Solucionario del Libro de Texto de 10mo Grado - Matematicas - Unidad "sólidos" - Nicaragua

Sólidos
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Elaborado por: Marlon Espinoza, Primitivo Herrera, Armando Huete
Tutora: Dra. Gloria Parrilla
Sólidos
Esta unidad tiene un sesgo muy platónico: se estudian los conceptos más
importantes sobre poliedros; poliedros regulares y convexos (sólidos platónicos);
prismas y pirámides; y, cuerpos geométricos generados por rotación, dentro de los
cuales destacan por su perfecta simetría el cilindro y la esfera. Estos conceptos, cuya
belleza sería razón suficiente para declararlos patrimonios eternos de la humanidad,
ofrecen también la perspectiva del cálculo de áreas y volúmenes uniendo así la
perfección estética con la utilidad práctica.
Poliedros
Recordemos un poco la geometría ya estudiada que nos servirá de base para el
desarrollo de la unidad.
¿Qué es una figura geométrica plana?
Es un conjunto de puntos del plano y objeto de estudio de la geometría plana.
Algunos ejemplos son:
¿Qué es un polígono?
Es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos
consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son
llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.
Por ejemplo:
Dodecágono Hexágono
Solución
Solución

Sólidos
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¿Cuándo un polígono es convexo? ¿Cuándo no?
Un polígono convexo es una figura en la que todos los ángulos interiores miden
menos de grados y todas sus diagonales son interiores.
Un polígono no es convexo cuando es cóncavo, es decir, al menos uno de sus
ángulos interiores mide más de grados. En un polígono cóncavo al menos
una de sus diagonales es exterior al polígono.
Por ejemplo:
Convexo Cóncavo
¿Qué es el perímetro de un polígono?
Es la suma de las medidas de los lados del polígono.
¿Cuándo a un polígono se le llama triángulo? ¿Cuáles son sus elementos?
Señálelos y trácelos en el triángulo.
Un polígono se llama triángulo cuando está determinado por tres rectas que se
cortan dos a dos en tres puntos no colineales.
Sus elementos son
¿Qué establece el teorema de la desigualdad del triángulo? Dé un ejemplo
particular.
El teorema de la desigualdad del triángulo establece: La suma de las longitudes
de cualesquiera dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer
Solución
Solución
Solución
Solución
Altura
Vértice
Ángulo
Lado

Sólidos
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lado. Por ejemplo, dado el triángulo cuyas medidas son , y ,
gráficamente tenemos
Verifiquemos que se cumple la desigualdad del triángulo como sigue
Si un triángulo tiene todos sus lados congruentes, ¿cómo se le llama? ¿Y si tiene
sólo dos? ¿Si no tiene lados congruentes? Dibuje tres ejemplos de cada caso y
señale sus elementos.
Si un triángulo tiene todos sus lados congruentes se le llama equilátero. En el
caso de que tenga solo dos lados congruentes se le llama isósceles y si todos
sus lados son desiguales se llama escaleno. Ejemplos:
Triángulos Equiláteros
Triángulos Isósceles
Solución

Sólidos
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Triángulos Escalenos
¿Cómo se clasifican los triángulos según la medida de sus ángulos internos?
Dibuje ejemplos.
Según la medida de sus ángulos internos los triángulos se clasifican en:
 Rectángulo: Si tiene un ángulo recto.
 Acutángulo: Tiene tres ángulos agudos.
 Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso.
Por ejemplo:
Obtusángulo Rectángulo Acutángulo
¿Cuánto suman las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo?
La suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo es .
Si el área de un paralelogramo es , ¿cuánto vale el área del triángulo
? Dibuja ambos polígonos.
Si el área de un paralelogramo es , entonces y por ende el
área del triangulo es la mitad, ya que el área del triángulo es el
semiproducto de la base , por la altura , es decir,
Solución
Solución
Solución

Sólidos
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Dibujo
¿Qué es un cuadrilátero?
Es un polígono que tiene cuatro lados.
¿Cuándo un cuadrilátero es un trapecio? ¿Cuándo es un paralelogramo?
¿Cuándo un cuadrado?
Un cuadrilátero es un trapecio si tiene dos lados opuestos paralelos y los otros
dos no.
Un cuadrilátero es un paralelogramo si sus dos pares de lados opuestos son
paralelos.
Un cuadrilátero es un cuadrado si es un paralelogramo cuyos lados son
congruentes y sus cuatro ángulos rectos.
Ejemplos
Cuadrado Trapecio Paralelogramo
Observe el siguiente diagrama:
Cuadriláteros
Trapecios
Paralelogramos
Rombos
Rectángulos
Cuadrados
Solución
Solución

Sólidos
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Deduzca frases similares a:
“Todo cuadrado es un rombo”, “no todo rombo es cuadrado”, “ningún trapecio es
paralelogramo”, “todo trapecio es cuadrilátero”.
Otras frases similares a las anteriores son:
“No todo rectángulo es un cuadrado”, “ningún paralelogramo es un trapecio”,
“todo paralelogramo es un cuadrilátero”, “todo rombo es un paralelogramo”, “todo
rectángulo es un paralelogramo”.
¿Cuál es la fórmula para encontrar el área de un triángulo? Use esta fórmula
para encontrar el área del triángulo de la figura.
El área de un triángulo de altura y base , está dada por
La figura es
Puede observarse que el triángulo es rectángulo, de esta manera, la altura del
triángulo es el lado con longitud . Al aplicar Pitágoras tenemos
de donde . Luego
Calcule el área de las figuras siguientes (las figuras no están necesariamente a
escala):
Solución
Solución

Sólidos
320
El área del cuadrilátero es
El área del rectángulo , es
El triángulo rectángulo tiene por altura
Por lo tanto, el área es aproximadamente
En el triángulo nos dan las medidas de cada uno de sus lados, así que para
encontrar su área podemos usar la fórmula de Herón
donde es el semiperímetro y , y son las longitudes de los lados del
triángulo.
En nuestro caso
Solución

Sólidos
321
por lo cual
Un establecimiento de renta de vídeos colocó un anuncio de madera que tiene
forma rectangular con el objetivo de anunciar su inventario de películas de
ciencia-ficción. Su largo es más que el ancho, y el perímetro igual a
. ¿Cuáles son las dimensiones del anuncio? Encuentre su área.
Supongamos que el ancho mide . Sabemos que el perímetro de un rectángulo
esta dado por la fórmula
siendo el ancho y el largo del rectángulo respectivamente. Haciendo las
sustituciones correspondientes en la fórmula anterior se tiene
Donde y , ya que su largo es más que el
ancho. De donde se sigue que
,
es decir, de manera que su ancho es
y por lo tanto, su largo es .
Como el anuncio tiene forma rectangular su área es
Un lote de terreno tiene forma triangular. Un lado es más largo que el
lado más corto, mientras que el tercer lado es más largo que el lado más
Solución

