EDUCATIVO

1. EJERCICIOS RIGIDEZ LATERAL INCLUIDO ACERO DE REFUERZO
EJERCICIO 1:
Para la columna, hallar la rigidez lateral considerando lo siguiente:
a. Solo efecto de flexión
b. Efecto de flexión más corte
c. Con aporte del acero de refuerzo
d. Con aporte del acero de refuerzo más el acero transversal
Datos:
f’c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
Es = 2.1x10^6 kg/cm2
Solución:
Cálculos previos
Centro de gravedad
Xcg = Ycg = (15x30x60 + 30x30x45)/(30x60+30x30) = 25cm
Módulo de elasticidad del concreto
Ec = 2.17x10^5 kg/cm2
Calculo de la sección transformada del acero de refuerzo
As = Aφ(n-1)
n = Es/Ec = 2.1x10^6/2.17x10^5
6cm
60cm
60cm
30cm
30cm
12 1"f
12 3/8"; 1@0.05, 4@0.1, r@0.25mf

2. n = 9.2
Área equivalente
As1 = As2 = 4x5.07(9-1) = 166.3 cm2
As3 = As4 = 2x5.07(9-1) = 83.15 cm2
Calculo de la inercia de la sección:
Sección
Inercia
(cm4)
Área
(cm2)
Distancia
(cm)
A.d^2
a 540000 1800 5 45000
b 67500 900 10 90000
1 - 166.3 19 60034.3
2 - 166.3 1 166.3
3 - 83.15 11 10061.15
4 - 83.15 29 69929.15
Suma 607500 3198.9 275190.9
De la sección de concreto
I = 742500 cm4
Con aporte de acero
I = 882690.9 cm4
Factor de forma, para una sección L
K = f = 1
Cálculo de la rigidez
𝐾 =
1
ℎ3
3𝐸𝐼 +
𝐾𝐻
𝐺𝐴
4
a
b
3
2
1

3. a.- Cálculo de la rigidez de la columna por efecto de flexión
𝐾 =
1
3003
3𝑥2.17𝑥105 𝑥742500
= 17.90 𝑡𝑛/𝑐𝑚
b.- Considerando flexión más corte
𝐾 =
1
3003
3𝑥2.17𝑥105 𝑥742500
+
1𝑥300
0.4𝑥2.17𝑥155 𝑥2700
= 17.50 𝑡𝑛/𝑐𝑚
c.- Cálculo de la rigidez de la columna con aporte del acero de refuerzo long.
𝐾 =
1
3003
3𝑥2.17𝑥105 𝑥882690.9
= 21.28 𝑡𝑛/𝑐𝑚
d.- Cálculo de la rigidez de la columna con aporte del acero de refuerzo transversal
𝐾 =
1
3003
3𝑥2.17𝑥105 𝑥882690.9
+
1𝑥300
0.4𝑥2.17𝑥105 𝑥3198.9
= 20.80 𝑡𝑛/𝑐𝑚
Análisis Rigidez (tn/cm) % Variación
a 17.9 0
b 17.5 2.23
c 21.28 18.88
d 20.8 16.20
Este cuadro comparativo es respecto al valor inicial obtenido en el caso (a).

4. EJERCICIO 2:
Para el elemento de concreto armado, hallar la rigidez lateral considerando lo siguiente:
a. Considerando un elemento rectangular de sección (0.2mx5m) de concreto.
b. Considerando la geometría del muro
c. Con aporte del acero de refuerzo
Datos:
h = 3m
f’c = 210 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
Solución:
Calculos previos
Centro de gravedad
Xcg = 250 cm
Ycg = 17.93 cm
Área equivalente del acero
As = Aφ(n-1)
n = Es/Ec = 2.1x10^6/2.17x10^5
n = 9.2
Área equivalente
Para una barra de acero de 1” de diámetro Aφ = 5.07 cm2
Para una barra de acero de 3/8” de diámetro Aφ = 0.71 cm2
12 1"f
26 3/8" @ 0.275mf
12 1"f
0.3m
0.3m
5m
0.8m 0.8m
3 3/8"; 1@0.05, r@0.275mf
20cm
x
y

