La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa una Guía Metodológica, para: a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo. b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.

1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN
SECRETARÍA ACADÉMICA
COMISIÓN DICTAMINADORA DEL ÁREA DE LAS CIENCIAS
FÍSICO MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS
Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, acorde al
Programa Académico de Álgebra para Licenciatura en Ingeniería Civil.
QUE SUSTENTA:
PEDRO DANIEL LARA MALDONADO
EN LA SEGUNDA PRUEBA RELATIVA AL CONCURSO DE
OPOSICIÓN PARA INGRESO COMO:
Profesor de Asignatura “A” Definitivo.
CELEBRADO EN EL:
MUNICIPIO DE NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, A 3
DE NOVIEMBRE DEL 2017.

2. 2
ÍNDICE
PÁGINA
1. Introducción ………...…………………………………………3
2. Desarrollo del Tema…………………………………………....4
2.1. Operación Binaria…………………………………………....5
2.1.1. Definición
2.1.2. Propiedades
2.1.3. Ejemplos
2.2. Grupo…………………………………………………...............7
2.2.1. Definición.
2.2.2. Tipos
2.2.2.1. Definición de Grupo Conmutativo o Abeliano.
2.2.3. Ejemplos
2.3. Anillo……………………………………………………………11
2.3.1. Definición.
2.3.2. Tipos.
2.3.2.1. Definición de Anillo Conmutativo
2.3.2.2. Definición de Anillo Unitario o con Unidad
2.3.2.3. Definición de Anillo con Campo o Cuerpo
2.3.3. Ejemplos
3. Conclusiones………………………………………......................19
4. Referencias Bibliográficas……………………………………....20

3. 3
1. Introducción.
La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que
pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de
Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa
una Guía Metodológica, para:
a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo.
b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.
A continuación, se proporciona las Nociones Teórico-Prácticas del Álgebra
Abstracta, que encadena dialécticamente el Método Matemático de:
a) La inducción (de lo fácil a lo concreto).
b) La deducción (de lo abstracto a lo concreto).

4. 4
2. Desarrollo del Tema.
Las Estructuras Algebraicas consisten en un conjunto no vacío (Espinosa,
2010), que están definidas por una colección finita de operaciones; desempeñan
un papel muy importante en muchas ramas de la ciencia como en: la mecánica
cuántica, la física nuclear, la teoría de la relatividad, etcétera y se clasifican en:
Grupo, Anillo. (Godínez, 2004).

5. 5
2.1. Operación Binaria.
2.1.1. Definición.
La Operación Binaria ∗ es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un
conjunto un único elemento de dicho conjunto (Castañeda-de-Isla Puga, 2017).
2.1.2. Propiedades.
Una Operación binaria ∗ sobre un conjunto definido en este caso por 𝑆 se dice que tiene la
propiedad de:
a) Cerradura: Si ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, (𝑎 ∗ 𝑏) ∈ 𝑆; esto quiere decir que el conjunto 𝑆 es cerrado
respecto a ∗ . (Speziale, 2010).
b) Asociativa: Si (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) para cualesquiera 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆. (Ayres, 1972).
c) Conmutativa: Si 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆. (Ayres, 1972).
d) Elementos Idénticos: Si existe un elemento en 𝑒 = {𝑒1, 𝑒2} ∈ 𝑆 tal que para todo 𝑎 ∈ 𝑆,
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎; el idéntico es el mismo para todos los elementos del conjunto de igualdad;
tanto en su lado izquierdo y derecho. (Speziale, 2010).
e) Elementos Inversos: Si ∀𝑎 ∈ 𝑆, existe 𝑎̂ ∈ 𝑆 tal que 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒. (Speziale, 2010).
2.1.3. Ejemplos.
1. Sea ℕ el conjunto de los números naturales y la operación binaria en ℕ definida por:
𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂(𝒃 + 𝟐) ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℕ. Determinar si su ∗ cumple con la propiedad a) De
Cerradura, b) Asociativa, c) Conmutativa, d) De Elementos Idénticos, e) De Elementos
Inversos. (Arcila, 1976).
a) El resultado de: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎(𝑏 + 2) = 𝑎𝑏 + 2𝑎, se considera para 𝑎𝑏 ∈ ℕ, 2𝑎 ∈ ℕ si y
solo si 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, por lo tanto, esto implica la pertenencia del producto, para este conjunto de
los números naturales, es decir: 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ ℕ, con esto hemos demostrado que su ∗ Si Cumple
con la Propiedad de Cerradura.
b) Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ, entonces se corrobora, para:
(1) … (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) … (2)
(1) … (𝑎(𝑏 + 2)) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏(𝑐 + 2)) … (2)
(1) … 𝑎(𝑏 + 2)(𝑐 + 2) = 𝑎(𝑏(𝑐 + 2) + 2) … (2)
(1) … 𝑎(𝑏𝑐 + 2𝑏 + 2𝑐 + 4) = 𝑎(𝑏𝑐 + 2𝑏 + 2) … (2)

