
v = i + 2j – 4k
La función de la columna de la
izquierda en la dirección:
v= i + j- k
v= i + 3j- k
v= 2i + j+ k
v= i + j+ 5k

colaborativa.

Tarea 10
Instrucciones:

1. Investiga en una fuente confiable, una aplicación de las derivadas
direccionales, describe el ejemplo y resuélvelo.
2. Mediante la fórmula de la regla de la cadena resuelve la siguiente
derivada:

con x = sent y = sent

3. Encuentra la derivada direccional de:

en la dirección de v = 5j

Tarea 11



Instrucciones:

1. Investigaren una fuente confiable, la teoría sobre la relación entre gradiente,
divergencia y rotacional de una función vectorial, además describe un
ejemplo y resuélvelo. Describe su aplicación en la física.
2. Resuelve los siguientes ejercicios:
a. Encuentra el vector gradiente de la función en
el punto (2, -3).
b. Encuentra el plano tangente a la superficie descrita por:
en (1, 0).

Tarea 12
Instrucciones:

1. Investiga en referencias confiables, la importancia de conocer los puntos
singulares de una función y determina cuál es el impacto al desconocerlos al
momento de estar analizando el comportamiento de la función. Además
proporciona un ejemplo práctico donde demuestres lo que investigaste.
2. Encuentre los máximos y/o mínimos de la
función sujeta a la
restricción .

Instrucciones
Avance

Busca alrededor de tu casa o trabajo un objeto que tenga una forma irregular (un
objeto que se pueda considerar como dos formas juntas, por ejemplo un cilindro y
una esfera), que pueda ser utilizado para almacenar sustancias líquidas o sólidas y
realiza lo siguiente:

1. Toma una foto de la superficie que considerarás para tu proyecto.
2. Toma diez medidas de cada lado de la superficie y obtén el promedio de cada
medida.
3. Investiga la capacidad del objeto que estás analizando.
4. Haciendo uso del sistema rectangular en tres dimensiones y utilizando
escalas, dibuja el cuerpo que estas analizando, tratando que la
representación sea lo más real posible, es decir si la superficie tiene un área
curva, deberás representarla.

Entrega el avance de tu proyecto a tu profesor, en formato de reporte.



Entrega final

1. Haciendo uso de las técnicas aprendidas en el curso para calcular
volúmenes, establece la función y los límites de integración para encontrar el
volumen del cuerpo que consideraste al inicio del proyecto.
2. Compara el resultado obtenido en la integración y el resultado obtenido
mediante las fórmulas de geometría y justifica a qué se deben los resultados
obtenidos.

Instrucciones:

Antes de realizar el ejercicio colaborativo en el aula:

1. Investiga en diversas fuentes de consulta referente a los métodos:
“variables separables y exactas” y elabora un resumen.
2. Elabora una lista de las ventajas y desventajas que tiene cada uno de los
métodos.
3. Acude con esta información el día del ejercicio colaborativo.

Para el día del ejercicio colaborativo en el aula:

1. El profesor formará equipos de 3 integrantes.
2. Los integrantes de los equipos deberán discutir y tratar el resumen que
cada uno realizó.
3. Estos mismos equipos solucionarán los ejercicios que se plantean y
llegarán a un consenso de sus respuestas.
4. El maestro subdividirá el pizarrón en varias partes para que los estudiantes
presenten sus respuestas.
5. El profesor le pedirá a cada uno de los equipos, colocar su procedimiento y
resultado en el pizarrón. Eligiendo un equipo para la solución de cada
problema.
6. El profesor llevará a cabo el cierre de esta actividad.

Ejercicios

I. Elaboren una síntesis del tema (solución de ecuaciones
diferenciales de primer orden por el método de variables
separables y exactas) y anexen una conclusión con sus palabras.
II. Determinen si las siguientes ecuaciones diferenciales se pueden
resolver por el método de variables separables o por el método
de exactas:

1.
2.



3.
4.

colaborativa.

Tarea individual 2
Instrucciones:

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema,

Aplica el método de solución que corresponda a cada uno de los
ejercicios planteados, describe su desarrollo y demuestre si la solución
encontrada es una solución de la ecuación diferencial dada.

1.

2.

3.

Describe el procedimiento a seguir para encontrar la solución a cada
ecuación diferencial y justifica tus respuestas.

Instrucciones:


1. Investiga en alguna fuente bibliográfica referente al método de solución por
fórmula general o factor integrante de una ecuación diferencial lineal de
primer orden.
2. Elabora una lista de las ventajas y desventajas que tiene este método.
3. Elabora un resumen con la información recopilada.


1. El profesor formará equipos de 3 a 4 integrantes.
2. Los alumnos compartirán la información que realizaron en su resumen y la



lista de ventajas y desventajas, la cual deberán discutir con su equipo.
3. Los equipos solucionarán los ejercicios que se plantean y llegarán a un
consenso de sus respuestas.
4. El maestro subdividirá el pizarrón en varias partes, para que los estudiantes
presenten sus respuestas.
5. El profesor le pedirá a cada uno de los equipos colocar su procedimiento y
resultado en el pizarrón, eligiendo un equipo para la solución de cada
problema.

Ejercicios

I. Elaboren un resumen donde presenten el tema de solución de
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden por el método
de fórmula general o factor integrante y anexen una conclusión
con sus palabras.
II. Determinen la solución de los siguientes problemas utilizando el
método de fórmula general o factor integrante y describan cada
uno de los pasos a desarrollar para llegar a la solución:

1.

2.

3.
4.

Instrucciones:


1. Elabora un resumen e investiga en al menos una fuente bibliográfica
referente a los diferentes métodos de solución vistos en los temas
anteriores y a ecuaciones diferenciales aplicadas a problemas físicos,
biológicos y químicos, sobre su método de solución, en qué consisten este
tipo de problemas y referente a su desarrollo y razonamiento.


1. El profesor formará equipos de 3 integrantes cada uno.
2. El profesor mostrará el desarrollo y razonamiento de un problema.
3. Los alumnos compartirán la información que realizaron en su resumen y lo



contrastarán con lo que mencionó el profesor.
4. Los equipos solucionarán el ejercicio que se plantea y llegarán a un
consenso de sus respuestas.
5. El maestro pedirá a uno de los equipos que pasen a escribir la solución del
ejercicio, y a su vez realizará preguntas a los demás equipos sobre los
pasos planteados.

La ecuación diferencial , donde es una constante
positiva, es un modelo de población humana de cierta
comunidad. Analicen una interpretación para la solución de esta
ecuación, es decir, ¿qué clase de población considera que describe
la ecuación diferencial?, ¿tendrá un comportamiento similar el virus
de la influenza H1N1?

colaborativa.

Tarea 4
Instrucciones:

Una vez revisado el material de apoyo que se te presenta en este tema,

 Encuentra los elementos necesarios para determinar el
planteamiento de la ecuación que describe a dicho problema y
resuélvela para obtener la solución del mismo.
(Justifica tus respuestas).

Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radioactiva.
Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez
de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia
presente en el tiempo “ ”, determina la cantidad restante después
de 24 horas.

Instrucciones:

 El profesor formará equipos de máximo tres integrantes cada uno.
 Los equipos deberán resolver el problema proporcionado por el profesor.
 Un integrante de cada equipo deberá pasar al pizarrón a explicar la solución
del problema.
 Finalmente, cada equipo deberá hacer una aportación significativa al tema



que se está estudiando.

Problema

Si representa una solución de la ecuación diferencial, usar la
reducción de orden para hallar una segunda solución :

colaborativa.

Tarea individual 5
Instrucciones:

Realiza lo siguiente:

 Si representa una solución de la ecuación diferencial, usa la
reducción de orden para hallar una segunda solución

:

 Determina si el conjunto de funciones es linealmente
independiente en el intervalo
:

 Comprueba que la ecuación que se proporciona es solución
general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo
indicado:

Nota: Describe cada uno de los pasos del desarrollo para encontrar la
solución del problema y justificar las respuestas.

