3. SUCESIÓN FINITA
CONCEPTO
Una Sucesión Finita es aquella que Consta de un
Último Elemento Numérico o Término Algebraico.
Ejemplos:
𝟐, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟒𝟓, 𝟖𝟎.
𝟏,
𝟐
𝟐𝒆 𝟐
,
𝟒
𝟑𝒆 𝟑
,
𝟖
𝟒𝒆 𝟒
,
𝟏𝟔
𝟓𝒆 𝟓
.
4. SUCESIÓN INFINITA
CONCEPTO
Una Sucesión Infinita es aquella que No Tiene un
Último Elemento Numérico o Término Algebraico.
Ejemplo:
𝟏
𝟐
,
𝟖
𝟒
, … ,
𝟏𝟐𝟓
𝟏𝟎
, …
5. SUCESIÓN INFINITA
DEFINICIÓN
La Sucesión Infinita se define mediante una
Notación de Elementos con Subíndices para el:
Primer Término en 𝒂 𝟏, Segundo Término en 𝒂 𝟐,
hasta llegar a Involucrar su Término General o
Enésimo Término en 𝒂 𝒏 ; lo mencionado,
Corresponde Representar esta Forma, por medio del
Sistema: 𝒂 𝟏, 𝒂 𝟐, … , 𝒂 𝒏, … y esto puede Interpretarse,
como 𝒂 𝒏 𝒏=𝟏
∞
6. PROPIEDADES
Para Calcular el Límite de las Sucesiones 𝒂 𝒏 𝒏=𝟏
∞
y
𝒃 𝒏 𝒏=𝟏
∞
y siendo 𝒄, 𝒅 sus Constantes podemos hacer
Uso de las Propiedades Básicas que se Enuncian a
Continuación:
i) 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒄 = 𝒄 ii) 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒄
𝒏 𝒅 = 𝟎
iii) 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒄 𝒂 𝒏 = 𝒄 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏
iv) 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 ± 𝒃 𝒏 = 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 ± 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒃 𝒏
v) 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 = 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 . 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒃 𝒏
vi) 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏
𝒃 𝒏
=
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒃 𝒏
, si 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒃 𝒏 ≠ 𝟎
8. DEFINICIÓN DEL TIPO DE SUCESIÓN INFINITA
• DIVERGENTE
Cuándo no tiene un límite definido, es decir que el:
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = ∞ o 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = ∄
• CONVERGENTE
Cuándo tiene un Límite 𝑳 ∈ ℝ, es decir que el:
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝑳
9. DEFINICIÓN DEL TIPO DE SUCESIÓN INFINITA
• MONÓTONA
Cuándo es:
i) DECRECIENTE si 𝒂 𝒏 ≥ 𝒂 𝒏+𝟏, ∀ 𝒏 ∈ ℕ
o
ii) CRECIENTE si 𝒂 𝒏 ≤ 𝒂 𝒏+𝟏, ∀ 𝒏 ∈ ℕ
• ACOTADA
Si tiene definida una COTA INFERIOR 𝒌 = 𝒂 𝟏 ∈ ℝ
y COTA SUPERIOR en el 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝑲 ∈ ℝ tal que:
𝒌 ≤ 𝒂 𝒏 ≤ 𝑲, ∀ 𝒏 ∈ ℕ
10. EJEMPLO 1.
Demostrar que la Sucesión 𝒂 𝒏 =
𝒏
𝟐𝒏+𝟏 𝒏=𝟏
∞
es Monótona Creciente
SOLUCIÓN
Para demostrar si esta Sucesión 𝒂 𝒏 𝒏=𝟏
∞
∈ ℝ es Monótona Creciente, se debe
cumplir su desigualdad: 𝒂 𝒏 ≤ 𝒂 𝒏+𝟏, ∀ 𝒏 ∈ ℕ
Entonces se debe definir los términos en:
𝒂 𝒏 =
𝒏
𝟐𝒏+𝟏
y 𝒂 𝒏+𝟏 =
(𝒏+𝟏)
𝟐 𝒏+𝟏 +𝟏
=
(𝒏+𝟏)
𝟐𝒏+𝟐+𝟏
→∴ 𝒂 𝒏+𝟏 =
𝒏+𝟏
𝟐𝒏+𝟑
Esto implica sustituir los términos de 𝒂 𝒏 y 𝒂 𝒏+𝟏 en la desigualdad que demuestre ser
una Sucesión 𝒂 𝒏 𝒏=𝟏
∞
Monótona Creciente, es decir:
𝒂 𝒏 ≤ 𝒂 𝒏+𝟏 →
𝒏
𝟐𝒏 + 𝟏
≤
𝒏 + 𝟏
𝟐𝒏 + 𝟑
→ 𝒏(𝟐𝒏 + 𝟑) ≤ 𝒏 + 𝟏(𝟐𝒏 + 𝟏) → 𝟐𝒏 𝟐 + 𝟑𝒏 ≤ 𝟐𝒏 𝟐 + 𝟐𝒏 + 𝒏 + 𝟏
→ 𝟐𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 ≤ 𝟐𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 + 𝟏 → 𝟐𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 − 𝟐𝒏 𝟐
− 𝟑𝒏 ≤ 𝟏
→∴ 𝟎 ≤ 𝟏
Esta desigualdad es válida y por lo tanto esta Sucesión 𝒂 𝒏 𝒏=𝟏
∞
Si es Monótona
Creciente
12. SERIE FINITA
CONCEPTO
Una Serie Finita es una expresión que se caracteriza
por tener una suma determinada.
