Álgebra - CONAMAT - 01.pdf

Álgebra
A r t u r o A g u il a r M á r q u e z
Fa b iá n V a la p a i B r a v o V á z q u e z
H e r m á n A u r e l io G a l l e g o s R u iz
M ig u e l C e r ó n V il l e g a s
Ric a r d o R e y e s F ig u e r o a
R E V I S I Ó N T É C N I C A
Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.)
In stituto T ecnológico y d e E stu d io s S uperiores d e M onterrey
C am pus E stado d e M éx ico
Prentice Hall
México • Argentina • Brasil • Colom bia • C osta Rica • Chile • Ecuador
España • Guatem ala • Panam á • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela

/ D a to s d e c a ta lo g a c ió n b ib lio g rá fic a
C o legio N ac io n a l d e M atem áticas
Álgebra
Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607-442-289-4
Área: Matemáticas
formato: 20 X 25.5 cm Páginas: 480
Todos los derechos reservados
Editores: Lilia M oreno OIvera
e-mail: lilia.moreno@ pearsoned.com
Editor de desarrollo: A lejandro Gómez Ruiz
Supervisor de producción: Juan José G arcía G uzm án
PRIM ERA EDICIÓN, 2009
D.R. © 2009 por Pearson Educación de M éxico, S A . de C.V.
Atlacom ulco 500-5° Piso
Industrial Atoto
53519 N aucalpan de Juárez, Estado de M éxico
Cám ara N acional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031
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ISBN: 978-607-442-289-4
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P E A R S O N
Impreso en M éxico. P rinted in México.
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Para los que enseñan y para los que aprenden
In g . A r t u r o S a n t a n a Pin e d a

El poder de las matemáticas
El que domina las matemáticas
piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana,
por tanto, domina al mundo.
In g . A r t u r o S a n t a n a P in e d a

Prefacio
E
l Colegio Nacional de Matemáticas e s u n a institución que, d esd e su fundación, ha im partido cu rso s de
regularización e n las áreas de M atem áticas, Física y Q uím ica, c o n resultados altam ente satisfactorios.
Es p o r ello q u e su fundador y d irecto r general, e l Ingeniero A rtu ro Santana Pineda, d ecidió plasm ar
y co m p artir la experiencia adquirida e n este libro q u e recopila lo apren d id o e n to d o s esto s añ o s y cuyo
principio fundam ental e s q u e la perso n a q u e aprende m atem áticas, piensa, analiza, razona y p o r tan to actú a
con lógica.
A través d e e sta institución y su s docentes, se h a logrado n o sólo resolver e l problem a d e reprobación
con e l q u e llega el estu d ian te sino, tam bién, cam b iar su apreciación so b re la m ateria, d e tal form a, q u e se va
convencido d e q u e e s fácil ap ren d er m atem áticas y que puede incluso dedicarse a ellas. D e ah í q u e jóvenes
q ue han llegado con serios pro b lem as e n el área, u n a vez q u e descubren su p o ten cial h a n decidido estu d iar
alguna carrera afín.
D e e sta form a, se d ecid e u n irá los do cen tes c o n m ayor experiencia y trayectoria den tro d e la institución
p ara q u e conjuntam ente escriban u n libro que lejos d e presunciones form ales, m uestre la p a rte práctica que
requiere u n estu d ian te al a p ren d er M atem áticas y q u e le sirva d e refuerzo p a ra lo s conocim ientos adquiridos
en e l aula.
Enfoque
El libro tiene u n enfoque 100% práctico, p o r lo q u e la teoría que se trata es lo m ás básica posible, só lo se
abordan los co n cep to s elem entales p ara q u e e l estu d ian te com prenda y se ejercite e n la aplicación d e la teoría
an alizada e n e l aula, e n su libro d e tex to y c o n su profesor.
D e e sta m anera, se pone m ayor énfasis e n lo s ejem plos, e n d o n d e e l estu d ian te ten d rá la referencia
para resolver lo s ejercicios q u e vienen a l final d e cad a tem a y p o d er así reafirm ar lo aprendido. E stam os
convencidos d e q u e e s u n a m ateria e n la cu al e l razonam iento e s fundam ental para su aprendizaje, sin
em bargo, la práctica p u ed e lograr que este razonam iento se d é m ás rápido y sin tan ta dificultad.
Estructura
El libro e stá form ado p o r diecisiete capítulos, los cuales llevan u n o rd en específico to m an d o e n cu en ta
siem pre q u e e l estudio d e las M atem áticas se va construyendo, es decir, c ad a capítulo siem pre va ligado con
los conocim ientos adquiridos e n lo s anteriores.
C ada capítulo está estructurado c o n base e n la teoría, ejem plos y ejercicios propuestos. L o s ejem plos son
desarrollados paso a paso, d e tal form a q u e el lector pueda en ten d er e l procedim iento y posteriorm ente resolver
tos ejercicios correspondientes. L as respuestas a los ejercicios se encuentran a l final d el libro, d e tal form a q u e el
estudiante puede verificar si lo s resolvió correctam ente y com probar su aprendizaje. P or o tro lado, e n algunos
capítulos aparece u n a sección d e problem as d e aplicación, la cu al tiene com o objetivo hacer u n a vinculación
con casos de la vida cotidiana en d onde se pueden aplicar los conocim ientos adquiridos e n cada tem a.
C om o recom endación se propone q u e se resuelvan lo s ejercicios prelim inares d e aritm ética q u e se
encuentran e n u n anexo a l final d el libro, a fin q u e e l lector haga u n diagnóstico d e sus conocim ientos
en A ritm ética, lo s cu ales so n fundam entales p ara p o d e r iniciar el aprendizaje d el Á lgebra. D e ten e r algún
problem a con d ich o s ejercicios, se reco m ien d a retom ar lo s tem as correspondientes y consultarlos e n e l libro
d e A ritm ética.
V I I

Pk f a c o
E l prim er capítulo ab o rd a la teoría d e co njuntos y lógica, tem as clave e n e l estudio d e las M atem áticas.
Se d a n definiciones básicas, operaciones c o n conjuntos, diagram as d e V enn, proposiciones lógicas y algunos
problem as de aplicación.
E n e l segundo capítulo se presentan los conceptos básicos d el Á lgebra, sim plificación d e térm inos
sem ejantes, lenguaje algebraico, operaciones c o n polinom ios y algunas aplicaciones de esto s tem as.
En lo s capítulos 3 y 4, se an alizan lo s pro d u cto s notables y la factorización respectivam ente, tem as que
son herram ientas útiles e n e l desarrollo de los siguientes apartados, p o r lo q u e su estudio debe s e r com pleto
para p o d er facilitar e l aprendizaje d e o tro s tem as. A m bos cap ítu lo s nos lig an directam ente a l cap ítu lo 5,
fracciones algebraicas, e n e l cu al se incluyen tem as co m o e l m áxim o c o m ú n divisor y e l m ínim o co m ú n
m últiplo, p ara p asar así, a l estudio d e las fracciones desde su sim plificación hasta su s operaciones.
El capítulo 6, com prende ecuaciones d e p rim e r grado, e n d o n d e e l objetivo es q u e e l estu d ian te resuelva
ecuaciones c o n u n a incógnita e n su s diferentes formas, y pueda llegar a u n a d e las grandes aplicaciones que
tiene e l Á lgebra: el p o d er rep resen tar u n problem a de la v id a real c o n u n a ecuación, la cual, a l resolverla, dé
a>lución a d ich o problem a. A l final hay u n a sección p ara despejes de fórm ulas.
L a función lineal y algunas aplicaciones se estu d ian e n e l capítulo 7, p ara d a r paso a los sistem as de
tcu acio n es e n e l capítulo 8, e n e l cu al se ven lo s m étodos p ara resolver u n sistem a d e d o s y tres ecuaciones
con su s respectivos problem as d e aplicación; term ina e l capítulo c o n so lución d e fracciones parciales.
E n el capítulo 9, se estudia la potenciación, desde las definiciones y teorem as básicos co m o e l desarrollo
de binom ios elevados a u n a potencia “n ”, ya sea p o r e l teorem a d e N ew to n o p o r e l d e triángulo d e Pascal.
En e l capítulo 10, se sim plifican radicales y se resuelven operaciones c o n ellos, d a n d o p au ta a l capítulo 11
que co rresponde a lo s núm eros com plejos c o n su su m a, resta, m ultiplicación y división.
E l capítulo 12 co rresponde a las ecuaciones d e segundo grado — con su s m étodos p ara resolverlas— ,
aplicaciones y sistem as d e ecuaciones q u e contienen expresiones cuadráticas.
En el capítulo 13, estudiam os las desigualdades lineales, cuadráticas, racionales y c o n valo r absoluto.
L o s logaritm os se introducen e n e l capítulo 14, d esd e su definición, form a exponencial, propiedades,
aplicaciones, ecuaciones c o n logaritm os y exponenciales, form an p arte de éste capítulo.
E n el capítulo 15, se estu d ian las progresiones, aritm éticas y geom étricas. A l final, se d a u n a aplicación
financiera c o n e l tem a d e interés com puesto.
E l capítulo 16, an aliza e l tem a d e m atrices, las cuales se a b o rd an p o r m edio d e su definición, operaciones
y aplicaciones. T am bién se da u n a introducción a lo s determ inantes.
E l co ntenido del capítulo 17, e s el de raíces d e u n polinom io, e n d onde se estu d ia có m o obtenerlas, los
teorem as de residuo y d el factor, así co m o la obtención d e la ecu ació n d ad as sus raíces.
V I I I

Agradecim ientos
Según B enjam ín Frank lin, invertir e n conocim ientos produce siem pre lo s m ejores intereses, p o r lo q u e espero
q ue obtengas, a través de este libro, las m ás grandes ganancias p a ra tu futuro profesional.
A r t u r o S a n t a n a P in e d a
D ir e c t o r G e n e r a l d e C O N A M A T
A m i m adre p o r da rm e la vida y en señ arm e a vivirla, A n d rey p o r se r y e star conm igo, C hem a e H iram
los alum nos q u e se volvieron m is herm anos, a m i fam ilia (Echeverría, P ineda y Sánchez), a la U N A M , al
ingeniero Santana, R ox llegaste a tiem po, a los cu atro fantásticos: H erm án, F abián, R icardo y M iguel, fue
un placer co m p artir este trabajo. A m is alum nos q u e fueron y serán.
A r t u r o A g u i l a r M á r q u e z
A m is padres M aría E lena y A lvaro, p o r b rin d arm e la vida, p o r sus en señ an zas y consejos; a m i esp o sa e hijos
(A na, L iam y D aniel), p o rq u e so n la razón d e m i vida y m i inspiración; a m is h erm an o s Belem , A dalid y
T ania p o r apoyarm e incondicionalm ente y sobre to d o a m is com pañeros y am igos: R icardo, M iguel, A rtu ro
y H erm án.
F a b i á n V a l a p a i B r a v o V á z q u e z
A E li y Jo sé F ernando q u e so n e l m otor d e m i vida y q u e se han sacrificado conm igo; a m is qu erid o s padres
H erm án y M arbella, a m is herm anos F er y Lalo; a la m em oria d e m i q u erid o tío C ésar (q.e.p.d.); a m i tía
Blanca; a m is prim os C ésar y B lanquita; a l Ingeniero A rtu ro Santana y m is com pañeros: F ab ián , A rturo,
M iguel y R icardo q u e sin ellos no hubiese sid o p osible realizar este libro.
H e r m á n A . G a l l e g o s R u i z
A to d a m i fam ilia m uy e n especial a L u p ita y A gustín, p o r haberm e d ad o la vida y se r u n ejem plo a seguir;
a m is herm an o s E lizabeth y H u g o p o r quererm e y soportarm e. Q uiero adem ás, reconocer el esfuerzo d e mis
am igos y com pañeros A rturo, Fabián, H erm án y R icardo c o n q u ien tuve la op o rtu n id ad d e v er cristalizado
este sueño.
M i g u e l C e r ó n V il l e g a s
A m is padres R osa y G erardo, p o r d arm e la vida; a m is herm anos Javier, G erardo y A rturo; u n especial
agradecim iento a m i esp o sa M a. M ercedes; a m is hijos R icardo y A lian p o r su sacrificio, com prensión y
tolerancia; u n reconocim iento a m is am igos H erm án, A rtu ro A ., Fabián, M iguel, R oxana y A rtu ro S. p o r
hacer realidad nuestro sueño.
R ic a r d o R e y e s F ig u e r o a
U n agradecim iento especial a los alum nos q u e to m aro n clase c o n alguno d e nosotros, ya que gracias a ellos
logram os ad q u irir la experiencia p ara p o d e r escribir este libro.
L o s A U TO R ES
IX

A cerca de los autores
A rturo A guilar M árquez. L legó c o m o estu d ian te a C olegio N acio n al d e M atem áticas, desarro lló habilidades
y aptitudes q u e le perm itieron incorporarse a la plantilla d e do cen tes d e la Institución. R ealizó estudios de
A ctuaría e n la Facultad d e C iencias d e la U niversidad N acio n al A utónom a d e M éx ico y h a im partido clases
de M atem áticas p o r m ás d e 11 añ o s en C O N A M A T.
Fabián V alapai Bravo V ázquez. D esd e m uy tem p ran a edad, c o n la preparación d e profesores de C O N A M A T,
participó e n co n cu rso s d e m atem áticas a nivel nacional. Posteriorm ente, se incorporó a la plantilla docente
d e la m ism a institución do n d e h a im partido la m ateria d e M atem áticas durante 12 años. A l m ism o tiem po,
estudió la carrera d e D iseño G ráfico en la E scuela N acio n al d e A rtes Plásticas.
H erm án A urelio G allegos R uiz. Se inició co m o profesor e n CO N A M A T. R ealizó estudios e n la E scuela
Superior de Física y M atem áticas del Instituto Politécnico N acio n al y A ctuaría e n la F acultad d e C iencias
de la U niversidad N acio n al A u tó n o m a d e M éxico. H a im partido clases d e M atem áticas y Física p o r m ás de
15 añ o s e n C olegio N acio n al d e M atem áticas.
M iguel C erón Villegas. E s egresado d e la U n id ad Profesional Interdisciplinaria d e Ingeniería y C iencias
Sociales y A dm inistrativas d el Instituto Politécnico N acio n al, realizó estudios d e Ingeniería Industrial y tiene
m ás d e 15 años d e experiencia e n docencia.
Ricardo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria e n la disciplina d e las M atem áticas to m an d o cu rso s en
CO N A M A T. D ejando v er su gran cap acid ad p ara transm itir el conocim iento, se incorpora co m o do cen te en
la m ism a institución d o n d e ha im partido la m ateria d e M atem áticas y Física d u ran te 19 años. R ealizó sus
estudios d e M atem áticas e n la E scuela Superior d e Física y M atem áticas del Instituto Politécnico N acional,
y d e M atem áticas P uras e n la U niversidad A u tó n o m a M etropolitana.
X I

Contenido
Álgebra
C a p ítu lo 1 Conjuntos y lógica
Simbología, 4 . Conjuntos, 5 . Conjuntos de números, 6 . Tipos de números, 6 . Escritura y representación
d e conjuntos, 7 . Cardinalidad, 8 . Conjuntos equivalentes, 9 . Conjuntos ¡guales, 10. Conjuntos disjuntos,
10. Subconjuntos, 1 1. Conjunto potencia, 1 1. Conjunto universo, 12. Diagramas de Venn, 12. Unión de
conjuntos, 14. Intersección de conjuntos, 15. Conjunto complemento, 17. Diferencia de conjuntos, 19.
Operaciones de conjuntos con diagramas de Venn, 2 1 . Álgebra de conjuntos, 2 8 . Lógica, 2 9 . Tipos de
proposiciones, 3 0 . Proposiciones compuestas, 3 0 . leyes de De Morgan, 3 3 . Proposiciones condicionales,
3 3 . Relación de proposiciones abiertas con conjuntos, 3 4 . Cálculo proposicional, 3 8 . Construcción de las
tablas de verdad, 4 0 . Producto cartesiano de conjuntos, 4 3 .
C a p ítu lo 2 Conceptos básicos de álgebra
Álgebra, 4 6 . Expresiones algebraicas, 4 6 . Reducción de términos semejantes, 4 6 . Valor numérico, 4 8 .
Lenguaje algebraico, 5 0 . Polinomios, 5 2 . Suma, 5 2 . Resta, 5 4 . Signos de agrupación, 5 6 . Reglas para
suprimir los signos de agrupación, 5 6 . Multiplicación, 5 8 . División, 6 3 . Ley de los exponentes pa ra la
división, 6 4 .
C a p ítu lo 3 Productos notables
Definición, 7 4 . Cuadrado de un binomio, 7 4 . Cuadrado de un trinomio, 7 5 . Binomios conjugados, 77.
Productos donde se aplican binomios conjugados, 7 8 . Binomios con término común, 8 0 . C ubo de un
binomio, 8 3 . Multiplicaciones que se resuelven con la aplicación de productos notables, 8 4 .
C a p ítu lo 4 Factorización
Definición, 8 8 . Factor común, 8 8 . Factor común por agrupación de términos, 8 9 . Diferencia de cuadrados,
9 1 . Trinomio cuadrado perfecto, 9 2 . Pasos p a ra factorízar un trinomio cuadrado perfecto, 9 2 . Trinomio de
la forma x2 + b x + c, 9 5 . Trinomio de la forma ax2 + bx + c, 9 8 . Por agrupación de términos, 9 9 . Casos
especiales, 100. Suma o diferencia de cubos, 102. Suma o diferencia de potencias impares iguales, 104.
Factorización que combina un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados, 105. Factorización
para completar el trinomio cuadrado perfecto, 106. Expresiones algebraicas donde se utilizan dos o más
casos, 107. Descomposición en factores de un polinomio por división sintética, 108.
C a p ítu lo 5 Fracciones algebraicas
M áxim o común divisor (M CD), 112. Mínimo común múltiplo |mcm), 112. Simplificación de fracciones
algebraicas, 1 14. Suma y resta de fracciones con denominador común, 1 16. Suma y resta de fraccio
nes con denominadores diferentes, 1 17. Multiplicación de fracciones algebraicas, 121. División de frac
ciones algebraicas, 123. Combinación de operaciones con fracciones, 125. Fracciones complejas, 127.
C a p ítu lo 6 Ecuaciones de primer grado
Conceptos generales, 132. Ecuaciones de primer grado con una incógnita, 132. Con signos de agrupación
y productos indicados, 135. Fraccionarias, 137. Con valor absoluto, 140. Con literales, 142. Problemas
sobre números, 143. Problemas sobre edades, 146. Problemas sobre mezclas, 1 4 7 . Problemas sobre
X III

C O JTINCO
monedas, 149. Problemas sobre costos, 150. Problemas sobre el tiempo requerido para realizar un trabajo,
152. Problemas sobre comparación de distancias y tiempos, 154. Problemas de aplicación a la geometría
plana, 156. Despejes de fórmulas, 158.
C a p ítu lo 7 Función lineal
Plano cartesiano, 162. Localización de puntos, 162. Función, 163. Constante, 163. £cuac/ónx = k, 163.
lineal, 164. Generalidades, 165.
C a p ítu lo 8 Sistemas de ecuaciones
Ecuación lineal, 1 7 4 . Solución de una ecuación lineal, 174. G ráfica, 1 7 6 . Sistema de dos ecuaciones
lineales con dos variables, 178. M étodos de solución, 180. Sistema de dos ecuaciones que se reducen a
lineales, 192. Métodos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables, 2 0 1 . Reducción
(suma y resta), 2 0 1 . Determinantes, 2 0 6 . Descomposición de una fracción algebraica en suma de fracciones
parciales, 2 0 9 .
C a p ítu lo 9 Potenciación
Definición, 2 1 8 . horem as de los exponentes, 2 1 8 . Potencia de un binomio, 2 2 7 . Factorial de un número,
2 2 7 . Binomio de Newton, 2 2 7 . Cálculo del i-ésimo término, 2 3 0 . Triángulo de Pascal, 2 3 1 .
C a p ítu lo 1 0 Radicación
Radical, 2 3 4 . Elementos de un radical, 2 3 4 . Raíz principal de un radical, 2 3 4 . Radical como exponente,
2 3 4 . Teoremas, 2 3 5 . Representación de un exponente fraccionario como radical, 2 3 6 . Teoremas, 2 3 7 .
Cálculo de raíces, 2 3 8 . Simplificación, 2 4 0 . Introducción de factores, 2 4 2 . Suma y resta, 2 4 4 . Multiplicación,
2 4 6 . Con índices diferentes, 2 4 8 . División, 2 4 9 . Con índices ¡guales, 2 4 9 . Con índices diferentes, 2 5 0 .
Racionalización, 2 5 1 . Racionalización del denominador de una fracción, 2 5 1 . Racionalización del numerador
de una fracción, 2 5 4 .
C a p ítu lo 11 Números complejos
lam ero s imaginarios, 2 5 8 . Número imaginario puro, 2 5 8 . Suma y resta, 2 5 9 . Potencias de i, 2 6 0 . Multi
plicación y división, 2 6 1 . Números complejos, 2 6 3 . Suma y resta, 2 6 4 . Multiplicación por un escalar, 2 6 5 .
Multiplicación, 2 6 7 . División, 2 6 9 . Representación gráfica, 2 7 0 . 6lor absoluto o módulo, 2 7 2 . Conjugado,
2 7 3 .
C a p ítu lo 1 2 Ecuaciones de segundo grado
Definición, 2 7 8 . Solución de una ecuación de segundo grado completa, 2 7 8 . Fórmula general, 2 8 1 . Fac-
torización, 2 8 4 . Solución de una ecuación de segundo grado incompleta, 2 8 6 . M ixtas, 2 8 6 . Puras, 2 8 7 .
Función cuadrática, 2 9 3 . Análisis de una función cuadrática, 2 9 3 . Relación entre las raíces de una ecuación
de segundo grado, 2 9 6 . Deducción de una ecuación de segundo grado dadas las raíces, 2 9 8 . Ecuaciones
con radicales, 2 9 9 . Sistema de ecuaciones cuadráticas, 3 0 1 . Procedimiento para la resolución de un sistema
de ecuaciones cuadráticoJineal con dos incógnitas, 3 0 1 . Procedimiento para la resolución de un sistema de
cbs ecuaciones cuadráticas, 3 0 2 . Procedimiento para la resolución de un sistema cuadrático mixto, 3 0 2 .
C a p ítu lo 1 3 Desigualdades
Definición, 3 0 6 . Propiedades de las desigualdades, 3 0 6 . Desigualdad lineal con una variable, 3 0 7 . Desigual
dad cuadrática con una variable, 3 1 0 . M étodo por casos, 3 1 0 . M étodo por intervalos, 3 1 0 . M étodo gráfico,
31 3 . Desigualdad racional, 3 1 5 . M étodo p o r casos, 3 1 5 . M étodo por intervalos, 3 1 8 . Desigualdad que
X I V

C C N TE N D O
tiene la expresión (x - a) (x - b) (x - c )..., 3 2 0 . Desigualdades con valor absoluto, 3 2 1 . C asos especiales de
desigualdades con valor absoluto, 3 2 2 . G ráfica de una desigualdad lineal con dos variables, 3 2 4 . Sistema
de desigualdades lineales con dos variables, 3 2 6 .
C a p ítu lo 1 4 Logaritmos
Definición, 3 3 0 . Aplicación de la definición de logaritmo, 3 3 1 . Propiedades, 3 3 2 . Aplicación de las propie
dades para el desarrollo de expresiones, 3 3 3 . Ecuaciones logarítmicas, 3 3 8 . Ecuaciones exponenciales,
34 0 .
C a p ítu lo 1 5 Progresiones
Sucesión infinita, 3 5 2 . Suma, 3 5 4 . Progresión aritmética o sucesión aritmética, 3 5 5 . Fórmula para determinar
el n-ésimo término en una progresión aritmética, 3 5 6 . Fórmulas pa ra determinar e l primer término, número de
términos y la razón, 3 5 7 . Suma de los n primeros términos en una progresión aritmética, 3 6 0 . Interpolación
de medios aritméticos, 3 6 3 . M e d ia aritmética o prom edio aritmético, 3 6 4 . Progresión geométrica o sucesión
geométrica, 3 6 5 . Fórmula p a ra obtener el n-ésimo término en una progresión geom étrica, 3 6 6 . Fórmulas
pa ra obtener e l Ia término, número de términos y la razón, 3 6 8 . Suma de los n primeros términos de una
progresión geométrica, 3 7 1 . Progresión geométrica infinita, 3 7 4 . Interpolación de medios geométricos, 37 6 .
Interés compuesto, 3 7 8 . Depredación, 3 8 1 .
C a p ítu lo 1 6 Matrices
Definición, 3 8 4 . Orden de una matriz, 3 8 4 . N jm ero de elementos de una matriz, 3 8 5 . Tipos de matrices,
3 8 5 . M ultiplicación p o r un escalar, 3 8 8 . Suma, 3 8 9 . Resta, 3 9 1 . Multiplicación, 3 9 3 . Propiedades de
las matrices, 3 9 4 . Determinantes, 3 9 5 . Sea la matriz de orden 2 , 3 9 5 . Seo la matriz de orden 3 , 39 6 .
Propiedades, 3 9 6 . Matriz inversa, 3 9 8 . M étodo de Gauss-Jordan, 3 9 8 . Inversa de una matriz para resolver
sistemas de ecuaciones, 4 0 0 .
C a p ítu lo 1 7 Raíces de un polinomio
Teorema del factor y del residuo, 4 0 4 . Raíces, 4 0 5 . Cálculo de las ralees por división sintética, 4 0 8 . Regla
ab los signos de Descartes, 4 0 8 .
Solución a los ejercicios, 41 3.
Anexo: Ejercicios prelim inares, 455.
X V

C a p ít u l o ]
C o n ju n t o s y ló g ic a
Teoría d e conjuntos
G
eorg Cantor fue un matemático alemán,
quien con Dedekind inventó la teoría
de conjuntos, base de las matemáticas
modernas. Gracias a la presentación axiomáti
ca de su teoría de los conjuntos, fue el primero
capaz de formalizar la noción de infinito, bajo
la forma de números transfinitos (cardinales y
ordinales).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no siempre tienen el mismo
tamaño, el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es
enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales,
mientras que el de los reales no lo es: existen, por tanto, varios infinitos,
más grandes los unos que los otros.
Lógica matem ática
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demos
tración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en que
“nos convenciera-, en que se presentara como evidente a nuestra mente
y lo aceptáramos como válido. Ésta era, por ejemplo, la forma de entender
la argumentación del mismo René Descartes (1596-1650).
Se cita, como ejemplo, la frase del matemático francés Jean Marie Duha-
mel (1797-1 872): “El razonamiento se hace por el sentimiento que nos
produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma
o regla alguna-.
Giuseppe Peano (1858-1932) se levantó contra esta forma de argumentar
y, en esencia, defendía que “el valor de una demostración, de un proceso
argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie,
sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente
comprobable-.
Para Peano la lógica matemática era, realmente, la lógica de la matemá
tica, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las
argumentaciones del quehacer de la matemática.
Georg Cantor (1845-1918)

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Simbología
Éstos son los sím bolos que se utilizarán en e l capítulo:
{ } Conjunto.
€ E s un elem ento del conjunto o pertenece al conjunto.
e N o es un elem ento del conjunto o no pertenece a l conjunto.
I Tal que.
n ( C) Cardinalidad del conjunto C.
U Conjunto universo.
<
t> Conjunto vacío,
c Subconjunto de.
<= Subconjunto propio de.
<Z No es subconjunto propio de.
> M ayor que.
< M enor que.
> M ayor o igual que.
< M enor o igual que.
n Intersección de conjuntos,
u Unión de conjuntos.
A ' Com plem ento del conjunto A.
= Símbolo de igualdad.
* N o es igual a.
E l conjunto continúa.
=> Entonces.
<=> Si y sólo si.
No (es falso que).
a y
v o
4

