5.prueba didactica algebra-ici-fes-ar

1
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN
SECRETARÍA ACADÉMICA
COMISIÓN DICTAMINADORA DEL ÁREA DE LAS CIENCIAS
FÍSICO MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS
Prueba Didáctica del Tema V Sucesiones y Series, acorde al Programa
Académico de Álgebra para Licenciatura en Ingeniería Civil.
QUE SUSTENTA:
PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
EN LA QUINTA PRUEBA RELATIVA AL CONCURSO DE
OPOSICIÓN PARA INGRESO COMO:
Profesor de Asignatura “A” Definitivo.
CELEBRADO EN EL:
MUNICIPIO DE NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, A 15
DE NOVIEMBRE DEL 2017.

2
ÍNDICE
PÁGINA
1. Introducción ………...…………………………………………………………………4
2. Desarrollo del Tema……………………………………………………………………5
2.1. Sucesión……………………………………………………………………………………….5
2.1.1. Concepto…
2.1.2. Definición…
2.1.3. Clasificación...
2.1.3.1. Sucesión Finita.
2.1.3.1.1. Concepto
2.1.3.2. Sucesión Infinita.
2.1.3.2.1. Concepto
2.1.3.2.2. Definición
2.1.3.2.3. Propiedades
2.1.3.2.4. Tipos
2.1.3.2.4.1. Definición de Sucesión Infinita Divergente
2.1.3.2.4.2. Definición de Sucesión Infinita Convergente
2.1.3.2.4.3. Definición de Sucesión Infinita Monótona
2.1.3.2.4.4. Definición de Sucesión Infinita Acotada
2.1.4. Ejemplos…
2.2. Serie………………………………………………….............................................................11
2.2.1. Concepto…
2.2.2. Definición…
2.2.3. Clasificación...
2.2.3.1. Serie Finita.
2.2.3.1.1. Concepto
2.2.3.2. Serie Infinita.
2.2.3.2.1. Concepto

3
2.2.3.2.3. Clasificación
2.2.3.2.3.1. Definición de Serie Infinita Divergente
2.2.3.2.3.2. Definición de Serie Infinita Convergente
2.2.3.2.3. Tipos
2.2.3.2.3.1. Serie Infinita Geométrica
2.2.3.2.3.2. Serie Infinita Armónica
2.2.3.2.3.3. Serie Infinita Hiperarmónica o Serie Infinita 𝒑
2.2.3.2.3.4. Serie Infinita de Términos Positivos
2.2.3.2.3.4.1. Definición
2.2.3.2.3.4.2. Criterios
2.2.3.2.3.4.2.1. Criterio de Comparación
2.2.3.2.3.4.2.2. Criterio del Cociente o de D´Alembert
2.2.3.2.3.5. Serie Infinita de Signos Alternados
2.2.3.2.3.5.2. Criterios
2.2.3.2.3.5.2.1. Criterio de Leibnitz
2.2.3.2.3.5.2.2. Criterio de la Convergencia
2.2.3.2.3.5.2.2.1. Absoluta
2.2.3.2.3.5.2.2.2. Condicional
2.2.3.2.3.6. Serie Infinita de Potencias.
2.2.3.2.3.6.2. Elemento del Intervalo de Convergencia
2.2.3.2.3.6.3. Clasificación
2.2.3.2.3.6.3.1. Serie de Taylor
2.2.3.2.3.6.3.2. Serie de MacLaurin
2.2.4. Ejemplos
3. Conclusiones………………………………………......................19
4. Referencias Bibliográficas……………………………………....20

4
1. Introducción.
La presente Prueba Didáctica del Tema V Sucesiones y Series, que pertenece al contenido
programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil
(U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), su:
a) Objetivo: Es establecer los conceptos de Sucesión, Serie para determinar su Carácter
Analítico y así representar funciones por medio del Desarrollo en Series de Potencias (Arcila,
1976).
b) Propósito: Es que, al terminar esta Temática, la y el Estudiante debe poder:
1. Explicar el Concepto de: Sucesión Infinita y Límite para una Sucesión.
2. Calcular el Límite de una Sucesión y Determinar si una Sucesión es Monótona o Acotada.
3. Definir el Concepto de Serie.
4. Aplicarle la Prueba de Divergencia a una Serie.
5. Explicar el Concepto de Convergencia de una Serie.
6. Calcular el Valor de una Serie a partir del Término General de la Sucesión de Sumas
Parciales.
7. Demostrar que la Condición Necesaria para la Convergencia de una Serie no es suficiente.
8. Identificar si la Serie es Geométrica o no lo es.
9. Determinar si una Serie Geométrica es Convergente o Divergente.
10. Calcular el Valor de una Serie Geométrica Convergente.
11. Identificar si una Serie es Hiperarmónica o no lo es.
12. Determinar si una Serie Hiperarmónica es Convergente o Divergente.
13. Determinar si una Serie de Términos Positivos es Convergente o Divergente, empleando
las Propiedades de Series y el Criterio de Comparación.
14. Aplicar en una Serie de Términos Positivos el Criterio del Cociente para analizar su
convergencia.
15. Aplicar en una Serie de Signos Alternados el Criterio de Leibnitz para analizar su
convergencia.
16. Determinar si una Serie de Signos Alternados es absolutamente o condicionalmente
convergente.
17. Definir el concepto de Series de Potencias, para poder Determinar su Intervalo de
Convergencia.
18. Obtener el desarrollo en Serie de Taylor en su entorno de un punto dado para una Función.