6. 6
Como su igualdad en la proposición (1) … es distinta de … (2), concluimos que él ∗ No
Cumple con su Propiedad Asociativa.
c) Para ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ si y solamente si:
(𝐼) … 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 … (𝐼𝐼)
(𝐼) … 𝑎(𝑏 + 2) = 𝑏(𝑎 + 2) … (𝐼𝐼)
Esta supuesta igualdad en (𝐼) … y … (𝐼𝐼) implica que 𝑎 ∗ 𝑏 ≠ 𝑏 ∗ 𝑎, por lo tanto, su ∗ No
Cumple con la Propiedad Conmutativa.
d) Los elementos idénticos se definen por la propiedad 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, esto implica,
considerar a 𝑒 = {𝑒1, 𝑒2} ∈ ℕ, entonces se debe analizar por casos:
Sea 𝑒1 ∈ ℕ tal que 𝑎 ∗ 𝑒1 = 𝑎. Aplicando el ∗ se tiene: 𝑎(𝑒1 + 2) = 𝑎, entonces despejando
a: (𝑒1 + 2) =
𝑎
𝑎
→ 𝑒1 + 2 = 1 → 𝑒1 = 1 − 2 →∴ 𝑒1 = −1 ∉ ℕ, esto concluye, que su ∗ No
tiene elementos idénticos o neutros en el conjunto de los números naturales.
e) Si 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒 ∈ ℕ, se tiene que: 𝑒 = {𝑒1, 𝑒2} ∉ ℕ, por lo tanto, el ∗ No tiene
elementos inversos.
2. Sea el conjunto de los números enteros y su ∗ es la operación binaria en ℤ definida
por 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒌 𝟐
𝒂 + (𝟐𝒌 𝟐
− 𝟏)𝒃. Determinar el conjunto de valores 𝒌 ∈ ℤ tal que ∗ sea
conmutativa (Arzamendi, 2011).
La propiedad conmutativa de una operación binaria se define por el cumplimiento de la
igualdad 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑘, en este caso se considera que:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑘2
𝑎 + (2𝑘2
− 1)𝑏 … (1)
𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑘2
𝑏 + (2𝑘2
− 1)𝑎 … (2)
Esto implica que las ecuaciones … (1) y … (2) deben cumplirse ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, por lo tanto, si
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 se tendrá que:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 → 𝑘2
𝑎 + (2𝑘2
− 1)𝑏 = 𝑘2
𝑏 + (2𝑘2
− 1)𝑎
Esto implica, realizar su multiplicación en ambos miembros de la igualdad, para poder
despejar el valor de 𝑘2
, relacionándolo con 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ , es decir:
𝑘2
𝑎 + (2𝑘2
− 1)𝑏 = (2𝑘2
− 1)𝑎 + 𝑘2
𝑏 → 𝑎𝑘2
+ 2𝑏𝑘2
− 𝑏 = 2𝑎𝑘2
− 𝑎 + 𝑏𝑘2
→ 𝑎𝑘2
+ 2𝑏𝑘2
− 𝑏 = 2𝑎𝑘2
+ 𝑏𝑘2
− 𝑎 → 𝑎𝑘2
+ 2𝑏𝑘2
− 𝑏 − 2𝑎𝑘2
− 𝑏𝑘2
+ 𝑎 = 0
→ −𝑎𝑘2
+ 𝑎 + 𝑏𝑘2
− 𝑏 = 0 → 𝑘2(−𝑎 + 𝑏) + 𝑎 − 𝑏 = 0 → 𝑘2(−𝑎 + 𝑏) = −𝑎 + 𝑏
→
𝑘2
(−𝑎 + 𝑏)
(−𝑎 + 𝑏)
=
−𝑎 + 𝑏
(−𝑎 + 𝑏)
→ 𝑘2
= 1 → 𝑘 = ±√1 →∴ 𝑘 = ±1
Así, el conjunto solicitado es 𝑘 = {−1, +1} = {−1,1} ∈ ℤ.