Ejemplo:
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝟐𝟎
13. SERIE INFINITA
CONCEPTO
Una Serier Infinita es una expresión que se caracteriza
por tener una suma parcial.
Ejemplo:
𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ 𝒂 𝒏 + ⋯ =
𝒏=𝟏
∞
𝒂 𝒏
17. DEFINICIÓN DEL TIPO DE SERIE INFINITA
• GEOMÉTRICA
Cuándo se representa su suma como:
𝒏=𝟏
∞
𝒂𝒓 𝒏−𝟏
= 𝒂 + 𝒂𝒓 + 𝒂𝒓 𝟐
+ ⋯ + 𝒂𝒓 𝒏−𝟏
+ ⋯
con 𝒂 ≠ 𝟎, entonces:
i). DIVERGE si 𝒓 ≥ 𝟏
ii). CONVERGE si 𝒓 < 𝟏 tal qué exista un valor para
𝒏=𝟏
∞
𝒂𝒓 𝒏−𝟏
=
𝒂
𝟏−𝒓
∈ ℝ
18. DEFINICIÓN DEL TIPO DE SERIE INFINITA
• ARMÓNICA
Cuándo es divergente y se
representa su suma, como:
𝒏=𝟏
∞ 𝟏
𝒏
= 𝟏 +
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟑
+ ⋯ +
𝟏
𝒏
+ ⋯
19. DEFINICIÓN DEL TIPO DE SERIE INFINITA
• HIPERARMÓNICA
Cuándo se representa su suma, como:
𝒏=𝟏
∞ 𝟏
𝒏 𝒑 =
𝟏
𝟏 𝒑 +
𝟏
𝟐 𝒑 +
𝟏
𝟑 𝒑 … +
𝟏
𝒏 𝒑 + ⋯
Donde 𝒑 es una constante dada, entonces:
i) DIVERGE si 𝒑 ≤ 𝟏
ii) CONVERGE si y solo si 𝒑 > 𝟏
20. DEFINICIÓN DEL TIPO DE SERIE INFINITA
• De Términos Positivos
Cuándo se representa su suma, como:
𝒏=𝟏
∞
(𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒂 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 + ⋯
21. CRITERIOS PARA LA SERIE INFINITA DE
TÉRMINOS POSITIVOS
Comparación Cociente
22. CRITERIOS PARA LA SERIE DE TÉRMINOS POSITIVOS
• Criterio de Comparación
i) Diverge si 𝒂 𝒏+𝟏 ≥ 𝒂 𝒏
ii) Converge si 𝒂 𝒏+𝟏 ≤ 𝒂 𝒏
23. CRITERIOS PARA LA SERIE DE TÉRMINOS POSITIVOS
• Criterio del Cociente
Cuándo se encuentra 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏
= 𝑳
Entonces:
i) Si 𝑳 > 𝟏 o 𝑳 = ∞ o 𝑳 = ∄→∴Diverge
ii) Si 𝑳 < 𝟏 →∴ Converge
ii) Si 𝑳 = 𝟏 no se concluye nada
24. DEFINICIÓN DEL TIPO DE SERIE INFINITA
• De Signos Alternados
Cuándo se representa su suma, como:
𝒏=𝟏
∞
(−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 − 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟑 − 𝒂 𝟒 + ⋯
26. CRITERIOS PARA LA SERIE DE SIGNOS ALTERNADOS
• Criterio de Leibnitz
Para 𝒂 𝒏 ≥ 𝟎, ∀𝒏 ∈ ℕ:
i) Si 𝒂 𝒏 > 𝒂 𝒏+𝟏
y
ii) Si lim
𝒏→∞
𝒂 𝒏 = 𝟎
Entonces la serie es convergente.
27. CRITERIOS PARA LA SERIE DE SIGNOS ALTERNADOS
• Criterio de Convergencia Absoluta
Cuando su
i) 𝒏=𝟏
∞
(−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 converge
ii) 𝒏=𝟏
∞
(−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 converge
• Criterio de Convergencia Condicional
Cuando su
i) 𝒏=𝟏
∞
(−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 converge
ii) 𝒏=𝟏
∞
(−𝟏) 𝒏+𝟏
𝒂 𝒏 diverge