5
2. Desarrollo del Tema.
2.1. Sucesión.
2.1.1. Concepto.
Una Sucesión es toda Lista Ordenada de Elementos, que pueden coincidir entre sí (Rivera,
2007).
2.1.2. Definición.
La Sucesión es una Colección de Correspondencia que se le Asocia a los Elementos para
cada Número Natural ℕ en un Valor Perteneciente al Sistema de Números Reales ℝ
(Contreras, 2008).
2.1.3. Clasificación.
La Sucesión se Clasifica en: Finita e Infinita (Montes de Oca, 2002).
2.1.3.1. Sucesión Finita
2.1.3.1.1. Concepto.
Una Sucesión Finita es aquella que Consta de un Último Elemento Numérico o Término
Algebraico (Montes de Oca, 2002).
Ejemplos:
𝟐, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟒𝟓, 𝟖𝟎.
𝟏,
𝟐
𝟐𝒆 𝟐
,
𝟒
𝟑𝒆 𝟑
,
𝟖
𝟒𝒆 𝟒
,
𝟏𝟔
𝟓𝒆 𝟓
.
2.1.3.2. Sucesión Infinita
2.1.3.2.1. Concepto.
Una Sucesión Infinita es aquella que No Tiene un Último Elemento Numérico o Término
Algebraico (Montes de Oca, 2002).
Ejemplo:
𝟏
√𝟐
,
𝟖
√𝟒
, … ,
𝟏𝟐𝟓
√𝟏𝟎
, …
2.1.3.2.2. Definición.
La Sucesión Infinita se define mediante una Notación de Elementos con Subíndices para
el: Primer Término en 𝑎1, Segundo Término en 𝑎2, hasta llegar a Involucrar su Término
General o Enésimo Término en 𝑎 𝑛; lo mencionado, Corresponde Representar esta Forma,
por medio del Sistema: 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛, … y esto puede Interpretarse, como {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
(Montes de
Oca, 2002).

6
2.1.3.2.3. Propiedades.
Para Calcular el Límite de las Sucesiones {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
y {𝒃 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
y siendo 𝒄, 𝒅 sus Constantes
podemos hacer Uso de las Propiedades Básicas que se Enuncian a Continuación (Calvo,
1975):
i) lim
𝑛→∞
𝑐 = 𝑐
ii) lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛 𝑑
= 0
iii) lim
𝑛→∞
𝑐(𝑎 𝑛) = 𝑐 lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
iv) lim
𝑛→∞
(𝑎 𝑛 ± 𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 ± lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛
v) lim
𝑛→∞
(𝑎 𝑛 𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 . lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛
vi) lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
=
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛
, si lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 ≠ 0
2.1.3.2.4. Tipos.
Los Tipos de las Sucesiones Infinitas son: Divergente, Convergente, Monótona y
Acotada (Montes de Oca, 2002).
2.1.3.2.4.1. Definición de Sucesión Infinita Divergente.
Una Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
es Divergente cuándo no tiene un límite definido (Rivera, 2007), es
decir que el: lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = ∞ o lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = ∄ (Contreras, 2008).
2.1.3.2.4.2. Definición de Sucesión Infinita Convergente.
La Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
es Convergente cuándo tiene un Límite 𝐿 ∈ ℝ, es decir que el:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿 (Calvo, 1975).
2.1.3.2.4.3. Definición de Sucesión Infinita Monótona (García y Colomé, 1983).
∞
∈ ℝ se le llama Monótona, cuándo es:
i) DECRECIENTE si 𝑎 𝑛 ≥ 𝑎 𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
o
ii) CRECIENTE si 𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
2.1.3.2.4.4. Definición de Sucesión Infinita Acotada (Montes de Oca, 2002).
∞
es Acotada si tiene definida una COTA INFERIOR en 𝑘 = 𝑎1 ∈ ℝ
y una COTA SUPERIOR en el lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐾 ∈ ℝ tal que 𝑘 ≤ 𝑎 𝑛 ≤ 𝐾, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
2.1.4. Ejemplos.

7
1.Determinar si la Siguiente Sucesión 𝒂 𝒏 = {
𝒏 𝟐+𝟏
𝒏
}
𝒏=𝟏
∞
es Convergente o Divergente
(Barrera, 2005).
Para determinar si esta Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
:
Es Convergente cuándo su lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿 ∈ ℝ
Es Divergente cuándo su lim
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = ∄
En este caso, se aplica las Propiedades Básicas para las Sucesiones Infinitas:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛2
+ 1
𝑛
Puesto que el término mayor es 𝑛2
, se divide este en la Sucesión {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2
+ 1
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛2
𝑛2 +
1
𝑛2
𝑛
𝑛2
Por la Propiedad vi) lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
=
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛
, si lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 ≠ 0
lim
𝑛→∞
𝑛2
𝑛2 +
1
𝑛2
𝑛
𝑛2
=
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛2
lim
𝑛→∞
1
𝑛
Por la Propiedad ii) lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛 𝑑
= 0,para el Denominador.
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛2
lim
𝑛→∞
1
𝑛
=
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛2
0
Por la Propiedad iv),en lim
𝑛→∞
{𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 + lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 , para el Numerador
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛2
0
=
lim
𝑛→∞
1 + lim
𝑛→∞
1
𝑛2
0
Por la Propiedad i) lim
𝑛→∞
𝑐 = 𝑐 y ii) para el Numerador.
lim
𝑛→∞
1 + lim
𝑛→∞
1
𝑛2
0
=
1 + 0
0
=
1
0
= ∞
Es decir:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2
+ 1
𝑛
= ∞
Por lo tanto, Identificamos que la Sucesión Infinita es Divergente.
2. Determinar si la Siguiente Sucesión 𝒂 𝒏 = {
𝒏+𝟏
𝟑𝒏
}
𝒏=𝟏
∞
es Convergente o Divergente
(García y Colomé, 1983).
Para determinar si esta Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
:
Es Convergente cuándo su lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿 ∈ ℝ
Es Divergente cuándo su lim
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = ∄
En este caso, se aplica las Propiedades Básicas para las Sucesiones Infinitas:

8
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
3𝑛
Puesto que el término mayor es 𝑛, se divide este en la Sucesión {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛 + 1
3𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 +
1
𝑛
3𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
3
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
=
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛
, si lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 ≠ 0
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
3
=
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
lim
𝑛→∞
3
𝑛→∞
𝑐 = 𝑐, para el Denominador
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
lim
𝑛→∞
3
=
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
3
Por la Propiedad iv), en lim
𝑛→∞
{𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 + lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 , para el Numerador
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
3
=
lim
𝑛→∞
1 + lim
𝑛→∞
1
𝑛
3
Por la Propiedad i) y ii) lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛 𝑑
= 0 para el Numerador
lim
𝑛→∞
1 + lim
𝑛→∞
1
𝑛
3
=
1 + 0
3
=
1
3
Es decir:
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛 + 1
3𝑛
=
1
3
Por lo tanto, la Sucesión Infinita es Convergente al Valor 𝐿 =
1
3
= 0.33 ∈ ℝ.
3. Demostrar que la Sucesión 𝒂 𝒏 = {
𝟓 𝒏
𝟏+𝟓 𝟐𝒏
}
𝒏=𝟏
∞
es Monótona Decreciente (Montes de
Oca, 2002).
Para demostrar si esta Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
∈ ℝ es Monótona Decreciente, se debe cumplir su
desigualdad 𝑎 𝑛 ≥ 𝑎 𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Entonces se debe definir los términos en:
𝑎 𝑛 =
𝟓 𝒏
𝟏+𝟓 𝟐𝒏
y 𝑎 𝑛+1 =
𝟓(𝒏+𝟏)
𝟏+𝟓 𝟐(𝒏+𝟏)
=
𝟓 𝒏+𝟏
𝟏+𝟓 𝟐𝒏+𝟐
→∴ 𝑎 𝑛+1 =
𝟓 𝒏+𝟏
𝟏+𝟓 𝟐𝒏+𝟐
Esto implica sustituir los términos de 𝑎 𝑛 y 𝑎 𝑛+1 en la desigualdad que demuestre ser una
Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
Monótona Decreciente, es decir:
𝑎 𝑛 ≥ 𝑎 𝑛+1 →
5 𝑛
1 + 52𝑛
≥
5 𝑛+1
1 + 52𝑛+2
→ 5 𝑛(1 + 52𝑛+2) ≥ 5 𝑛+1(1 + 52𝑛) → 5 𝑛(1 + 52𝑛+2) ≥ 5 𝑛+1
+ 5 𝑛+1(+2𝑛)
→ 5 𝑛(1 + 52𝑛+2) ≥ 5 𝑛+1
+ 53𝑛+1
→ 5 𝑛(1 + 52𝑛+2) ≥ 5 𝑛
∙ 5 + 5 𝑛
∙ 52𝑛+1

9
→ 5 𝑛(1 + 52𝑛+2) ≥ 5 𝑛(5 + 52𝑛+1) →
5 𝑛(1 + 52𝑛+2)
5 𝑛
≥
5 𝑛(5 + 52𝑛+1)
5 𝑛
→ 1 + 52𝑛+2
≥ 5 + 52𝑛+1
→ 52𝑛+2
− 52𝑛+1
≥ 5 − 1
→ 52𝑛+1
∙ 5 − 52𝑛+1
∙ 1 ≥ 4 → 52𝑛+1(5 − 1) ≥ 4
→ 52𝑛+1(4) ≥ 4 →
52𝑛+1(4)
4
≥
4
4
→ 52𝑛+1
≥ 1 → 52𝑛
∙ 5 ≥ 1
→
52𝑛
∙ 5
5
≥
1
5
→∴ 52𝑛
≥
1
5
Luego, se debe corroborar su desigualdad, mediante la evaluación para su primer término,
qué define crucialmente su Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
Monótona Decreciente en 𝑛 = 1:
52(1)
≥
1
5
→ 52
≥ 0.2 → 25 ≥ 0.2
Esta desigualdad es válida y por lo tanto esta Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
Si es Monótona Decreciente.
𝒏
𝟐𝒏+𝟏
}
𝒏=𝟏
∞
es Monótona Creciente (Montes de Oca,
2002).
∞
∈ ℝ es Monótona Creciente, se debe cumplir su
desigualdad: 𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ
Entonces se debe definir los términos en:
𝑎 𝑛 =
𝒏
𝟐𝒏+𝟏
y 𝑎 𝑛+1 =
(𝒏+𝟏)
𝟐(𝒏+𝟏)+𝟏
=
(𝒏+𝟏)
𝟐𝒏+𝟐+𝟏
→∴ 𝑎 𝑛+1 =
𝒏+𝟏
𝟐𝒏+𝟑
Esto implica sustituir los términos de 𝑎 𝑛 y 𝑎 𝑛+1 en la desigualdad que demuestre ser una
Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
Monótona Creciente, es decir:
𝑎 𝑛 ≤ 𝑎 𝑛+1 →
𝑛
2𝑛 + 1
≤
𝑛 + 1
2𝑛 + 3
→ 𝑛(2𝑛 + 3) ≤ 𝑛 + 1(2𝑛 + 1) → 2𝑛2
+ 3𝑛 ≤ 2𝑛2
+ 2𝑛 + 𝑛 + 1
→ 2𝑛2
+ 3𝑛 ≤ 2𝑛2
+ 3𝑛 + 1 → 2𝑛2
+ 3𝑛 − 2𝑛2
− 3𝑛 ≤ 1
→∴ 0 ≤ 1
Esta desigualdad es válida y por lo tanto esta Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
Si es Monótona Creciente
𝟑𝒏 𝟐
𝟐
}
𝒏=𝟏
∞
es Acotada (Andrade, 2011).
∞
es Acotada, debe tener definida una:

10
a) COTA INFERIOR en 𝑘 = 𝑎1 ∈ ℝ, en este caso 𝑘 = 𝑎1 =
3(1)2
2
=
3(1)
2
=
3
2
= 1.5 ∈ ℝ
Con esto decimos, que Si tiene COTA INFERIOR en 𝑘 = 1.5
b) COTA SUPERIOR en el lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐾 ∈ ℝ en este caso, su:
𝐾 = lim
𝑛→∞
3𝑛2
2
= lim
𝑛→∞
3𝑛2
𝑛2
2
𝑛2
Puesto que el término mayor es 𝑛2
, se divide este en la Sucesión {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
𝐾 = lim
𝑛→∞
3𝑛2
𝑛2
2
𝑛2
= lim
𝑛→∞
3
2
𝑛2
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
=
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛
, si lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 ≠ 0
𝐾 = lim
𝑛→∞
3
2
𝑛2
=
lim
n→∞
3
lim
n→∞
2
𝑛2
𝑛→∞
𝑐 = 𝑐 y ii) lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛 𝑑
= 0
𝐾 =
lim
n→∞
3
lim
n→∞
2
𝑛2
=
3
0
= ∞ ∉ ℝ
Con esto decimos, que No tiene COTA SUPERIOR en 𝐾
Por lo tanto, la Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
No es Acotada.
𝟐𝒏−𝟕
𝟑𝒏+𝟐
}
𝒏=𝟏
∞
es Acotada (Montes de Oca, 2002).
∞
es Acotada, debe tener definida una:
a) COTA INFERIOR en 𝑘 = 𝑎1 ∈ ℝ, en este caso 𝑘 = 𝑎1 =
2(1)−7
3(1)+2
=
2−7
3+2
=
−5
5
= −1 ∈ ℝ
Con esto decimos, que Si tiene COTA INFERIOR en 𝑘 = −1.
b) COTA SUPERIOR en el lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐾 ∈ ℝ, en este caso, su:
𝐾 = lim
𝑛→∞
2𝑛 − 7
3𝑛 + 2
= lim
𝑛→∞
2𝑛
𝑛
−
7
𝑛
3𝑛
𝑛
+
2
𝑛
Puesto que el término mayor es 𝑛, se divide este en la Sucesión {𝑎 𝑛} 𝑛=1
∞
𝐾 = lim
𝑛→∞
2𝑛
𝑛 −
7
𝑛
3𝑛
𝑛
+
2
𝑛
= lim
𝑛→∞
2 −
7
𝑛
3 +
2
𝑛
𝑛→∞
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
=
lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛
lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛
, si lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 ≠ 0
𝐾 = lim
𝑛→∞
2 −
7
𝑛
3 +
2
𝑛
=
lim
n→∞
2 −
7
𝑛
lim
n→∞
3 +
2
𝑛
Por la Propiedad iv), lim
𝑛→∞
{𝑎 𝑛 ± 𝑏 𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 ± lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛

11
𝐾 =
lim
n→∞
2 −
7
𝑛
lim
n→∞
3 +
2
𝑛
=
lim
𝑛→∞
2 − lim
𝑛→∞
7
𝑛
lim
𝑛→∞
3 + lim
𝑛→∞
2
𝑛
𝑛→∞
𝑐 = 𝑐 y ii) lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛 𝑑
= 0
𝐾 =
lim
𝑛→∞
2 − lim
𝑛→∞
7
𝑛
lim
𝑛→∞
3 + lim
𝑛→∞
2
𝑛
=
2 − 0
3 + 0
=
2
3
= 0.66 ∈ ℝ
Con esto decimos, que Si tiene COTA SUPERIOR en 𝐾 = 0.66
c) Tal que la COTA INFERIOR Y SUPERIOR se considere en 𝑘 ≤ 𝑎 𝑛 ≤ 𝐾, ∀ 𝑛 ∈ ℕ, para
este caso, es −1 ≤
2𝑛−7
3𝑛+2
≤ 0.66, ∀ 𝑛 ∈ ℕ y esto quiere decir que la desigualdad si cumple.
Por lo tanto, la Sucesión {𝒂 𝒏} 𝒏=𝟏
∞
Si es Acotada.
2.2. Serie
2.2.1. Concepto
Una Serie es la suma de términos o elementos (García y Colomé, 1983).
2.2.2. Definición
Se le llama Serie a la suma de los términos de una sucesión (Delgado, 2007).
2.2.3. Clasificación
La Serie se Clasifica en: Finita e Infinita (Montes de Oca, 2002).
2.2.3.1. Serie Finita.
2.2.3.1.1. Concepto
Una Serie Finita es una expresión que se caracteriza por tener una suma determinada
(Montes de Oca, 2002).
Ejemplo:
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟐𝟎
2.2.3.2. Serie Infinita.
2.2.3.2.1. Concepto
Una Serie Infinita es una expresión que se caracteriza por tener una suma parcial (Montes
de Oca, 2002).
Ejemplo:
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ 𝒂 𝒏 + ⋯