7. 7
2.2. Grupo.
2.2.1. Definición.
Es la estructura con una sola operación binaria ∗ en un conjunto no vacío, definido por 𝐺,
para el sistema (𝐺 , ∗). (Speziale, 2010), tal que tenga las propiedades de:
i) Cerradura: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺
ii) Asociatividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
iii) Existencia de Idéntico o del Neutro: ∃𝑒 ∈ 𝐺 | , 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
iv) Existencia de Inversos: ∀𝑎 ∈ 𝐺, ∃𝑎̂ ∈ 𝐺 | , 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒
2.2.2. Tipos.
Los Tipos de Grupos se clasifican en: Abeliano o Conmutativo, Cíclico, Finito,
Diferenciable o De Lie, Libre y Alternante o De Klein (Rincón, 2014).
A continuación, se definirá el Tipo de Grupo Abeliano o Conmutativo, a razón de que los
otros Tipos de Grupos poseen un grado avanzado de dificultad, que no ayuda a comprender
el objetivo propuesto para el Tema VII (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007).
2.2.2.1. Definición de Grupo Conmutativo o Abeliano.
Es la estructura que cumple con las cuatro Propiedades Elementales de la Definición
Grupo, es decir con la: i) Cerradura, ii) Asociatividad, iii) Existencia de Idéntico o del
Neutro, iv) Existencia de Inversos y con su Propiedad característica de v)
Conmutatividad: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 (León, 2011).
2.2.3. Ejemplos.
1. Sea el grupo (ℝ , ∗), donde 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 − √𝟑 ∀ 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. Obtener el elemento
idéntico del grupo y los elementos inversos (Arzamendi, 2011).
Para obtener el elemento idéntico, se tiene que definir esta propiedad de la definición grupo,
como:
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ ℝ
En el idéntico izquierdo: 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎, se debe considerar su regla de correspondencia, como:
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 + 𝑒 − √3, entonces por transitividad, tenemos que:

8. 8
𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 + 𝑒 − √3 ↔ 𝑎 + 𝑒 − √3 = 𝒂 ∗ 𝒆 → 𝑎 + 𝑒 − √3 = 𝒂 → 𝑒 = 𝑎 − 𝑎 + √3
→∴ 𝑒 = √3 ∈ ℝ
Como (ℝ , ∗) es un grupo, entonces el idéntico derecho es igual al idéntico izquierdo, por
tanto 𝑒 = √3 es el elemento idéntico del grupo.
Para obtener los elementos inversos, se tiene que definir esta propiedad de la definición
grupo, como:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝒆 →∴ 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = √𝟑
En el inverso izquierdo: 𝑎 ∗ 𝑎̂ = √𝟑, se debe considerar su regla de correspondencia, como:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎 + 𝑎̂ − √3, entonces por transitividad, tenemos que:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎 + 𝑎̂ − √3 ↔ 𝑎 + 𝑎̂ − √3 = 𝒂 ∗ 𝒂̂ → 𝑎 + 𝑎̂ − √3 = √𝟑
→ 𝑎̂ = −𝑎 + √3 + √3 →∴ 𝑎̂ = −𝑎 + 2√3
Como (ℝ , ∗) es un grupo, entonces, de manera análoga, decimos que el inverso derecho
es igual al inverso izquierdo, por tanto, los elementos inversos están dados por:
𝑎̂ = −𝑎 + 2√3 ∀𝑎 ∈ ℝ.
2. Sea el conjunto 𝑮 = {𝒄𝒊𝒔(𝟎°), 𝒄𝒊𝒔(𝟏𝟐𝟎°), 𝒄𝒊𝒔(𝟐𝟒𝟎°)}. Determinar si la Estructura
Algebraica (𝑮 , ∗) es un Grupo Abeliano, donde ∗ es la multiplicación usual en ℂ
(Arzamendi, 2011).
Para determinar si la estructura algebraica (𝐺 , ∗) sea un Grupo Abeliano, debe cumplir
las propiedades de: i) Cerradura, ii) Asociatividad, iii) Existencia de Idéntico o del
Neutro, iv) Existencia de Inversos y v) Conmutatividad.
Entonces, para la propiedad de:
i) Cerradura: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺: 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺, esto implica, definir su operación binaria ∗ en la
multiplicación usual para el conjunto de los números complejos ℂ, como:
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎𝑏[𝑐𝑖𝑠(𝜃1 + 𝜃2)] ∈ 𝐺
Esto implica, construir la tabla multiplicativa usual del conjunto de los números complejos
ℂ, con sus tres elementos que forma el conjunto 𝐺, para observar, si este conjunto, tiene esta
propiedad, es decir:

9. 9
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟏. Definición Multiplicativa Usual en el conjunto de los Números ℂ.
𝐅𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞: Arizmendi. (2011).
Efectuando operaciones en la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟏., resulta qué los elementos del conjunto 𝐺,
respectivamente se definen, para:
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟐. Producto Resultante de la ∗ en su multiplicación usual para ℂ.
𝐅𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞: Arizmendi. (2011).
En la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟐., resulta que en los elementos de 𝑐𝑖𝑠 (360°) … (𝑖) y 𝑐𝑖𝑠 (480°) … . (𝑖𝑖), su
valor angular del circulo unitario se define hasta 360° y a partir de este se puede expresar un
ángulo equivalente, para esto, se le resta los 360° en la cantidad presentada, es decir:
𝑐𝑖𝑠 (360°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 → 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) − 360°
→ 𝜃 = (360°) − 360° → 𝜃 = 0° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(0°)
… (𝑖)
𝑐𝑖𝑠 (480°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 → 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) − 360°
→ 𝜃 = (480°) − 360° →∴ 𝜃 = 120° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(120°)
… (𝑖𝑖)
Por lo tanto, decimos que:
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑. Simplifcación del Producto usual para ℂ.
𝐅𝐮𝐞𝐧𝐭𝐞: Arizmendi. (2011).
Finalmente, en la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑., se observa que 𝐺 si es cerrado para su multiplicación usual en ℂ.
ii) Asociatividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺: (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐), como el conjunto 𝐺 está
contenido en los números complejos: 𝐺 ⊆ ℂ, entonces 𝐺 cumple con esta propiedad.
* cis (0°) cis (120°) cis (240°)
cis (0°) 1(1)cis(0°+0°) 1(1)cis(0°+120°) 1(1)cis(0°+240°)
cis (120°) 1(1)cis(120°+0°) 1(1)cis(120°+120°) 1(1)cis(120°+240°)
cis (240°) 1(1)cis(240°+0°) 1(1)cis(240°+120°) 1(1)cis(240°+240°)a
b
* cis (0°) cis (120°) cis (240°)
cis (0°) cis(0°) cis(120°) cis(240°)
cis (120°) cis(120°) cis(240°) cis(360°)
cis (240°) cis(240°) cis(360°) cis(480°)a
b
* cis (0°) cis (120°) cis (240°)
cis (0°) cis(0°) cis(120°) cis(240°)
cis (120°) cis(120°) cis(240°) cis(0°)
cis (240°) cis(240°) cis(0°) cis(120°)a
b

10. 10
iii) Existencia de Idéntico o del Neutro: ∃𝑒 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐺, esto
implica considerar la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑., para definir, a su respectivo elemento idéntico, es decir:
𝑒 = 𝑐𝑖𝑠(0°), por lo que, sustituyendo este valor en la propiedad, resulta:
𝑎 ∗ (𝑐𝑖𝑠(0°)) = (𝑐𝑖𝑠(0°)) ∗ 𝑎 = 𝑎 → 𝑎 ∗ 1 = 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 →∴ 𝑎 = 𝑎
Qué si cumple su igualdad de existencia del Neutro.
iv) Existencia de Inversos: ∀𝑎 ∈ 𝐺, 𝑎̂ ∈ 𝐺 tal que:
𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑒 →∴ 𝑎 ∗ 𝑎̂ = 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°)
Esta igualdad que define esta propiedad, implica encontrar sus respectivos inversos, para los
elementos definidos de la 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑., en 𝑎:
𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) ↔ 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ ∗ (𝑐𝑖𝑠(0°)) = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ =
𝑐𝑖𝑠(0°)
(𝑐𝑖𝑠(0°))
→ 𝑎̂ =
1
1
𝑐𝑖𝑠(0° − 0°) →∴ 𝑎̂ = 𝑐𝑖𝑠(0°) ∈ 𝐺
.
… (𝐼)
𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(120°) ↔ 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ ∗ (𝑐𝑖𝑠(120°)) = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ =
𝑐𝑖𝑠(0°)
(𝑐𝑖𝑠(120°))
→ 𝑎̂ =
1
1
𝑐𝑖𝑠(0° − 120°) →∴ 𝑎̂ = 𝑐𝑖𝑠(−120°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑎̂
→ 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) + 360° → 𝜃 = (−120°) + 360° → 𝜃 = 240° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(240°) = 𝑎̂ ∈ 𝐺
.
… (𝐼𝐼)
𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(240°) ↔ 𝑎̂ ∗ 𝑎 = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ ∗ (𝑐𝑖𝑠(240°)) = 𝑐𝑖𝑠(0°) → 𝑎̂ =
𝑐𝑖𝑠(0°)
(𝑐𝑖𝑠(240°))
→ 𝑎̂ =
1
1
𝑐𝑖𝑠(0° − 240°) →∴ 𝑎̂ = 𝑐𝑖𝑠(−240°) = 𝑐𝑖𝑠 (𝜃1 + 𝜃2) ↔ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑎̂
→ 𝜃 = (𝜃1 + 𝜃2) + 360° → 𝜃 = (−240°) + 360° → 𝜃 = 120° →∴ 𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝑐𝑖𝑠(120°) = 𝑎̂ ∈ 𝐺
.
… (𝐼𝐼𝐼)
El elemento inverso 𝑎̂ para: … (𝐼) es 𝑐𝑖𝑠(0°) ∈ 𝐺, … (𝐼𝐼) es 𝑐𝑖𝑠(240°) ∈ 𝐺, … (𝐼𝐼𝐼) es
𝑐𝑖𝑠(120°) ∈ 𝐺, por tanto, todos los elementos de 𝐺 tiene un único inverso en el conjunto 𝐺,
esto quiere decir que la igualdad si cumple con su propiedad enunciada.
v) Conmutatividad: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, esto implica que los elementos de la
𝐓𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟑, cumple su propiedad en el conjunto 𝐺 ∈ ℂ.
En este caso, se ha corroborado que las propiedades: i), ii), iii), iv) y v) si cumplen, con esto
determinamos, que la estructura algebraica (𝐺 , ∗) es un Grupo Abeliano en su respectiva
multiplicación usual en ℂ.

11. 11
2.3. Anillo.
2.3.1. Definición.
Es la estructura con dos operaciones binarias + y ∗ en un conjunto no vacío, definido por
𝐴, para el sistema (𝐴, +, ∗). (Solar, 2012), tal que tenga las propiedades de:
i) Asociatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
ii) Conmutatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
iii) Existencia del Idéntico o Neutro Aditivo: ∃0 ∈ 𝐴 | , 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴
iv) Existencia de Inversos o Simétricos Aditivos: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃ − 𝑎 ∈ 𝐴 | , −𝑎 + 𝑎 = 0
v) Asociatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
vi) Distributividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, se tiene que 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) … (𝑖) y
(𝑏 + 𝑐) ∗ 𝑎 = (𝑏 ∗ 𝑎) + (𝑐 ∗ 𝑎) … (𝑖𝑖).
De las propiedades i) a la iv), se dice que un anillo es un grupo Abeliano para la primera
operación + (Solar, 2012).
2.3.2. Tipos.
Los Tipos de Anillos se clasifican en: Conmutativo, No Conmutativo, Unitario o Con
Unidad, Con División, Con Simplificación, Con Dominio de Integridad, Con Cuerpo o
Campo, Abeliano y Con Dominio Euclídeo (Rincón, 2014).
A continuación, se definirá el Tipo de Anillo: Conmutativo, Unitario o Con Unidad, Con
Campo o Cuerpo; a razón de que los otros Tipos de Anillos poseen un grado avanzado de
dificultad, que no ayuda a comprender el objetivo propuesto para el Tema VII (U.N.A.M.-
D.G.A.E., 2007).
2.3.2.1. Definición de Anillo Conmutativo.
Es la estructura que cumple con las seis Propiedades Elementales de la Definición Anillo,
es decir con la: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la Adición, iii)
Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o Simétricos
Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad y con su Propiedad
característica de vii) Conmutatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎
(Castañeda-de-Isla Puga, 2016).

12. 12
2.3.2.2. Definición de Anillo Unitario o Con Unidad.
Es la estructura que cumple con las siete Propiedades de la Definición Anillo
Conmutativo, es decir con la: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la
Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad, vii)
Conmutatividad en la Multiplicación y con su Propiedad característica de viii) Existencia
de Idéntico en la Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃1 ∈ 𝐴 | , 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 1 = 1 (Castañeda-de-
Isla Puga, 2016).
2.3.2.3. Definición de Anillo Con Campo o Cuerpo.
Es la estructura que cumple con las ocho Propiedades de la Definición Anillo Unitario o
Con Unidad, es decir con la: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la
Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad, vii)
Conmutatividad en la Multiplicación, viii) Existencia de Idéntico en la Multiplicación
y con su Propiedad característica de ix) Existencia de Inversos o Simétricos en la
Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1
∈ 𝐴 | , 𝑎−1
∗ 𝑎 = 1 (Castañeda-de-Isla Puga,
2016).
2.3.3. Ejemplos.
1. Sea 𝑷 el conjunto de polinomios de la forma 𝒑(𝒙) = 𝒂𝒙, ∀𝒂 ∈ ℝ y sean + , ∗ las
operaciones binarias en 𝑷 definidas por:
𝒑(𝒙) + 𝒒(𝒙) = (𝒑 + 𝒒)(𝒙) ∀𝒑(𝒙), 𝒒(𝒙) ∈ 𝑷
𝒑(𝒙) ∗ 𝒒(𝒙) = (𝒑𝒒(𝒙)) ∀𝒑(𝒙), 𝒒(𝒙) ∈ 𝑷
Considerando que el sistema (𝑷, +, ∗) tiene Estructura de Anillo. Determinar: a) Si
es un Anillo Conmutativo y b) Si es un Anillo Unitario (Arzamendi, 2011).
a) Para determinar si es un Anillo Conmutativo, se corrobora las seis Propiedades
Elementales de la Definición Anillo: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad
en la Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad y su
Propiedad característica de vii) Conmutatividad en la Multiplicación.
Sin embargo, el planteamiento 1. menciona que el sistema tiene una Estructura de Anillo,
esto implica que por definición cumple las cuatro propiedades de: i) Asociatividad en la
Adición, ii) Conmutatividad en la Adición, iii) Existencia del Idéntico o Neutro Aditivo,
iv) Existencia de Inversos o Simétricos Aditivos.