Sólidos
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corto. El perímetro del lote mide Encuentre las longitudes de los lados
y el área del terreno.
Como el terreno es de forma triangular y su perímetro es entonces
donde es la medida del lado más corto. De modo que
,
luego
es decir, . Por lo tanto, la medida de los lados son ,
y respectivamente.
Utilizando la fórmula de Herón tenemos que el área del terreno es
Un campesino tiene un cultivo en un terreno hexagonal regular y quiere comprar
fertilizante. ¿Qué necesita encontrar, área o perímetro, para saber cuánto
comprar? Si la apotema del polígono es y el área ¿cuál es la
medida de uno de sus lados? Convierta los metros cuadrados a manzanas.
¿Cuánto fertilizante necesita si se debe aplicar por cada
Investigue el precio de de urea y los costos por aplicación.
Lo que el necesita encontrar es el área del terreno para saber cuánta porción de
fertilizante es recomendable aplicarle al cultivo.
Por otro lado, dado que el área de dicho terreno es entonces
es decir, de manera que la medida de uno de sus lados
es .
Solución
Solución

Sólidos
323
Para convertir los metros cuadrados a manzanas hacemos la siguiente regla de
tres
de donde
Es decir, equivalen aproximadamente a manzanas.
Además, como por cada se debe aplicar entonces en
se deben aplicar aproximadamente, resultado que se obtiene de la
manera siguiente
El costo de de urea es de C$ . Los costos de aplicación varían en cuanto
a la forma de aplicación y al área del terreno.
Para el estudio de los sólidos, los dividiremos en dos grandes grupos:
 Poliedros.
 Cuerpos geométricos generados por rotación.
Algunos términos geométricos con los que debemos familiarizarnos son:
 Arista: es el segmento de recta donde se intersecan dos caras de un sólido.
 Vértice: es la esquina (punto) de un cuerpo geométrico (o sólido).
 Cara: polígono que limita a un cuerpo geométrico.
Un sólido o cuerpo geométrico es una región del espacio tridimensional limitada
por figuras geométricas planas (regiones poligonales) o curvas que llamaremos
caras.
Llamaremos poliedro a toda región del espacio tridimensional limitada por o
más polígonos, es decir aquellos sólidos cuyas caras son regiones poligonales.

Sólidos
324
En todo poliedro se distinguen los siguientes elementos: caras (laterales y bases),
aristas y vértices.
1. Tres o más caras de un poliedro coinciden en un mismo vértice.
2. Dos caras que tienen una arista en común forman un ángulo diedro o
simplemente diedro (figura .
3. Un ángulo poliédrico está formado por o más caras del poliedro que tienen un
vértice común.
Dibuje en su cuaderno
a) ángulos diedros, uno cuyas caras sean cuadrados, otro que sean rectángulos
y el último con triángulos equiláteros.
b) ángulos poliédricos con aseo y estética, demostrando creatividad e
imaginación. Haga uso adecuado de colores.
a) Ángulos diedros
b) Ángulos poliédricos
Solución

Sólidos
325
En un poliedro, también podemos formar diagonales, ¿cómo?, uniendo con una línea
dos vértices no pertenecientes a la misma cara, al segmento así formado le
llamaremos diagonal del poliedro.
Podemos, pues, definir poliedro convexo
Poliedros Regulares: construcción, área y volumen
Sabemos que los polígonos pueden ser regulares o irregulares. De igual manera
podemos clasificar los poliedros. Un poliedro es regular si todas sus caras son
polígonos regulares congruentes.
Solamente existen cinco poliedros regulares convexos (llamados sólidos platónicos),
a saber:
Ϟ Tetraedro: tiene caras que son triángulos equiláteros.
Ϟ Hexaedro (cubo): tiene caras que son cuadrados.
Ϟ Octaedro: tiene caras que son triángulos equiláteros.
Ϟ Dodecaedro: tiene caras que son pentágonos regulares.
Ϟ Icosaedro: tiene caras que son triángulos equiláteros.
Con la información anterior dibuje en su cuaderno los cinco poliedros regulares.
Hágalo con orden y aseo.
Un poliedro es convexo si una recta sólo puede cortar a su superficie en dos
puntos.

Sólidos
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Tetraedro Hexaedro (Cubo) Octaedro
Dodecaedro Icosaedro
Investigue si existen poliedros regulares no convexos. ¿Cuáles son?
Existen poliedros regulares no convexos que se forman a partir de los
poliedros regulares llamados poliedros regulares estrellados (sólidos de Kepler -
Poinsot). Estos son:
 Pequeño dodecaedro estrellado: se obtiene como prolongación de las caras del
dodecaedro.
 Gran dodecaedro:
Solución
Solución

Sólidos
327
 El gran dodecaedro estrellado: se obtiene prolongando las caras de un
icosaedro.
 Gran icosaedro:
Verifique que con pentágonos regulares, cuyos ángulos miden sólo se
puede construir un poliedro convexo: el dodecaedro.
Esto se deduce del hecho que el número mínimo de regiones poligonales en
cada vértice es . Ahora bien tomando pentágonos regulares, cuyos ángulos
miden como caras de un poliedro regular se tiene
formando así el dodecaedro.
Observe el cuadro . ¿Qué relación guarda la suma del número de caras y
vértices con el número de aristas de un mismo poliedro? ¿Se cumplirá esta
relación para otros poliedros? ¿Puede expresar esta relación mediante una
ecuación matemática?
Solución

Sólidos
328
Si observamos detenidamente el cuadro tenemos que para obtener una igualdad
entre la suma del número de caras y vértices con las aristas la diferencia es la
constante , de este modo tenemos la ecuación
donde : número de caras
: número de vértices
: número de aristas.
Dicha relación se cumple para los poliedros convexos.
A la ecuación matemática que encontró en el ejercicio anterior se le conoce
como Fórmula de Euler. Verifique si se cumple dicha relación cuando el poliedro
regular consta de y caras.
Si un poliedro regular consta de caras estamos hablando del dodecaedro, el
cual tiene , y . Verificándose
Por otro lado, el poliedro regular que consta de caras es el icosaedro que
tiene , y . Verificándose
Área de un Poliedro Regular
El área de un poliedro regular se define de la siguiente manera:
Número de caras
Número de vértices
Número de aristas
Cuadro 1
Solución
Solución

Sólidos
329
1. Determine el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de ,
y de arista, respectivamente.
Como las caras de un tetraedro son regiones limitadas por triángulos
equiláteros y en este caso tienen de arista, haciendo uso de la fórmula
para encontrar el área de un triángulo equilátero tenemos
sustituyendo los valores correspondientes se sigue
Ahora bien, el área total del tetraedro es aproximadamente
.
Igualmente las caras de un octaedro son triángulos equiláteros, en este caso con
de arista. Haciendo uso de la fórmula empleada anteriormente para el área
de un triángulo equilátero resulta
Por lo tanto, el área total es aproximadamente .
Para el icosaedro tenemos caras que son triángulos equiláteros que en este
caso tienen de arista. Calculemos entonces el área de una de sus caras
Así, el área total es aproximadamente .
Sea el número de caras de un poliedro regular y el área de una cualquiera
de sus caras. Entonces, el área del poliedro regular es igual a
Solución

