Trabajo de grado franklin

TEORÍA DE DISTRIBUCIONES
APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES PARCIALES
Trabajo de grado que presenta
FRANKLIN CACERES MEZA
Para Obtener el T´ıtulo de Especialista en Matemáticas Avanzadas
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICAS AVANZADAS
Cartagena de Indias D. T. y C.
2015

TEORÍA DE DISTRIBUCIONES
APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES PARCIALES
Monograf´ıa que presenta
FRANKLIN CACERES MEZA
Para Obtener el T´ıtulo de Especialista en Matemáticas Avanzadas
Director
Ana Magnolia Mar´ın Ram´ırez
Codirector
Rubén Dar´ıo Ortiz Ortiz
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
ESPECIALIZACIÓN EN MATEMÁTICAS AVANZADAS
Cartagena de Indias D. T. y C.
2015

Agradecimientos
¡Muchas gracias a Dios!
y a mis profesores de la facultad de Ciencias Exactas y Naturales. En especial a los
profesores: Ana Magnolia Mar´ın Ram´ırez y Rub´en Dar´ıo Ortiz Ortiz.
III

Índice general
Agradecimientos III
Introducción VII
1. Espacios de Funciones Diferenciables 1
1.1. Espacios Ck
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Fórmula de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Topolog´ıa de Espacios Ck
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Propiedades de C∞
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Los espacios Ck
0 (Ω), 0 ≤ k ≤ +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1. Soporte de una función continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2. Espacios Ck
0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Topolog´ıa de espacios Ck
0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1. Truncamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.2. Regularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Distribuciones 19
2.1. Definición de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Orden de una distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Soporte de una distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5. Distribuciones de soporte compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6. Operaciones con distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.1. Multiplicación por una función C∞
. . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6.2. Derivación de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.3. Soluciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6.4. Convergencia de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7. Convolución de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.1. Convolución de dos distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . 35
V

VI ÍNDICE GENERAL
3. La Ecuación de Ondas en Rt × R3
x 37
3.1. Solución elemental de sobre Rt × R3
x . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. El problema de Cauchy en ]0, ∞[×R3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1. El problema homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2. Unicidad de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bibliograf´ıa 45

Introducción
En el presente trabajo se pretende dar, un panorama general de la teor´ıa Matemática
de las Distribuciones o funciones generalizadas. La teor´ıa de distribuciones, fue crea-
da, hacia 1950, por Laurent Schwartz y por la escuela rusa I.M.Gelfand, G.E.Shilov.
Sergei Sobolev para dar sustento matemático a varios resultados f´ısicos que fueron
utilizados con éxito por los f´ısicos de esa época, a pesar de su inconsistencia ma-
temática inicial. Estos resultados iniciaron con la Función Escalón de Heaviside y
culminaron con la creación de la Delta de Dirac, δ(x), cuya definición, como función
de densidad, no tiene sentido matemático. F´ısicos como Dirac usaron la delta con
éxito en sus experimentos, pero, esta carec´ıa de sentido matemático, siendo Laurent
Schwartz el que dar´ıa sentido a la delta de Dirac. La teor´ıa de distribuciones gene-
raliza las funciones en un sentido similar al que los números Complejos generalizan
a los números Reales; se obtienen de esta manera entes más generales, que tienen
propiedades nuevas. Por ejemplo las distribuciones son siempre derivables y forman
un nuevo campo de estudio más rico y armonioso que el de las funciones en el sentido
clásico. La teor´ıa de distribuciones ha tenido sus or´ıgenes desde la generalización del
concepto de función de Bochner y Sobolev, pero puede afirmarse que la teor´ıa de
Laurent Schwartz es la primera teor´ıa completa que ha podido englobar y precisar
diversos conceptos de diversas ramas de las matemáticas las cuales en ocasiones fue-
ron formuladas incorrectamente, razón por la cual esta teor´ıa es de gran interés en
el ámbito matemático.
VII