13. 13
Entonces, se verifica las dos últimas propiedades:
v) Asociatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐, en este caso,
se define, como: ∀𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝑃, 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥),
donde 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃, 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑃, 𝑟(𝑥) = 𝑐𝑥 ∈ 𝑃, por lo tanto se verifica esta
propiedad, mediante la definición de operación binaria en ∗:
(𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) … (𝐼𝐼)
(𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞𝑟(𝑥)) = (𝑝𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) … (𝐼𝐼)
(𝐼) … 𝑝 (𝑞(𝑟(𝑥))) = 𝑝 (𝑞(𝑟(𝑥))) … (𝐼𝐼)
Comparando las igualdades (𝐼) … y … (𝐼𝐼), decimos que si cumple esta propiedad.
vi) Distributividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, se tiene que 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) … (𝑖) y
(𝑏 + 𝑐) ∗ 𝑎 = (𝑏 ∗ 𝑎) + (𝑐 ∗ 𝑎) … (𝑖𝑖), en este caso, se define que ∀𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝑃 es:
(𝐼𝐼𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝐼𝑉) … (𝑖)
∧
(𝑉) … (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝑉𝐼) … (𝑖𝑖)
Siendo 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃, 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑃, 𝑟(𝑥) = 𝑐𝑥 ∈ 𝑃, por lo tanto, se verifica la
condición … (𝑖), mediante la sustitución polinomial y las definiciones que describen el
planteamiento 1., para (𝐼𝐼𝐼) … :
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥))
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑏𝑥 + 𝑐𝑥)
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑝((𝑏 + 𝑐)𝑥)
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑎(𝑏 + 𝑐)𝑥
𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥
Similarmente, se verifica para … (𝐼𝑉):
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝𝑞(𝑥)) + (𝑝𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑏𝑥) + 𝑝(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎(𝑏𝑥) + 𝑎(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥
Esto implica, comparar sus igualdades (𝐼𝐼𝐼) … y … (𝐼𝑉), en su respectiva condición:
(𝐼𝐼𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ (𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥)) + (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝐼𝑉)
(𝐼𝐼𝐼) … 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥 = 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐𝑥 … (𝐼𝑉)
… (𝑖)

14. 14
Esta condición… (𝑖), si es cierta.
Luego, se verifica la condición … (𝑖𝑖), mediante la sustitución polinomial y las definiciones
que describen el planteamiento 1., para (𝑉) … :
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝 + 𝑞)(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝 + 𝑞)(𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝 + 𝑞)(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑎 + 𝑏)(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥
Similarmente, se verifica para … (𝑉𝐼):
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = (𝑝𝑟(𝑥)) + (𝑞𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑝(𝑟(𝑥)) + 𝑞(𝑟(𝑥))
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎(𝑐𝑥) + 𝑏(𝑐𝑥)
(𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) = 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥
Esto implica, comparar sus igualdades (𝑉) … y … (𝑉𝐼), en su respectiva condición:
(𝑉) … (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)) ∗ 𝑟(𝑥) = (𝑝(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) + (𝑞(𝑥) ∗ 𝑟(𝑥)) … (𝑉𝐼)
(𝑉) … 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 = 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 … (𝑉𝐼)
… (𝑖𝑖)
Esta condición… (𝑖𝑖), si es cierta.
Se concluye que las condiciones … (𝑖) y … (𝑖𝑖) son ciertas, esto implica, el cumplimiento
para esta propiedad.
vii) Conmutatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, en este caso, se define
que ∀𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝑃, 𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥), donde 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃, 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑥 ∈ 𝑃,
por lo tanto se verifica esta propiedad, mediante la definición de operación binaria en ∗:
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑝(𝑥) ∗ 𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑝(𝑞(𝑥)) = 𝑞(𝑝(𝑥)) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑝(𝑏𝑥) = 𝑞(𝑎𝑥) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … 𝑎(𝑏𝑥) = 𝑏(𝑎𝑥) … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … (𝑎𝑏)𝑥 = (𝑏𝑎)𝑥 … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
(𝑉𝐼𝐼) … (𝑎𝑏)𝑥 = (𝑎𝑏)𝑥 … (𝑉𝐼𝐼𝐼)
Comparando las igualdades (𝑉𝐼𝐼) … y … (𝑉𝐼𝐼𝐼), decimos que si cumple esta propiedad.
Se concluye, que las seis Propiedades Elementales de la Definición Anillo y su propiedad
característica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (𝑃, +, ∗) es un Anillo Conmutativo.