Sólidos
330
2. Si el área total de un dodecaedro es y apotema igual a
¿cuánto mide una de sus aristas?
Recordemos que el área de un pentágono regular está dada por la fórmula
donde : perímetro
: apotema.
Si el área total de un dodecaedro es con apotema y tiene
caras pentagonales entonces sustituyendo los valores correspondientes en la
fórmula para el área de los poliedros regulares tenemos
de donde, . Como todas sus caras son pentágonos regulares el
perímetro está dado por de modo que .
Por lo tanto, una de sus aristas mide .
3. Halle el área de una cara de un octaedro cuya arista vale .
Las caras de un octaedro son triángulos equiláteros, así que el ejercicio nos
solicita el área de uno de estos. Usando la fórmula
con tenemos
4. Encuentre la arista de un cubo sabiendo que su área total es
Como el área total del cubo es y la fórmula para encontrarla es
entonces , es decir, de donde .
En consecuencia, una de las aristas del cubo mide
Solución
Solución
Solución

Sólidos
331
5. Un poliedro regular tiene como área total y el área de una de sus caras
es Encuentre el número de caras del poliedro. ¿Qué nombre recibe
éste?
Dado que el poliedro es regular, con área total y el área de una de sus
caras es entonces
de modo que
Por lo tanto, dicho poliedro es un cubo.
Oscar desea hacerle un regalo a su amiga Judith. Ya lo compró, es una cajita
musical en forma de un hexaedro con arista de Si cada de papel
cuesta . ¿Cuánto dinero gastará en la compra del papel de regalo?
Primero encontremos el área total del hexaedro. Empleando la fórmula para
encontrar el área de dicho poliedro y sustituyendo resulta
Pero equivale a y como cada de papel cuesta
entonces el total de dinero que gastará Oscar es .
Uno de los tres famosos problemas de construcción de los matemáticos griegos
consistía en obtener la arista de un cubo con el doble de volumen de otro cubo
dado. Si la longitud de cada lado del cubo dado es , ¿cuál sería la longitud de
cada lado del cubo con el doble de volumen original? Calcule el volumen del
cubo dado si . ¿Cuál es el volumen del otro cubo?
Este problema es histórico y aún sigue dando que pensar!!!
Dado un cubo con arista , la longitud de la arista del nuevo cubo que tendrá
como volumen el doble del cubo dado es que resulta de
Solución
Solución
Solución

Sólidos
332
siendo y el volumen del cubo dado y del nuevo cubo respectivamente. Si
consideramos que el nuevo cubo tiene por arista tendremos
de donde .
El volumen del cubo dado con arista es y el
nuevo cubo tendrá por volumen el doble del dado, es decir,
.
Poliedros Irregulares: Prismas y Pirámides
A los poliedros que no son regulares los llamamos poliedros irregulares, es decir,
aquellos poliedros cuyas caras no son todas iguales. Los principales poliedros
irregulares y en los que centraremos nuestra atención serán los prismas y las
pirámides, que son poliedros irregulares convexos.
Los Prismas
Los poliedros que poseen al menos dos caras congruentes y paralelas se llaman
prismas. A estas caras congruentes y paralelas las denominaremos bases y al resto
caras laterales.
Un prisma es recto si sus caras laterales son rectángulos. Si sus caras laterales son
romboides, se llama prisma oblicuo.
¿Cuántas caras congruentes tiene un cubo?
El cubo tiene sus caras congruentes.
¿Por qué el cubo es un prisma? ¿Cuántas bases tiene? ¿Cuántas caras
laterales? ¿Toda cara lateral de un cubo es base?
El cubo es un prisma porque posee seis caras congruentes y paralelas dos a
dos, cumpliendo así con la definición de prisma. Todas las seis caras pueden
servir de bases y caras laterales.
Solución
Solución

Sólidos
333
¿Hay contradicción en el hecho de que un cubo sea poliedro regular y se pueda
considerar prisma?
No, porque el cubo es un prisma cuadrangular cuya altura coincide con su arista,
es decir, es un prisma regular.
¿Por qué el cubo es un prisma recto?
Como todas las caras del cubo son cuadrados y todo cuadrado es un rectángulo,
entonces las caras de un cubo son rectángulos cumpliendo así con la definición
de prisma recto.
Tomando en cuenta la tabla anterior: ¿un cubo es un prisma rectangular?
Si, ya que sus bases son rectángulos.
Dibuja el desarrollo de un prisma hexagonal y del triangular.
A continuación se muestra la red y el dibujo de los prismas solicitados
Nombre
Forma de las
bases
Números de
caras laterales
Dibujo
Prisma
triangular
Triángulo
Prisma
rectangular
Rectángulo
Prisma
pentagonal
Pentágono
Prisma
hexagonal
Hexágono
Prisma
octagonal
Octágono
Solución
Solución
Solución
Solución

Sólidos
334
Desarrollo de un prisma hexagonal
Desarrollo de un prisma triangular
La suma de las áreas de las caras laterales del poliedro le denominaremos área
lateral del poliedro.
El área(total) del poliedro será la suma del área lateral y el área de sus bases.
Área de un Prisma
Calculemos ahora el área de un prisma. El área total , de un prisma es igual a la
suma de las áreas de sus caras y sus bases. A la suma de las áreas de sus caras
laterales le llamaremos área lateral del prisma.
Llamaremos área de una cara de un poliedro al área del polígono que constituye
la cara.

Sólidos
335
Para encontrar el área total de un prisma que tiene dos bases determinamos el
área de una de las bases , como ambas son congruentes tendríamos que el área
de las dos bases será veces a esto le sumamos el área lateral del prisma,
así
Juan necesita pintar una serie de bloques cuya forma se muestra en la figura . En
la ferretería le dirán cuanta pintura debe comprar, pero tiene que darles dos datos: el
número de bloques y el área total de uno de ellos. ¿Cuál es el área total de este
bloque triangular?
Usemos la fórmula
Las bases de este poliedro son triángulos, entonces
Así,
Desdobladas las caras laterales de este poliedro forman un rectángulo de base
y de altura , entonces
.
Entonces, el área lateral del prisma es Luego,
En conclusión, el área total del prisma es
Ejemplo
Solución

