ACERTIJO EL NÚMERO PI COLOREA EMBLEMA OLÍMPICO DE PARÍS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
REPASO - 5 (fact. polin.) 2021 - copia.pptx
1. ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA
SUB – ÁREA : ÁLGEBRA
REPASO - 5: “FACTORIZACIÓN
DE POLINOMIOS”
PROFESOR: ANGELMAR PACHECO
GRADO: 4TO / 5TO DE SECUNDARIA
2. FACTORIZACIÓN
ES LA TRANSFORMACIÓN DE UN POLINOMIO EN UNA
MULTIPLICACIÓN INDICADA DE SUS FACTORES PRIMOS, O
SUS POTENCIAS. Es decir:
DEFINICIÓN
1
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
2
x 9x – 22 x – 2 x 11
factorización
producto
3. POLINOMIO PRIMO Y FACTOR PRIMO:
2
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
Es un polinomio de grado diferente de cero, divisible sólo por sí
mismo y por cualquier constante.
EJEMPLO: 𝟖𝒙𝟐 + 𝟒; es un polinomio de 2º grado divisible sólo por sí
mismo y por la constante 4; luego es un polinomio primo.
NOTA: Si en una multiplicación indicada, uno de los factores tiene las características
de un POLINOMIO PRIMO, tal factor se llama “FACTOR PRIMO”.
EJEMPLO: en 3(x+5); 3 no es factor primo por ser polinomio de grado cero,
pero (x+5) sí es un “factor primo” porque es polinomio de primer grado,
divisible sólo por sí mismo y por la unidad.
4. NÚMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO
3
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
Dado: 𝒙. 𝒚. 𝒛 ∶
Factores primos son 3: x , y , z
Factores algebraicos= (+1)(+1)(+1) – 1
Factores o divisores = (+1)(+1)(+1)
EJEMPLO: Indicar el número de factores de: 𝑷 𝒙, 𝒚 = 𝒙 + 𝟓 𝒚 − 𝟐 𝟐
Las expresiones que dividen exactamente a “P” son:
𝟏; 𝒙 + 𝟓 ; 𝒚 − 𝟐 ; 𝒚 − 𝟐 𝟐; 𝒙 + 𝟓 𝒚 − 𝟐 ; (𝒙 + 𝟓) 𝒚 − 𝟐 𝟐;
de los cuales: 1 no es factor primo, (x + 5) y (y - 2) son factores primos y
los restantes 3 no son factores primos.
5. RESUMEN:
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INDICAR LA VERDAD (V) O FALSEDAD (F) DE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
a) El número de factores algebraicos del polinomio:
𝒙 + 𝟑 𝟐 𝒙 − 𝟓 𝟑 es igual a 11
b) El número de factores primos del polinomio:
𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝟑𝒙 − 𝟐 , 𝐞𝐬 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥 𝐚 𝟒
c) La suma del número de factores algebraicos, con el
número de factores primos de: 𝟑𝒙 𝒙 + 𝟏 𝟓 𝒙 + 𝟐 𝟑, 𝒆𝒔 𝟓𝟎
d) El número de factores primos de P(x) = x, es 2
( V )
( F )
( V )
( F )
6. AHORA COMPLETA EL CUADRO:
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POLINOMIO
FACTORIZADO
N° DE FACTORES
ALGEBRAICOS
N° DE FACTORES
PRIMOS
N° DE FACTORES
NO PRIMOS
a) 𝑥2
b) 𝑥2𝑦(𝑥 + 1)
c) 𝑥2 𝑦 − 3
d) 𝑚4
(𝑚 − 5)
e) 𝑥𝑦4 𝑥 + 3 2
f) 𝑚3𝑛2 𝑚 + 𝑛
g) (x + y)(x – y)
2 1 1
11 8
3
5 2 3
9 2 7
29 3 26
23 3 20
3 2 1
7. a) CRITERIO DE
FACTOR COMÚN
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
4
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
El factor común, es el que figura en cada
uno de los términos, o se puede obtener
agrupando convenientemente.