Instrucciones:

 El profesor formará equipos de máximo tres integrantes cada uno.
 El profesar explicará la actividad y el problema a analizar, resolverá las
dudas de los estudiantes.
 Los equipos deberán analizar el problema planteado y deberán debatirlo
entre ellos para llegar a una solución consensada.



 Un integrante de cada equipo deberá pasar al pizarrón a explicar el
razonamiento y el procedimiento utilizado para solucionar el problema.
 Finalmente, cada equipo deberá hacer una aportación significativa al tema
que se está estudiando.
 El profesor hará el cierre correspondiente a la actividad.

Problema

Imagina que una cadena uniforme de pies de longitud se cuelga sobre
una espiga metálica anclada en una pared alta sobre el nivel del suelo.
Suponga que en la espiga no hay fricción y que la cadena pesa lb/pie.
Supongan que la dirección hacia abajo se toma como positiva, y
que denota la distancia que el extremo derecho de la cadena
caería en el tiempo . La posición de equilibrio corresponde a .
Entonces, viene dado por la ecuación:

 Encuentra la solución general de la ecuación.
 Determina una solución particular que satisfaga las condiciones
iniciales (supongan que la longitud de la cadena es pies y
que ).
 Calcula la velocidad a la cual sale la cadena de la espiga de
apoyo.

colaborativa.

Tarea individual 6
Instrucciones:


 Obtén la solución general de las ecuaciones diferenciales de
segundo orden:
o
o

 Obtén la solución general de las ecuaciones diferenciales de orden
superior:
o



o

 Resuelve los problemas de valor inicial:
o
o

solución del problema y justifica tus respuestas.

Problema

Una masa que pesa 24 libras alarga 4 pies un resorte. El movimiento posterior toma
lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a
veces la velocidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde la posición de
equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s, muestren que cuando
la ecuación de movimiento es:

Instrucciones:


 Resuelve la ecuación diferencial mediante coeficientes indeterminados:
o
o

 Resuelve la ecuación diferencial por medio de variación de parámetros:

o
o

 Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 li/pie. El
medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a
la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie
arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 8
pies/s.
 Determina el tiempo en el que la masa pasa por la posición de equilibrio.
 Encuentra el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo
desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este
instante?



 Encuentra la carga y la corriente de estado estable en un circuito RLC en
serie cuando h, , fy V.

solución del problema y justifica tus respuestas.

Instrucciones:


 Investiga en libros especializados, Internet y otras fuentes, acerca de las
Series de Taylor y de Maclaurin: ¿qué son? ¿para qué pueden servir? Entre
otras. Con esta información, redacta un reporte en que incluyas ejemplos de
esta investigación, además de la bibliografía que hayas utilizado.

Instrucciones:


 Determina el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para la

serie de potencia:

 Reescribe la expresión dada como una sola serie de potencias en cuyo
término general aparezca :

 Comprueba por sustitución directa que la serie de potencias dada es una
solución particular de la ecuación diferencial indicada:

Nota: Describe cada uno de los pasos del desarrollo para encontrar la solución del
problema y justifica las respuestas.

Problema



Sin resolver en su totalidad la ecuación diferencial ,
encuentra una cota inferior para el radio de convergencia de las soluciones en serie
de potencias respecto a . Respecto a .


 Encuentra una solución en serie de potencias de la ecuación diferencial
dada, además, determina el radio de convergencia de la serie resultante:
o
o
o

 Obtén la fórmula de recurrencia que proporcione para en términos
de ó (o ambas) y utiliza las condiciones iniciales dadas para encontrar
dichos valores:

solución del problema y justifica las respuestas.

Problema

Examina cómo se puede usar la transformada de Laplace de una derivada para
determinar:

Instrucciones:


 Utiliza la definición para encontrar la transformada de Laplace
de .
 Utiliza transformadas de Laplace conocidas y el principio de linealidad para
calcular:
o

o

 Encuentra ó según se indique:



o
o

o

o

Nota: Describe cada uno de los pasos del desarrollo para encontrar la solución del
problema y justifica las respuestas.

