probabilidad

2. Leyes de probabilidad:
Las relaciones que se dan entre los eventos al ser
aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan
y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y
teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma: Es una verdad evidente que no requiere
demostración.
Teorema: Es una verdad que requiere ser demostrada.

3. Axioma 1:
Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A  S, entonces se
cumple que
0  P(A)  1
esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande
que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando
es cero se llama evento imposible.
P(A)
___________________________________
 -2 -1 0 1 2

4. Axioma 2:
La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro y
es uno:
P(S) = 1
Ejemplo.-
Experimento.- Se lanza un dado.
Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio
muestral, entonces:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 


S
N
S
N
S
N
A
N
A
P

5. Teorema 1:
Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es
igual a cero:
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no
compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado.
Que una persona viva 250 años.
En estos casos los eventos son vacíos.
0
)
(
0
)
(
)
(
)
( 


S
N
S
N
N
P



6. Axioma 3:
Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B
dos eventos tales que: A  S, B  S y A  B = , es
decir, dos eventos mutuamente excluyentes,
entonces
P(A  B) = P(A) + P(B)

7. Ejemplo:
Experimento: “Se lanzan dos monedas”.
Espacio muestral: S = { ss, aa, sa, as}, N(S) = 4
Sean los eventos:
A: “Caen dos soles exactamente”.
B: “Cae un sol exactamente”.
Los elementos de A y B son: A = { ss }, B = {sa, as}.
Se puede ver que para A  B =  (vacío, no hay elementos
en común), por lo que los eventos son mutuamente
excluyentes o disjuntos, por tanto
P(A  B) = P(A) + P(B)

8. ( ) 1
( )
( ) 4
( ) 2
( )
( ) 4
1 2 3
( ) ( ) ( )
4 4 4
N A
P A
N
N B
P B
N
P A B P A P B
 

 

     
Continuación del ejemplo:

9. Axioma 4:
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos mutuamente
excluyentes:
P(A1  A2  A3  A4, ...  An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
eventos mutuamente excluyentes (que no tienen
elementos en común), es igual a la suma de sus
probabilidades.

10. Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces
para n eventos seria:
Continuación:
1 2 1 2
1 2
( ... ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( ... )
n n
n n
i j i j k k
i j i j k
P A A A P A P A P A
P A A P A A A P A A A
  
    
  
 

11. Ejemplo:
Experimento: “Se lanza un dado”.
Sean los eventos:
A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”.
B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a 4”.
C: “Que salga el 1 o 3”.
Los elementos de A, B y C son
A = {2, 4}, N(A) = 2
B = {5, 6}, N(B) = 2
C = {1, 3} , N(C) = 2

12. Continuación:
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que:
A  B = {}, A  C = { }, B  C = { }
Por axioma 4:
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)
( ) 2
( )
( ) 6
( ) 2
( )
( ) 6
( ) 2
( )
( ) 6
2 2 2 6
( ) ( ) ( ) ( ) 1
6 6 6 6
N A
P A
N
N B
P B
N
N C
P C
N
P A B C P A P B P C
 

 

 

         

13. Teorema2: Ley aditiva de la
probabilidad.
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B  ,
entonces:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

14. DIFERENCIA:
Sean A y B dos eventos:
A - B = { x | x  A y x  B }

15. Ejemplo:
Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(S) = 12
Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.
Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.
A = { 2s, 3s }, N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
A  B = { 2s } N(A  B ) = 1
3
1
12
1
12
3
12
2
)
(
)
(
)
(
)
( 







 B
A
P
B
P
A
P
B
A
P

16. Teorema 3:
Sea A un evento cualquiera y S un espacio
muestral, tal que A  S, si Ac es el complemento
del evento A, entonces la probabilidad de Ac es
igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir
P(Ac) = 1 – P(A)

17. Ejemplo:
Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(S) = 12
Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.
Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.
A = { 2s, 3s }, N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
12
9
12
3
1
)
(
1
)
(
12
10
12
2
1
)
(
1
)
(










B
P
B
P
A
P
A
P
C
c

18. Probabilidad condicional:
Sea A un evento arbitrario de un espacio
muestral S, con P(E) > 0. La probabilidad de
que un evento A suceda una vez que E ha
sucedido o en otras palabras, la probabilidad
condicional de A dado E, se define como:
)
(
)
(
)
/
(
E
P
E
A
P
E
A
P