EJEMPLO - 1: Factorizar: ax + bx – ay – by,
agrupando convenientemente tenemos:
ax + bx – ay – by = x(a + b) – y( a + b) = (a + b)(x - y)
EJEMPLO - 2: Factorizar: 𝟐𝒚 𝒎𝟐 + 𝒏 − 𝒎 𝒚𝟐 + 𝟒𝒏 ,
multiplicando: 𝟐𝒚𝒎𝟐 + 𝟐𝒚𝒏 − 𝒎𝒚𝟐 − 𝟒𝒎𝒏,
agrupando el 1° con el 3°, y el 2° con el 4° tenemos:
my(2m - y) - 2n(2m – y) = (2m - y)(my – 2n)
9. b) CRITERIO DE LAS
IDENTIDADES
(Es necesario recordar)
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
a b = a + b a b
a b = a b a + ab + b
a + b = a + b a ab + b
a ± b = a ± 2ab + b
a ± b = a ± 3a b + 3ab ± b
15. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
Para polinomios de la forma:
𝑷 𝒙;𝒚 = 𝑨𝒙𝟐𝒎 ± 𝑩𝒙𝒎𝒚𝒏 ± 𝑪𝒚𝟐𝒏 ± 𝑫𝒙𝒎 ± 𝑬𝒚𝒏 ± 𝑭
d) CRITERIO DE ASPA
DOBLE
PROCEDIMIENTO:
2n n m 2m n m
AX BX Y CY DX EY F
n
1
a x
n
1
c y 1
f
n
2
a x
n
2
c y 2
f
21. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
SE USA PARA FACTORIZAR
POLINOMIOS DE UNA SOLA
VARIABLE Y DE CUALQUIER GRADO.
f) CRITERIO DE
LA EVALUACIÓN
BINÓMICA
CEROS DE UN POLINOMIO
USA EL CRITERIO DEL TEOREMA DEL
RESTO EN FORMA INVERSA.
SI: 𝑷(𝒙) ÷ 𝒙 − 𝒂 ⟹ 𝑹 = 𝑷 𝒂 = 𝟎;
𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 (𝒙 − 𝒂)es un divisor o factor de 𝑷(𝒙).
Es el conjunto de valores que puede
tomar una variable, y hacer que el
valor numérico sea igual a cero.
35. 1. Simplificar:
𝐱𝟐+𝐱+𝟏 𝐱𝟐−𝐱+𝟏
𝐱𝟒+𝐱𝟐+𝟏
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
x2 + x + 1 x2 − x + 1
x4 + x2 + 1
=
x4 + x2 + 1
x4 + x2 + 1
= 1
x2
− 2 +
1
x2
= 11 − 2 → x −
1
x
2
= 9
x −
1
x
2
= 9 → 𝑥 −
1
x
= 3
Utilizando “Argand”:
SOLUCIÓN:
2. Si: 𝐱𝟐 + 𝐱−𝟐 = 𝟏𝟏 , entonces el valor de: 𝐱 − 𝐱−𝟏 es:
Restando “2” a la ecuación:
Respuesta :
Extrayendo raíz cuadrada:
DESARROLLO DE EXAMEN - 2
1
SOLUCIÓN:
Respuesta : 3
36. 3. Sabiendo que: a + b + c = 7 y a2 + b2 + c2 = 31, el valor de:
𝐄 =
𝟏𝟖−𝟐𝐚𝐛
𝐚𝐜+𝐛𝐜
es:
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
a + b + c 2 = 7 2 → a2 + b2 + c2 + 2 ab + ac + bc
= 49
2 ab + ac + bc = 49 − 31 = 18 → ab + ac + bc = 9
y ac + bc = 9 − ab
Elevando al cuadrado la 1ra igualdad:
SOLUCIÓN:
Nos piden: E =
18 − 2ab
ac + bc
Despejando :ab + ac + bc:
Respuesta : 2
E =
2 9 − ab
9 − ab
= 2
Llevando a la forma:
37. 4. El valor de “m” para que el polinomio: x3 – max2 + ma2x – a3 sea
divisible por: x2 – ax + a2 es:
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D = x3 – max2 + ma2x – a3 y d = x2 – ax + a2
𝒎𝒂𝟑 − 𝟐𝒂𝟑 = 𝟎
Dividimos por Horner:
SOLUCIÓN:
Para que sea divisible: r = 0
Por consiguiente: m = 2
1 −𝒎𝒂 𝒎𝒂𝟐 −𝒂𝟑
1
+𝒂
−𝒂𝟐
1
+𝒂 −𝒂𝟐
+𝒎𝒂𝟑 − 𝒂𝟑
−𝒎𝒂 + 𝒂
−𝒎 𝒂𝟐 + 𝒂𝟐