12
Es una representación de la forma (Calvo, 1975):
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ 𝒂 𝒏 + ⋯ = ∑ 𝒂 𝒏
∞
𝒏=𝟏
2.2.3.2.3. Clasificación
La Clasificación de las Series Infinitas son: Divergente y Convergente (Montes de Oca,
2002).
2.2.3.2.3.1. Definición de Serie Infinita Divergente
Cuando el:
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 ≠ 𝟎 o 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = ∞ o 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = ∄ (Montes de Oca, 2002).
2.2.3.2.3.2. Definición de Serie Infinita Convergente
Cuando el:
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝟎 (Montes de Oca, 2002).
2.2.3.2.3. Tipos
La Tipos de las Series Infinitas son: Geométrica, Armónica, Hiperarmónica, de Términos
Positivos, de Signos Alternados y de Potencias (Montes de Oca, 2002).
2.2.3.2.3.1. Serie Infinita Geométrica (Montes de Oca, 2002).
Cuando se representa su suma como:
∑ 𝒂𝒓 𝒏−𝟏
= 𝒂 + 𝒂𝒓 + 𝒂𝒓 𝟐
∞
𝒏=𝟏
+ ⋯ + 𝒂𝒓 𝒏−𝟏
+ ⋯
con 𝒂 ≠ 𝟎, entonces:
i). DIVERGE si |𝒓| ≥ 𝟏
ii). CONVERGE si |𝒓| < 𝟏 tal qué exista un valor para ∑ 𝒂𝒓 𝒏−𝟏
=
𝒂
𝟏−𝒓
∈ ℝ∞
𝒏=𝟏
2.2.3.2.3.2. Serie Infinita Armónica (Montes de Oca, 2002)
Cuando es divergente y se representa su suma, como:
∑
𝟏
𝒏
= 𝟏 +
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟑
+ ⋯ +
𝟏
𝒏
+ ⋯
∞
𝒏=𝟏
2.2.3.2.3.3. Serie Infinita Hiperarmónica o Serie Infinita 𝒑 (Montes de Oca, 2002).

13
Cuando se representa su suma, como:
∑
𝟏
𝒏 𝒑
=
𝟏
𝟏 𝒑
+
𝟏
𝟐 𝒑
+
𝟏
𝟑 𝒑
… +
𝟏
𝒏 𝒑
+ ⋯
∞
𝒏=𝟏
Donde 𝒑 es una constante dada, entonces:
i) DIVERGE si 𝒑 ≤ 𝟏
ii) CONVERGE si y solo si 𝒑 > 𝟏
2.2.3.2.3.4. Serie Infinita de Términos Positivos (Montes de Oca, 2002).
∑(𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 + ⋯
∞
𝒏=𝟏
2.2.3.2.3.4.2. Criterios
Los Criterios de las Series Infinitas de Términos Positivos son: de Comparación y del
Cociente (Montes de Oca, 2002).
2.2.3.2.3.4.2.1. Criterio de Comparación (García y Colomé, 1983).
i) Diverge si 𝒂 𝒏+𝟏 ≥ 𝒂 𝒏
ii) Converge si 𝒂 𝒏+𝟏 ≤ 𝒂 𝒏
2.2.3.2.3.4.2.2. Criterio del Cociente o de D´Alembert (Calvo, 1975).
Cuando se encuentra:
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
= 𝑳
Entonces:
i) Si 𝑳 > 𝟏 o 𝑳 = ∞ o 𝑳 = ∄→∴Diverge
ii) Si 𝑳 < 𝟏 →∴ Converge
ii) Si 𝑳 = 𝟏 no se concluye nada
2.2.3.2.3.5. Serie Infinita de Signos Alternados (Montes de Oca, 2002).

14
∑(−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 − 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑 − 𝒂 𝟒 + ⋯
∞
𝒏=𝟏
2.2.3.2.3.5.2. Criterios
Los Criterios de las Series Infinitas de Signos Alternados son: de Leibnitz y de la
Convergencia Absoluta y Condicional (Montes de Oca, 2002).
2.2.3.2.3.5.2.1. Criterio de Leibnitz (García y Colomé, 1983).
Para 𝒂 𝒏 ≥ 𝟎, ∀𝑛 ∈ ℕ:
i) Si 𝒂 𝒏 > 𝒂 𝒏+𝟏
y
ii) Si 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝟎
Entonces la serie es convergente.
2.2.3.2.3.5.2.2. Criterio de la Convergencia (Calvo, 1975).
2.2.3.2.3.5.2.2.1. Absoluta
Cuando su:
i) ∑ (−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
∞
𝒏=𝟏 converge
ii) |∑ (−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
∞
𝒏=𝟏 | converge
2.2.3.2.3.5.2.2.2. Condicional
Cuando su
i) ∑ (−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
∞
𝒏=𝟏 converge
ii) |∑ (−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
∞
𝒏=𝟏 | diverge
2.2.3.2.3.6. Serie Infinita de Potencias.
2.2.3.2.3.6.1. Definición (Montes de Oca, 2002)
Cuando se representa su suma, en:
i) La Variable 𝒙:
∑ 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏
= 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐
+ ⋯ + 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏
+ ⋯
∞
𝒏=𝟎

15
ii) En el Entorno 𝒂:
∑ 𝒂 𝒏(𝒙 − 𝒂) 𝒏
= 𝒂 𝟎 + 𝒂 𝟏(𝒙 − 𝒂) + 𝒂 𝟐(𝒙 − 𝒂) 𝟐
+ ⋯ + 𝒂 𝒏(𝒙 − 𝒂) 𝒏
+ ⋯
∞
𝒏=𝟎
2.2.3.2.3.6.2. Elemento del Intervalo de Convergencia (Montes de Oca, 2002).
Se determina mediante el criterio:
lim
𝒏→∞
|
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
| < 𝟏
2.2.3.2.3.6.3. Clasificación
La Clasificación de las Series Infinitas de Potencias son: de Función Taylor y de Función
MacLaurin (Montes de Oca, 2002).
2.2.3.2.3.6.3.1. Serie de Taylor (Montes de Oca, 2002).
Definida por:
𝒇(𝒙) = ∑ 𝒂 𝒏(𝒙 − 𝒂) 𝒏
∞
𝒏=𝟎
= ∑ 𝒇(𝒏)
(𝒂)
(𝒙 − 𝒂) 𝒏
𝒏!
∞
𝒏=𝟎
Es decir:
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) + 𝒇´(𝒂) ∙ (𝒙 − 𝒂) + 𝒇´´(𝒂) ∙
(𝒙 − 𝒂) 𝟐
𝟐!
+ ⋯ + 𝒇(𝒏)
(𝒂) ∙
(𝒙 − 𝒂) 𝒏
𝒏!
+ ⋯
2.2.3.2.3.6.3.2. Serie de MacLaurin (Montes de Oca, 2002).
Definida por:
𝒇(𝒙) = ∑ 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏
∞
𝒏=𝟎
= ∑ 𝒇(𝒏)
(𝟎)
𝒙 𝒏
𝒏!
∞
𝒏=𝟎
Es decir:
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟎) + 𝒇´(𝟎) ∙ 𝒙 + 𝒇´´(𝟎) ∙
𝒙 𝟐
𝟐!
+ ⋯ + 𝒇(𝒏)
(𝟎) ∙
𝒙 𝒏
𝒏!
+ ⋯
2.2.4. Ejemplos.
1. Determinar el carácter de la serie ∑
𝟏
𝟐 𝒏−𝟏
∞
𝒏=𝟏 , utilizando la definición de una serie
infinita geométrica (Montes de Oca, 2002).
La serie se puede reescribir como:

16
∑
𝟏
𝟐 𝒏−𝟏
∞
𝒏=𝟏
= ∑ 𝟏 ൬
𝟏
𝟐
൰
𝒏−𝟏∞
𝒏=𝟏
Se observa que es una serie geométrica de la forma ∑ 𝒂𝒓 𝒏−𝟏∞
𝒏=𝟏 , donde 𝑎 = 1 y 𝑟 =
1
2
.
Notamos que el valor de |
1
2
| < 1 →
1
2
< 1 → 0.5 < 1, entonces se dice que la serie converge,
tal que exista un valor para:
𝑎
1 − 𝑟
=
1
1 −
1
2
=
1
1
2
= 2 ∈ ℝ
2. Determinar el carácter de la serie ∑
𝟒
𝟑 𝒏−𝟏
∞
𝒏=𝟏 , utilizando la definición de una serie
infinita geométrica (Barrera, 2005).
La serie se puede reescribir como:
∑
𝟒
𝟑 𝒏−𝟏
∞
𝒏=𝟏
= ∑ 𝟒 ൬
𝟏
𝟑
൰
𝒏−𝟏∞
𝒏=𝟏
Se observa que es una serie geométrica de la forma ∑ 𝒂𝒓 𝒏−𝟏∞
𝒏=𝟏 , donde 𝑎 = 4 y 𝑟 =
1
3
.
Notamos que el valor de |
1
3
| < 1 →
1
3
< 1 → 0.33 < 1, entonces se dice que la serie
converge, tal que exista un valor para:
𝑎
1 − 𝑟
=
4
1 −
1
3
=
4
2
3
=
12
2
= 6 ∈ ℝ
3. Determinar el intervalo de convergencia de la serie ∑
𝒏𝒙 𝒏
𝟓 𝒏
∞
𝒏=𝟎 (Montes de Oca, 2002).
Se utiliza el criterio de:
lim
𝒏→∞
|
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
| < 𝟏
Entonces, se define a:
𝑎 𝑛 =
𝑛𝑥 𝑛
5 𝑛
𝑎 𝑛+1 =
(𝑛 + 1)𝑥(𝑛+1)
5(𝑛+1)
Por lo tanto, se evalúa en el criterio:
lim
𝑛→∞
ተ
(𝑛 + 1)𝑥(𝑛+1)
5(𝑛+1)
𝑛𝑥 𝑛
5 𝑛
ተ < 1 → lim
𝑛→∞
ቤ
(𝑛 + 1)𝑥 𝑛+1(5 𝑛)
5 𝑛+1(𝑛𝑥 𝑛)
ቤ < 1 → lim
𝑛→∞
ቤ
(𝑛 + 1)𝑥 𝑛
∙ 𝑥(5 𝑛)
5 𝑛 ∙ 5(𝑛𝑥 𝑛)
ቤ < 1

17
→ lim
𝑛→∞
ቤ
(𝑛 + 1) ∙ 𝑥
5𝑛
ቤ < 1 → |𝑥| lim
𝑛→∞
|
𝑛 + 1
5𝑛
| < 1 → |𝑥| ൬
1
5
൰ < 1
→
1
5
|𝑥| < 1 →
1
5
|𝑥|
1
5
<
1
1
5
→ |𝑥| < 5 ↔ −𝟓 < 𝒙 < 𝟓
La desigualdad |𝑥| < 5 equivale a la propiedad de −5 < 𝑥 < 5, que es el intervalo de
convergencia para esta serie de Potencias.
4. Determinar el intervalo de convergencia de la serie ∑
𝒙 𝒏
𝒏
∞
𝒏=𝟎 (Montes de Oca, 2002).
Se utiliza el criterio de:
lim
𝒏→∞
|
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
| < 𝟏
Entonces, se define a:
𝑎 𝑛 =
𝑥 𝑛
𝑛
𝑎 𝑛+1 =
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
Por lo tanto, se evalúa en el criterio:
lim
𝑛→∞
ተ
𝑥(𝑛+1)
𝑛 + 1
𝑥 𝑛
𝑛
ተ < 1 → lim
𝑛→∞
ቤ
𝑥 𝑛+1(𝑛)
𝑛 + 1(𝑥 𝑛)
ቤ < 1 → lim
𝑛→∞
ቤ
𝑥 𝑛
∙ 𝑥(𝑛)
𝑛 + 1(𝑥 𝑛)
ቤ < 1
→ lim
𝑛→∞
|
𝑥𝑛
𝑛 + 1
| < 1 → |𝑥| lim
𝑛→∞
|
𝑛
𝑛 + 1
| < 1 → |𝑥|(1) < 1
→ |𝑥| < 1 ↔ −𝟏 < 𝒙 < 𝟏
La desigualdad |𝑥| < 1 equivale a la propiedad de −1 < 𝑥 < 1, que es el intervalo de
convergencia para esta serie de Potencias.
5. Obtener los primeros cuatro términos de la serie de Taylor de la función 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙
en un entorno de 𝒂 =
𝝅
𝟑
(Arcila, 1976).
Se identifica la Definición de la Serie de Taylor:
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) + 𝒇´(𝒂) ∙ (𝒙 − 𝒂) + 𝒇´´(𝒂) ∙
(𝒙 − 𝒂) 𝟐
𝟐!
+ ⋯ + 𝒇(𝒏)
(𝒂) ∙
(𝒙 − 𝒂) 𝒏
𝒏!
+ ⋯
En este caso, se solicita los primeros cuatro términos de la serie, entonces, queda encontrar
a:
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) + 𝒇´(𝒂) ∙ (𝒙 − 𝒂) + 𝒇´´(𝒂) ∙
(𝒙 − 𝒂) 𝟐
𝟐!
+ 𝒇´´´(𝒂) ∙
(𝒙 − 𝒂) 𝟑
𝟑!
+ ⋯

18
Luego, se encuentra las derivadas requeridas para 𝑓(𝑥):
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑓´´(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑓´´´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥
Después se evalúa el entorno para la función y sus derivadas:
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑓(𝑎) = 𝑓 ቀ
𝜋
3
ቁ = cos ቀ
𝜋
3
ቁ = cos 60° =
1
2
𝑓´(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑓´(𝑎) = 𝑓´ ቀ
𝜋
3
ቁ = − sen ቀ
𝜋
3
ቁ = −sen 60° = −
√3
2
𝑓´´(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑓´´(𝑎) = 𝑓´´ ቀ
𝜋
3
ቁ = − cos ቀ
𝜋
3
ቁ = − cos 60° = −
1
2
𝑓´´´(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑓´´´(𝑎) = 𝑓´´´ ቀ
𝜋
3
ቁ = sen ቀ
𝜋
3
ቁ = sen 60° =
√3
2
Finalmente, evaluando los términos respectivos para la Serie de Taylor que se está
solicitando:
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓´(𝑎) ∙ (𝑥 − 𝑎) + 𝑓´´(𝑎) ∙
(𝑥 − 𝑎)2
2!
+ 𝑓´´´(𝑎) ∙
(𝑥 − 𝑎)3
3!
+ ⋯
𝑓(𝑥) =
1
2
+ ቆ−
√3
2
ቇ ∙ ቀ𝑥 −
𝜋
3
ቁ + ൬−
1
2
൰ ∙
ቀ𝑥 −
𝜋
3
ቁ
2
2!
+ ቆ
√3
2
ቇ ∙
(𝑥 −
𝜋
3
)3
3!
+ ⋯
𝑓(𝑥) =
1
2
−
√3
2
∙ ቀ𝑥 −
𝜋
3
ቁ −
1
2
∙
ቀ𝑥 −
𝜋
3ቁ
2
2!
+
√3
2
∙
(𝑥 −
𝜋
3)3
3!
+ ⋯
𝑓(𝑥) =
1
2
−
√3
2
∙ ቀ𝑥 −
𝜋
3
ቁ −
1
2
∙
ቀ𝑥 −
𝜋
3
ቁ
2
2
+
√3
2
∙
(𝑥 −
𝜋
3
)3
6
+ ⋯
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
−
√𝟑 ቀ𝒙 −
𝝅
𝟑
ቁ
𝟐
−
ቀ𝒙 −
𝝅
𝟑
ቁ
𝟐
𝟒
+
√𝟑(𝒙 −
𝝅
𝟑
) 𝟑
𝟏𝟐
+ ⋯
6. Desarrollar en Serie de MacLaurin, los primeros cinco términos para la función
𝒇(𝒙) = 𝑰𝒏(𝒙 + 𝟏) (Arcila, 1976).
Se identifica la Definición de la Serie de MacLaurin:
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟎) + 𝒇´(𝟎) ∙ 𝒙 + 𝒇´´(𝟎) ∙
𝒙 𝟐
𝟐!
+ ⋯ + 𝒇(𝒏)
(𝟎) ∙
𝒙 𝒏
𝒏!
+ ⋯
En este caso, se solicita los primeros cinco términos de la serie, entonces, queda encontrar a:
𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟎) + 𝒇´(𝟎) ∙ 𝒙 + 𝒇´´(𝟎) ∙
𝒙 𝟐
𝟐!
+ 𝒇´´´(𝟎) ∙
𝒙 𝟑
𝟑!
+ 𝒇 𝑰𝑽(𝟎) ∙
𝒙 𝟒
𝟒!
+ ⋯
Luego, se encuentra las derivadas requeridas para 𝑓(𝑥):