Sólidos
336
Tomando en cuenta la forma de la base, ¿qué nombre recibe el prisma del
ejemplo anterior?
Recibe el nombre de prisma triangular.
Si se duplica la altura del polígono de la base del prisma, ¿se duplica el área
lateral? ¿Y el área total?
El área lateral no se duplicaría ya que las dimensiones de las caras laterales no
se ven afectadas. También el área total no se duplicaría ya que solamente se
duplicaría el área de la base.
Aumente una de las dimensiones de los polígonos que forman las caras laterales
del prisma de tal forma que el área total de éste sea un número impar.
Como el área total del nuevo prisma tiene que ser un número impar,
aumentemos una unidad y media a la altura de las caras laterales, obteniendo
Siguiendo las mismas instrucciones que fueron dadas para la construcción de los
poliedros regulares, construyan los prismas que corresponden a los desarrollos
siguientes:
Prisma Triangular Prisma Hexagonal Prisma Octagonal
Al realizar cada uno de los desarrollos se obtienen los siguientes prismas
Solución
Solución
Solución
Solución

Sólidos
337
Triangular Hexagonal Octagonal
Volumen de un prisma
Halle el área total de un prisma cuya base es un triángulo equilátero, si el lado de
la base mide y la arista lateral es .
Usando la fórmula para encontrar el área de un triángulo equilátero y
sustituyendo resulta
Como la arista lateral es entonces el área lateral es
Por lo tanto, el área total es
Encuentre el área total de un prisma octagonal cuyo lado de la base mide
la apotema y de arista .
Para hallar el volumen de un prisma, se multiplica el área de la base por
la altura . Es decir,
Solución

Sólidos
338
Recordemos que el área de un octágono es , luego sustituyendo
y resulta
Dado que la arista es de y el prisma octagonal tiene 8 caras laterales
resulta que su área lateral es
Determine el área lateral y total de un prisma recto cuyas bases son hexágonos
regulares de de lado, de apotema y de arista lateral.
Sabemos que el área de un hexágono es , luego sustituyendo
y resulta que el área de una de las bases del prisma es
Dado que la arista es de y el prisma hexagonal tiene 6 caras laterales el
área lateral es
Encuentre el volumen de un prisma triangular si el triángulo de la base tiene una
altura de y base de , además, la altura del prisma es de .
El volumen del prisma es
Halle el volumen de un prisma hexagonal cuya área de la base es de y
la altura es de .
Dado que el área de la base y la altura del prisma hexagonal son y
respectivamente. Entonces
Solución
Solución
Solución
Solución

Sólidos
339
Calcule el volumen en de la sala de una casa que tiene de largo,
de ancho y de alto.
En primer lugar debemos convertir las tres medidas a , teniendo así
resultado de realizar una regla de tres teniendo en cuenta que ,
y . Ahora bien, el volumen de este prisma es
Las áreas de los lados de una caja rectangular son de y pulgadas
cuadradas ¿Cuál es el volumen de la caja?
Recordemos que el área de un rectángulo es el producto de la base por la altura.
Supongamos que y son las dimensiones del rectángulo base y que es
la altura de dicha caja. Así
De las dos primeras igualdades despejando y y realizando su producto
resulta
Reemplazando este valor en la tercera igualdad tenemos
es decir,
Solución
Solución

Sólidos
340
de donde . Luego, y .
Por otra parte, sabemos que el área del rectángulo es dado que
estamos considerando que dicho rectángulo tiene por dimensiones y
respectivamente.
Por lo tanto, el volumen de la caja es
Construya un prisma de base cuadrada de de lado y altura de
Divide el prisma en dos partes congruentes de tal forma que la base de los
nuevos prismas sean triángulos rectángulos. Además, encuentre el volumen del
prisma de base cuadrada y el de base triangular.
Al construir el prisma solicitado gráficamente resulta
La altura del prisma cuadrangular y triangular coincide. Por lo tanto, el volumen
respectivo de cada uno es
La Pirámide
Una pirámide es un poliedro definido por un polígono como base y triángulos
como caras laterales que poseen un vértice común que no está contenido en
el plano base.
Solución

Sólidos
341
Elementos de una pirámide:
 La base es la cara en la que se apoya la pirámide.
 Las caras laterales son las caras que comparten uno de sus lados con la base.
La suma de sus áreas es el área lateral de la pirámide.
 Las aristas son los lados de la base y de las caras laterales.
 Los vértices son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas.
 Las apotemas son las alturas de las caras laterales de la pirámide.
La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se
denomina eje o altura de la pirámide. Cuando este eje no es perpendicular a la base,
a la pirámide se le conoce como pirámide oblicua.
Al igual que los prismas las pirámides reciben un nombre según la forma de su base.
Volumen de una pirámide
El área total de una pirámide se obtiene sumando su área lateral con el área de
su base. Esto es,
El volumen de una pirámide es del producto del área de su base por su
altura . Así,

Sólidos
342
La red o el desarrollo de una pirámide está formado por el polígono de la base y
tantos triángulos como lados tiene la base. Dibujen el desarrollo de una pirámide
hexagonal y una cuadrada.
Pirámide Hexagonal
Pirámide Cuadrangular
Dibujen pirámides triangulares, cuadradas, hexagonales y octagonales de
diferentes tamaños.
Ejemplos de dichas pirámides son las siguientes
Triangular Cuadrangular Hexagonal Octagonal
Encuentre el área total de una pirámide regular de base heptagonal sabiendo
que el lado de la base mide , el eje y la apotema de la pirámide
.
Solución
Solución

Sólidos
343
Sabemos que la apotema y la altura de la pirámide junto con la apotema de la
base forman un triángulo rectángulo. Suponiendo que la apotema de la base es
y sustituyendo el eje y la apotema de la pirámide se tiene
de donde .
Ahora bien, el área de un heptágono es igual al semiproducto del perímetro de la
base y la apotema, en este caso tenemos
y el área lateral será la suma de las áreas de los triángulos isósceles que forman
las caras. Por otro lado, la apotema de la pirámide es la altura de las caras y los
lados del heptágono son las bases de las mismas tenemos
Por lo tanto,
Determine el área lateral y total de una pirámide regular de base un triángulo
equilátero sabiendo que el lado de la base mide y la altura de la pirámide
Determinemos en primer lugar la apotema de la base, es decir, la apotema del
triángulo equilátero está dado por
Utilizando el hecho que la apotema de la base , la altura de la pirámide y
la apotema de la pirámide forman un triángulo rectángulo tenemos que
de donde .
Ahora bien, dado que las caras laterales son triángulos entonces el área lateral
es
Solución
Solución

Sólidos
344
Como la base es un triángulo equilátero de lado su área es
Por lo tanto, el área total aproximadamente es
Calcule el volumen de las pirámides de los dos ejercicios anteriores.
Para encontrar el volumen de ambas pirámides utilizamos la fórmula
Para la primera tenemos
y para la segunda
Halle el volumen de las siguientes pirámides:
a) Base rectangular de , altura
b) Base cuadrada con de lado, altura
a) Como la base es un rectángulo de entonces su área es
.
Por lo tanto, el volumen de la pirámide con altura es
b) Dado que la base es un cuadrado de lado , este tiene por área
.
Solución
Solución