Ejemplos
Conjuntos
Un conjunto es una colección de cosas u objetos con características definidas. Los conjuntos se representan con letras
mayúsculas y sus elem entos se delim itan con llaves y separan con comas.
Ejemplos
a) E l conjunto de las vocales.
A = { a, e, i, o, u }
b) E l conjunto de los dígitos.
B = { 0, 1,2, 3, 4, 5 ,6 , 7, 8 , 9 }
c) E l conjunto de los números naturales.
N = { 1,2, 3, 4 ,5 ,6 , .. . }
Observación: los puntos suspensivos indican que e l conjunto continúa y que los elem entos siguientes conservan la
misma característica.
d ) E l conjunto de los días de la sem ana.
S = (lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
é) E l conjunto de los números naturales entre 5 y 10.
P = [ 6, 7, 8 , 9 }
Para indicar que un elem ento pertenece o no a un conjunto se utilizan los sím bolos e y í .
EJEM PLOS----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • S e a el conjunto A = { a, e , i, o, u }, entonces
u pertenece al conjunto A y se representa u e A.
x no pertenece a l conjunto A y se representa x «éA.
2 •• Sea el conjunto B = {2 ,3 , 4, 5, 8, 9, 10 }, entonces
2 € f í ,5 € f í , 1 e B , 11 t B
_________________________________________________________________________________________________________________________ C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJE ÍC IC IO 1
Dados tos conjuntos: A - {a, e, i, o, u }y 8 - {1 , 2, 3, 4, 5 } coloca e o e según corresponda:
1. a ____ B 7. ___A
2. c ___ _ A 8. o _ ___ B
3. 2 ___ __B 9. e _ ___A
4. 3 ___ __A 10. 8 _ ___ B
5. u _____A 11. b _ ___ B
6. 5 _______B 12. 1 _ __A
Verifica tu s resultados en la sección d a solucionas co rresp o n d ían te i
5

1 C a p ít u lo
ÁLGEBRA
Conjuntos de números
O Números naturales: N = {1,2, 3, 4, 5, 6 ...}
O Números enteros: Z = { ... - 3 , - 2 , -1 , 0, 1,2, 3, ...}
O Números racionales: Q = x x = — , p , q e Z , q * 0
l J
Ejemplos
O Números irracionales. Núm eros que no pueden expresarse com o el cociente de dos números enteros.
Ejemplos
s¡2, l[ 5 ,l¡ 6 4 ,e ,
O Números reales. Es la unión de los números racionales con los ¡nacionales.
Tipos de números
O Números dígitos. Forman la base del sistem a decim al
0, 1 ,2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8 ,9
O Número par. Son los divisibles entre 2.
Ejemplos
ú 2 ,4 , 6, 8, 10, 12, 14, 1 6 ,...
O Número impar. Son los no divisibles entre 2.
Ejemplos
1, 3 ,5 , 7 ,9 ,1 1 , 13,15, 17, 1 9 ,...
O Número prim o. Sólo tiene dos divisores, entre s í mismo y la unidad.
Ejemplos
2 ,3 , 5, 7 ,1 1 , 13, 17, 1 9 ,...
O Número com puesto. Tiene dos o más divisores primos.
Ejemplos
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...
O M últiplo de un núm ero. El múltiplo de un núm ero k, e s nk, donde n es un natural.
Ejemplos
Múltiplos de 3: 3 ,6 , 9, 12, 15, 18, ...
M últiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
6

Ejemplos
C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Escritura y representación de conjuntos
Los conjuntos se representan de dos formas:
< Form a descriptiva o p o r com prensión. Se hace m ención a la característica principal de los elem entos del
conjunto.
EJEMPLOS
• • Representa en forma descriptiva e l conjunto S = { x e N Ix es divisor de 6 }.
Solución
Este conjunto se lee:
x pertenece al conjunto de los números naturales, tal que .res un divisor de seis.
x es una variable que cumple con las características del conjunto S.
2 •• •Si Q = [2, 3, 5 ,7 , 11}representa su forma descriptiva.
Solución
Q = [q € N Iq es primo menor que 12}
O Form a enum erativa o por extensión. Se enlistan los elem entos del conjunto, si algún elem ento se repite se
considera una sola vez.
EJEMPLOS
• • Representa en forma enumerativa e l conjunto M = {m e. N m < 5 ) .
Solución
El conjunto se lee:
los números naturales que son menores que 5 y su representación en forma enumerativa es:
M = {1,2, 3 ,4 }
2 • •R e p re s e n ta en forma enumerativa e l conjunto: A = [ x e Z lx + 8 = 1 0 } .
Solución
Este conjunto lo form an los números enteros que sumados con 8 dan com o resultado 10, por tanto, su forma enum e
rativa es:
A = {2}
Ya que 2 + 8 = 10
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1 C a p ít u lo
Á lgebra
EJERCICIO 2
Transforma a la forma descriptiva o enumerativa los siguientes conjuntos:
1. R = { 1 ,2 ,5 , 10}
2. A = { at€AM 1< at< 9 }
3. { jce^VlAT+3 = 7 }
4. C = [ 1,2, 4, 5, 1 0 ,2 0 }
5. V= [ y e Z - 2 < y < 3 }
6. Q = { x Ix es una vocal de la palabra número }
7. T = [ x e s un dígito de la cifra 453 425 }
8. 5 = { Ares un dígito primo de la cifra 729 634 }
9. U = [ 4 ,8 , 12, 1 6 ,... }
10. M = { x € N Ares divisor par de 50 }
Verifica tu s resu ltad o s en la sac d ó n d e soluciones co rresp o n d ien te
Cardinalidad
Es e l número de elem entos que contiene un conjunto.
Ejemplo
¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A = {at Ix es com puesto menor que 10, x e N }?
Solución
E l conjunto A, en forma enumerativa, es:
A = { 4, 6, 8, 9 }
Entonces su cardinalidad e s 4 y se denota: rt(A) = 4
C onjunto finito. Es aquel conjunto con cardinalidad definida.
Ejemplo
¿El c o n ju n to B = { x IAres u n d ía de la s e m a n a } e s finito?
Solución
E l conjunto B en forma enumerativa es:
B = ( lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, dom ingo }
El conjunto tiene 7 elem entos, e s decir su cardinalidad está definida, por tanto es finito.
C onjunto infinito. Es aquél cuya cardinalidad no está definida, por ser dem asiado grande para cuantificarlo.
Ejemplo
¿El conjunto C = { x s N IAres múltiplo de 3 } es infinito?
Solución
E l conjunto C en su forma enumerativa es:
C = { 3 ,6 ,9 , 12, 15,... }
8

C a p ít u lo 1
Conjuntos y lógica
EJ conjunto continúa indefinidamente, no se puede determ inar su número de elem entos, por tanto, su cardinalidad es
infinita y se escribe como:
n ( C) = «o
Conjunto vacío o nulo. E s aquel que carece de elem entos y se denota con e l sím bolo <
|>o bien { }.
EJEMPLOS
1 • • ¿El conjunto D = { * G W I 2 r - l = 0 } e s vacío?
Solución
El único valor de x que satisface la igualdad e s - pero no pertenece a l conjunto de los números naturales, por tanto,
d conjunto D e s vacío.
D = { }= <
|>su cardinalidad e s n(D ) = 0
2 • • ¿Elconjunto E = {x I.re s un número par e impar } es vacío?
Solución
El conjunto E es vacío, ya que no hay ningún núm ero que sea par e impar a la vez.
EJERCICIO 3
Encuentra la cardinalidad de b s siguientes conjuntos:
1. A = { x e N x e s i n divisor d e 30 }
2. B - { x es vocal de la palabra casa }
3. S = { x I x es una estación del año }
4. R = [ x e N x + 3 = 1 |
5. Q = { x e N x > 6 )
6 . T = { x g R x = 6 )
7. M = { x < = N x < 1 }
8. L - { * € N I .*es par divisor de 20 }
9. J = { x € s natural }
10. O = {x I x es un mes del año }
Vsrifica tu s resu ltad o s en la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
Conjuntos equivalentes
Sean A y B conjuntos no vacíos, se dice que A e s equivalente a B si y sólo si tiene la misma cardinalidad; se denota:
A = B y se lee A es equivalente a B.
Ejemplo
Si A = [ x e N x e s divisor de 6 } y B = { a, e, i, o ) com prueba que A es equivalente a B.
Solución
Las cardinalidades son: n(A) = 4, n(B) = 4 , por tanto, se concluye que ambos son equivalentes. A = B.
9

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Conjuntos iguales
Son aquellos que tienen la misma cardinalidad y los mismos elem entos.
Ejemplo
¿Son iguales los conjuntos A = { x € N I* e s divisor de 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 )?
Solución
L os conjuntos en su forma enumerativa son:
Sus cardinalidades son: n(A) = n(B ) = 4
Ambos tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos, por tanto, los conjuntos son iguales, es decir, A = B.
Conjuntos disjuntos
Son aquellos que no tienen elem entos comunes.
Ejemplo
¿Son disjuntos los conjuntos R = { x e N x e s divisor de 5 } y S = { x e N 2 < x < 5 }?
Solución
L os conjuntos en su forma enumerativa son:
Los conjuntos no tienen elem entos en com ún, por tanto, los conjuntos R y S son disjuntos.
Verifica si son equivalentes, iguales o disjuntos los siguientes pares de conjuntos:
1. A y C
2. D y E
3. B y F
4. F y D
5. A y D
6. E y B
7. C y E
8. F y C
9. A y F
10. B y D
V#riflea tu s resu ltad o s e n la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
A = { l , 2 , 3 , 6 } y B = { 1, 2, 3, 6 }
R = { 1 ,5, } y 5 = { 3, 4, }
EJERCICIO 4
Sean tos conjuntos:
A = { x < = N x < 5 }
B = { x € N Ix es divisor de 8 }
C = { 1, 2, 3, 4 }
D = { 1, 2, 4, 8 }
E = [a, e, i, o )
F = { x I x es una vocal de la palabra murciélago }
1 0

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Subcon ¡untos
Dado un conjunto S se dice que >4es subconjunto de S, si todos los elem entos de A están contenidos en e l conjunto S
y se denota por A c S. E l conjunto vacío e s subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplo
Dados los conjuntos S = {x IAres dígito } y A = { 2, 4 ,6 , 8 }, verifica que A c 5.
Solución
El conjunto S en forma enumerativa es: S = { 0, 1,2, 3, 4, 5 ,6 , 7, 8, 9 }
Los elem entos de A están contenidos en 5, por tanto, A c S .
Subconjunto propio. D ados dos conjuntos A y B, se dice que B es subconjunto propio de A si todos los elem entos de
B están en A y no son equivalentes.
Ejemplo
Sean los conjuntos L = { 2 ,4 , 5, 6, 8 } y M = { 2, 4 ,6 }, verifica que M <zL.
Solución
Los elem entos de M están contenidos en L, y M no es equivalente a L, por consiguiente, A/ <=L.
Número de subconjuntos de un conjunto. El número de subconjuntos está dado por la fórmula:
N(s) = 2" con ti = cardinalidad
Ejemplo
Determina el número de subconjuntos del conjunto:
R = { a, b, c , d }
Solución
La cardinalidad del conjunto e s 4, entonces n = 4 y a l aplicar la fórmula se obtiene:
Número de subconjuntos = 2 4 = 16
Conjunto potencia
Se le llam a así a l conjunto que form an todos los subconjuntos de un conjunto.
Ejemplo
Encuentra e l conjunto potencia de:
T = { 2, 4, 6 }
Solución
El número de subconjuntos de T es:
N( s) = 23 = 8
El conjunto potencia está form ado por 8 subconjuntos de cero, uno, dos y tres elem entos, los cuales son:
{{ } ’{ ^ }*{ 4 },{ 6 },{ 2,4 },{ 2,6 },{ 4,6 },{ 2,4,6 } }
1 1

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Conjunto universo
Sean A, B, C, ..., subconjuntos de un conjunto U, a este último se le llam a conjunto universo de los conjuntos dados.
Ejemplo
Sea U = { 0 ,1 ,2 , 3, 4 ,5 , 6, 7 ,8 , 9 } y los conjuntos A, B y C tales que:
A = [ 2 ,4 ,6 , 8 ) , B = [ 1 ,2 ,3 ,4 } y C = { 1, 2, 6, 7 )
C om o A ( z U, B c z U , C c U , siendo í / e l conjunto universo.
EJERCICIO 5
Resuelve b que se indica en b s siguientes ejercidos:
1. Si W = { x, y, z }, halla e l número de subconjuntos de W.
2. Si T = { x g N I1 < x < l }, determ ina e l número de subconjuntos de T.
3. Si A = { x e N I x es par menor que 10 }, halla e l número de subconjuntos de A.
4. Sea el conjunto L = { a,fi, 6 }, determ ina e l conjunto potencia.
5. Sea el conjunto M = [ a , c, e , f ) , determ ina e l conjunto potencia.
6. Sea el conjunto N = { 1,2,3,6 }, halla e l conjunto potencia.
7. Sea el conjunto P = [ x e N I* es un divisor de 9}, determ ina e l conjuntopotencia.
8. Sea el conjunto Q = [ x e N 4 < x < 1 }, determ ina el conjunto potencia.
Verifica tu s resu ltad o s e n la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
Diagram as de Venn
Es la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que delim itan figuras planas com o círculos o
rectángulos; por lo general los círculos delim itan a los elem entos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulos
delim itan al conjunto universo.
EJEMPLOS
• • Representa en un diagram a de Venn e l conjunto A = { 1, 2, 3, 4 }.
S o lu ció n
2 • • Representa en un diagram a de Venn e l conjunto:
B = { x € N IAres múltiplo de 3 m enor que 17
1 2

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Solución
EJ conjunto fie n forma enumerativa es: fi = { 3, 6, 9, 12, 15 } y e l conjunto universo son los números naturales.
Por tanto, el diagram a es:
N B
3 ••'R e p re s e n ta en un diagram a de Venn los conjuntos Q = {1, 3, 5 }y P = { 1, 2 ,3 , 4, 5 }.
Solución
El conjunto Q es un subconjunto propio de P, ya que todos los elem entos de Q son elem entos de P, por consiguiente,
la representación de ambos conjuntos en un diagram a de Venn es:
P
4 ••■ R ep re se n ta en un d iag ram a de Venn los co n ju n to s U = {2,4,6,8,10,12,14,16,17,18,19}, A = {2 ,6 ,1 0 ,1 2 } y
f i= { 4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 7 }
Solución
Los elem entos que se repiten se colocan en la región com ún de los conjuntos A y B. Los elem entos faltantes de cada
conjunto se colocan, respectivamente, en la región sobrante. Los elem entos del universo que no aparecen en los con
juntos se colocan fuera de ellos.
5 • • * Sean los conjuntos U = { 3 ,4 ,6 ,9,10,12,13 ,17 }, P = { 3 ,6 ,9,10 } y Q = { 4 ,12 }, represéntalos en un diagrama de Venn.
Solución
N o hay elem entos en com ún; en e l diagram a los conjuntos están separados con sus respectivos elem entos y los ele
mentos que no pertenecen a los conjuntos se colocan fuera de ellos.
1 3