5. Calculo de la inercia de la sección:
Sección
Inercia
(cm4)
Área
(cm2)
Distancia (cm) A.d^2
a 6.57x10^7 6800 0 0.0
b 1.28x10^6 2400 210 105840000.0
c 1.28x10^6 2400 210 105840000.0
1 - 121.68 244 7244340.5
2 - 81.12 227 4180032.5
3 - 81.12 210 3577392.0
4 - 81.12 193 3021638.9
5 - 121.68 176 3769159.7
6 - 11.64 165 316899.0
7 - 11.64 137.5 220068.8
8 - 11.64 110 140844.0
9 - 11.64 82.5 79224.8
10 - 11.64 55 35211.0
11 - 11.64 25.5 7568.9
12 - 11.64 0 0.0
13 - 11.64 25.5 7568.9
14 - 11.64 55 35211.0
15 - 11.64 82.5 79224.8
16 - 11.64 110 140844.0
17 - 11.64 137.5 220068.8
18 - 11.64 165 316899.0
19 - 121.68 176 3769159.7
20 - 81.12 193 3021638.9
21 - 81.12 210 3577392.0
22 - 81.12 227 4180032.5
23 - 121.68 244 7244340.5
Suma 6.816x10^7 12724.76 256864759.9
Inercia de la sección de concreto
I = 2.8x10^8 cm4
Inercia con aporte de acero
I = 3.25x10^8 cm4
12 1"f 26 3/8" @ 0.275mf 12 1"f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
b c
a

6. Factor de forma, para una sección C
K = f = 1.1
Cálculo de la rigidez: otra forma de representar la ecuación (1) es:
𝐾𝑙 =
1
1
𝐾𝑏
+
1
𝐾𝑠
La que llamaremos ecuación (2) donde:
• Rigidez por momento flexionante 𝐾𝑏 =
3𝐸𝐼
ℎ3
• Rigidez por cortante 𝐾𝑠 =
𝑓.ℎ
𝐺𝐴
a.- Considerando un elemento rectangular de sección (0.2mx5m) de concreto.
Para el caso de una sección rectangular
𝐾𝑏 =
𝐸𝑚. 𝑡
4(
ℎ
𝐿)3
=
2.17𝑥105
𝑥20
4(
300
500
)3
= 5023.15 𝑡𝑛/𝑐𝑚
𝐾𝑠 =
𝐸𝑚. 𝑡
3(
ℎ
𝐿)
=
2.17𝑥105
𝑥20
3(
300
500
)
= 2411.11 𝑡𝑛/𝑐𝑚
𝐾𝑙 =
1
1
5023.15
+
1
2411.11
= 1629.13 𝑡𝑛/𝑐𝑚
Usando el programa SACHA, para una sección rectangular K = 1629.13 tn/cm
L
t

7. b.- Considerando la geometría del muro
𝐾𝑏 =
3𝐸𝐼
ℎ3
=
3𝑥2.17𝑥105
𝑥2.8𝑥108
3003
= 6751.11 𝑡𝑛/𝑚
𝐾𝑠 =
𝐺𝐴
𝑓. ℎ
=
0.4𝑥2.17𝑥105
𝑥11600
1.1𝑥300
= 3051.15 𝑡𝑛/𝑚
𝐾𝑙 =
1
1
6751.11
+
1
7627.88
= 2101.42 𝑡𝑛/𝑐𝑚
c.- Con aporte del acero de refuerzo
𝐾𝑏 =
3𝐸𝐼
ℎ3
=
3𝑥2.17𝑥105
𝑥3.25𝑥108
3003
= 7836.11 𝑡𝑛/𝑚
𝐾𝑠 =
𝐺𝐴
𝑓. ℎ
=
0.4𝑥2.17𝑥105
𝑥12724.76
1.1𝑥300
= 3347 𝑡𝑛/𝑚
𝐾𝑙 =
1
1
7836.11 +
1
3347
= 2345.27 𝑡𝑛/𝑐𝑚
Cuadro comparativo del análisis a, b, c.
Analisis Rigidez (tn/cm) % Variación
a 1629.13 0.00
b 2101.42 28.99
c 2345.27 43.96
Este cuadro comparativo es respecto al valor inicial obtenido en el caso (a).
x
b c
a
y
cg
(250,17.93)
12 1"f 26 3/8" @ 0.275mf 12 1"f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
b c
a

8. EJERCICIO 3
Para el muro de albañilería confinada se pide hallar la rigidez lateral, considerando:
a. Todo el muro de albañilería
b. Considerando los elementos de confinamiento vertical
c. Considerando los elementos de confinamiento vertical y acero longitudinal
Datos:
f’m = 35 kg/cm2
f’c = 175 kg/cm2
fy = 4200 kg/cm2
h = 2.5 m
Em = 500.f’m
Solución:
Cálculos previos
Centro de gravedad (simétrico)
Xcg = 200 cm
Ycg = 7.5 cm
Área equivalente del acero a mampostería
As = Aφ(n-1)
n = Es/Ec = 2.1x10^6/1.75x10^4
n = 120
Para acero φ1” Aφ = 5.07 cm2
Para acero φ3/8” A φ = 0.71 cm2
x
y
4 1/2"f
3 1/4"; 1@0.05, 22@0.07m, r@0.14mf
2 3/8"f
4 1/2"f
2 3/8"f
3 1/4"; 1@0.05, 22@0.07m, r@0.14mf
L = 2.7mL = 0.65m L = 0.65m
x
mampostería

9. Área equivalente del concreto a mampostería
Ac = n.t.D
n = Ec/Em = 1.98x10^5/1.75x10^4 = 11.34
n = 11.34
D = 65cm
Cálculo de la inercia de la sección:
Sección
Inercia
(cm4)
Área
(cm2)
Distancia (cm) A.d^2
a 24600000 4050 0 0
b 3890000 11000 167.5 308618750
c 3890000 11000 167.5 308618750
1 - 302.26 194 11375857.36
2 - 168.98 167.5 4740945.125
3 - 302.26 141 6009231.06
4 - 302.26 141 6009231.06
5 - 168.98 167.5 4740945.125
6 - 302.26 194 11375857.36
suma 32380000 27597 661489567.1
• Inercia de la sección considerando mampostería en su totalidad.
I = 8 x10^7 cm4
• Inercia de la sección considerando aporte del concreto.
I = 6.5x10^8 cm4
• Inercia de la sección considerando aporte del concreto y acero.
I = 6.95x10^8 cm4
Factor de forma
K = f = 1.23
n.t = 1.7m
D=0.65m
L = 4m
b a c

10. a.- Todo el muro de albañilería
𝐾𝑏 =
𝐸𝑚. 𝑡
4(
ℎ
𝐿)3
=
1.75𝑥104
𝑥15
4(
250
400)3
= 268.8 𝑡𝑛/𝑐𝑚
𝐾𝑠 =
𝐸𝑚. 𝑡
3(
ℎ
𝐿
)
=
1.75𝑥104
𝑥15
3(
250
400
)
= 140 𝑡𝑛/𝑐𝑚
𝐾𝑙 =
1
1
268.8
+
1
140
= 92.05 𝑡𝑛/𝑐𝑚
Usando el programa SACHA, para una sección rectangular de mampostería K = 92.05 tn/cm
b.- Considerando los elementos de confinamiento vertical.
Transformando la sección de concreto a mampostería
𝐾𝑏 =
3𝐸𝐼
ℎ3
=
3𝑥1.75𝑥104
𝑥6.5𝑥108
2503
= 2184 𝑡𝑛/𝑚
𝐾𝑠 =
𝐺𝐴
𝑓. ℎ
=
0.4𝑥2.17𝑥105
𝑥26050
1.23𝑥250
= 593.01 𝑡𝑛/𝑚
L = 400cm
t=15cm
n.t = 1.7m
D=0.65m
L = 4m
b a c

11. 𝐾𝑙 =
1
1
2184 +
1
593.01
= 2101𝑡𝑛/𝑐𝑚
c.- Considerando los elementos de confinamiento vertical y acero longitudinal
𝐾𝑏 =
3𝐸𝐼
ℎ3
=
3𝑥1.75𝑥104
𝑥6.95𝑥108
2503
= 2335.2 𝑡𝑛/𝑚
𝐾𝑠 =
𝐺𝐴
𝑓. ℎ
=
0.4𝑥2.17𝑥105
𝑥27597
1.23𝑥250
= 628.22 𝑡𝑛/𝑚
𝐾𝑙 =
1
1
2335.2
+
1
628.22
= 495.04𝑡𝑛/𝑐𝑚
Cuadro comparativo
Análisis Rigidez (tn/cm) % Variación
a 92.05 0.00
b 466.38 406.66
c 495.04 437.79
Este cuadro comparativo es respecto al valor inicial obtenido en el caso (a).
La variación entre (b) y (c) es 6.14%.