15. 15
b) Para determinar si es un Anillo Unitario, se corrobora las siete Propiedades de la
Definición Anillo Conmutativo: i) Asociatividad en la Adición, ii) Conmutatividad en la
Adición, iii) Existencia de Idéntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o
Simétricos Aditivos, v) Asociatividad en la Multiplicación, vi) Distributividad, vii)
Conmutatividad en la Multiplicación y su Propiedad característica de viii) Existencia de
Idéntico en la Multiplicación.
Por el inciso a), decimos que las seis Propiedades Elementales de la Definición Anillo y su
propiedad característica, cumplen.
Entonces, se verifica su Propiedad característica de viii) Existencia de Idéntico en la
Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃1 ∈ 𝐴 | , 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 1 = 1 , para este caso, se define, como:
∀𝑢(𝑥) ∈ 𝑃, ∃𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 ∈ 𝑃 | , (𝐼𝑋) … 𝑝(𝑥) ∗ 𝑢(𝑥) = (𝑋) … 𝑢(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
Esto implica, definir la operación binaria en su producto ∗ con unidad, que este se considera,
en:
𝑢(𝑥) = {𝑢1(𝑥), 𝑢2(𝑥)} = {𝑒1 𝑥, 𝑒2 𝑥} ∈ 𝑃
Por lo tanto, su igualdad se debe analizar:
En (𝐼𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) , notamos que la ecuación alterna con unidad en su operación
binaria del producto ∗, se define por 𝑝(𝑥) ∗ 𝑢1(𝑥) = 𝑝(𝑥), donde 𝑢1(𝑥) = 𝑒1 𝑥 ∈ 𝑃, esto
implica, sustituir el valor, para:
(𝐼𝑋) … 𝑝(𝑥) ∗ 𝑢1(𝑥) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑝(𝑢1(𝑥)) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑝(𝑒1 𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑎(𝑒1 𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝐼𝑋) … 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
En (𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) , notamos que la ecuación alterna con unidad en su operación
binaria del producto ∗, se define por 𝑢2(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥), donde 𝑢2(𝑥) = 𝑒2 𝑥 ∈ 𝑃, esto
implica, sustituir el valor, para:
(𝑋) … 𝑢2(𝑥) ∗ 𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑢2(𝑝(𝑥)) = 𝑝(𝑥) … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑢2(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑒2(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
(𝑋) … 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 … (𝑋𝐼)
Por lo tanto, las igualdades en (𝐼𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) y (𝑋) … respecto a … (𝑋𝐼) son
ciertas, esto implica, el cumplimiento para esta propiedad.

16. 16
Se concluye, que las siete Propiedades Elementales de la Definición Anillo Conmutativo y
su propiedad característica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (𝑃, +, ∗) tiene Estructura
de Anillo Unitario.
2. Sea 𝑬 = {𝒂 + 𝒃𝒊|𝒂, 𝒃 ∈ ℚ, 𝒊 𝟐
= −𝟏}, un subconjunto de ℂ. Determinar si
(𝑬, +, ∗) es un Anillo con Campo o Cuerpo, en donde + y ∗ son las operaciones
usuales de adición y multiplicación en ℂ. (Arzamendi, 2011).
Para determinar si es un Anillo con Campo o Cuerpo, se corrobora las ocho Propiedades de
la Definición Anillo Conmutativo:
i) Asociatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐, en este caso se
define mediante la consideración: ∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ, 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3) = (𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3, donde
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ∈ 𝐸, 𝑧3 = 𝑒 + 𝑓𝑖 ∈ 𝐸, lo que implica que 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 ∈ ℚ,
como 𝐸 ⊂ ℂ, implica que para toda 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝐸 es válida, por lo tanto, esta propiedad
cumple con su igualdad.
ii) Conmutatividad en la Adición: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, en este caso se define:
∀𝑧1, 𝑧2 ∈ ℂ, 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1, esto implica que ∀𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐸, por lo tanto, esta propiedad
cumple con su igualdad.
iii) Existencia del Idéntico o Neutro Aditivo: ∃0 ∈ 𝐴 | , 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴, en este
caso, se dice que:
∃𝑒 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ∈ 𝐸 | , ∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, 𝑒 + 𝑧1 = 𝑧1
Luego, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de 𝑒:
𝑒 + 𝑧1 = 𝑧1 → (𝑥 + 𝑦𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖 → (𝑥 + 𝑎) + (𝑦 + 𝑏)𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖
→
𝑥 + 𝑎 = 𝑎
𝑦 + 𝑏 = 𝑏 →
𝑥 = 𝑎 − 𝑎
𝑦 = 𝑏 − 𝑏 →
𝑥 = 0
𝑦 = 0
Esto implica que 𝑒 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 0 + 0𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.
iv) Existencia de Inversos o Simétricos Aditivos: ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃ − 𝑎 ∈ 𝐴 | , −𝑎 + 𝑎 = 0,
en este caso, se define para:
∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, ∃ − 𝑧1 = ℎ + 𝑘𝑖 ∈ 𝐸 | , −𝑧1 + 𝑧1 = 𝑒