𝒎𝒂𝟑 − 𝟐𝒂𝟑
0
38. 5. Hallar el valor de: “a + b + c”, si al dividir el polinomio
P(x) = 4x5 – 3x4 – 2x3 + ax2 – bx – c + 1 entre Q(x) = x3 – x2 + 4 ,
deja un resto de R(x) = 3x2 + 2x + 1
PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
D = 4x5 – 3x4 – 2x3 + ax2 – bx – c + 1 y d = x3 – x2 + 0x + 4
𝒂 − 𝟏𝟕 = 𝟑 → 𝒂 = 𝟐𝟎; −𝒃 − 𝟒 = 𝟐
→ 𝒃 = −𝟔; −𝒄 + 𝟓 = 𝟏 → 𝒄 = 𝟒
SOLUCIÓN:
Por dato: R(x) = 3x2 + 2x + 1
Por Horner :
Por consiguiente: a + b + c = 20 - 6 + 4 = 18
4 -3 -2 +a -b
1
+1
0
+4
+4 0
+1
+1
0
-1
-1 0
a - 17 -b - 4
-c + 1
-4
-16
-4
+4
-c + 5
39. 6. Hallar el resto de la división:
𝐱+𝟏 𝐱+𝟐 𝐱+𝟑 𝐱+𝟒 𝐱+𝟓 𝐱+𝟔
𝒙𝟐+𝟕𝐱+𝟐
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x2 + 7x + 2 = 0, entonces: x2 + 7x = −2
SOLUCIÓN:
Por Descartes d = 0 :
Respuesta: 320
Llevando a la forma el D : 𝑫 = 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟔 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
Reemplazando:x2 + 7x = −2 𝑹 = −𝟐 + 𝟔 −𝟐 + 𝟏𝟎 −𝟐 + 𝟏𝟐
𝑹 = +𝟒 +𝟖 +𝟏𝟎
40. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
Factorizando por
Aspa doble: +𝟑𝒚
+𝟐𝒚
Los factores son: 𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟕
𝟐𝟎𝒙𝟐
+ 𝟐𝟐𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐
− 𝟑𝟑𝒙 − 𝟏𝟕𝒚 + 𝟕
5𝒙
4𝒙 −𝟏
−𝟕
Entonces:
𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏
Respuesta:
𝑺𝒖𝒎𝒂 𝑻. 𝑰. 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: −𝟕 − 𝟏 = −𝟖
SOLUCIÓN:
7. La suma de los términos independientes de los factores primos de:
P(x,y) = 20 x2 – 33 x – 17 y + 7 + 6 y2 + 22 xy es:
41. PROFESOR: ANGEL MAR PACHECO
8. La suma de los términos cuadráticos de los factores primos
del polinomio: P(x) = 5 x4 + 16 x + 6 + 22 x3 + 21 x2 es:
Factorizando por
Aspa doble especial:
𝟓𝒙𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝟑 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟔
𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐
+𝟐𝒙
+𝟒𝒙
Los factores son: 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑
+𝟐
+𝟑
Multiplicando en aspa se tiene: 𝟏𝟑 𝒙𝟐 , 𝒑𝒂𝒓𝒂 + 𝟐𝟏 𝒙𝟐 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 + 𝟖 𝒙𝟐:
𝟓𝒙𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝟑 + 8𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 𝒙 + 𝟔
𝟓𝒙𝟐
𝒙𝟐 +𝟐
+𝟑
Entonces:
𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐
Respuesta: 𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒕é𝒓𝒎. 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓. 𝒇𝒂𝒄𝒕. 𝒑𝒓𝒊𝒎. 𝒆𝒔: 𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟔𝒙𝟐
SOLUCIÓN:
