Diferenciales de funciones

1. CÁLCULO II
(CÁLCULO INTEGRAL)
DIFERENCIALES

2. MAPA CONCEPTUAL

4. Una variable continua presenta siempre posibilidad
de cambio como cualidad esencial y en particular si
en una situación se tiene una variable
independiente x, se define al diferencial como
aquella cantidad diferente de cero que satisface la
propiedad:
dxxlím
x

 0
El Diferencial
Hasta este momento, la definición del diferencial de
una variable independiente no presenta ninguna
característica diferente respecto a los incrementos
que hagan necesaria y útil su definición; sin
embargo, su importancia y utilidad se presenta
cuando analizamos que ocurre en una función.
O bien: dxxxxlím
x


)(
0

5. Una función cualquiera en un punto x0 dado se
puede “aproximar linealmente” y esta
aproximación es válida en puntos muy cercanos
al x deseado, siempre que la función se
aproxime mediante su recta tangente en el
punto, como se muestra en la siguiente figura.

6. Pero la “aproximación lineal” es válida para valores de
x muy cercanos a x0, ya que conforme x se aleja de x0,
el error de la aproximación crece cada vez más ya que
representa la separación entre la curva de f(x) y la
recta tangente, luego la diferencia Δx = (x – x0)→0, es
decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra
definición previa, pero de la misma forma se puede
observar que Δy = y – y0 por lo que sustituyendo en la
ecuación de la recta tangente resulta:
CONCEPTO DE DIFERENCIAL
De la figura anterior la ecuación de la recta tangente
que aproxima a la función dada en el punto x0 es:
y – y0 = f ´(x0) (x – x0)
dy = f´(x0) dx

7. Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial
de la función” en el punto x0 y su significado
geométrico se puede observar en la figura.
)(' xf
dx
dy
 dxxfdy )('
Es importante señalar que en la notación de Leibniz
para la derivada podemos simplemente despejar dy
para encontrar la misma expresión, es decir:

8. De acuerdo a la definición dy = f ’(x0) dx,
el cálculo del diferencial depende
esencialmente de la determinación de la
derivada, así por ejemplo:
FUNCIÓN DIFERENCIAL
13)( 23
 xxxf
xxg cos)( 
tth ln)( 
3
3
4
rV 
 dxxxdf 63 2

dxxsendg 
dt
t
dh
1

drrdV 2
4

9. Para qué sirven
PROBLEMA 1.
Estimar un aumento ó una disminución en alguna
función.
Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de
longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó
aproximadamente su área?.
PROBLEMA 2.
Estimar errores en la medición de algunas magnitudes
Ejemplo 2. Al calcular la altura de un cerro se encuentra
que desde un punto situado a 100m de la proyección en
el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve
con un ángulo de elevación de 30°. Encuentre
aproximadamente el mayor error que se comete al
calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo
se hace con un posible error de 0.3°.
Resuelven
Problemas

10. ACTIVIDAD.
De cinco ejemplos de
diferenciales de
funciones.
TAREA.
Resolver los ejercicios del
libro 11 al 17 (impares),
pág. 255, sección 3.10