Problema 1

De acuerdo a la figura, supón que L = 5 H, R = 25 Ω, C = 0, y la fuente V de fem es
una batería que suministra 100 V al circuito. Admite también que el interruptor ha
estado conectado en la posición 1 por largo tiempo, de tal manera que fluye una
corriente estacionaria de 4 A en el circuito. En el tiempo el interruptor se
coloca en la posición 2, de tal manera que y para .
Encuentra .

Problema 2

Si L = 0.1 h, R = 3 Ω, C = 0.05 f, y en
un circuito RLC en serie, encuentre .

Problema 3

Si L = 0.005 h, R = 1 Ω, C = 0.02 f, y en
un circuito RLC en serie, encuentre .

Problema 1

Un péndulo simple consiste de una masa que se balancea hacia atrás y hacia
adelante al final de una cuerda de longitud . Recordando que para valores
pequeños de ( ) se puede hacer la aproximación , determina la
ecuación que modela este sistema.



¿Afecta al comportamiento del sistema?

Problema 2

Un péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular
suspendido verticalmente con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior
se cuelga un cuerpo de momento de inercia . Teniendo en cuenta que para valores
dentro del límite de validez de la ley de Hooke el ángulo de torsión es
directamente proporcional al momento torsional , es decir , determina la
ecuación que modela este sistema.

Problema 3

Una masa está unida a un resorte con constante sin amortiguador. La
masa se libera desde el reposo con . En el instante la masa es
golpeada con un martillo, el cual proporciona un impulso con . Determínese
el movimiento de la masa.

Recordar que para la función impulso se tiene que donde
representa el tiempo en que sucede el impulso y su amplitud.

Instrucciones
Avance del proyecto final:

 Realiza un reporte donde incluyas una investigación bibliográfica (incluir
mínimo dos referencias de Biblioteca Digital) del tema Resortes
Amortiguados donde aparezcan los siguientes apartados:
o Descripción.
o Tipos de sistemas.
o Modelo del sistema.
o Aplicaciones.
o Solución de dos problemas con valores iniciales utilizando los
métodos de solución de ecuaciones lineales no homogéneas.

Entrega del proyecto final:

 Partiendo de tu investigación anterior sobre Resortes Amortiguados,
amplíala para el caso en que son Resortes Amortiguados Acoplados:
o Describe la ecuación que modela este tipo de sistemas y una breve
explicación de la misma.
o Aplicaciones y/u observaciones relevantes de este tipo de sistemas.

 Utilizando el método de la transformada de Laplace, llena la siguiente tabla
para el caso de Resortes Amortiguados para después graficar el
comportamiento en el tiempo de cada ecuación del sistema usando algún



paquete de software matemático para graficar la ecuación que resulte, donde
k = 3, c = 1, no existe fuerza externa y se encuentra en posición vertical:

Ecuación del Comentarios y/u
Posición inicial Velocidad inicial
sistema observaciones
0.1 m 1 m/s
0m 0 m/s
-0.1 m 4 m/s
0.1 m -4 m/s

 Realiza las mismas indicaciones anteriores para un sistema de Resortes
Amortiguados acoplados para llenar la siguiente tabla donde k = 3, c = 1 para
el primer resorte, y k = 1, c = 3 para el segundo resorte, sin fuerza externa y
ambos en posición vertical:

Pos. Vel. Pos. Vel.
Ecuación Observaciones
Inicial 1 Inicial 1 Inicial 2 Inicial 2
0.1 m 1 m/s -0.1 m 0 m/s
0m 0 m/s 0m 0 m/s
-0.1 m 4 m/s 0.1 m 1 m/s
0.1 m -4 m/s -0.1 m 0 m/s

 Responde las siguientes preguntas para ambos sistemas:
o ¿Qué semejanza o diferencia existe al variar los valores iniciales?
o ¿Qué sucede cuando las condiciones iniciales son todas cero?
o ¿De qué manera afecta el acoplamiento al sistema original?

 Finalmente, redacta un reporte que incluya:
o Portada.
o Introducción.
o Desarrollo.
 Ecuaciones.
 Gráficas.
 Tablas.
 Preguntas.
o Conclusión.
o Referencias.


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