Sólidos
345
Luego, el volumen de la pirámide con altura es
Cuerpos Geométricos generados por rotación
¿Qué es un rectángulo? ¿Cuál es la fórmula para calcular su área?
Un rectángulo es un paralelogramo cuyos pares de lados opuestos son
congruentes y cuyos ángulos son todos rectos. El área está dada por el producto
de su base y altura, es decir,
¿Cuál es el área de un rectángulo formado por la unión de cuadrados de lado
?
El área de un rectángulo formado por la unión de tres cuadrados de lado
es el triplo del área de dicho cuadrado. Por lo tanto,
.
¿Cuándo un triángulo es rectángulo?
Cuando uno de sus ángulos es recto, es decir, que mida .
¿Qué nombre reciben los lados de un triángulo rectángulo?
Los nombres que reciben los lados de un triángulo rectángulo son catetos:
adyacente y opuesto, e hipotenusa.
¿Cómo se llama el teorema que establece una relación entre los lados de un
triángulo rectángulo? ¿Cuál es esa relación? Use este teorema para investigar si
puedes construir un triángulo rectángulo cuyos lados midan y
Se llama teorema de Pitágoras, el cual establece que: en todo triángulo
rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
sus catetos.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

Sólidos
346
Para deducir que se puede construir un triángulo rectángulo cuyos lados midan
y basta verificar que
¿Qué características presentan los triángulos con ángulos internos de
?
Un triángulo es un triángulo rectángulo. Donde se verifica que
la longitud de la hipotenusa es dos veces la longitud del cateto más corto, y la
longitud del cateto más largo es veces la longitud del cateto más corto.
Las medidas de los lados son y . En gráfica tenemos
Dos o más triángulos rectángulos con medidas son
semejantes.
Dibuje un triángulo con ángulos internos de . ¿Es un triángulo
isósceles? ¿y rectángulo? Mida los lados y luego calcule su área.
Si es isósceles dado que sus ángulos agudos son congruentes. Además
rectángulo porque tiene un ángulo recto.
Representado gráficamente resulta
Al medir su lado tiene una longitud de y por lo tanto, su área es
Solución
Solución

Sólidos
347
¿Qué es una circunferencia?
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo llamado centro.
¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?
 Cuerda: es el segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
 Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
 Arco: es la porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos de esta.
 Semicircunferencia: es un arco de la circunferencia comprendido entre los
extremos de un diámetro.
¿Cuáles son las rectas notables de una circunferencia?
 Secante: si tiene dos puntos en común con la circunferencia.
 Tangente: solo tiene un punto en común con la circunferencia.
¿Cuál es la fórmula para obtener la longitud de una circunferencia de radio ?
Dada una circunferencia de radio , su longitud está dada por la fórmula
¿Qué es un círculo?
Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del
radio.
¿Qué ángulos se pueden trazar en una circunferencia?
 Ángulo central: se trata del ángulo formado por dos radios que son sus lados y
su vértice se encuentra en el centro de la circunferencia.
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

Sólidos
348
 Ángulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vértice sobre la
circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma (si las cuerdas se
prolongan, diremos que son dos rectas secantes).
 Ángulo semi-inscrito: es el que su vértice se encuentra en un punto de la
circunferencia, y sus lados, uno es tangente en ese punto y el otro es una cuerda
de la circunferencia.
 Ángulo interior: tiene como vértice un punto interior de la circunferencia, es
decir, un punto del círculo. Sus lados son dos rectas secantes.
 Ángulo exterior: es un ángulo cuyo vértice es un punto exterior a la
circunferencia, y sus lados son secantes, tangentes o uno es secante y el otro es
tangente a la circunferencia.
¿Cuál es la fórmula del área de un círculo? ¿Qué es un sector circular? ¿Cuál es
la fórmula del área de un sector circular?
La fórmula para encontrar el área de un círculo es .
Sector circular: es la región del círculo limitada por dos radios y el arco de
circunferencia comprendido entre ellos.
El área del sector circular está dada por la fórmula
donde representa la medida en grados del ángulo central correspondiente.
Actividad en grupo
1. Calcule el área de los siguientes triángulos.
Solución

Sólidos
349
Recordemos que el área de un triángulo está dada por el semiproducto de la
base y la altura.
Para el triángulo tenemos
y para , debemos encontrar la altura, aplicando el teorema de Pitágoras se
sigue
de donde
es decir, . Aplicando la fórmula para el área de un triángulo, resulta
2. ¿Se puede formar un triángulo rectángulo de lados y ? Justifique
su respuesta
Para ello observe que
de lo cual se deduce que no se verifica el teorema de Pitágoras y por lo tanto, no
se puede formar un triángulo rectángulo con esas medidas.
3. Observa la figura
Solución
Solución
pies

Sólidos
350
Sin aplicar el teorema de Pitágoras obtén el cateto faltante del triángulo, ¿cuál es
el valor del otro ángulo no recto? Calcule el área del triángulo.
Apliquemos las razones trigonométricas. Haciendo uso de la identidad
se tiene en este caso , pero y de
donde
por lo cual
obteniéndose
es decir, .
Sabemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es , y en
este caso los dos ángulos agudos son complementarios, es decir, su suma es
pero uno de ellos es y por lo tanto el faltante es .
Fíjese que el cateto encontrado coincide con la altura del triángulo y por ende su
área es
4. En los juegos olímpicos, el disco que lanzan los hombres tiene un diámetro de
. Halle la longitud de la circunferencia del disco.
Como la longitud de la circunferencia es y
entonces
5. Determine la longitud de las circunferencias y el área de los círculos de la figura.
Solución
Solución

Sólidos
351
Usando la ecuación tenemos que las longitudes de las
circunferencias son
respectivamente.
Los tipos de cuerpos redondos que estudiaremos son: Cilindro, Cono y Esfera.
El Cilindro
El desarrollo (o red) de un cilindro nos muestra sus dos bases y su cara curva cuya
forma plana es un rectángulo. Gráficamente
El cilindro es un sólido limitado por una cara curva y dos caras planas circulares,
congruentes y paralelas entre sí, llamadas bases del cilindro.
Solución

Sólidos
352
Para hallar el área total de un cilindro es necesario identificar en él las siguientes
medidas:
1. Radio : radio del círculo de la base.
2. Altura : distancia entre las dos bases.
El área lateral de un cilindro es el área del rectángulo de su red. El área total de
un cilindro es igual a la suma de las áreas de sus dos bases circulares y el área
lateral Es decir,
Así tenemos
.
La cantidad de metal que se requiere para construir una lata que tiene altura
y radio es de aproximadamente . Calcule la cantidad
de metal necesaria para la fabricación de latas.
Como la cantidad de metal que se requiere para construir una lata con las
dimensiones dadas es de aproximadamente entonces para
latas se requieren
de metal.
La altura del cilindro es
el ancho del rectángulo
Longitud de una
circunferencia
desenrollada como
un rectángulo
Área de un círculo
Solución

