Algunos ejercicios resueltos sobre hipérbola y parábola del libro de geometría analíticas escrito por los matemáticos Delgado vasquez -Delagado Bernuy. Fueron propuestos a los estudiantes de ingeniería de la Universidad San Pedro. año 2012 . lo comparto con la idea que le pueda servir a alguien. atte Beto

1. 's
A
E::cuerrtre
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el vértice, foco y la direct-ri z de cada parábola y
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1e4lx-9-t - 4x2
J- - -,*. n¡ - - D-- (t
4.r- {:- {¡+ l:g
1--- encuentre
:- :::es iaias.
F:':: .2,0) , directri z x==-2
=---::_: Jt-41, dÍrectriz y_4
T,er---:e Y(-3,51 , eje paralelo al eje
'[-É:---:e en el origen, simétrica con
/p:r:: -- A t,2 , -3) .
r''e: :aia uno de fos
una ecuaci-ón para l-a parábola que sat_isface l_as
4,¿-^=: ia ecuación
siguientes ej erciL-ios .
de la parábola con foco en
,Y y pasa por
respecto al
el punto A 15, g) .
eje f y pasa por e_L
(2, *I) V directri z
ff;_-¿: ia ecuación de la parábola cJn eje paralelo al eje X y pase
pr: -:s punros (3,3), (6,5) y (6, _3¡ .
r*,*--:= ra ecuación de 1a parábola de eje horizontal¡ con foco r_2_r)
ü, Te:-__ce sobre la recta: 5x_2y-4:0.
ft¿--=: la ecuación de r-a recta que es tangente a la parábora y;r=g¡, o
gm.::-e_a a l_a rect a 2x+2v_3:0.
ffis -
¿: r-a ecuación de 1a circunferencia que pasa por er_ vérti oa
IrlE 3:<rr€mos del lado recto de l.a parábol,a y2_4x+Zy+g:0.
M¡s:e::--::a: el- ángulo que forman entre si las tangentes trazadas a -La
gÉ::-:-a f:8¡, desde eI punto p(_2,_4)
W+--:: -- ecuaci-ón de ta tangenLe a la parábola de vértic e en Vt_? r
1'. -::: F:-2,4) , y que es paralel0 a f a rect.a x+3J,_g=0
l:r:-;--;e.que representa l_as ecuac-iones cle segundo grado:
t r-+.-¡':-i:0
: r --4-f -2x-4y+3:0
: :.lr. ---lr¡-+3yt-4:g
3 :r-- érv-5y2- 4x+4y- 4:O
*¿--¡. -a ecuación de la tangente y norma] a la parábola yz_4x+6y+I__0
g /.-
-- :---.LJ
^',ttJ).
fl&-
u7

2. t-
I
I
Suponiendo que Ias <listancias se mi cJen en
está eI receptor del- fondo del plato de
circunferencia de La antena?
W
TIPO B
2i La superficie reffectora de una antena de radar se genera qirando I a
2¡parábola y-- x'
o
alrededor de su eje de simetria, s Lendo _4*<1
metros. A qué distancia
1a antena?. ¿Cuá1 es ia
El cable centr:ar de un puente colgante forma un arco parabólico. E.lcabre esLá corgado de los extremos superiores de ras dos tor¡es desoportg, separadas 800 metros entre si. Esos extremos están a 1.70metros sobre r-a carretera y el punto del cable cuya altura es minimaestá a r-a m-itad der- claro enlre J-as t-orres a 10 metros sobre lacar¡etera. carcule r-a artura der cabre sobre ra carretera a i00metros de una torre
¿L
23. En la figura adjunta eJ punto p
es equidistante del c'i¡:cufo y
cle la recta L. Esto es , pA=pB,
y PA es perpendicular a La
linea I y,B es la inter.sección
de .La linea Op con ef círcul-r:.
Demuestre que el- conj unt-o de
los puntos
parábola.
P determi na una l
2.4 Un cometa tiene una órbita parabólica, con eJ sol en uno cle sus
focos. Cuando el_ cometa está a 100
recta que une a ambos astros forma
parábola, como se ve en la flgura
minima ent::e el- cometa z el sol?
,lz mil-lones de mil-l as del sol la
un ángulo de 45o con el_ eje de }a
adjunta. ¿Cuál será la drstancia
cometa
lt8

