1. Soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias
Una función 𝑓(𝑥) es una solución de una ecuación diferencial ordinaria en un
intervalo abierto 𝐼 si satisface la ecuación diferencial en 𝐼.
Ejemplo: la función 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 es solución de la ecuación diferencial
𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 0
Debemos derivar la función 𝑓(𝑥) y remplazar en la ecuación diferencial dada, de
esta forma:
𝑓´ 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥
𝑓´ 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1),
𝑓´´ 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 2)
Remplazando en la ecuación diferencial se tiene:
𝑒𝑥 𝑥+2 −2 𝑒𝑥 𝑥+1 + 𝑥𝑒 𝑥 = 0,
𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 = 0 Por lo tanto 𝑓 𝑥 es solución de la
ecuación diferencial dada.
Una ecuación diferencial de orden 𝑛 tiene una familia de soluciones con 𝑛
parámetros, sin embargo, las situaciones reales presentan un solo resultado en la
realidad. Matemáticamente, es posible reducir el número de soluciones de una
ecuación diferencial a exactamente una solución añadiendo un requerimiento más
a un problema de la ecuación diferencial.
𝑑𝑦
La ecuación diferencial de la forma = 𝑓 𝑥, 𝑦 toma una forma sencilla si la
𝑑𝑥
función 𝑓 es independiente de la variable dependiente 𝑦:
𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
Integramos a ambos lados de la ecuación y obtenemos:
𝑦= 𝑦 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

2. 𝑑𝑦
Esta es una solución general de la ecuación = 𝑓(𝑥) ya que incluye una
𝑑𝑥
constante arbitraria 𝑐, para cada valor que se escoja de 𝑐 constituye una solución
de la ecuación diferencial, si 𝐺(𝑥) es una anti derivada particular de 𝑓, esto es
𝐺´(𝑥) ≡ 𝑓(𝑥) entonces 𝑦 𝑥 = 𝐺 𝑥 + 𝑐. Debemos determinar primero una
solución general que incluya una constante arbitraria 𝑐 , después intentamos,
obtener, mediante una apropiada elección de 𝑐, una solución particular que
satisfaga la condición inicial dada 𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑑𝑦
Ejemplo: resolver el problema con condición inicial = 3𝑥 + 2, 𝑦 1 =2
𝑑𝑥
Integramos a ambos lados de la ecuación diferencial
3
𝑦= 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑐, de acuerdo a las condiciones iniciales
2
𝑦 1 =2
3 2
𝑦 1 = 1 + 2 1 + 𝑐=2
2
3 3 3
Se tiene por tanto que 𝑐 = − , luego 𝑦 = 2 𝑥2 + 2𝑥 − 2,
2