19. Eventos independientes
Se dice que los eventos A y E son independientes si se
cumplen:
Si no se cumplen, se dice que los eventos son
dependientes.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
B
P
A
P
B
A
P
E
P
A
E
P
A
P
E
A
P





20. Probabilidad condicional:
Ley Multiplicativa de la Probabilidad.
Ya que (A  E) = (E  A) y despejamos a P(A  E), se tiene
que la probabilidad de la intersección es:
)
A
P(
)
E/A
P(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
/
(







E
P
E
A
P
E
A
P
A
P
A
E
P
A
E
P
E
P
E
A
P
E
A
P

21. Probabilidad condicional:
Si A y B son independientes:
P(E)P(A)
)
A
P(
)
E/A
P(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(




 E
P
A
P
E
P
E
A
P
E
A
P
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
/
(
E
P
A
P
A
P
E
P
A
P
A
E
P
A
E
P
A
P
E
P
E
P
A
P
E
P
E
A
P
E
A
P









22. Ejemplo:
Experimento: “Lanzar un dado”.
Evento A: “Que al lanzar el dado caiga 3”.
Evento E: “Que al lanzar un dado salga un impar”.
Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado
se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {3}, E = { 1,3,5}, (AE) = {3}, P(A) = 1/6
 
  3
1
3
6
6
1
6
3
6
1











x
x
E
P
E
A
P
E
A
P

23. Otra forma de calcular las probabilidades de la
intersección y las probabilidades condicionales,
de dos eventos A y B, tal que:
A  AC = S
B  BC = S
es elaborando primero la tabla de número de
elementos de los eventos y después la tabla de
sus probabilidades.

24. B Bc Total
A A  B A  Bc A
Ac Ac  B Ac  Bc Ac
Total B Bc S
Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac,
Bc

25. B Bc Total
A N(A  B) N(A  Bc) N(A)
Ac N(Ac  B) N(Ac  Bc) N(Ac)
Total N(B) N(Bc) N(S)
Tabla de número de elementos de A, B y sus
complementos Ac, Bc

26. B Bc Total
A P(AB) P(ABc) P(A)
Ac P(AcB) P(AcBc) P(Ac)
Total P(B) P(Bc) P( Ω)
Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus
intersecciones

27. Probabilidades
condicionaLES:
P(A/B) = P(A  B)/P(B)
P(B/A) = P(A  B)/P(A)
P(A/Bc) = P(A  Bc)/P(Bc)
P(B/Ac) = P(Ac  B)/P(Ac)
P(Ac/B) = P(Ac  B)/P(B)
P(Bc/A) = P(A  Bc)/P(A)

28. Ejemplo:
En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la
población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de
las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un
economista estudia la situación de empleo, elige al azar una
persona desempleada. Si la población total es de 8000
personas,
¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:
a).- Mujer.
b).- Hombre.
c).- Mujer dado que está empleado.
d).- Desempleado dado que es hombre.
e).- Empleado dado que es mujer.

29. Solución:
Sean los eventos:
M: “Que sea Mujer”.
H: “Que sea Hombre”.
D: “Que sea Desempleado”.
E: “Que sea Empleado”
Tabla de elementos de los eventos M, H, D, E Y S.
Desempleados : D Empleados: E Total
Mujeres: M 800 3200
4000
Hombres: H 200 3800 4000
Total 1000 7000 8000

30. D E Total
M 800/8000 = 0.1 3200/8000= 0.4 4000/8000= 0.5
H 200/8000= 0.025 3800/8000= 0.475 4000/8000= 0.5
Total 1000/8000= 0.125 7000/8000= 0.875 8000/8000= 1
Tabla de probabilidades:

31. Continuación:
P(M) = 0.50
P(H) = 0.50
P(E) = 0.875
P(D) = 0.125
P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0.40/0.875 = 0.4571
P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0.025/0.5 = 0.05
P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0.40/0.5 = 0.8
P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0.10/0.125 = 0.8
P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0.025/0.125 = 0.2

32. Continuación:
Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que:
P(M) = 0.50
P(H) = 0.50
P(E) = 0.875
P(D) = 0.125
P(ME) = 0.40 P(M) P(E) = 0.4375
P(DH) = 0.025P(D) P(H) = 0.0625
P(MD) = 0.10 P(M) P(D) = 0.0625
P(EH) = 0.475P(E) P(H) = 0.4375