19
𝑓(𝑥) = 𝐼𝑛(𝑥 + 1) → 𝑓´(𝑥) =
1
𝑥 + 1
→ 𝑓´´(𝑥) = −
1
(𝑥 + 1)2
→ 𝑓´´´(𝑥) =
2
(𝑥 + 1)3
→ 𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = −
6
(𝑥 + 1)4
Después se evalúa el entorno para la función y sus derivadas:
𝑓(𝑥) = 𝐼𝑛(𝑥 + 1) → 𝑓(0) = In(0 + 1) = In 1 = 0
𝑓´(𝑥) =
1
𝑥 + 1
→ 𝑓´(0) =
1
0 + 1
=
1
1
= 1
𝑓´´(𝑥) = −
1
(𝑥 + 1)2
→ 𝑓´´(0) = −
1
(0 + 1)2
= −
1
(1)2
= −
1
1
= −1
𝑓´´´(𝑥) =
2
(𝑥 + 1)3
→ 𝑓´´(0) =
2
(0 + 1)3
=
2
(1)3
=
2
1
= 2
𝑓 𝐼𝑉(𝑥) = −
6
(𝑥 + 1)4
→ 𝑓 𝐼𝑉(0) = −
6
(0 + 1)4
= −
6
(1)4
= −
6
1
= −6
Finalmente, evaluando los términos respectivos para la Serie de MacLaurin que se está
solicitando:
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓´(0) ∙ 𝑥 + 𝑓´´(0) ∙
𝑥2
2!
+ 𝑓´´´(0) ∙
𝑥3
3!
+ 𝑓 𝐼𝑉(0) ∙
𝑥4
4!
+ ⋯
𝑓(𝑥) = 0 + 1 ∙ 𝑥 + (−1) ∙
𝑥2
2!
+ 2 ∙
𝑥3
3!
+ (−6) ∙
𝑥4
4!
+ ⋯
𝑓(𝑥) = 1 ∙ 𝑥 + (−1) ∙
𝑥2
2
+ 2 ∙
𝑥3
6
+ (−6) ∙
𝑥4
24
+ ⋯
𝑓(𝑥) = 𝑥 −
𝑥2
2
+
2𝑥3
6
−
6𝑥4
24
+ ⋯
𝒇(𝒙) = 𝒙 −
𝒙 𝟐
𝟐
+
𝒙 𝟑
𝟑
−
𝒙 𝟒
𝟒
+ ⋯
3. Conclusiones.
Los conceptos principales y secundarios, fue:
1) Establecer una Correspondencia Biunívoca entre los Números Reales y los Términos que
pueden ser Objetos de cualquier Cantidad, Tipo o Naturaleza (Delgado, 2006).
2) Desarrollar los Conceptos Matemáticos que permitan calcular el valor exacto de sumas, o
por lo menos saber si existe tal valor (Calvo, 1975).
3) Proporcionar la Idea Intuitiva, Consecutiva y Ordenada que puede presentar los Datos o
Eventos que Introduce el Estudio de Fenómenos en las Ciencias Ingenieriles (Montes de Oca,
2002).

20
4. Referencias Bibliográficas.
Andrade Delgado, Arnulfo. et al. (2011). Sucesiones y Series. En Cuaderno de Ejercicios de Cálculo I.
México.: UNAM-Facultad de Ingeniería. Recuperado de: http://dcb.fi-
c.unam.mx/Publicaciones/Catalogo/archivos/21.pdf
Arcila Rodríguez, Wilbert. et al. (1976). Sucesiones y Series. En Cuaderno de Ejercicios de Álgebra.
México.: UNAM-Facultad de Ingeniería.
Barrera García, Francisco. et al. (2005). Sucesiones y Series. En Problemario C.O.P.A.D.I. de Cálculo
Diferencial. México.: UNAM-Facultad de Ingeniería. Recuperado de: http://dcb.fi-
c.unam.mx/Publicaciones/Catalogo/archivos/7.pdf
Calvo Arjona, José Baldomero. et al. (1975). Sucesiones y Series. En Apuntes de Álgebra. México.:
UNAM-Facultad de Ingeniería.
Castañeda-de-Isla Puga, Jaime Erik. (2009). Sucesiones y Series. En Guía de Estudio para preparar
Examen Extraordinario de Cálculo Diferencial. México.: UNAM-Facultad de Ingeniería. Recuperado
de: http://dcb.fi-c.unam.mx/Publicaciones/Catalogo/archivos/32.pdf
Contreras Sandoval, Leticia. et al. (2008). Y Así Sucesivamente… Sucesiones. En Cálculo Diferencial e
Integral. México: Santillana.
Delgado Rodríguez, Arturo. et al. (2006). Sucesiones y Sumas Finitas. En Temas Selectos de
Matemáticas, Volumen I. México.: UNAM-Facultad de Ingeniería.
Delgado Rodríguez, Arturo. et al. (2007). Series Infinitas. En Temas Selectos de Matemáticas, Volumen
II. México.: UNAM-Facultad de Ingeniería.
García y Colomé, Pablo. et al. (1983) Sucesiones y Series, Desarrollos en Series. En Actualización en
Matemáticas para Ingenieros. (pp.49-69, 87-95). México.: UNAM-Facultad de Ingeniería. Recuperado
de: http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/jspui/bitstream/132.248.52.100/7479/1/decd_0830.pdf
Rivera Figueroa, Antonio. (2007). Sucesiones y Series de Reales. En Cálculo y sus fundamentos para
Ingeniería y Ciencias. México.: Grupo Patria.
Rivera Figueroa, Antonio. (2014). Sucesiones y Series de Funciones. En Cálculo Integral. México.:
Grupo Patria.
Montes de Oca Puzio, Francisco. (2002). Resolución Total de Métodos Matemáticos, Vol. I.: Sucesiones
y Series. México.: Skorpio.
U.N.A.M.-D.G.A.E. (2007). Programa de estudio de la asignatura álgebra. En Plan de Estudios 1280 para
Ingeniería Civil, Tomo II: Programas de asignaturas (pp.5-10). México.: F.E.S. Aragón, D.C.F.M.
Recuperado de:
http://ingenieria.aragon.unam.mx/ici/plan%20de%20estudios/IngenieriaCivil%20Tomo%20II%20_progr
amas_280607.pdf#page=5
Venegas Espinoza, Carlos. et al. (1984). Sucesiones y Series. En Guía de Estudio para presentar Examen
Extraordinario de Álgebra y Trigonometría. (pp.15-23). México.: UNAM-Facultad de Ingeniería.
Recuperado de:
http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/13838/20%20GuiaAlgTrig
.pdf?sequence=1

5.prueba didactica algebra-ici-fes-ar

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a 5.prueba didactica algebra-ici-fes-ar

Similar a 5.prueba didactica algebra-ici-fes-ar (20)

Más de PEDRO LARA MALDONADO

Más de PEDRO LARA MALDONADO (20)

Último

Último (20)

5.prueba didactica algebra-ici-fes-ar