1 C a p ít u lo
Á lgebra
6 • • •Dibuja en un diagrama de Venn los conjuntos U = { 2,4,5,6,9,10,11,12,13,16,21,23 } , M = { 2,5,9,10 J, N = { 2 ,4 ,6 ,9 }
y L = { 2 ,4 ,5 ,1 6 ,2 1 }
Solución
Los elem entos que se repiten se colocan en la región com ún de los 3 conjuntos y los dem ás elem entos se colocan en
sus conjuntos correspondientes, de la misma forma que en los ejem plos anteriores.
Unión de conjuntos
Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la unión de A y B, se define:
A j B = { x x e A ox<=B }
Su diagrama de Venn se representa som breando ambos conjuntos.
La unión de dos conjuntos e s e l conjunto formado por los elem entos de ambos conjuntos.
EJEM PLOS----------------------------------------------------------------------------------------------- •
“o . 1 • • Sean los conjuntos A = { 3, 5, 6, 8, 10 } y B = { 2 ,6 , 8, 10, 12 }, halla A k j B.
.SL Solución
iu
E l conjunto solución de la unión de los conjuntos A y B son todos los elem entos de ambos conjuntos, los elem entos
que se repiten sólo se escriben una vez.
Por tanto, el conjunto es:
A u B = { 2 ,3 , 5, 6 ,8 , 10, 12}
1 4

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
2 • •■ S i 5 = { x € N IAres divisor de 20 } y 7 ’= [ x e N I^ es divisor de 6 }, halla y representa en un diagram a de Venn
S k j T.
Solución
La representación en forma enumerativa de los conjuntos es:
S = { 1 ,2 ,4 , 5, 1 0 ,2 0 }
T = { 1,2, 3 ,6 }
El conjunto solución de la unión de los conjuntos S y Tes:
S u T = { 1 ,2 ,3 , 4, 5, 6, 1 0 ,2 0 }
Diagram a de Venn
N S T
3 • • - P a r a los conjuntos U = { *1 Ares un dígito },/* = { x s U x e s par } y Q = { x e U x e s impar }.
Determina y representa en un diagram a de Venn P u Q .
Solución
La representación en forma enumerativa de los conjuntos es:
U = { 0, 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 } , P = { 0, 2 ,4 , 6, 8 } y Q = { 1,3, 5, 7, 9 }
El conjunto solución de la unión de P y Q es:
P u < ? = { 0, 1 ,2, 3 ,4 , 5, 6, 7 ,8 ,9 }
Diagram a de Venn
Intersección de conjuntos
Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la intersección de A y B se define:
A n B = { x x e A y x e B }
1 5

Ejemplos
1 C a p i t u l o
ÁLGEBRA
Su diagrama de Venn se representa som breando la región com ún de am bos conjuntos.
En esta operación se tom an únicamente los elem entos que se repiten en los dos conjuntos.
EJEMPLOS
1 • • - S e a n los conjuntos U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }, A = { 1, 2, 5, 6 } y B = { 1, 4, 5, 6, 7 }, precisa y representa en un
diagram a de Venn A r B .
Solución
fó ra encontrar e l conjunto solución de la intersección de los conjuntos A y B, se tom an únicamente los elem entos que
se repiten en los conjuntos.
Por tanto, el conjunto es
Diagram a de Venn
A n fl = { 1 , 5 , 6 }
Encuentra la intersección de los conjuntos C = { x Ix es un dígito } , D = { . r e W l . r > 6 } y s u diagram a de Venn.
Solución
La transform ación en su forma enumerativa de los conjuntos es:
C = { 0, 1, 2 ,3 , 4, 5, 6 ,7 , 8 , 9 } , D = {6, 7, 8, 9, 10, 11... }
Para hallar e l conjunto solución de la intersección de los conjuntos C y D , se tom an únicamente los elem entos que se
repiten en los 2 conjuntos.
Por consiguiente, e l conjunto solución es:
C n D = { 6, 7, 8 , 9 }
Diagram a de Venn
1 6

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
3 ••■ P ara: U = [ 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , S = { x e U Ares par } y T = { x e U Ix e s impar ). Determ ina y representa en
un diagram a de Venn S n T .
Solución
La forma enumerativa de los conjuntos es:
S = [ 0 , 2 ,4 , 6 , 8 }
T = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
Los conjuntos no tienen elem entos en común.
Por tanto, el conjunto solución es vacío:
A n B = { } =( J
>
Diagram a de Venn
El diagram a de Venn no se som brea
Conjunto complemento
Sea U el conjunto universo y A un subconjunto de U, e l com plem ento de A se define:
A ' = { x x < = U y x e A )
E l conjunto solución contiene a los elem entos que pertenecen a U y no pertenecen a l conjunto A y se representa
com o A ' o Ac.
Su diagram a de Venn se representa som breando la región fuera del conjunto A.
EJEM PLOS-----------------------------------------------------------------------------------------------•
"o_ 1 • • D eterm inad complemento y su diagram ade Venn del conjunto A = { 2 , 3 , 5 , 7 }, si el universoes U = [ x e N x < 10 }.
.SL Solución
U J
El conjunto U e n su forma enumerativa es:
U = { 1, 2,3 , 4, 5, 6 ,7 , 8,9, 10}
{continúa)
1 7

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
Por consiguiente, e l com plem ento de A es:
A ' = { 1, 4,6, 8,9, 10}
Diagram a de Venn
2 • • - S e a í / = { ^ € V I ^ : e s u n número compuesto menor que 16 }. D eterm ina el complemento del conjunto
M = { x e U I.res impar }.
Solución
Los conjuntos en su forma enumerativa son:
U = { 4 , 6 , 8 , 9, 10, 12, 14, 15 }
M = { 9 , 15 }
Por tanto, el conjunto com plem ento de M es: M ' = { 4, 6, 8, 10, 12, 14 }
Diagram a de Venn
3 ••■ S ean los conjuntos
U = { 2 , 3 , 5 ,6 , 8, 9, 10 ,1 2 ,1 3 , 14}
A = { 2 ,5 , 6, 9, 12 }
fi = { 3 ,5 , 6, 8 , 9 }
Determ ina A ' n B.
Solución
Se obtiene el com plem ento de A:
A ' = { 3, 8, 10, 13, 14}
Se obtiene la intersección de A ' con e l conjunto B :
A ' n B = ( 3, 8, 10, 13, 14 } n { 3 ,5 , 6, 8, 9 } = { 3, 8 }
Por tanto, el conjunto solución es:
A ' n B = { 3 , 8 }
4 •• Sean los conjuntos:
A = { ^ € V U e s p a r menor que 10 }
f i = { A T € V I 6 < J C < 1 0 }
C = { x e N x e s impar }
Halla ( A u B ) n C
1 8

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Solución
Los conjuntos en forma enumerativa son:
A = { 2 , 4 , 6 , 8 } , » = {6, 7, 8 , 9 } y C = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... }
Se halla A u f l :
A u B = { 2 , 4 , 6 ,7 , 8 ,9 }
Con e l conjunto C y el conjunto anterior se halla la intersección:
( A u f i ) n C = { 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 } n { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11, 13, 1 5 ,... } = { 7, 9 }
Finalmente, e l conjunto solución es:
(A u f l ) n C = { 7, 9 }
Diferencia de conjuntos
Sean A y B conjuntos no vacíos, se define la diferencia com o e l conjunto que contiene a los elem entos que pertenecen
a A y que no pertenecen a l conjunto B. L a diferencia se representa com o A - B.
A - B = A c E f = [ x x z A y x í B )
Su diagram a de Venn se representa de la m anera siguiente:
Ejemplo
Si A = { a, b, c, d, e ) y B = { a, e, /, o, u }, hallar A - B y su diagram a de Venn.
Solución
El conjunto solución contiene a los elem entos que pertenecen a A y que no pertenecen a l conjunto B, entonces:
A - B = { a, b, c, d, e } - { a, e, i, o, u ]
Por tanto, el conjunto es:
A - B = [ b , c , d }
Diagram a de Venn
U
1 9

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJE LCICIO 6
Sean b s conjuntos:
U = { x e Z l - 4 < x < 7 )
A = { x e l / l x < 3 i
B = {* g U IAres un número par mayor que 1}
Representa en diagrama de Venn y determina:
1. A u f i 3 . A' 5. A - B
2. A n B 4 . B' 6. B - A
Verifica tu s resultados e n la sec d ó n d e soluciones co rresp o n d ien te
E n los siguientes ejem plos, se com binan las operaciones de conjuntos.
EJEMPLOS
1 ••-D a d o s los conjuntos i / = {Are7Vljc<9 },A = {jceTVI 3 < * < 8 } y B = { 1, 4 ,7 , 9 }, encuentra e l conjunto solución
de: A ' c B '
Solución
Se escriben los conjuntos U y A en su forma enumerativa:
U = { 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 4, 5, 6, 7 }
Se buscan los com plementos de am bos conjuntos:
A ' = { 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } B ' = { 2 , 3 , 5 , 6 , 8 )
Se efectúa la operación y e l conjunto solución es:
A ' n B ' = { 1,2 ,3, 8, 9 } n { 2, 3, 5, 6, 8 }
= { 2 , 3 , 8 }
2 • • 'P a r a los conjuntos:
P = [ x e N - 3 < x < 6 } R = { x e N Ix es par menor que 16 }
Q = { x e N x e s divisor de 20 } S = { 0,1, 2, 3, 4 ,6 , 7, 8, 9 }
Determ ina (P - Q) u (R r S)
Solución
Los conjuntos en forma enumerativa son:
P = { “ 2, - 1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Q = { 1 , 2 , 4 , 5 , 1 0 , 2 0 } S = { 0 , 1, 2, 3 ,4 , 6, 7, 8, 9 }
Se obtiene la diferencia entre los conjuntos P y Q:
P - Q = { - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 ,3 , 4, 5, 6 } - { 1, 2,4, 5, 1 0 , 2 0 }
P - 6 = { - 2, -1 , 0, 3, 6 }
Se determ ina la intersección de R y S:
R n S = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 1 4 } n { 0 , 1,2,3 , 4, 6, 7, 8 , 9 }
R n S = { 2, 4, 6 , 8 }
Se determ ina la unión:
( P - f i ) u (P n S ) = [ - 2 , -1 ,0 , 3, 6} vj {2, 4, 6, 8 }
(P - Q) u (P n S) = { - 2, -1 ,0 , 2, 3, 4, 6, 8 }
2 0

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJE IC IC IO 7
Sean los conjuntos:
U = [ 0, 1, 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8, 9 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}
A = [ x e U IAres par menor que 10}
B = { x € U IAres divisor de 12 }
C = { x e U x < 6 }
D = [ x e U 2 < x < 6 )
E = {a: € £ /1* e s undígito }
F = { j r e í / l j c > 1 3 }
G = {x € U 1Ares par mayor que 10 }
Determina:
1. A u f l 12. D '
2. B u C 13. A - B
3. C k j D 14. C - D
4. D k j B 15. E - B
5. A n f l 16. B - A
6. A n D 17. A' C B
7. C n E 18. A k j B'
8. B n C 19. B' n E '
9. A' 20. A ' - G
10. B' 21. ( A u f l ) '
11. C 22. ( A n f l ) '
23. ( A K j F ) n C
24. B kj ( F - G )
25. ( F - G ) n E '
26. ( F n G ) u D
27. £ ' n ( A u G )
28. ( E j F ) n ( A j G )
29. ( C u £ ) n ( F u G )
30. ( S u D ) u ( F n G )
31. ( B u D ) ' - ( E k j G Y
32. ( A ' n B ' ) - ( E ' n F ' )
M irifica tu s resultados e n la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
O peraciones de conjuntos con diagram as de Venn
EJEMPLOS
• • Representa en un diagram a de Venn la siguiente operación ( A u B ) ' :
S o lu ció n
Se determ ina el diagram a de la unión del
conjunto A con B.
E l complemento e s todo lo que no pertenece a la unión,
por tanto, su diagram a de fenn es:
( A k j B Y
2 1

2 ••■ R epresenta en un diagram a de Venn la siguiente operación ( i í u f l ) n C.
Solución
Diagram a de Venn de (A u B) D iagram a de fenn del conjunto C
Ü A B
La intersección de la unión de A con B y el conjunto C, es la región común entre las áreas som breadas.
1 C a p í t u l o ______________________________________________________________________________________________________________
ÁlGEBRA
3 • • Representa en un diagram a de Venn la siguiente operación ( A n B ) u ( A - C ) .
Solución
Diagram a de Venn (A n B) D iagram a de fenn ( A - C )
Finalmente, el conjunto solución es la unión de las áreas som breadas.
U A B
( A n B ) u ( A - C )
2 2

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJERCICIO 8
Realiza el diagrama de Venn de cada una d e las siguientes operaciones:
1. A ' 4 . A n B n C 7. ( A u C ) n ( B - C ) 10. ( A n B ) u ( B n C )
2. ( A n B Y 5. ( A u S ) n C 8. ( A - f i ) u ( A n C ) 11. ( ( A - B ) u ( B n C ) ) '
3. A ' n B ' 6. B ' n ( A - C ) 9. ( A n f i n C ) ' 12. ( A ' u f l ,) - ( A , u C ' )
^ M irifica tu * resultados a n la sacción d a soluciona* correspondianta
Ejemplo
Sean los conjuntos:
U = { a , b , c , d f g , h , i ) B = ( b , d , g , h }
A = [ a , b , c , d ) C = ( b , f g , h )
Representa en diagram a de Venn y halla e l conjunto solución (A' - B ) n C .
Solución
Para determinar e l conjuntóse procede de la siguiente manera:
Se halla prim ero A ', se realiza la diferencia con e l conjunto B y, finalmente, con esta última operación se realiza
la intersección con e l conjunto C.
«
i
_
A '
B
(A ' - B ) n C = ( f )
EJE ÍC IC IO 9
Sean b s conjuntos:
U = {x l* e s un dígito }
A = { x e U x < 5 }
B = { x g U IArsea primo }
C = { 2, 4, 5 , 8 }
Representa en diagrama de Venn y determina e l conjunto solución.
1. A u B 4 . A ' n B ' 7. ( A ' - B ' ) n C
2. A n B 5. ( A u B ) n C 8. ( A - B ) ' n ( f l n C ) '
3. A ' k j B' 6. ( A u f i u C ) ' 9. ( A - f l ) ' u C *
M irifica tu s resu ltad o s a n la sacción d a solucionas corre spon dian ta
10. ( A n B ) ' n ( A ' n B ' )
11. ( A - B ) ' n ( B - C ) '
12. (A' j B ' ) - ( A ' k j C )
2 3

