1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS
Una ecuación diferencial homogénea es de la forma
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0, donde 𝑀 y 𝑁 tienen la propiedad de que para toda
𝑡 > 0, la sustitución de 𝑥 por 𝒕𝒙 , y la de 𝑦 por 𝒕𝒚 hace que 𝑀 y 𝑁 sean del mismo
grado n.
𝑀 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦)
𝑁 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑁 𝑥, 𝑦 ,n∈R
Por esta razón, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables
separables mediante sustituciones apropiadas.
Método de Solución:
Una ecuación de la forma 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 donde 𝑀 y 𝑁 tienen el
mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables
separables usando cualquiera de las sustituciones 𝑦 = 𝑢𝑥 o bien 𝑥 = 𝑣𝑦 en
donde 𝑢 y 𝑣 son nuevas variables dependientes. Si elegimos en particular 𝑦 =
𝑢𝑥 , entonces 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 .
Por tanto la ecuación 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 se transforma en:
𝑀 𝑥, 𝑢𝑥 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑢𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0
Por homogeneidad de 𝑀 y 𝑁 es posible escribir
𝑥 𝑛 𝑀 1, 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑛 𝑁 1, 𝑢 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0 O bien
𝑀 1, 𝑢 + 𝑢𝑁(1, 𝑢) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑁(1, 𝑢)𝑑𝑢 = 0 De donde se obtiene
𝑑𝑥 𝑁 1, 𝑢 𝑑𝑢
+ =0
𝑥 𝑀 1, 𝑢 + 𝑢𝑁(1, 𝑢)
No es aconsejable memorizar esta ecuación, se debe desarrollar el procedimiento
cada vez.
Ejemplo:

2. Resolver la ecuación diferencial 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
Usando 𝑦 = 𝑢𝑥 y 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 se tiene
𝑥 2 + 𝑢2 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑢𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)
Dividiendo entre 𝑥 2 ; 1 + 𝑢2 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)
Separando variables 1 + 𝑢2 − 𝑢2 𝑑𝑥 = 𝑢𝑥 𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑢 𝑑𝑢
𝑥
𝑢2 𝑦
E integrando: 𝑙𝑛 𝑥 = + 𝑐 como 𝑢=
2 𝑥
1 𝑦2 𝑦2
𝑙𝑛 𝑥 = 2
+ 𝑐 Por tanto 𝑙𝑛 𝑥 = + 𝑐
2 𝑥 2𝑥 2
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial 𝑥𝑦´ = 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑦
Usamos 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
Por tanto: 𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢 𝑑𝑥
Simplificando se obtiene 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢 𝑑𝑥
𝑢 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑢 𝑑𝑥 = −𝑥𝑑𝑢
Separando variables −𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
E integrando 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 = 𝑢 Remplazamos el valor de la variable 𝑢 se tiene
𝑦
− cos 𝑥 + 𝑐 =
𝑥
−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑐 = 𝑦
Ejercicios propuestos
Resolver: Soluciones
𝑦
1. 𝑦+ 𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ−1 + 𝑐
𝑥

3. 3𝑦−4𝑥
2. 𝑦´ = 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 2𝑥 = 𝑐
2𝑦−3𝑥
3. 2𝑥𝑦 + 𝑥 2 + 3𝑦 2 𝑦´ + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑥 2 = 0 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 + 𝑥 𝑦2 + 𝑥2 = 𝑐
4. 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 𝑦´ = −3𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 𝑠𝑜𝑙. 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 𝑐
𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑦
5. 𝑥𝑠𝑒𝑛 = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 + 𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑐𝑜𝑠 + 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑥 = 0
𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥
𝑑𝑦 𝑥+𝑦+2
6. = 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 = 3𝑙𝑛 𝑥 + 𝑦 + 1 + 𝑥 + 𝑐
𝑑𝑥 𝑥+𝑦−4
𝑦
𝑑𝑦 −𝑦
7. 𝑥 = 𝑦 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑠𝑜𝑙. 𝑒 −1 − 𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑥
𝑦 1 = −2
𝑑𝑦 𝑦−𝑥+8
8. = 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 − 𝑥 2
− 2 𝑦 − 𝑥 = 18𝑥 − 3
𝑑𝑥 𝑦−𝑥−1
𝑦
9. 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑥 2 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑠𝑜𝑙. 4𝑥𝑙𝑛 𝑥
+ 𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 = 0
𝑦 1 =1
𝑑𝑦
10. 𝑥𝑦 2 = 𝑦3 − 𝑥3 𝑠𝑜𝑙. 𝑦 3 + 3𝑥 3 𝑙𝑛 𝑥 = 8𝑥 3
𝑑𝑥
𝑦 1 =2