17. 17
Después, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de
−𝑧1:
−𝑧1 + 𝑧1 = 𝑒 → (ℎ + 𝑘𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖) = 0 + 0𝑖 → (𝑎 + ℎ) + (𝑏 + 𝑘)𝑖 = 0 + 0𝑖
→
𝑎 + ℎ = 0
𝑏 + 𝑘 = 0
→
ℎ = −𝑎
𝑘 = −𝑏
Esto implica que −𝑧1 = ℎ + 𝑘𝑖 = −𝑎 − 𝑏𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su
igualdad.
v) Asociatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐, en este
caso, se define, como: ∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ, 𝑧1 ∗ (𝑧2 ∗ 𝑧3) = (𝑧1 ∗ 𝑧2) ∗ 𝑧3, esto implica que
∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝐸, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.
vi) Distributividad: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴, se tiene que 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐) … (𝑖) y
(𝑏 + 𝑐) ∗ 𝑎 = (𝑏 ∗ 𝑎) + (𝑐 ∗ 𝑎) … (𝑖𝑖), en este caso, se define que ∀𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ 𝐸 es:
𝑧1 ∗ (𝑧2 + 𝑧3) = (𝑧1 ∗ 𝑧2) + (𝑧1 ∗ 𝑧3) … (𝑖)
∧
(𝑧1 + 𝑧2) ∗ 𝑧3 = (𝑧1 ∗ 𝑧3) + (𝑧2 ∗ 𝑧3) … (𝑖𝑖)
Las condiciones … (𝑖) y … (𝑖𝑖) se consideran ciertas en 𝐸, a razón de que 𝐸 es un subconjunto
de ℂ, esto implica, el cumplimiento para esta propiedad.
vii) Conmutatividad en la Multiplicación: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, en este caso, se define
que ∀𝑧1, 𝑧2 ∈ 𝐸, 𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑧2 ∗ 𝑧1, donde 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ∈ 𝐸, por lo tanto
se verifica esta propiedad, mediante la definición de operación binaria en ∗:
(𝑋𝐼𝐼) … 𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑧2 ∗ 𝑧1 … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
(𝑋𝐼𝐼) … (𝑎 + 𝑏𝑖) ∗ (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑐 + 𝑑𝑖) ∗ (𝑎 + 𝑏𝑖) … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
(𝑋𝐼𝐼) … (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑐𝑎 − 𝑑𝑏) + (𝑐𝑏 + 𝑑𝑎)𝑖 … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
(𝑋𝐼𝐼) … (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 … (𝑋𝐼𝐼𝐼)
Como 𝑧1 ∗ 𝑧2 ∈ 𝐸 y 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ∈ ℚ, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ∈ ℚ, entonces se compara las igualdades
(𝑋𝐼𝐼) … y … (𝑋𝐼𝐼𝐼), por lo tanto, decimos que si cumple esta propiedad.
viii) Existencia de Idéntico en la Multiplicación:
∀𝑎 ∈ 𝐴, ∃1 ∈ 𝐴 | , 1 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 1 = 1 , para este caso, se define, como:
∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, ∃𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 𝑖 ∈ 𝐸 | , 𝑢 ∗ 𝑧1 = 𝑧1
Después, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de 𝑢:

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𝑢 ∗ 𝑧1 = 𝑧1 → (𝑢1 + 𝑢2 𝑖) ∗ (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑎 + 𝑏𝑖 → (𝑢1 + 𝑢2 𝑖) =
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖
→ (𝑢1 + 𝑢2 𝑖) = 1 + 0𝑖 →
𝑢1 = 1
𝑢2 = 0
Esto implica que 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2 𝑖 = 1 + 0𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su
igualdad.
Finalmente, se verifica la Propiedad característica de ix) Existencia de Inversos o
Simétricos en la Multiplicación: ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1
∈ 𝐴 | , 𝑎−1
∗ 𝑎 = 1 , para este
caso, se define, como:
∀𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐸, ∃𝑧−1
= 𝑧̂ = 𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖 ∈ 𝐸 | , 𝑧̂ ∗ 𝑧1 = 𝑢
Después, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de 𝑧̂:
𝑧̂ ∗ 𝑧1 = 𝑢 → (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) ∗ (𝑎 + 𝑏𝑖) = 1 + 0𝑖 → (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
1
𝑎 + 𝑏𝑖
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
1
𝑎 + 𝑏𝑖
(
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎 − 𝑏𝑖
) → (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 + 𝑎𝑏𝑖 − 𝑎𝑏𝑖 − 𝑏2 𝑖2
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 − 𝑏2 𝑖2
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 − 𝑏2(−1)
→ (𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎2 + 𝑏2
(𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖) =
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
−
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
𝑖 →
𝑎̂ =
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
𝑏̂ = −
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
Esto implica que 𝑧̂ = 𝑎̂ + 𝑏̂ 𝑖 =
𝑎
𝑎2+𝑏2
−
𝑏
𝑎2+𝑏2
𝑖, por lo tanto, esta propiedad cumple con su
igualdad.
Se concluye, que las ocho Propiedades Elementales de la Definición Anillo Unitario y su
propiedad característica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (𝐸, +, ∗) tiene Estructura de
Anillo con Campo o Cuerpo.

19. 19
3. Conclusiones.
Los conceptos principales y secundarios de esta temática, fue:
a) Explicar el Concepto de Operación Binaria.
b) Demostrar las Propiedades de Operación Binaria.
c) Definir el Sistema, para la Estructura de Grupo o de Anillo.
d) Identificar la Estructura Algebraica, que tiene su Sistema, mediante el
Análisis de sus Propiedades, para dos Operaciones Binarias en el Conjunto
Dado.

20. 20
4. Referencias Bibliográficas.
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