Sólidos
353
¿Cuál es el costo de latas si cada una tiene un tiene un valor de
córdobas?
Dado que cada lata tiene un valor de córdobas entonces latas tienen
un costo de
.
El volumen de un cilindro es la cantidad de espacio que hay dentro del cilindro.
Compruebe lo aprendido
Determine el volumen de los cilindros que se generan con las redes siguientes:
Nótese que para el primer cilindro el radio es de y la altura es
, por lo tanto el volumen es
En el segundo caso varía únicamente la altura. Luego el volumen es
Si se quisiera forrar los cilindros anteriores ¿Qué cantidad de papel se usaría en
cada uno?
Para determinar la cantidad de papel requerida debemos calcular el área de cada
uno de los cilindros la cual está dada por la fórmula
El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura.
En símbolos,
Solución
Solución
Solución

Sólidos
354
Para el primer cilindro tenemos
y para el otro
Halle el área lateral de un cilindro recto si el radio de la base mide y su
altura . ¿Cuál es el área total? ¿Y el volumen?
Sabemos que el área lateral de un cilindro está dada por . Al sustituir
y en la fórmula anterior, resulta
Usando la fórmula y sustituyendo los valores correspondientes
tenemos
El volumen es
El área total de un cilindro es y su altura es el triple del radio de su
base. Hallar la altura, el radio de la base y el volumen del cilindro.
Sabemos que el área total del cilindro está dada por . El
problema plantea que para el cilindro que se está considerando la altura es el
triplo del radio, es decir, y su área total es por lo tanto
resulta
de donde
Solución
Solución

Sólidos
355
es decir, . Lo cual implica que
.
Luego el volumen es
Considere dos cilindros de diferentes dimensiones pero, que tengan el mismo
volumen. ¿Tienen la misma área lateral? ¿Y total?
Supongamos que un primer cilindro tiene por dimensiones y .
Y otro con y . Veamos que ambos tienen el mismo volumen
Lo cual no sucede con el área lateral, ya que ambos cilindros tienen distintos
radios y alturas. Haciendo cálculos
de donde . Las áreas totales resultantes son iguales ya que
Aplique lo aprendido
Calcule el volumen de una lata de gaseosa de radio y altura .
Usando la fórmula y sustituyendo y tenemos
Calcule el volumen de un tarro de leche de diámetro y altura
Solución
Solución

Sólidos
356
Dado que el tarro de leche tiene un diámetro , pero el diámetro es dos
veces el radio, entonces , es decir, . Ahora bien,
sustituyendo los valores correspondientes al radio y a la altura resulta
Encuentre la altura de un cilindro cuya área total es y el radio de la
base mide .
Al sustituir y en la fórmula resulta
de donde
El Cono: construcción, área y volumen
Los conos son figuras sólidas limitadas por una cara curva y una cara plana con
forma circular llamada base. En la siguiente figura podemos distinguir los elementos
de un cono:
Un cono es un cuerpo geométrico generado por la rotación
de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos.
Solución
Solución

Sólidos
357
Podemos, por decirlo así, desarrollar un cono (es decir mostrar su red) para
determinar la fórmula del área total y volumen del cono.
La red de un cono está formada por:
 Un círculo de radio y circunferencia de longitud
 Un sector circular de radio (que llamaremos generatriz) y longitud de arco
igual a .
El área lateral del cono es el área del sector circular de su desarrollo, así
Pero como es igual a :
El área total del cono es la suma del área lateral y el área de la base, luego

Sólidos
358
El volumen de un cono es del producto de su altura por el área de la
base . Es decir,
Volumen de un cono
La base de un cono de altura es una circunferencia de radio . Luego la fórmula
anterior podemos explicitarla un poco más:
Así, el volumen de un cono de altura y radio de la base está dado por la
ecuación
El volumen de un cono es del volumen de un cilindro con la misma área de la
base y la misma altura.
Compruebe lo Aprendido
1. Halle el área lateral y total de un cono sabiendo que el radio de la base mide
y la altura .
Primero encontremos la longitud de la generatriz de dicho cono usando el hecho
que la altura, el radio y la generatriz del cono forman un triángulo rectángulo.
Luego
y en este caso
de donde .
Solución

Sólidos
359
Por otra parte, haciendo uso de la fórmula y sustituyendo y
tenemos
Resta encontrar el área de la base circular. Utilizando la fórmula
obtenemos
.
2. Determine el área total de un cono sabiendo que el radio de la base mide
y la altura .
Encontremos la generatriz usando la fórmula con y
. Evaluando estos valores resulta
de donde .
Por otro lado, sabemos que el área total está dada por
reemplazando los valores de y se tiene
3. Encuentre la altura de un cono sabiendo que el área lateral mide y el
radio de la base .
Dado que el área lateral mide y el radio de la base , al sustituir
estos valores en obtenemos
Solución
Solución

Sólidos
360
de donde
Por otro lado, tenemos despejando y evaluando los valores de
y se sigue
4. Halle el área total del cono que se forma al hacer girar el triángulo sobre el cateto
indicado:
Al hacer girar el primer triángulo obtenemos un cono cuyo radio es y
altura , lo cual implica que
de donde .
Por lo tanto,
Solución

Sólidos
361
Para el segundo triángulo obtenemos un cono con radio y
de este modo, al sustituir estos valores se tiene
En el tercer triángulo usaremos una argumentación similar a la hecha para el
primero. Al rotar dicho triángulo resulta un cono cuya altura es ,
generatriz y radio
Finalizando que tiene por área total
5. Calcule el volumen de los conos obtenidos anteriormente.
Para encontrar el volumen de cada uno de los conos obtenidos basta sustituir los
valores de la altura y el radio correspondiente, en la fórmula
Para el primero se tiene y , por lo tanto
Solución

Sólidos
362
En el segundo debemos calcular la altura haciendo uso de la fórmula
y como y entonces
Por lo cual,
En el tercer caso, y . Luego
6. ¿Un cono y un cilindro pueden tener igual volumen? Si es así, ¿es posible
establecer alguna relación entre sus dimensiones? ¿cuál?
Sí. Al considerar la altura del cono como el triple de la altura del cilindro de igual
base. Es decir,
,
donde es la altura del cilindro y la altura del cono.
Aplique lo Aprendido
Calcule el volumen de una porción cónica del sombrero de un disfraz para un
carnaval, con altura de y radio de la base de
Solución