3. w
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12. rg
a:lcuentre fa ecuación de la hipérbolacc::ciiciones:
: A(5,0), A'(-5,0), F(8,0), F'(-g/ 0) "2. Y(0,4) , F' (0, -4), e:5/3.'
3. F(5,0), C(0,0). Las asíntotas están en
1. C(2,-r), LR:9 ,A(6,-r)
2
3
-v:t - ¡
4
gue cumpia las s iguientes
TIPO A
De1 5 ) -8 ) determinar si- -r-a ecuación dada es una hipé::bora o un par derectas que se interceptan,. si es una hipér:bola, trace la gráfica.5. 9x2-4y2-Igx+96y-603=0
6. l6x2-4y2rg6x-I6y+I2g=0
7 . 76x2-32y2 t8x-32.y-39:0
8. 2x2-4y2+L2x+Ay+Il:A
l
q
Los focos
xy
* =1,2^ o
es 4,
de una hipérbola coinciden con los
HalIar l-a ecuación de la hi.pérboIa,
focos de l-a el ipse
si su excentric i_dad
10' cafcular er ángulc que forman r-as asirtotas de 1a hipér:bola:
x2-3y2-8x-1gy=14
11 ' Hallar 1a longitud del l"ado recto de una hipérbola cllyos focos so'(0'5) y (6,8) sj- se sabe que pasa por el origen de coordenadas.
L2' Har-r"ar la ecuaci-ón de ta hipérbola que pasa por el punto (3,4) y susasintot.as son 3r-2y+1:0, y 3x+2y_7=0.
13 ' Determinar ]a ecuación de .l-a hipérbola con sus e¡ es sobre i-os e j es
;::i];:i:o:',J.uu:o:.?:::"e;".¿.o'iqe,,.- -i .r radJ recto es 18 y la
22L4 ' Determinar la ecuación de r-as tangerrtes a r-a hipérbora x
-
!
= -r ,
en los puntos de intersección con .l-a recta y=¡.
q 4
hipérbola x2
- Y2
=
205son perpendicul_ares a la recta 4x+3y_1=0.
276.DescJee}puntoP(1,_1'0)setrazarrtangentesa.].ahipérbo1a
8Halrar ]a ecuación de la cuerda que Lrne 10s puntos de ccntacto.
lt que
2
v
:=1,
32
105

13. TIPO B
11 ' Dos estaciones cle señares de radio A y B están sobre u¡ra recta este_oeste con A a 100 m.illas al oeste de B. Un aerop.Iano vuel.a aI oest_esobre una recta 50 mi r-Las ar- norte cre 1; recta ,4g. Las señares rleradio que se envian a' mismo tiempo desde l y B vrajan a gB0 ft,/rs;
::.::;il"o;.uoij;:iu"'il,"i.#J;;^j:. l;;" r Harrar la ecuación rlue
18. Un barco va en ef mar rumbo. aJ es.te del punto,4, en una larga lineacostera norte sur. se transr¡iten u"i"rus simultáneas por dosestaciones de radi o A y B en la costa , a 2ao rnir1-as <1e separación. trLbarco recibe Ia seña] I 500us(micro segurrdos) antes de recibiir La cleB. Suponga que la velocidad de .l-a senjes de radio es cle 9gO f t/us.¿A qué distancia está eL barco en el- mar?
2A
19.
NOTA: I miila = 528A.172414 ft
I miila: 5000 pies
suponga que l-a rama superior de fa hipérbo]a 12y2+72y-4x2+g7=a es 1atrayectoria de un cometa con el sol en e. foco. Haga un esquerna o. ragráfica de esa trayectoria, áona. r unia"J Je longltud de i-os pic.¡represente 93 mill-ones de miltas ' oeterrnin*-Lr máximo
^"-..1'1",3ii"del cometa al so_l . puede ust.ed
."upon". qrr* en este casof pard
i::"::::loi"i'li.o."'":i :;Ji"ll;..o.iJ,'=", ;;:." de ia rama que esrá
a) un bote pequeño se encuentra anclado en un .lago cuando ]a nieblaes mlly cjensa. EL bote manda una fuerte seña-l sonora con su bocina yl-a reciben dos estacione"
".puruau" z mirras.r.,t.e si en una orirlarecta " sl sonido-,_ gue v.iaji a
.
110! piu,
-p.r.
segundo, Larda 2. jsegundos más en llegar u uÁu estación que ,, lu otra. Use (0,0) y(2,0) como coordenadas cle ras estaciorres y Jetermlne ras ubicacio.esposibres (x,y) ciel bote, en rer.ación con ]as estaciones.
b) suponga que la cosi--a es recta y que el bote sigue una rutaparalela y a una miila de distancj-a j" áff..
-po.
la niebfa, el boteancló después de haber viajado a.r este más de 1 milla luego de pasarpor la estación (0, o¡ , y a continuación mandó ra señal gue sedescrrbró en el enciso (a) . iaf cufe las ioorcl"nror" de.L bote.
106

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