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
PR O BLEM AS Y EJER C IC IO S DE A P L IC A C IÓ N
Se realizó una encuesta a 82 alumnos sobre el tipo de música que más les agrada; los resultados fueron los siguientes:
a 32 de ellos les gusta e l pop, a 33 les agrada e l rock, a 36, e l reggae, a 10 les gusta e l pop y e l rock, a 11 e l pop y
e l reggae, a 9 les agrada e l rock y e l reggae, a 4 les gustan los 3 estilos y únicamente a 7 otros tipos de música.
¿Cuántos estudiantes sólo prefieren rock?
¿A cuántos alum nos sólo les agrada e l reggae?
¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente pop y reggae?
¿Cuántos alum nos prefieren solamente rock y reggae?
Solución
Se construye el diagram a de Venn, de la siguiente manera:
Se inicia con la zona en la que se intersecan los 3 conjuntos.
4
Se obtienen los alum nos de la zona donde se interseca e l pop y el rock únicamente.
1 0 - 4 = 6
Se obtienen los estudiantes de la zona donde se interseca e l pop y el reggae, solamente.
1 1 - 4 = 7
Se obtienen los alum nos de la zona donde se interseca e l rock y e l reggae únicamente.
9 - 4 = 5
Se obtienen los estudiantes de la zona que únicamente escuchan pop.
3 2 - ( 6 + 4 + 7 ) = 15
Se obtienen los alum nos de la zona que únicamente escuchan rock.
3 3 - ( 6 + 4 + 5 ) = 18
Se obtienen los estudiantes de la zona que únicamente escuchan reggae.
3 6 - ( 7 + 4 + 5 ) = 20
Los alumnos a quienes les gusten otros estilos, se colocan en la zona que no corresponde a los conjuntos anteriores.
H diagram a de Venn que se obtiene es:
Finalmente:
Los alum nos que sólo prefieren rock, son 18
Los alum nos que sólo les agrada reggae, son 20
Los alum nos que prefieren únicamente pop y reggae, son 7
Los alum nos que prefieren únicamente rock y reggae, son 5
2 4

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
2 En una preparatoria se obtuvieron los siguientes datos de 350 estudiantes:
200 alum nos aprobaron la m ateria de cálculo diferencial;
160 estudiantes aprobaron física;
187 aprobaron historia;
112 aprobaron cálculo diferencial e historia;
120 aprobaron cálculo diferencial y física;
95 aprobaron física e historia;
80 alum nos aprobaron cálculo diferencial, física e historia.
Indica cuántos de estos 350 alum nos aprobaron:
1. Sólo una materia
2 Exactam ente 2 materias
3. A l menos una m ateria
4. C uando mucho 2 materias
Solución
O ra forma de resolver este tipo de problemas es la siguiente:
Se denotan los conjuntos de los estudiantes
U: Conjunto universo
C = { alum nos que aprobaron cálculo diferencial }
F = { alum nos que aprobaron física }
H = ( alumnos que aprobaron historia }
Cardinalidad de los conjuntos:
n(U ) = 350 n (C ) = 200 n ( F ) = 160 n (H )= 187
n ( C r H ) = 112 n ( C n F ) = 120 n ( F n H ) = 95 n ( C n F n H ) = 80
Para construir el diagrama de Venn se obtienen los siguientes datos:
Se coloca el número de estudiantes que aprobaron las tres m aterias; e s decir, la intersección de los tres con
juntos: n ( C r F r H ) = 80
Se com pleta e l número de estudiantes que aprobaron dos m aterias únicam ente; es decir, la intersección de dos
conjuntos:
n ( C n H ) - n ( C n F n H ) = 112 - 80 = 32
n(C n F ) - n(C n F n H ) = 120 - 80 = 40
n ( F r H ) - n{C r F n H ) = 95 - 80 = 15
Se com pleta e l núm ero de estudiantes de cada conjunto, e l cual e s e l núm ero de estudiantes que aprobaron
una sola materia.
Para e l conjunto C:
n ( C ) - [ n ( C n F ) - n ( C n F n / / ) ] - [ n ( C n f í ] - n ( C n f n f f ) ] - n ( C n F n H ) =
= 200 - 40 - 32 - 80 = 48 alum nos sólo aprobaron cálculo diferencial.
2 5

1 C a p ít u lo
Á lgebra
De una form a análoga se obtiene para los conjuntos F y H.
n ( F ) - [ n ( C n F ) - n ( C n F n H ) ] - [ n ( F n H ) - n ( C r F n H ) ] - n ( C r F n H ) =
- 160 - 40 - 15 - 80 = 25 alum nos sólo aprobaron física.
n ( H ) - [ n ( F n H ) - n ( C n F n H ) ] - [ n ( C n H ) - n { C n F n H ) ] - n ( C n F n H ) =
= 187 - 15 - 32 - 80 = 60 sólo aprobaron historia.
ftira com pletar e l diagram a se determ ina e l número de alum nos que no aprobaron ninguna materia.
Es la diferencia del total d e estudiantes, de los cuales se obtuvieron lo s datos y e l total de alum nos de los
conjuntos.
3 5 0 - [ « ( C ) + n ( F | + / i ( / / ) - n ( C n F | - n ( C n H ) - n ( F n / / ) + n ( C n F n / / ) ]
3 5 0 -(2 0 0 + 160 + 1 8 7 -1 2 0 -1 1 2 - 9 5 + 8 0 ) = 3 5 0 - 300 = 50
Diagram a de Venn
Finalmente:
Sólo una materia:
Suma de los alum nos que aprobaron una sola m ateria de cada conjunto:
n {C ) + n (F ) + n( H) - 2 n(C r F ) - 2 n ( C n H ) - 2 n ( F r H ) +3 n ( C n F n H )
2 0 0 + 1 60+ 187 - 2(120) -2 (1 1 2 ) -2 ( 9 5 ) + 3 (8 0 )= 133
Exactam ente 2 materias:
Suma de los estudiantes que aprobaron 2 materias únicamente:
n ( C n H ) + n ( C n F ) + n { F n H ) - 3 n ( C r F n H ) = 112 + 120 + 95 - 3(80)= 87
Al menos una materia:
Son los estudiantes que aprobaron 1, 2 o 3 materias:
n ( C ) + n ( F ) + n ( H ) - n ( C n F ) - n ( C n H ) - n ( F n H ) + n ( C n F n H ) = 30 0
Cuando m ucho 2 materias:
Son los estudiantes que aprobaron 0, 1 o 2 materias:
3 5 0 - « ( C n F n H ) = 270
2 6

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJERCICIO 10
Resuelve los siguientes problemas:
1. U na em presa realizó una encuesta a 250 personas parasaber qué programa detelevisiónprefieren ver en domingo.
Se les dieron 3 opciones: deportes, películas o m usicales.E l resultado de la encuestafue:130 personas prefieren
deportes; 80 prefieren ver películas; 40, musicales; 25 prefieren deportes y películas; 20, películas y musicales; 10, de
portes y m usicales; y sólo a 6 personas les gustan los tres tipos de programas.
á) ¿Cuántas prefieren ver sólo deportes?
b) ¿Cuántas prefieren ver sólo un programa de televisión?
c) ¿Cuántas prefieren ver películas o musicales?
2. A los niños de una organización civil se les apoya para que hagan deporte. U na encuesta reveló que los deportes
que más les agradan son: natación, fútbol, béisbol, entre otros. Los resultados de la encuesta fueron: 7 sólo prefieren
natación; 28 sólo quieren jugar fútbol; uno sólo quiere practicar béisbol; 30, natación y fútbol; 18, natación y béisbol;
20, fútbol y béisbol; 12, los 3 deportes de mayor preferencia y 20, otros deportes.
á) ¿Cuántos niños quieren béisbol o natación?
b) ¿Cuántos niños prefieren fútbol o béisbol?
c) ¿Cuántos niños fueron encuestados?
d ) ¿Cuántos niños prefieren únicamente 2 deportes?
3. U na em presa concede com o prestación a sus em pleados la asistencia a su club deportivo; en éste hay canchas de
squash, un gim nasio, un boliche y una cafetería, donde se pueden divertir con juegos de m esa o sim plem ente platicar.
A 7 0 personas se les aplicó una encuesta para saber la actividad de esparcim iento de su preferencia y se encontró que:
20 prefieren boliche, 27 e l gimnasio, 24 squash, 8 boliche y gimnasio, 10 squash y boliche, 15 squash y gim nasio y,
por último, 6 prefieren squash, gimnasio y boliche.
á) ¿Cuántas únicamente prefieren jugar boliche?
b) ¿Cuántas únicamente quieren jugar squash?
c) ¿Cuántas personas sólo desean estar en el gimnasio?
d ) ¿Cuántas personas prefieren otras actividades?
é) ¿Cuántas prefieren e l squash o e l boliche?
/ ) ¿Cuántas no quieren boliche o squash?
4. En un superm ercado se hizo una encuesta a 60 personas, para saber qué tipo de bebida alcohólica que esté en oferta
prefieren. L os resultados fueron: 12 com prarían whisky y tequila; 16 vodka y tequila; 14 whisky y vodka; 29 whisky;
30 tequila; 29 vodka y sólo 9 personas las 3 bebidas.
á) ¿Cuántas personas contestaron que otras bebidas?
b) ¿Cuántas prefieren 2 tipos de bebida únicamente?
c) ¿Cuántas quieren a l menos una de las tres bebidas?
d ) ¿Cuántas quieren sólo un tipo de bebida?
5. En una fiesta infantil a los niños se les pidió su opinión acerca del sabor del helado que preferirían comer. L os resul
tados fueron los siguientes: 9 quieren de chocolate, vainilla y fresa; 12 de fresa y vainilla; 13 de chocolate y fresa;
15 de chocolate y vainilla; 18 de fresa; 26 de vainilla; 29 de chocolate y 8 niños prefieren de otros sabores.
á) ¿Cuántos niños había en la fiesta?
b) ¿Cuántos quieren sólo de 2 sabores?
c) ¿Cuántos sólo de un sabor?
d ) ¿Cuántos no quieren de chocolate o fresa?
Vferifica tu s resultados e n la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
2 7

Álgebra de conjuntos
E n e l siguiente cuadro se m uestran diferentes operaciones con conjuntos. Sean los conjuntos U , A , B y C tales que
A c í / , B c í / y C c í / , donde U e s e l conjunto universo.
______________________________________ Operaciones con conjuntos_______________________________________
8. A u A = A
9. A kj A ' = U
10. £/' = <
|>
11. A r U = A
12. -4 n <
J)= <
J)
13. A n A = A
14. A r A ' = (J)
1 C a p í t u l o __________________________________________________________________________________________________________________________
ÁlGEBRA
Asociativas C onm utativas
15. ( A u f l ) u C = A u ( f i u C ) 19. A u f l = f l u A
16. ( A n B ) n C = A n ( f í n C ) 20. A n B = B n A
Distributivas Leyes de D e M organ
17. A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C ) 21. ( A u f i ) ' = A ' n B ’
18. A n ( £ u C ) = ( A n f l ) u ( A n C ) 22. ( A n B ) ' = A ' k j B'
EJEM PLOS----------------------------------------------------------------------------------------------- •
1 • • Aplica las definiciones de las operaciones con conjuntos y dem uestra que:
( A k j B)' = A' r B '
Solución
S i * € ( A u f l ) '
Entonces x e U y x e ( A u f í )
Si * g (A u B), entonces x g A o x e B
S ix g A o x g B, entonces x s A' y x e B'
Entonces x e (A ' n B')
Por tanto, (A u B )' = A ' n fí'
2 • • A plica las definiciones de las operaciones con conjuntos y dem uestra que:
( A r B ) ' = A ' k j B '
Solución
S i * e ( A n f i ) '
E ntoncesx e U y x e ( A n B )
S i x e (A n f í) , entoncesx £ A y x € B
S x x e A y x i B entonces x e A ' o x e B ’
Entonces a:€ ( A ' u B ' )
Por tanto, (A n fi)' = A ’ x j B '
Es más práctico realizar las demostraciones utilizando las leyes y operaciones de conjuntos.
Definición de complemento
Definición de intersección de conjuntos
Definición de unión de conjuntos
Definición de unión de conjuntos
Definición de intersección de conjuntos
1. (A ')' = A
2. <
$
>
' = U
3. A - A = ó
4. A -«J> = A
5. A - B = A r B r
6. A u <
J
>= A
7. A j U = U
2 8

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
3 • • A plica las leyes y dem uestra que ( A n B ) u ( A n B' ) = A.
Solución
(A n B) u (A n B' ) = A n (B u B' ) L ey distributiva (18)
= A r U Operaciones con conjuntos (9)
= A Operaciones con conjuntos (11)
4 • • Aplica las leyes y dem uestra que (A n B) u C = (A u C ) n (B u C).
Solución
( A n B ) u C = C u ( A n B ) L ey conmutativa (19)
= ( C u A ) n ( C u f i ) L ey distributiva (17)
= ( A u C ) n ( f l u C ) L ey conmutativa (19)
5 • • Aplica las leyes y dem uestra que A n (fi n C )' = (A - fi) u (A - C ).
Solución
A n ( B n C Y = A n ( B ' u C ) L ey de De M organ (22)
= (A n fí') u ( A n C ') L ey distributiva (18)
= (A - B) u (A - C) Operaciones con conjuntos (5)
EJE IC IC IO 11
Aplica las leyes y demuestra las siguientes identidades:
1. A - ( f l n C ) = ( A - f l ) u ( A - C )
2. A - ( B u C ) = ( A - B ) n ( A - C )
3. A ' n ( B u C ) ' = ( A u f l u C ) '
4 . ( A n B n C ) ' = A' k j B ' k j C'
5 . ( A u f l ) n A ' = A ' n B
6. A ' - ( A u C ) ' = C - A
7. A u ( B n A ' ) = A u f l
8. A - (A - B)' = A - B
V»rifle a tu s resu ltad o s en la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
Lógica
La lógica se ocupa del razonam iento a partir de las premisas, las cuales son proposiciones que dan la pauta para el
proceso deductivo e inductivo. Analicem os algunos conceptos:
Inferir. Proceso de unir ideas para llegar a conclusiones verdaderas a partir de proposiciones verdaderas.
Proposición lógica. Es un enunciado que se califica com o falso o verdadero, pero no ambos a la vez.
2 9

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Ejemplos
a = “Cuba está en Am érica” Verdadero ( v )
b = “4 es número impar" Falso ( / )
c = “E1 elefante es un ave” ( / )
p = “Los perros ladran" ( v )
q = “ Herm osa tarde” No e s una proposición lógica
Negación. Se obtiene negando o afirm ando e l enunciado y se denota por e l sím bolo (~).
Ejemplo
Sea la proposición:
a = “5 es núm ero primo”
La negación de la proposición es:
~ a = “5 no es núm ero primo"
Tipos de proposiciones
Proposición lógica sim ple. Es aquella que está form ada por un solo enunciado.
Ejemplos
l = “E l delfín e s un mamífero"
r = “4 es núm ero par"
Proposición lógica com puesta. Es aquella que forman 2 o más proposiciones simples unidas por uno o más conectivos
lógicos.
Ejemplos
a = “ 8 es número par y 5 es núm ero primo"
b = “China está en A sia o Colombia está en A m érica"
c = “ Si un volcán está en Perú, entonces está en A m érica”
p = “ 8 es número par si y sólo si es divisible por 2"
Proposiciones compuestas
E n e l siguiente cuadro se m uestran las distintas proposiciones com puestas con su respectivo conectivo lógico y
sím bolo.
Nombre Conectivo lógico Símbolo
Negación No
Disyunción 0 V
Conj unción y A
Implicación entonces =>
Doble implicación Si y sólo si
3 0

Ejemplos
C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
EJEM PLOS----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • Sean las proposiciones:
a = “E1 lu cán es un ave"
b = “E1 león es un mamífero"
La disyunción entre las proposiciones es:
a v = “E l tucán es un ave o el león es un mam ífero"
2 • • Sean las proposiciones:
p = “4 es número par"
q = “4 es número natural".
La conjunción entre las proposiciones es:
p a q = “4 es número par y e s núm ero natural’
3 • • ' Sean las proposiciones:
p = “ x <&, x <=Z"
p a q = “2 es divisor de 6 y es primo”
p v q = “8 es número impar o e s compuesto’
La negación entre las proposiciones es:
~ p = “x * 8 , * g Z ” o “* > 8 , a:€ Z ”
~ ( p a q) = “No es verdad que 2 es divisor de 6 y es primo”
“ ( P v «?)= “ No es verdad que 8 es núm ero impar o es com puesto’
p = “30 e s m últiplo de 10”
q = “30 es m últiplo de 5”
La implicación entre las proposiciones es:
p ^ q = “S i 30 es múltiplo de 10, entonces es m últiplo de 5”
p - “China está en Asia”
q = “C uba está en A m érica’
La doble implicación entre las proposiciones es:
p o q = “C hina está en A sia si y sólo si C uba está en Am érica’
3 1

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJERCICIO 12
Sean las siguientes proposiciones:
p = “España está en Europa"
q = “Japón está en Asia”
Escribe las siguientes proposiciones:
1. p A q
2. p v q
3. - p
4. - q
5. p = > q
8. p v ~ q
9. ~ ( p v q )
10. ~ {p a q)
6. p <=>q
7. - p A q
tarifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
La representación de una proposición sim ple o com puesta se ilustra con los siguientes ejem plos:
Ejemplos
Sean los siguientes enunciados:
p = “9 es múltiplo de 3"
q = “5 es divisor de 10”
Escribe en forma sim bólica los siguientes enunciados:
1. 9 e s múltiplo de 3 y 5 e s divisor de 10
Sean las siguientes proposiciones:
a = “ La guacam aya es un ave"
b = “A Luis le gusta escuchar a los Rolling Stones”
Escribe en forma simbólica los siguientes enunciados:
1. L a guacam aya es un ave y a Luis le gusta escuchar a los Rolling Stones
2. L a guacam aya es un ave y a Luis no le gusta escuchar a los Rolling Stones
3. L a guacam aya no e s un ave o a Luis no le gusta escuchar a los Rolling Stones
4. A Luis le gusta escuchar a los Rolling Stones o la guacam aya es un ave
5. L a guacam aya no e s un ave y a Luis le gusta escuchar a los Rolling Stones
6. N o es verdad que la guacam aya e s un ave y que a Luis le gusta escuchar a los Rolling Stones
tarifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
EJERCICIO 13
3 2

so|d
uia
¡3 C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Leyes de De M organ
La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones de sus proposiciones.
~ ( p v q ) = ~ p q
La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones de sus proposiciones.
~ ( p v q ) = ~ p v ~ q
EJEM PLOS----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • N iega la siguiente proposición:
a = “4 es número par o Japón está en Asia”
Solución
- a = “4 no es número par y Japón no está en A sia"
2 • • Niega la proposición:
b = “L a guacam aya es un ave y e l delfín es un mamífero"
Solución
~ b = “L a guacam aya no es un ave o el delfín no es un mamífero"
3 •• Niega la proposición:
c = “El león e s un mam ífero y e l tiburón no es un pez"
Solución
~ c = “E1 león no es un mam ífero o e l tiburón e s un pez”
EJERCICIO 14
Niega las siguientes proposiciones compuestas:
1. a = “España está en Europa o 6 es número par"
2. b = “Los perros ladran y 12 es m últiplo de 3"
3. c = “5 es un número par y no e s m últiplo de 15"
4. d = “7 no e s primo o es divisor de 21”
5. e = “6 no e s número impar y el tucán no es un ave”
Vitrifica tu s resultados e n la sección d e soluciones co rresp o n d ien te ■
Proposiciones condicionales
Conversa de la implicación. Si p =* q, la conversa se define com o q =* p.
Ejemplo
B illar la conversa de la proposición:
p = * q = “S i un volcán está en Perú, entonces está en Am érica”
Solución
La conversa de la proposición es:
q=> p = “ Si un volcán está en A m érica, entonces está en Perú*
3 3

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Contrapositiva de una implicación. Si p =ó q, la contrapositiva se define com o - q ^ - p .
Ejemplo
Determ ina la contrapositiva de la proposición:
p=> q = “ Si un volcán está en Perú, entonces está en A m érica”
Solución
La contrapositiva de la proposición es:
~ q = > ~p = “ Si un volcán no está en Am érica, entonces no está en Perú*
Inversa de una implicación. Si p = * q , la inversa se define com o ~ p = * ~ q .
Ejemplo
Determ ina la inversa de la proposición:
p=> q = “ Si 8 es múltiplo de 4, entonces e s múltiplo de 2"
Solución
La inversa de la proposición es:
- p ^ - q = “Si 8 no e s múltiplo de 4, entonces no e s múltiplo de 2 ”
EJERCICIO 15
Determina la conversa, contrapositiva e inversa de las siguientes implicaciones:
1. p = * q = “Si 3 es divisor de 6, entonces no es par”
2. p = * q = “ Si Ares múltiplo de 5, entonces es divisor de 25”
3. p ^ q = “ Si un triángulo es un polígono, entonces no es un cuadrilátero*’
4. p=> q = “ Si M arte no es un planeta, entonces la Luna es un satélite"
5. p = * q = “Si 17 e s un núm ero primo, entonces no es múltiplo de 50”
Vb riflea tu s resu ltad o s e n la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
Relación de proposiciones abiertas con conjuntos
Proposición abierta. Es aquélla en la que el sujeto es una variable. Toda proposición abierta representa un conjunto,
que recibe el nombre de conjunto solución de la proposición.
Ejemplo
Encuentra y representa en un diagrama de Venn e l conjunto solución de la proposición:
p = “a:es un núm ero par menor que 10"; x e N
Solución
C onjunto solución:
P = [ 2, 4, 6 , 8 }
Diagram a de Venn
3 4

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
Conjunción. La conjunción se relaciona con la intersección de conjuntos.
Ejemplo
Determina y representa en un diagram a de Venn e l conjunto solución de la proposición:
p = “x e s primo y x < 7 ’; x e N
Solución
La proposición se representa de la siguiente forma:
P = { 2, 3 ,5 , 7, 11, 13, 17 . . . } n { 1, 2, 3,4, 5, 6 , 7 }
Por tanto, el conjunto solución es:
P = { 2, 3, 5 , 7 }
Diagram a de Venn
Disyunción. La disyunción se relaciona con la unión de conjuntos.
Ejemplo
Encuentra y representa en un diagram a de Venn e l conjunto solución de la proposición:
q = “x e s par menor que 10 o x < 6” ; x e N
Solución
La proposición se representa de la siguiente forma:
0 = { 2 , 4 , 6 , 8 } u { 1,2, 3, 4, 5 }
El conjunto solución es:
Q = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 }
Diagram a de Venn
Negación. La negación se relaciona con el com plem ento de un conjunto.
EJEM PLOS----------------------------------------------------------------------------------------------- •
-q_ 1 • • ¿Cuál es el conjunto solución y el diagram a de Venn de cada una de las siguientes proposiciones?
a = “* e s un dígito par” - a = “x no e s un dígito par"
U J
Solución
El conjunto solución de la proposición a , es: A = { 0, 2,4, 6, 8 }
(icontinúa)
3 5

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
Diagram a de Venn
EJ conjunto solución de la proposición ~ a, es: A ' = { 1, 3 ,5 , 1 , 9 }
Diagram a de Venn
2 • •-¿ C u á l es e l conjunto solución de la negación de la siguiente proposición?
a = “Ares primo menor que 15 o Ares divisor de 15” ; x e N
Solución
A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13 } u { 1 , 3 ,5 , 15}
A = { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 13, 15}
- a = “x no e s primo menor que 15 y * no e s divisor de 15"
A '= { 4 , 6, 8,9, 10, 12, 14,... }
Diagram a de Venn
3 •• ¿C uál ese l conjunto solución de la negación de la siguiente proposición?
b = “A
resdivisor de 6 y Ares par m enor que 10” ; x e N
Solución
B = { 1, 2, 3, 6 } n { 2, 4, 6, 8 }
B = ( 2 , 6 }
3 6

C a p ít u lo f
Conjuntos y lógica
~¿> = “x n o e s divisor de 6 o .r no e s par menor que 10" x s N
A' = { 1,3, 4, 5 ,7 , 8 , 9 , . . . }
Diagram a de Venn
N
Ék 4
3 m
i 'V 8
Implicación. L a implicación se relaciona con el subconjunto de un conjunto.
Ejemplo
Representa en un diagram a de Venn la siguiente proposición:
« = “si un anim al e s un delfín, entonces es un mamífero"
Solución
EJERCICIO 16
• Determina el conjunto solución y diagrama de Venn d e las siguientes proposiciones:
I 1. a = “xes p a r y * < 0 " x e N
• 2. b = ‘tre s par menor que 12 y x < 5”;x e N
I 3. c = “x es múltiplo de 3 o x < 8 " ; a: € N
[ 4. d = “Ares primo m enor que 11 o * e s par menor que 10”; x e N
Representa en un diagrama de Venn las siguientes implicaciones:
• 5. e = “ Si un ciudadano es duranguense, entonces es mexicano"
1 6. / = “ Si un número real es primo, entonces es entero"
3 7

C a p í t u l o
ÁLGEBRA
En las siguientes proposiciones determina la negación y represéntala en un diagrama de Venn.
7. g = “x< T'-,x< = N
8. h = “x e s p a ro x < V ' - , x e N
9. i= “* > 4 y x es par" ; x e N
10. j = “x < 5 y x e s primo” ;x e N
Vitrifica tu s resu ltad o s a n la sac d ó n d e soluciones co rresp o n d ien te ^
Cálculo proposicional
C uando una proposición se construye a partir de otras proposiciones, mediante conectivos lógicos, el valor de verdad
lo determ inan los valores de verdad de las proposiciones originales.
Dadas las proposiciones p y q, los valores de verdad de las proposiciones p v q, p a q, p => q, p <=>q y ~ p ,o s
determ inan los valores de verdad de p y q.
El número de valores de verdad está dado por 2" donde n representa e l núm ero de proposiciones,
fóra verificar e l valor de verdad de una proposición com puesta se utilizan las siguientes tablas.
Tabla de verdad para la disyunción Tabla de verdad para la conjunción
L a disyunción es verdadera, si una L a conjunción es verdadera, si las dos proposiciones
o las dos proposiciones z son verdaderas. son verdaderas.
p
p v q
V V V
V
/ V
/ V V
/ / f
Tabla de verdad para la im plicación
La implicación es falsa, si la primera proposición
es verdadera y la segunda es falsa.
p
p = > q
V V V
V
/ i
/
V V
/ /
V
p <1
p ^ q
V V V
V
/ f
/
V
f
/ / f
Tabla de verdad para la doble im plicación
L a doble implicación es verdadera, si las dos
proposiciones son verdaderas o las dos son falsas.
P <
1 p ^ q
V V v
V
/ f
/ V
f
/ / V
Tabla de verdad para la negación
E n la negación de una proposición, su valor
de verdad es e l contrario del original.
p
V
/
/ v
v = Verdadero
/ = Falso
3 8

s
o
jd
u
ia
jg
EJEM PLOS----------------------------------------------------------------------------------------------- •
• • Construye una tabla de verdad y determ ina e l valor de verdad de la siguiente proposición:
a = “ 3 es divisor de 15 o 3 es múltiplo de 2”
Solución
Se hallan los valores de verdad de las proposiciones:
p = “ 3 e s divisor de 15” v
q = “ 3 es múltiplo de 2” /
Se construye la tabla de verdad para la disyunción ya que el conectivo lógico es “o".
p 9 p v q
V
/ V
Finalmente, el valor de verdad para la proposición “a” es verdadero ( v ).
2 ••■ D eterm ina e l valor de verdad de la siguiente proposición:
b = “ 15 no e s múltiplo de 3 y 3 es primo"
Solución
Se determ inan los valores de verdad de las proposiciones:
p = “ 15 no e s múltiplo de 3" /
= “3 es primo" v
Se construye la tabla de verdad para la conjunción:
P A q
Finalmente, el valor de verdad para la proposición es falso ( / ) .
3 • • Encuentra e l valor de verdad de la siguiente proposición:
c = “Si 2 es número par, entonces 4 es divisor de 10"
Solución
Se determ inan los valores de verdad de las proposiciones:
p = “2 es número par" v
q = “4 es divisor de 10” /
Se construye la tabla de verdad para la implicación:
P <
1 p = * q
V
f f
Por consiguiente, el valor de verdad para la proposición es falso ( / ) .
C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógico
3 9

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
EJERCICIO 17
Indica el valor d e verdad de las siguientes proposiciones:
1. a = “4 e s número par y 5 es múltiplo de 2”
2. b = “L a víbora no es un reptil o e l canario es un pez”
3. c = “ Si 21 es múltiplo de 7, entonces 21 es múltiplo de 2”
4. d = “La guacam aya es un pez si y sólo si el tiburón es un ave”
5. e = “Si e l oro es un metal, entonces es un buen conductor de la electricidad”
6. b = “3 e s divisor de 18 o 18 es múltiplo de 24"
Verifica tu s resu ltad o s e n la sección d e soluciones co rresp o n d ien te
Construcción de las tablas de verdad
Una tabla de verdad se construye paso a paso, a l establecer los valores correspondientes de cada suboperación invo
lucrada, hasta llegar a la expresión dada.
Después de construir una tabla de verdad, e l resultado puede ser una tautología, una contradicción o una contin
gencia. Analicem os estos conceptos:
Tautología. Proposición com puesta en la que todas las combinaciones de valores son verdaderas.
C ontradicción. Proposición com puesta en la cual todas las combinaciones de valores son falsas.
Contingencia. Proposición com puesta en donde las combinaciones de valores son verdaderas y falsas.
EJEMPLOS
• • Construye la tabla de verdad para p a ~ q y realiza una conclusión.
.1 . Solución
iu
El núm ero de proposiciones es 2, por tanto, el número de valores de verdad es 2" = 2? = 4 , e l resultado indica el número
de renglones de la tabla.
Primero se determ ina la negación de la proposición q. Finalmente la conjunción se realiza tom ando la proposición
p y la negación de q antes obtenida.
p q ~ q P A ~ q
V V
f f
V
/ V v
/ V
/ /
/ / V
/
Se concluye que la tabla de valores de verdad es una contingencia.
4 0

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
2 • • 'Construye y da una conclusión de la tabla de verdad para (p a q) => (p v q).
Solución
Primero se encuentra la conjunción de p y q, después se determ ina la disyunción de p y q.
Por ultim óse realiza la implicación de la conjunción y la disyunción antes obtenida.
p 4 P A i p w q ( / > A ? ) = 5 ( p v q)
V V V V V
V / / V V
/ V / V V
/ / / / V
Se concluye que la tabla de verdad construida es una tautología.
3 ••■ R ealiza una tabla de verdad y verifica si la siguiente proposición (p a q) a ~ p es una contradicción.
Solución
Primero se realiza la conjunción de las proposiciones p y q, simultáneamente se niega la proposición q, finalmente se
determina la conjunción de los valores de la primera conjunción con la negación de p .
p p A q ~ p ( p a q) a —p
V V V f f
V / / f f
/ V / V f
/ / / V f
La proposición resultó falsa para todos los valores, por consiguiente, es una contradicción.
4 • • Construye la tabla de verdad para p v ( q a r).
Solución
E l número de proposiciones es 3, por tanto, el número de valores d e verdad es 2" = 2 3 = 8, el resultado indica el número
efe renglones de la tabla.
Prim ero se encuentran los valores de verdad de la conjunción de las proposiciones q y r, finalmente se determ ina
la disyunción de la proposición p con la conjunción antes determ inada.
p 4 r q A r p w { q A r )
V V V V v
V V / / V
V / V / V
V / / / V
/ V V V V
/ V / / /
/ / V / /
/ / / / /
Finalmente, la tabla indica que se trata de una contingencia.
4 1

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
5 ••■ C onstruye la tabla de verdad para ~ p v ~ q .
Solución
p - p ~ q ~ p w - q
V V f f f
V / f V v
/ V V / V
/ / V V V
Los valores de verdad de la tabla indican que es una contingencia.
6 • • ‘Construye la tabla de verdad para ~ p v ~ - ( ~ p v q ) .
Solución
p - p ~ p v q ~ ( ~ p v q ) ~~p v*~(~-p v q)
V V f V f f
V / f / V v
/ V V V / V
/ / V V / V
La tabla es una contingencia.
7 • • Verifica si la siguiente proposición e s tautología
Solución
p «
? ~ p p v q ) p v ( - p v ^ )
V V f V V
V / f / V
/ V V V V
/ / V V V
La proposición resultó verdadera para todos los valores, por tanto, es tautología.
8 • • Verifica si la siguiente proposición e s tautología ( p a q) =* ( p <
=
>q).
Solución
p p A q p * * q (p A q) =* (p «=> q)
V V V V V
V / / / V
/ V f ....... ¿ ........ V
/ / f
V V
La proposición resultó verdadera para todos los valores, por consiguiente, es tautología.
4 2

C a p í t u l o 1
Conjuntos y lógica
9 • • -Construye la tabla de verdad para - ( p a q) v ~ (q <=>p).
Solución
p 4 P a q q<*p “ (P a q) ~ ( < ? « p ) ~ ( p A $ ) V ~ ( 4 « = > p )
V V V V f / /
V / / / V V V
/ V / / V V V
/ / / V V / V
La tabla es una contingencia.
EJERCICIO 18
Construye la tabla de verdad para cada una d e las siguientes proposiciones:
1 . p v - q
2. P A - q
3. ~ p = > ~ q
4. ~ ( p v q ) = > ~ q
5. ( p * q ) < * ( p v q )
6. ( p v q ) A ~ ( p = > q )
7. (p = * q ) v (q = > p )
8. ( P A ( p = * q ) ) = > p
9. (~ p A ~ q ) = * ~ ( p v q )
10. ( p v q ) A ( p v r )
1 1 . ~ p v ( ~ q <
=
>r)
Vitrifica tu s resultados an la sacción d a solucionas co rresp o n d ian ta
Producto cartesiano de conjuntos
Dados 2 conjuntos A y B no vacíos, e l producto cartesiano e s el conjunto (A x B ) que contiene a todas las parejas
ordenadas, cuyo primer elem ento pertenece a l conjunto A y su segundo elem ento pertenece a l conjunto B.
A x B = {(a ,b ) a e A y b e B )
EJEM PLOS
1 • • Si A = {1, 2} y f l = {jc,y}, determ ina A x B .
aL Solución
u
Se asocia a cada uno de los elem entos del primer conjunto, con todos los elem entos del segundo conjunto:
A x B = {(1,x (1 ,y l (2 ,x (2 ,y)}
(icontinúa)
4 3

1 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
(continuación)
Representación gráfica:
a: -------
— '----------------- ►
1 2 A
La representación gráfica tam bién se conoce com o diagram a sagital.
2 • •■ S i A = { 1, 2 }y fl= {2, 3, 4 }y C = {3, 4, 6 }, halla ( A u B ) x ( B n C )
Solución
Se halla e l conjunto solución de las operaciones indicadas y posteriormente se realiza el producto cartesiano:
A u fí= { 1,2,3,4 }
B n C = { 3 ,4 }
( A u B ) x ( B n C ) = { ( 1 ,3 ) , ( 1 ,4 ) ,( 2 ,3 ) ,( 2 ,4 ) ,( 3 ,3 ) , ( 3 ,4 ) , ( 4 ,3 ) , ( 4 ,4 ) }
3 • •■ S i A/ = [ a , b , c ) , N = [ 1 , 2 , 3 } y Q = { x, y }, encuentra M x N x Q
Solución
E l producto cartesiano M x N x Q s e define como:
M x N x Q = { (m, n, q) Im s M , n e N y q e Q }
Entonces:
( a 1, x ) , ( a , l y ), ( a, Z x ), (a , 2, y ), (a, 3 * ) , (a, y )
M x W x e H ( A U ) , ( * . i , y ) , { b , 2, x ) , ( b , 2, y ) , ( b , 2 x ) , ( b , 3» y )
( g 1,x ) , (c , l ,y ) ,( G % x ), (c , 2 y ) , (c , 3 ,x ) , (c, i y )
EJERCICIO 19
Cfedos b s siguientes conjuntos:
A = {1 ,2 , 3 } , f l = {2 , 4 } y C = {3 ,5 , 6 }
Realiza b s siguientes productos cartesianos y verifica que el resultado del inciso 6 e s igual al obtenido en el inciso 7:
1. A x B 6. A x ( B x C )
2. A x C 7 . ( A x B ) x C
3. B x C 8. ( A u B ) x ( A n C )
4. B x A 9. ( A - B ) x C
5. C x B 10. ( A - C ) x ( A n C )
Verifica tu s resu ltad o s en la sac d ó n d e soluciones co rresp o n d ien te
4 4

_____________ C apítulo 2
C o n c e p t o s b á s ic o s de álg ebra
H
0
»C
1
<2
STÓRICA
^aJltrXOPWMU
al-Khwarizm i
M
atemático árabe, conocido como el
padre del álgebra.
Sus obras incursionan en las ramas de las ma
temáticas, astrología, astronomía, geografía e
historia. Una de sus obras importantes por su
contenido algebraico es la que lleva por título
Hisab al-gabr wa'lmuqqabala, considerada uno de los primeros libros de
álgebra.
Es el autor de uno de los métodos geométricos más antiguos para resolver
ecuaciones de segundo grado, el cual se conoce como completar cuadrado.
En las ecuaciones llamaba "cosa" (xay en castellano) a la incógnita, a él
se debe que se utilice la letra "x" para representarla.
SeIb ruso dedicado a al-Khwarizmi
(780-850 d.C.)

2 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
Álgebra
Rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general.
Expresiones algebraicas
Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades,
mediante operaciones de sum a, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.
Ejemplos
3a + 2b - 5, en esta expresión son constantes 3, 2, - 5 y las variables son a y b.
(z2 + 8)(5z4- 7 ) , en esta expresión son constantes 8, 5 y - 7, variable “z” y 2, 4 exponentes.
Térm ino algebraico. Es un sum ando de una expresión algebraica y representa una cantidad. A todo térm ino algebraico
se le denom ina m onom io y consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s).
Ejemplos
Término Coeficiente Base(s) Exponente(s)
- 8 / - 8 y 3
5 IB"'
1
3
m , n 1,*
| ( 2 , + ir
3
4
2 x + 1 - 2
Términos sem ejantes. Dos o más términos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.
Ejemplos
L os siguientes térm inos tienen las m ism as bases con su s respectivos exponentes iguales, por lo consiguiente son
sem ejantes.
- I b con 4 b - 8¿ y 1con l x 2
y l abe2con abe2
6
Reducción de términos semejantes
Para sim plificar expresiones que involucren términos sem ejantes, se sum an o restan los coeficientes.
E JEM PLO S------------------------------------------------------------------------------------•
■§. 1 § • Simplifica la expresión - l a + 3a.
.1. Solución
UJ
Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación que da com o resultado:
- l a + 3a = ( - 7 + 3 )a = - 4 a
2 ••-¿ C u á l es e l resultado de simplificar la expresión -6 x y 2 + 9xy* - xy22
Solución
Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación para obtener e l resultado:
- 6 x y 2+ 9xy2 - x y 2 = ( - 6 + 9 - )xy2= 2xy2
Por consiguiente, e l resultado de la simplificación es: 2xy2
4 6

_________________ C a p í t u l o 2
Conceptos básicos de álgebra
3 • • Reduce la expresión - lQ r 20y b +5*2
0/ - 6**“/ + 1Lr2
0y".
Solución
Se efectúa e l mismo procedimiento que en los ejem plos anteriores y se obtiene:
- 0 x 2ay b + 5 x 2ay b - 6 x 2ay b + 1 1x2ayb = (-1 0 + 5 - 6 + 11 )x 2ay b = 0x 2ay b = 0
El resultado es igual a 0
4 • • Simplifica la expresión I x - 3 y +4z - 12x + 5y + 2 z - 8y - 3z.
Solución
Se agrupan los términos sem ejantes:
7 jc -3 y + 4 z - 12r + 5y + 2 z - 8 y - 3 z = 7 jc - 2 x - 3y + 5 y - 8 y + 4 z + 2 z - 3z
Se realiza la reducción:
= (7 - 2 )x + ( - 3 + 5 - 8)y + (4 + 2 - 3)z
= - 5* - 6y + 3z
Por tanto, el resultado es: - 5x - 6 y + 3z
5 • • Simplifica O S a 'b -la b * - S a 'b + OJSab* - ^ a ' b .
Solución
Se expresan los decim ales en fracciones, se agrupan y sim plifican los térm inos sem ejantes.
0 5 a 3b - 3 a b s - S a’fc+ 0 .7 5ab3 ~ ^ -a 3b = ]-a 3b - 3 a b 3- 5a*¿>+ ^ ab3 ~ ^ a 3b
D A 4 3
= ^ a 3b - 5 a ib - ^ a ib - 3 a b 3 + ^ a b i
31 9 i
Entonces, el resultado es: — —a b - —ab'
6 4
EJERCICIO 2 0
• Simplifica:
! 1. 3 r - 8*
2. 6a2b + la 2b
3. - 6xy2 - x y 2 - 3xy2
I 4. 4 x f i - 4 x f i
: 5. - U b + l 't f b
6. - 3ú + 5a - 10a
I 7. 4 x - 3 * - 2 *
1 8. 7 a b + 4 a b -3 a b
4 7

E
je
m
p
lo
s
2 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
9. So1- 7a2 + 3o1- 2 a 2
10. - m + n + m + n
11. a 3
b - j a 3b + ^ a 3b
4 5 6
12. - 3a**1+ 2<f+l- a * x+ 2a*+l
13. 0.25¿>-0.4¿> + 0.2¿>
14. ^ a b 3c ~ ^ ° b 3c - ab 3c
15. 4/n’"2 - lOm*-2 + 3nf~2
16. 8 * - 3 y - 9 * + 5 y - 2 r + y
17. 1 0 a -7 ¿ > + 4 a + 5 ¿ -1 4 a + 3 ¿ >
18. - 12tfi + 3 n - 4 m - 0 n + 5 m - n
19. la 2b + 3ab2 -& a 2b - 0 a b 2 - 3 a 2b + 6ab2
20. 9¿ ? c - SJbc* - 12oV c + 3a 2bc2+ 4 o V c
21. - 3 jt2 + 2y2 - 7 + 1 0 ^ - 1 2 / + 1 5
22. -8 1 m 2- 7 m n + 15«2 + 20m2 + 3m« - 17/i2+ 5 3 m 2 +18mw + 7/i2
23. j?**1- ' Sx3a~2 - 4¿°~2 + 8 / ° ” + l l x 3^ 2
24. - 3 c T 5+ lfo T 2 + 2 ^ 5 - 3 ^ 2 - 8c T 5
25. -.^-a 2 - a b + ) - a 2 + 5ab-?> a2- ) - a b
4 2 2 2
26. - — b m~
2 + - j í" - 1- - b m~
2 - 4 x m~l
3 10 2 4
27. 0.5 * - 2 .5 y + 0.4a:
Verifica tu s resultados en la sección de soluciones co rresp o n d ien te
Valor numérico
E l valor num érico de una expresión algebraica se obtiene a l sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores
numéricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.
E JE M P L O S----------------------------------------------------------------------------------- •
1 • • Determ ina e l valor numérico de la expresión: x 4
y V si x = 4, y = 3, z =
Solución
Se sustituyen los respectivos valores de x, y, z y se efectúan las operaciones indicadas para obtener e l valor numérico
de la expresión:
A V = ( 4 ) W ( 0 = ( 2 5 6 )( 9 ) ( ¿ ) = ^ ± = 288
Entonces, el resultado es: 288
4 8

_________________ C a p í t u l o 2
2 • • ¿Cuál es el valor numérico de ^ + x = ^ y = ~¡'í
Solución
A l seguir los pasos del ejem plo anterior, se obtiene:
5 ^ 2« y 5(2)¡ 2(2)U J 4 = 5W _ 4 . 4
3 5 3x 3 5 3(2) 3 5 6
= 25 _ i + ±
3 5 24
_ 800 - 24 + 5 781
781
Por tanto, el valor numérico de la expresión es igual a:
120 120
781
120
3 • • ■Encuentra e l valor numérico de 3rtt2 - 2m n +n2
p si m = - 3, n = 4, p = - 5.
Solución
Se sustituyen los respectivos valores en la expresión y se realizan las operaciones:
3m2- 2mn + n2
p = 3 (- 3)2- 2( - 3)(4) + (4)2( - 5)
= 3(9) - 2 (- 3)(4) + ( 16)(- 5)
= 27 + 2 4 - 8 0
= - 2 9
Por consiguiente, el valor numérico es: -29
EJE ÍC IC IO 21
Encuentra el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones si:
m = - 2 , n = 3, p = I , x = I , y = 10,z = ^
4 3 2
1. 2m + « lS . Ü Z L . H l l
2 m + n ) ti m
l m ~ n * y . i v w . 9.
3. Sp + 3x 2 n z x
n
5. 5 m -2 « + 3 y
. 2z + 6x 12. m2-3 m n + rí2 20. — - p " + z "
4. 32
13. —- - + 3 21. ( m - n ) ( p - x )
x z
6■ X * Z ~ P 14. 22. ( ó x - l p X l m 2- ^
3x + 4 z - 9 2 3 4
7- ñ 15. 23.
z X m z p
8. + m + , 6 2 | l _ 8 | l + 3 24. 3 ( p - * ) '
9. J ? ! _ £ ± í 17. 2 r P - f - ^ 25. ^ + & 3 ^
Vitrifica tu s resultados en la sección de soluciones co rresp o n d ien te ■
49

2 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
L enguaje algebraico
m
7 + 7
f - q
2 x + 5
x
x - 1
d
2
y*
¿>+c
2
| ( * - 5 ) = 1 2
* jr+ l,x + 2
1200 - tv
b2 + 7
| p + ^ ( p + i) = 3
¡ a -b
x ( x - ) = ?>
0
x 3 + 3x2
EJERCICIO 2 2
• Expresa en lenguaje algebraico las siguientes oraciones:
1.Un núm ero dism inuido en tres.
l 2. E l triple de un núm ero excedido en ocho.
3. El cociente de dos números cualesquiera.
4. L a parte mayor de 100 si la parte menor e s x.
5. Dos números enteros consecutivos.
6. Tres números enteros pares consecutivos.
I 7. El cuadrado de la sum a de dos números cualesquiera.
•
• 8. L a sum a de los cuadrados de dos números cualesquiera.
! 9. E l recíproco de un número.
•
* 10. L a raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera.
11. L a sum a de las raíces cuadradas de dos números cualesquiera.
Lenguaje algebraico
Expresa oraciones de lenguaje com ún en términos algebraicos.
Ejemplos
Expresa las siguientes oraciones del lenguaje com ún a l lenguaje algebraico.
L enguaje com ún
1. Un número cualquiera.
z Un número cualquiera aum entado en siete.
3. La diferencia de dos números cualesquiera.
4. E l doble de un núm ero excedido en cinco.
5. La división de un número entero entre su antecesor.
6. La mitad de un número.
7. El cuadrado de un número.
a La sem isum a de dos números.
9. Las dos terceras partes de un núm ero dism inuido en cinco es igual a 12.
10. Tres números naturales consecutivos.
11. L a parte mayor de 1200, si la menor e s w.
12. El cuadrado de un núm ero aum entado en siete.
13. Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a 3.
14. La raíz cuadrada de la diferencia de dos cantidades.
15. E l producto de un número positivo con su antecesor equivale a 30.
16. E l cubo de un número más e l triple del cuadrado de dicho número.
5 0

_________________ C a p í t u l o 2
12. Diez unidades menos que cinco veces un número.
13. L a sexta parte de la sum a de dos números.
14. L a sum a de tres números pares consecutivos es igual al tripledel menor,máslastres cuartas partes del mayor.
15. Un núm ero de dos cifras, cuyo dígito de las decenas es e l doble del delasunidades.
16. L a cuarta parte del producto de tres números cualesquiera menos 4.
17. E l cuadrado de la sum a de dos números es igual a 49.
18. E l área de un cuadrado de lado x unidades.
19. E l perím etro de un rectángulo, si se sabe que e l largo es tres veces su ancho.
20. E l perím etro de un triángulo rectángulo, si se sabe que el cateto m ayor mide tresunidadesmás que el cateto menor
y que la hipotenusa e s dos unidades mayor que el cateto mayor.
21. E l precio de un artículo dism inuido en su 15%.
22. E l exceso de 50 sobre el doble de un número.
23. Dos números cuya sum a sea 80.
24. Tres números impares consecutivos.
25. E l área de un rectángulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que el triple de su ancho.
26. L a edad de una persona hace 10 años.
27. E l exceso del cubo de un número sobre la mitad del mismo.
28. Los ángulos de un triángulo, si e l primero es e l doble del segundo.
29. L a cantidad de alcohol en un recipiente de x litros de una m ezcla si la concentración dealcohol es 30%.
30. L a edad de A lberto si tiene cuatro años más que e l doble de la edad de Patricia.
31. Las dos terceras partes de un número, más e l triple de su consecutivo, menos su recíproco equivale a 10.
32. E l doble de un número equivale al triple de su antecesor excedido en siete.
Verifica tu s resu ltad o s e n la sacción d a solucionas co rresp o n d ien te
Ebda una expresión algebraica, se representa en lenguaje com ún de la siguiente manera:
EJEM PLOS
• • Representa en lenguaje común la expresión: 3x - 8.
Solución
Primero se expresa la multiplicación y posteriormente la diferencia.
3x - 8 = e l triple de un núm ero dism inuido en ocho
2 • • •Expresa 2 x + x 2en lenguaje com ún.
Solución
La expresión queda de la siguiente manera:
2 x + X2= la sum a del doble de un número y su cuadrado
O tra forma de representar en lenguaje com ún la misma expresión es:
2x + x 2= doble de un número aumentado en su cuadrado.
5 1

2 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
2 4
3 ••'Expresaen lenguajecomún -* - l =—.
Solución
Una manera de la expresión en lenguaje com ún es:
Dos novenos de un número dism inuido en la unidad equivalen a cuatro tercios.
EJE IC IC IO 2 3
Cambia las siguientes expresiones algebraicas a lenguaje común:
1. x + 3 10. 3 y - 2 = 25
2. 2 a -11 11. -z+2=z
4
3. 3a2 12. - j ( .r - y ) + 3 = A :+ y
6
4. - a 13. í = -!■ (*-y)
6 y 5 '
5 . - 1 4 .x 2- y 2
X
6. (a + b y 15. x 2- 2 x
7. * 3 + y 3
8. - 7 7 17.
c+ 1 a - b
9. 5 * = 30 18. x 2+ (¿ + l ) 2
Vsrifica tu s resu ltad o s e n la sec d ó n de soluciones co rresp o n d ien te
Polinom ios
Expresión algebraica que consta de varios términos algebraicos.
Suma
E n la sum a los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos sem ejantes.
EJEM PLOS
1 • • Suma los siguientes polinomios: 5a3 - 3 a2 - 6x - 4; - 8 a3 + 2 a2 - 3; 7 a 2 - 9x +1.
Solución
Los polinomios se escriben de la siguiente forma y se realiza la reducción de términos sem ejantes:
(5a:3 - 3 a2 - 6a: - 4) + ( - 8a3 + 2a2 - 3 ) + (Jx2 - 9a + l) = - 3 t 3+ 6 x 2 - 15a - 6
Por tanto, el resultado es: - 3 r3 + 6a2- 15* - 6
52

_________________ C a p í t u l o 2
2 • •■
Efectúa la siguiente operación: (2x - l y - 3z +6)+(- 9 x +4z) +(- x + 4 y +z - 8).
Solución
Con un fin más práctico, se ordenan los polinomios haciendo coincidir los términos semejantes en colum nas; asimismo,
s reducen los coeficientes térm ino a térm ino.
2 r - 7y - 3z + 6
+ - 9 c + 4 z
- x + 4y + z - 8
- 8c - 3y + 2z - 2
El resultado de la sum a es: - 8 r - 3y + 2z - 2
3 • • Realiza lasiguiente operación: + í ) ‘
Solución
Se acom odan en forma vertical los términos semejantes y se realiza la operación colum na por colum na:
W ’ - s
Por consiguiente, el resultado es: Zcfl+I - ^ y *
EJERCICIO 2 4
• Realiza b siguiente:
! 1. Suma los polinomios 3 x - 8 y - 2 z ; 7 x + 3y + z
• 2. ¿Cuál es la sum a de - 5m - 3w + 6 con 7m + 2 n - 8?
3. Realiza (1 la - b + c) + ( - 8a - c)
4. Efectúa (3p - 5 q - 6r) + (2p + 3q - 2r) + ( - 12p + 4q + r)
• 5. Suma 6*2 + 3 * - 2 c o n - . ^ + 7 * + 4
6. (8a2 - 6a3 + 4a) + (4a + O1- 4 a - 5 )
I 7. (5*4- 3 / + 6 c - 3 ) + ( - 3 x 4 +jr3 + 5.r2 -7 jc + 3)
• 8. Realiza (5.C2 - 5 a: + 6) + (Zc2 - 7* + 4 ) + ( - 6c2 + 10c - 10)
I 9. Sum ay3- y ; 2 y 2- 5 y + 7 ;4 y J - 5 y 2+ 3 y - 8
•
! 10. ¿Cuál es el resultado de sum ar 8Z3- 9; - 4z3 + 2z2 + 6; 5z2 - 2z3 - 7z + 2?
• 11. Efectúa la sum a de 4 ¿ - 10^y - 12y2; 3 / - 10*2 + 5x y % x y - 3 ¿ - 2y2
I 12. Realiza Ce5- 3 x ) + (x* + 6 / ) + ( - / - 2)
* 13. ¿Cuál es el resultado de la sum a de - 15x?y - 3x*y* - ó ty 5; - 8 / y + 2 x f - 4 c /?
14. Suma / - y 4; - / y + / y 2 - Ay3; 3x4 + 5 / y - 4c2/ ; - 4 c 3y + 3 / y 2 - 3y4
15. Realiza (3a6 - 4a7) + (7a + 6a2) + ( - 3a2 + 7 a) + ( - a4- 4a2)
5 3

E
je
m
p
lo
s
2 C a p í t u l o
ÁLGEBRA
5 2 1 3 1 1 3
16. Suma los polinomios - x 2 - 5 x y + - y 2; - ~ x 2 + - x y - - y 2; - 2 x 2 + - x y - —y 2
2 3 3 2 4 2 4
a — l y f w f ? - ! » ) * £ | í 4 * H * ( 4 - 4 * 4 ? )
18. Suma los polinomios 7 / + ^ - * y 2 ; x i - ^ x 2y - y 3 x * - x y 2 - | y 3
6 5 8 2 3 4 5
19. B fcctía ( , * - ! , ) + ( V - 2 y ) +
20. S u m a i5- / ; - E * y - |v - iy 5
; |* V |* V -
22. ¿Cuál es el resultado de sum ar (5a31- 2a21+ 7<f) + ( - 2a31+ 4 a * - 6 (f)l
23. Sum a3x2fl- 5 x 2o- , + 4 ^ - 2; ^ + 4*2fl-, + ^ a- 2;-3 x 2fl- 7 ^ - 2; ^ a- , + 3 r 2fl- 2
24. ¿Cuál es el resultado de sum ar ^-b2' - ~ b x + b , - b 2' + b l - b y - b 2x + 2 b l
8 6 4 3
Vferifka tu s resu ltad o s en la sac d ó n d a solucionas co rresp o n d ian ta
Resto
En esta operación es importante identificar e l minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reducción de
términos sem ejantes.
EJEM PLOS
1 • • R ealízala siguiente o p e ra c ió n :(4 o -2 ¿ > -5 c )- ( 3 a - 5 b - 7c).
Solución
E n este ejem plo 4 a - 2 ¿ » - 5 c representa a l m inuendo y 3 a - 5 b - 1c al sustraendo. Se suprim en los paréntesis y se
procede a efectuar la reducción de térm inos sem ejantes.
(4a-2¿> - 5 c ) - ( 3 a - 5 ¿ > - 7 c ) = 4 tf-3 tf-2 ¿ > + 5¿> -5c + 7c
= a + 3b + 2c
Por consiguiente, e l resultado de la resta es: a + 3¿>+ 2c
2 ••■ D e 16r2- 7 x - 8 r e s ta r 6 r - 3 ^ : + 6.
Solución
E l minuendo es 16*2- I x - 8 y el sustraendo es 6X2+ 3x - 6, entonces al sustraendo se le cam bia el signo - (ó*2 - 3 x + 6) =
-6 x* + 3* - 6 y se acom odan los polinom ios en form a vertical para realizar las operaciones entre los términos sem e
jantes:
1 6 r - 7 * - 8
- 6 r + 3 x - 6
0 x2- 4 x - 14
Por tanto, el resultado es: 10.*2 - 4 x - 14
5 4

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