Sólidos
363
La porción cónica del sombrero tiene altura de y radio de la base de
. Luego el volumen es
Por lo tanto, el volumen de una porción cónica del sombrero de un disfraz para
un carnaval, con altura de y radio de la base de es .
Dos conos tienen igual volumen ¿Tienen las mismas dimensiones (altura y
radio)? Justifique su respuesta.
Que dos conos tengan el mismo volumen no significa que necesariamente sus
dimensiones coincidan. Por ejemplo, supongamos que un primer cono tiene por
dimensiones y , y otro cono tenga y .
Veamos que ambos tienen el mismo volumen
Calcule el volumen de la porción cónica de un helado si la altura es de y el
radio de la base .
Haciendo uso de la fórmula y sustituyendo y
resulta
Solución
Solución
Solución

Sólidos
364
Por tanto, el volumen de la porción cónica del helado es aproximadamente
.
Calcula el área lateral, total y volumen de un cono cuya generatriz mide y el
radio de la base .
Calculemos el área lateral usando la ecuación y considerando los
valores y , obteniendo así
El área de la base es . Por lo tanto, el área total
es aproximadamente
Por otro lado, la altura está dada por la fórmula , de manera que
sustituyendo los valores correspondientes obtenemos
El volumen es
Solución

Sólidos
365
La esfera es el sólido generado al girar una
semicircunferencia alrededor de su diámetro.
La Esfera: construcción, área y volumen
Podemos también, considerar una esfera como un cuerpo redondo limitado por una
cara curva. Todos los puntos de la superficie de la esfera están a la misma distancia
del centro.
La distancia de un punto cualquiera de la superficie de la esfera al centro se llama
radio de la esfera.
El área del círculo que contiene el centro de la esfera es y se le denomina
círculo máximo. Se necesitarían exactamente círculos máximos para envolver la
esfera completamente.

Sólidos
366
Por tanto,
Imaginémonos el círculo interior con área como base del cilindro que contiene
exactamente a la esfera.
El volumen de ese cilindro sería igual al área de su base por su altura, es decir
. La esfera no llena todo el cilindro, más aún, su volumen es del
volumen del cilindro:
Entonces, para una esfera su volumen:
Compruebe lo Aprendido
1. Encuentre el radio, el área y el volumen de las siguientes esferas, dada la
longitud de su circunferencia máxima:
a.
b.
c. .
En cada uno de los ejercicios haremos uso de las fórmulas , y
que determinan la longitud de una circunferencia, el área y volumen de
una esfera respectivamente.
a. Si consideramos que la longitud de la circunferencia es ,
entonces de donde
Por lo tanto, el área de la esfera es aproximadamente
Solución

Sólidos
367
Y su volumen es
b. En este caso tenemos y por lo tanto , es decir,
En consecuencia, el área y volumen son respectivamente
c. En este caso así que
De donde
son respectivamente el área y volumen de dicha esfera.
2. Halle el volumen de las siguientes esferas dada su área:
a.
b.
c.
Usaremos las fórmulas para el área y volumen de una esfera y
.
a. Si el área de una esfera es , entonces
de modo que
Solución

Sólidos
368
es decir, . Lo cual implica que su volumen es
b. Si consideramos una esfera con área , su radio es
Por lo tanto, su volumen es
c. Tenemos que el área de la esfera es lo cual implica que el radio
tiene por longitud
En consecuencia, el volumen es
Ejercicios Complementarios
1. Calcule el volumen de un tarro de café de de diámetro y de altura.
Si consideramos el tarro de café como un cilindro con dimensiones de de
diámetro y de altura. Entonces
Usando la ecuación y sustituyendo los valores y
tenemos
Solución

Sólidos
369
2. Para calcular la cantidad de cuero que se requiere para fabricar un balón de
baloncesto ¿Se necesita usar el volumen o el área total? Justifique.
El área de la superficie esférica, ya que lo que se requiere es saber la cantidad
de cuero en unidades cuadradas que se necesitan fabricar el balón de
baloncesto.
3. Juana compró una pecera ortoédrica con las siguientes dimensiones: de
largo, de ancho y de altura. ¿Cuántos litros de agua necesita
para llenar del volumen total de la pecera?
Recordemos que para encontrar el volumen de un ortoedro solo es necesario
realizar el producto de sus tres dimensiones.
En primer lugar encontremos el volumen total de la pecera ortoédrica, el cual
está dado por
Los dos tercios del volumen son Pero
de modo que .
En consecuencia se requieren de agua para llenar del volumen total
de la pecera.
4. Una naranja de de diámetro tiene una cáscara de de espesor.
Calcule el volumen contenido en la cáscara.
Calculemos el volumen de la naranja cuyo diámetro es . Sabemos que
, es decir, . Luego
El espesor de la cascara es de equivalente a . Ahora bien,
encontremos el volumen de la superficie esférica que se forma al pelar la
naranja, la que tiene por radio . Así
Solución
Solución
Solución

Sólidos
370
Lo cual implica que el volumen de la cáscara es
5. Calcule en el área de la superficie terrestre si el radio de la Tierra es de
.
El área de la superficie terrestre es
6. En el interior de una caja cúbica de volumen se coloca una pelota que
toca a cada una de las caras de la caja en su punto medio. Calcular el volumen
de la pelota.
Dado que el volumen de la caja cúbica es y el volumen de un cubo es
. Entonces de donde . La arista del
cubo coincide con el diámetro de la pelota ya que toca a cada una de las caras
de la caja en su punto medio. Luego, el radio de la pelota es
y su volumen es
7. En la tabla siguiente se da uno de los valores (radio), (diámetro),
(volumen) y (área) para una esfera particular. Encuentre los valores
restantes. Deje el símbolo de en sus respuestas.
Básicamente el ejercicio consiste en completar dicha tabla.
Para la primera fila, de modo que
Solución
Solución
Solución

Sólidos
371
En la segunda tenemos , por ende . De este modo,
y
Para la tercera , pero , es decir, de
donde
lo cual implica que Por lo tanto
En el último caso tenemos , pero , así que
se sigue
es decir, En consecuencia

Sólidos
372
Completa la tabla nos queda
8. La gran pirámide (de Keops) tiene de altura y una base cuadrada de
de lado. Calcule el área de la base y el área total de la pirámide. En
algunas fuentes de información se dice que “el área de la base de la pirámide de
Keops es , con de lado” ¿Hay alguna contradicción matemática
en esta afirmación?
El área de la base es equivalente al área de un cuadrado de lado , es
decir,
.
Recordemos que una apotema de la base, la altura y una apotema de las caras
laterales de una pirámide forman un triángulo rectángulo.
La apotema de la base está dado por . Sabemos que dicha
pirámide tiene de altura, por lo tanto
La fórmula para el área lateral de esta pirámide es , sustituyendo los
valores tenemos
Finalmente, el área total es
Solución