33. Continuación:
Por tanto los eventos M y E ,
D y H,
M y D,
E y H
son dependientes.

34. Ley multiplicativa:
1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1
( ... ) ( ) ( ) ( )... ( ... )
k k k
P A A A A P A P A A P A A A P A A A A 

1 2 3 1 2 3
( ... ) ( ) ( ) ( )... ( )
k k
P A A A A P A P A P A P A

INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

35. Probabilidad total:
Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos
(mutuamente excluyentes), que forman una partición
de S. Esto es Ai  Aj =  para toda i y toda j, y
además
S = A1  A2  A3  An
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An

36. Y sea E otro evento tal que E  S y E  Ai  
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
E
E

37. Entonces:
E = S  E = (A1  A2 A3 An)  E
= (A1  E)  (A2  E)  (A3  E)  (An
 E)
Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos,
se tiene que:
P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)
Ya que (Ai  E) es ajeno a (Aj  E) para i ≠ j

38. Como (Ai  E) = (E  Ai) entonces
P(Ai  E) = P(E  Ai) = P(E/Ai) P(Ai)
Entonces la probabilidad completa de E es:
P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

39. Ejemplo:
En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene
con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen
respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de
artículos.
Los porcentajes de productos
defectuosos producidos por
estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un
artículo al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que el
artículo sea defectuoso?

40. Solución:
Sea
D el evento: “Que sea un artículo defectuoso”.
P(M1) = 0.50 P(D/M1) = 0.03
P(M2) = 0.30 P(D/M2) = 0.04
P(M3) = 0.20 P(D/M3) = 0.05
P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3)
= 0.03(0.50) + 0.04(0.30) + 0.05(0.20) = 0.037

41. Máquina 1
Defectuoso
No
defectuoso
Maquina 2
Defectuoso
No
defectuoso
Maquina 1
Defectuoso
No
defectuoso

42. P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037
P(M1) = 0.50
P(D/M1) = 0.03
M1
D P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 =
0.015
ND
P(ND/M1) =
0.97
P(M2) = 0.30
P(D/M2) = 0.04
M2
D P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 =
0.012
ND
P(ND/M2) =
0.96
P(M3) = 0.20
P(D/M3) = 0.05
M3
D P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 =
0.01
ND
P(ND/M3) =
0.95

43. Teorema de bayes:
Supóngase que A1, A2, A3,...,An es una partición de
un espacio muestral S. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La
partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos
mutuamente excluyentes. Sea E cualquier evento,
entonces para cualquier Ai,
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
2
2
1
1 n
n
I
i
i
A
E
P
A
P
A
E
P
A
P
A
E
P
A
P
A
E
P
A
P
E
A
P






44. Continuación:
P(E)
)
)P(E/A
P(A
/E)
P(A
entonces
)
)P(E/A
P(A
)
)P(E/A
P(A
)
)P(E/A
P(A
P(E)
:
es
E
de
completa
ad
probabilid
la
Como
I
i
i
n
n
2
2
1
1




 

45. Ejemplo:
En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene
con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen
respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de
artículos.
Los porcentajes de productos
defectuosos producidos por
estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un
artículo al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que el
artículo sea defectuoso?

46. Solución:
Sea
D: “Que el artículo sea defectuoso”.
ND: “Que el artículo no sea defectuoso”.
M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”.
M2: “Que haya sido producido por la máquina 2”.
M3: “Que haya sido producido por la máquina 3”.
P(M1) = .50 P(D/M1) = .03
P(M2) = .30 P(D/M2) = .04
P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

47. P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037
P(M1) = 0.50
P(D/M1) = 0.03
M1
D P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 =
0.015
ND
P(ND/M1) =
0.97
P(M2) = 0.30
P(D/M2) = 0.04
M2
D P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 =
0.012
ND
P(ND/M2) =
0.96
P(M3) = 0.20
P(D/M3) = 0.05
M3
D P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 = 0.01
ND
P(ND/M3) =
0.95

48. Continuación:
Por teorema de Bayes se tiene:
La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya
producido en la M1 es del 40.54%
4054
.
037
.
)
03
)(.
50
(.
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
(
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1
1






D
P
M
D
P
M
P
M
D
P
M
P
M
D
P
M
P
M
D
P
M
P
M
D
P
M
P
D
M
P