Operaciones con funciones

1. M.Sc. FredySuntaxi – CÁLCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Operaciones con funciones.
Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 se definen las siguientes operaciones con funciones:
1) La suma se denota como 𝑓 + 𝑔, es la función definida por
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥).
2) La diferencia se denota como 𝑓 − 𝑔, es la función definida por
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥).
3) El producto se denota como 𝑓 ∙ 𝑔, es la función definida por
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥).
4) El cociente se denota como
𝑓
𝑔
, es la función definida por
(
𝑓
𝑔
)(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Con 𝑔(𝑥) ≠ 0.
En cada caso, el dominiode la función resultante consta de aquellos valores de 𝑥
comunes a los dominios de 𝑓 y 𝑔. Es decir 𝑓(𝑥) ∩ 𝑔(𝑥).
Ejemplos:
1) Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔, definidas por: 𝑓(𝑥) = √ 2 + 𝑥 y 𝑔(𝑥) = √4 − 𝑥.
Determine el dominio de las funciones resultantes y las operaciones
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)
Evalúe en 𝑥 = 1
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥)
(
𝑓
𝑔
)(𝑥)
2) Dadaslasfunciones𝑓 y𝑔, definidaspor: 𝑓(𝑥) =
𝑥−2
𝑥−4
y 𝑔(𝑥) =
𝑥+4
𝑥+2
. Determine el
dominio de las funciones resultantes y las operaciones
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)
Evalúe en 𝑥 = −1
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥)
(
𝑓
𝑔
)(𝑥)
Composición de funciones.
Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔, la
función compuesta se denota
por 𝑓 ∘ 𝑔, y está definida por
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)).
Donde el dominiode 𝑓 ∘ 𝑔 es
el conjunto de todos los
números 𝑥 del dominio de 𝑔
tales que 𝑔(𝑥) esta en el
dominio de 𝑓.
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) =
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)∩ 𝑔(𝑥)∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Gráficamente:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Ejemplos:
1) Si 𝑓 y 𝑔 están definidas por 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 4 entonces determine:
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
b) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔)
c) (𝑓 ∘ 𝑔)(2)
2) Sean 𝑓(𝑥) =
5
𝑥−4
y 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 1 entonces determine:
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
b) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔)
c) (𝑓 ∘ 𝑔)(2)
3) Sean 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2
− 4 entonces determine:
a) (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥)
b) (𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥)
c) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
d) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
e) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑓)
4) Si 𝒉(𝒙) = (𝟐𝒙𝟐
− 𝟑)
𝟑
, entonces exprese como la composición de funciones de 𝒇 y
𝒈. Es decir, debe satisfacer (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
5) Si 𝒉(𝒙) = √𝒙𝟐
− 𝟒, entonces exprese como la composición de funciones de 𝒇 y 𝒈.
Es decir, debe satisfacer (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

2. M.Sc. FredySuntaxi – CÁLCULO DIFERENCIAL– PRIMER NIVEL
Tarea en casa.
Se mantiene las indicaciones de la primera unidad.
Preguntas plateadas.
Parte 1: Operaciones de funciones
1) Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔, definidas por: 𝑓(𝑥) = √ 4 + 𝑥 y 𝑔(𝑥) = √2 − 𝑥.
Determine el dominio de las funciones resultantes y las operaciones
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)
Evalúe en 𝑥 =
1
2
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥)
(
𝑓
𝑔
)(𝑥)
2) Dadaslasfunciones𝑓 y𝑔, definidaspor: 𝑓(𝑥) =
4−𝑥
3−𝑥
y 𝑔(𝑥) =
3+𝑥
4−𝑥
. Determine el
dominio de las funciones resultantes y las operaciones
(𝑓 + 𝑔)(𝑥)
Evalúe en 𝑥 = −2
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥)
(
𝑓
𝑔
)(𝑥)
Parte 2: Composición de funciones
1) Si 𝑓 y𝑔 están definidas por 𝑓(𝑥) = √ 2𝑥 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 −
1
2
entonces determine:
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
b) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔)
c) (𝑓 ∘ 𝑔)(2)
2) Sean 𝑓(𝑥) =
3
𝑥−5
y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 +
1
2
entonces determine:
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
b) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔)
c) (𝑓 ∘ 𝑔)(2)
3) Sean 𝑓(𝑥) = √ 3𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2
+ 9 entonces determine:
a) (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥)
b) (𝑔 ∘ 𝑔)(𝑥)
c) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
d) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
e) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑓)
4) Si 𝒉(𝒙) = (𝟒𝒙𝟐
− 𝟏)
𝟒
, entonces exprese como la composición de funciones de 𝒇 y
𝒈. Es decir, debe satisfacer (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
5) Si 𝒉(𝒙) = √𝟗 − 𝒙𝟐
, entonces exprese como la composición de funciones de 𝒇 y 𝒈.
Es decir, debe satisfacer (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
6) Si 𝒉(𝒙) =
𝟐
√𝟒−𝒙𝟐
, entonces exprese como la composición de funciones de 𝒇 y 𝒈. Es
decir, debe satisfacer (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))