Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales. Brevemente define una ecuación diferencial como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Luego clasifica las ecuaciones diferenciales como ordinarias o parciales dependiendo de si contienen derivadas respecto a una o más variables independientes. Finalmente, explica cómo clasificar las ecuaciones diferenciales por orden, grado y linealidad.

1. MATEMÁTICA III
Ingeniería CIVIL
MG. Katty Delgado Namuche
2016

2. 2
¿Qué es una ecuación diferencial?
2
1.0
)( x
exy 

2
1.0
2.0 x
ex
dx
dy 

yx
dx
dy
 2.0
Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación.
Intentaremos contestar preguntas del tipo: ¿Qué función
representa y(x)? ¿Cómo se resuelve semejante ecuación?
Ejemplo de
ecuación
diferencial
Función diferenciable en
(-, ). Su derivada es:

3. 3
¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?
Es una ecuación que contiene las derivadas de una
o más variables dependientes, con respecto a una
o más variables independientes.
Las EDs se clasifican por tipo, orden y linealidad.
yx
dx
dy
 2.0
variable dependiente
variable independiente

4. 4
Ecuación diferencial ordinaria (EDO):
Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias
de una o más variables dependientes de una sola
variable independiente.
Ejemplo de EDO:
Una EDO puede contener más de una variable
dependiente:
Clasificación por tipo:
5 ey
dx
dy x

yx
dt
dy
dt
dx
 2

5. 5
t
u
t
u
x
u
y
u
x
u














20 2
2
2
2
2
2
2
2
Ecuación diferencial parcial (EDP):
Una ecuación que contiene derivadas parciales de
una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes.
Ejemplos:

6. 6
Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...
Notación con primas: y', y'', y'''… y(n),...
Notación de Newton:
Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …
En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál
es la variable dependiente y la independiente:
Notaciones
...,,,
......
xxx
5 ey
dx
dy x


7. 7
x
ey
dx
dy
dx
yd








45
3
2
2
Clasificación según el orden:
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o
EDP) es el orden mayor de la derivadas
involucradas en la ecuación.
Ejemplo:
Segundo orden Primer orden
Luego, es una EDO de segundo orden.

8. 8
Grado
El grado de una ecuación diferencial es el grado
algebraico de su derivada de mayor orden. Es decir,
el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la
que esta elevada la derivada que nos da el orden de la
ecuación diferencial.
Ejemplo:
La siguiente ecuación
diferencial:
es de primer grado, dado que la segunda derivada, que
nos da el orden de la EDO, está elevada a uno.
x
ey
dx
dy
dx
yd






 45
3
2
2

9. 9
Ejercicios
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
735 2
5
2
22
4
4


















x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
3
2
2
2
6
2
2
7 












dx
yd
x
dx
dy
x
dx
yd
NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio,
que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que
eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.
17 2
 x
dx
dy
3
2
2
dx
dy
x
dx
yd


10. 10
Ejercicios
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales:
1.
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3 = 3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦
2.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 + 13
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4
+ 𝑥2
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3
3.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 18
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
4
= 8𝑥
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
5
4.
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
− 5𝑥 = 8
𝑑𝑦
𝑑𝑥
5.
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑥 − 2
6.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 + 3𝑥 =
5 𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
3
7.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
3
+ 7𝑥 = 81 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
4
8.
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
9.
𝑑5 𝑦
𝑑𝑥5
1
3
= 8 1 +
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
2
5
2
10.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
5
= 5 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
5

11. 11
COMPROBACIÓN DE LA SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

12. 12
COMPROBACIÓN DE LA SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

13. 13
COMPROBACIÓN DE LA SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

14. 14
COMPROBACIÓN DE LA SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

15. Solución de una EDO
 Una delas EDO más simple es la ecuación de primer grado.
 Una función definida por y=f(x) es una solución de una ecuación diferencial si
«y» y sus derivadas satisfacen la ecuación:
GeneralsoluciónCxFy
dxxfdy
egramos
dxxfdy
xf
dx
dy




 
)(
)(
:int
)(
)(

16. Ejemplo 2:
 
 
ParticularSoluciónxxy
Centonces
xysi
GeneralsoluciónCxxy
dxxdy
egramos
dxxdy
xysix
dx
dy
2
2:
14
13
:int
13
14;13
3
3
2
2
2







 

17. Ecuaciones Separables
Una EDO de primer orden es separable si, después de
algunas operaciones algebraicas elementales, es posible
ordenar la ecuación de tal manera que la variable
dependiente ( por lo general «y») se ubique en uno de
los miembros y todas la variables independiente
(normalmente «x») se encuentren en el otro miembro.

18. Ejemplo :
yxy
eDxy
xeDy
óncomprobaci
eDy
eey
ey
Cxy
dxx
y
dy
egramos
dxx
y
dy
xy
dx
dy
xyy
x
x
x
cx
cx
2
2
2
:
ln
2
:int
2
2
2
'
'
'
2
`
2
2
2
2
2












 

19. Ecuaciones Lineales de Primer
Orden. )()('
xbyxay 

dxxa
exq
)(
)(
 
 












"")(:
)(
)(
)()(.
)()(.
:
.
,
)()(.
)()(
)(
)(
)(
'
)('
)()(')(
yadomultiplicaestardebexaObs
xq
Cxbe
y
Cxbexqy
Cxbedxxqy
Entonces
izquierdomiembroalCàlculo
dellFundamentaTeoremaelaplicandomiembrosambosIntegramos
xbexqy
xbeyxaeye
dxxa
dxxa
dxxa
dxxa
dxxadxxadxxa
Son de la forma:
Multiplicamos por el factor integrante: