Matemáticas para ingeniería

2. TEMA 1.2.2.
UNIDAD I
FUNCIONES ESCALARES DE
VARIAS VARIABLES

3. TEMA 1.2.2.
UNIDAD I
PLANOS Y SUPERFICIES.
LIMITES Y CONTINUIDAD.

4. LIMITES Y CONTINUIDAD.
Entornos en el plano.
En esta sección se estudiarán límites
y continuidad de funciones de dos o tres
variables.
La sección comienza con funciones
de dos variables.
Al final de la sección, los conceptos
se extienden a funciones de tres variables.
El estudio del límite de una función de

5. dos variables inicia definiendo el análogo
bidimensional de un intervalo en la recta
real.
Utilizando la fórmula para la distancia
entre dos puntos (x, y), (x0, y0) y en el
plano, se puede definir el entorno de d de
(x0, y0) (como el disco con radio d > 0,
centrado en (x0, y0) como se define con la
siguiente ecuación.
Disco abierto. d

6. Como se muestra en la figura de abajo.
Cuando esta fórmula contiene el signo
de desigualdad menor que <, al disco se le
llama abierto, y cuando contiene el signo
de desigualdad menor o igual que <= , al
disco se le llama cerrado.
Esto corresponde al uso del y del al
definir intervalos abiertos y cerrados.

7. Un punto (x0, y0) en una región R del
plano es un punto interior de R si existe un
entorno d de que esté contenido
completamente en como se muestra en la
figura de abajo.

8. Si todo punto de es un punto interior,
entonces es una región abierta.
Un punto (x0, y0) es un punto frontera
de si todo disco abierto centrado en
contiene puntos dentro de y puntos fuera
de (x0, y0).
Por definición, una región debe
contener sus puntos interiores, pero no
necesita contener sus puntos frontera.
Si una región contiene todos sus
puntos frontera, la región es cerrada.

9. Una región que contiene algunos pero
no todos sus puntos frontera no es ni
abierta ni cerrada.
DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
DE DOS VARIABLES.
Sea f una función de dos variables
definida en un disco abierto centrado en
(x0, y0), sea L un número real. Entonces

10. Si para cada e > 0 existe un d > 0 tal
que
Siempre que
Gráficamente, esta definición del
límite implica que para todo punto
(x0, y0) ≠ (x0, y0)

11. en el disco de radio el d valor está
entre L + ∈ y L – ∈, como se muestra en la
figura de abajo.

12. La definición del límite de una función
en dos variables es similar a la definición
del límite de una función en una sola
variable, pero existe una diferencia
importante.
Para determinar si una función en una
sola variable tiene límite, sólo se necesita
ver que se aproxime al límite por ambas
direcciones: por la derecha y por la
izquierda.
Si la función se aproxima al mismo
límite por la derecha y por la izquierda, se

13. Sin embargo, en el caso de una
función de dos variables, la expresión:
(x0, y0) → (x0, y0)
significa que el punto (x, y) puede
aproximarse al punto (x0, y0) por cualquier
dirección.
Si el valor de
no es el mismo al aproximarse por
cualquier dirección, o trayectoria o camino
a el límite no existe.

14. EJEMPLO 1.
Verificar un límite a partir de la
definición.
Mostrar que
Solución.
Sea F(x, y) = x y L = a
Se necesita mostrar que para cada
e > 0, existe un entorno d de (a, b) tal
que

15. Siempre que
se encuentra en entorno.
Primero se puede observar que
Implica que
Así que se puede elegir d = e y el
límite queda verificado.

16. Los límites de funciones de varias
variables tienen las mismas propiedades
respecto a la suma, diferencia, producto y
cociente que los límites de funciones de
una sola variable.
Algunas de estas propiedades se
utilizan en el ejemplo siguiente

17. Propiedades de límites de funciones
de dos variables
Las reglas siguientes se cumplen si L, M y
K son números reales y
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝑳
y
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝑴
Las reglas son las siguientes:

18. 1) Regla de Suma:
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝑳 + 𝑴
2) Regla de la Diferencia:
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 − 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝑳 − 𝑴
3) Regla del Producto:
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 . 𝒈(𝒙, 𝒚) = 𝑳. 𝑴
4) Regla de Multiplicación por una
Constante:
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝑲. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑲. 𝒍
(K es cualquier número)

19. 5) Regla del Cociente:
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙,𝒚)
𝒈(𝒙,𝒚)
=
𝑳
𝑴
, M ≠ 0
6) Regla de la Potencia: si r y s son
enteros no comunes, y s ≠ 0, entonces:
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚)
𝒓
𝒔 = 𝑳
𝒓
𝒔

20. Ejemplo 2.
Compruebe que :
Solución.
La técnica que usamos con el
ejemplo anterior no es adecuada para
este caso, pues, aunque el límite dé cero
a través de muchas trayectorias esto no
demuestra que este sea su valor; pero
nos hace sospechar que el límite existe.

21. Sea e > 0, , queremos encontrar un
valor de d > 0 > de (a, b) tal que:
siempre que
Es decir que
siempre que

22. como
Por consiguiente, si elegimos a

23. entonces
Por consiguiente, por la definición:

24. Ejemplo 3.
Calcule el límite siguiente:
Solución.
Evaluando da:

25. Ejemplo 4
Cálculo de un límite.
Calcular:
Solución.
Usando las propiedades de los
límites de productos y de suma, se
obtiene

26. Ejemplo 5
Cálculo de un límite.
Calcular:
Solución.
Usando las propiedades de los
límites de productos y de suma, se
obtiene
Este limite es de la forma 0/0 se tiene
que
factorizar.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<a<AA

27. 𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝟏,𝟏)
𝟏 − 𝟏
𝟏𝟑 − 𝟏𝟑
=
𝟎
𝟎
𝐥𝐢𝐦
𝒙,𝒚 →(𝟏,𝟏)
𝒙 − 𝒚
𝒙𝟑 − 𝒚𝟑

28. Ejemplo 5
Cálculo de un límite.
Calcular:
Solución.
Usando las propiedades de los
límites de productos y de suma, se
obtiene