Sólidos
373
Obviamente la afirmación dada para el área de la base es incorrecta ya que el
cálculo matemático obtenido es de y no de .
9. Una pelota de béisbol tiene las siguientes características: una circunferencia de
y no mayor a , un peso de alrededor de y una cubierta de
piel en dos piezas que son cosidas juntas en costuras de hilo rojo encerado
de algodón. Encuentre su volumen.
Como la longitud de la circunferencia es de entonces
El volumen de la pelota de beisbol es
10. Investigue las dimensiones de una pelota de fútbol y encuentre su volumen.
El perímetro de un balón de futbol esta entre y . Supongamos que
tiene un perímetro de y por lo tanto su radio es y su
volumen es
11. La Luna es el único satélite natural que posee la Tierra, tiene un radio de
. Encuentre el valor de la superficie lunar y el volumen de dicho
satélite.
Dado que la luna tiene un radio de entonces su área y volumen están
dados por
12. El volumen de una pirámide es y su base es un cuadrado de lado
Encuentre la altura de este poliedro.
Solución
Solución
Solución

Sólidos
374
Sabemos que el volumen de una pirámide está dado por , de donde
. Pero, el área de la base es y
, al sustituir dichos valores tenemos
13. Para el depósito de agua de la figura, calcule la profundidad y la cantidad de
agua necesaria para llenarlo.
El área de base es equivalente al área de un rectángulo de de ancho
por de largo, es decir,
.
La altura de este prisma es
pero . De este modo el volumen es
y como entonces .
Por lo tanto, la profundidad es de y la cantidad de agua necesaria
para llenarlo es de aproximadamente .
14. Dé ejemplo, si es posible, de dos poliedros uno regular y otro irregular con el
mismo número de vértices y aristas. ¿Tienen el mismo número de caras? ¿Por
qué? ¿Existen dos poliedros que cumplan la condición anterior?
Solución
Solución

Sólidos
375
El cubo y un prisma rectangular, ya que el número de vértices es y el de
aristas es para ambos poliedros. Tienen 6 caras ya que ambas bases son
cuadriláteros.
15. Resuelva en orden los siguientes incisos para obtener una generalización acerca
de los volúmenes de las esferas. Deje los términos de
a. Encuentre el volumen de una esfera que tiene radio
b. Suponga que el radio se duplica ¿Cuál es el nuevo volumen y cuántas veces
se incrementó en relación con la anterior?
c. Triplique el radio de la esfera del inciso a. y calcule el nuevo volumen
¿Cuántas veces se incrementa éste?
d. Tomando en cuenta los resultados anteriores ¿se puede afirmar que en
general, si el radio de una esfera se multiplica por , volumen se multiplica
por ___?
a. Como el radio de la esfera es , entonces su volumen es
b. Si el radio se duplica entonces la nueva esfera tiene por radio y
volumen
El nuevo volumen se incremento veces el volumen encontrado en el
inciso anterior.
c. Al triplicar el radio de la esfera del inciso a. la nueva esfera tiene por radio
y volumen
El nuevo volumen se incremento veces el volumen encontrado en el
inciso a.
d. Tomando en cuenta los resultados anteriores y verificando que si el radio de
una esfera se multiplica por , volumen se multiplica por . Veamos:
Solución
Solución

Sólidos
376
El volumen de una esfera de radio es . Si multiplicamos por
el radio, la nueva esfera tendrá por radio y volumen
16. Las dimensiones de una caja de jugo son y . Calcule el
área total y el volumen de la caja. Si una empresa fábrica cajas diarias
por días al mes, determine la cantidad de cartón que se utiliza por año
considerando que el año tiene semanas.
Si consideramos la base rectangular de dimensiones de largo y
de ancho, su área está dada por .
Por otra parte, el área lateral es
En consecuencia el área total es
y volumen igual a
Si una empresa fábrica cajas diarias por días al mes, al año se
trabajan días y por lo tanto se han producido
cajas. La cantidad de cartón empleado para elaborar esta cantidad de cajas con
las dimensiones del problema es de .
17. ¿Cuántos metros cúbicos de mezcla de cemento y arena se necesitan para
construir una escalera de tres peldaños cuya base es un rectángulo de por
de ancho, con una altura de cada una?
Encontremos el volumen de uno de los peldaños de la escalera y luego
multipliquémoslo por para tener completo el volumen de la escalera.
Como los peldaños tienen por base un rectángulo de por de
ancho, con una altura de cada uno, tenemos que el volumen de cada uno
es de
Solución
Solución

Sólidos
377
ahora bien el volumen total de la escalera es
Pero , así que .
18. Considere una zanahoria a la cual se le corta el tallo para formar así una figura
cónica de radio y de volumen aproximadamente. ¿Cuál es su
largo?
Sabemos que el volumen de un cono está dado por de donde .
Sustituyendo los valores del radio y , resulta
19. Experimente con sus útiles escolares. Usando el tarjador y lápiz de grafito, saque
punta a éste. La figura que se forma se le puede considerar un cono. Suponiendo
que la base es de y tiene una altura de . Calcule cuántos milímetros
cúbicos de grafito hay en la punta afilada.
Como el diámetro es de , entonces el radio es y además la altura
es de , por lo tanto el volumen es
En consecuencia, hay de grafito en la punta afilada del lápiz.
Solución
Solución

Sólidos
378
20. Deduzca la fórmula del área de la esfera a partir de la fórmula de su volumen y
considere la esfera como un cuerpo forrado por pentágonos que serán bases de
las pirámides con las cuales trabajará.
Imaginemos la esfera forrada por una malla con rejillas pentagonales. El área de
la esfera será equivalente a la suma de las áreas de dichos pentágonos:
, donde : es el área de cada pentágono.
Ahora pensemos que cada pentágono es la base de una pirámide pentagonal,
cuyo vértice es el centro de la esfera y cuya altura coincide con el radio.
Entonces el volumen de la esfera estará dado por la suma de los volúmenes de
cada pirámide. Teniendo así
21. Escriba verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique
sus respuestas.
a) Algunos prismas son paralelepípedos.
b) Todo cubo es un prisma.
c) Una condición necesaria y suficiente para que un ortoedro sea un cubo es
que sus caras sean cuadradas.
d) Es posible que un paralelepípedo tenga como base un trapecio.
e) Si un sólido es un prisma entonces es un poliedro.
f) En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles
congruentes.
g) El volumen de un ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones.
Solución

Sólidos
379
a) Verdadero. Pues los paralelepípedos son por definición prismas.
b) Verdadero. Ya que el cubo es un prisma regular.
c) Verdadero. Por definición, los cubos son ortoedros cuyas bases y caras son
cuadradas.
d) Falso. Porque un trapecio no es un paralelogramo.
e) Verdadero. Por definición de prisma.
f) Verdadero. Por definición, una pirámide regular es aquella cuya base es un
polígono regular y cuyas caras laterales son triángulos isósceles congruentes.
h) Verdadero. Pues un ortoedro es un prisma cuya base es rectangular y
sabemos que el volumen de un prisma está dado por el producto del área de
la base y la altura.
Solución

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