Cap´ıtulo 1
Espacios de Funciones
Diferenciables
Este cap´ıtulo incluye varios resultados preliminares necesarios para desarrollar la
Teor´ıa de Distribuciones. Después de unos pocos recordatorios de cálculo diferencial,
destinados principalmente para fijar notación. Nos centramos particularmente en
las funciones de clase Ck
sobre un abierto de Rn
y estudiar su topolog´ıa natural.
Hacemos lo mismo para el subespacio de elementos con soporte compacto.
1.1. Espacios Ck
(Ω)
Sea Ω un abierto de Rn
. Se denota por C0
(Ω) (respectivamente C1
(Ω)) el espacio
de funciones continuas (respectivamente continuamente diferenciables) sobre Ω con
valores complejos, entonces para k ∈ N, k ≥ 2, tenemos,
Ck
(Ω) = u ∈ Ck−1
(Ω) :
∂u
∂xi
∈ Ck−1
(Ω), i = 1, . . . , n (1.1)
Este es el espacio de funciones k veces continuamente diferenciables sobre Ω con
valores complejos. Por lo tanto
C∞
(Ω) =
k∈N
Ck
(Ω) (1.2)
Es el espacio de funciones infinitamente diferenciables sobre Ω.
1

2 CAPÍTULO 1. ESPACIOS DE FUNCIONES DIFERENCIABLES
1.2. Notaciones
Un multi-indice α es una n − upla de enteros, α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn
. Para multi-
indices α, β ∈ Nn
definimos
|α| = α1 + α2 + . . . + αn =
n
i=1
αi,



|α| = α1 + . . . + αn, α! = α1! . . . αn!,
α ≤ k ⇐⇒ αi ≤ βi, ∀i = 1, . . . , n,
si α ≥ β, α − β = (α1 − β1, . . . , αn − βn) y
α
β
= α!
β! (α−β)!
∂α
= ( ∂
∂x1
)α1
. . . ( ∂
∂xn
)αn
= ∂|α|
∂
α1
x1
...∂αn
xn
.
(1.3)
Entonces u ∈ Ck
(Ω) si sólo si, para todo α ∈ Nn
tal que |α| ≤ k, ∂α
u existe y
pertenece a C0
(Ω). Ahora si u y v son dos elementos de Ck
(Ω) y λ es un número
complejo entonces, u + v , λu , u · v y 1
u
si u = 0 , ∀x ∈ Ω , pertenecen a Ck
(Ω) .
1.3. Fórmula de Leibniz
Si k ≥ 1 y u, v ∈ Ck
(Ω). Entonces para α ∈ Nn
tal que |α| ≤ k es
∂α
(u · v) =
β≤α
α
β
∂β
u · ∂α−β
v (1.4)
Demostración: Por inducción sobre α. Para α = 1 y β = 0 , tenemos
∂(u · v) =
1
0
∂0
u · ∂v +
1
1
∂u · ∂0
v
∂(u · v) = u · ∂v + ∂u · v
que es la derivada ordinaria del producto. Supongamos que la fórmula es válida para
α = γ, entonces
∂γ
(u · v) =
β≤γ
γ
β
∂β
u · ∂γ−β
v
veamos que se cumple para α = γ + 1, es decir
∂γ+1
(u · v) =
β≤γ+1
γ + 1
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v.

1.3. F ´ORMULA DE LEIBNIZ 3
En efecto:
∂γ+1
(u · v) = ∂[∂γ
(u · v)]
= ∂
γ
β=0
γ
β
∂β
u · ∂γ−β
v
=
γ
β=0
γ
β
∂ ∂β
u · ∂γ−β
v
=
γ
β=0
γ
β
∂β+1
u · ∂γ−β
v + ∂β
u · ∂γ+1−β
v
=
γ
β=0
γ
β
∂β+1
u · ∂γ−β
v +
γ
β=0
γ
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v
=
γ
β=0
γ
β
∂β+1
u · ∂γ−β
v +
γ
β=1
γ
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v + ∂0
u · ∂γ+1
v
consideremos la sumatoria
γ
β=0
γ
β
∂β+1
u · ∂γ−β
v
hagamos λ = β + 1 entonces β = λ − 1 para todo β ∈ Nn
, por tanto
γ
β=0
γ
β
∂β+1
u · ∂γ−β
v =
γ
β=1
γ
λ − 1
∂λ
u · ∂γ+1−λ
v
cambiando λ por β, tenemos:
γ+1
λ=1
γ
λ − 1
∂λ
u · ∂γ+1−λ
v =
γ+1
β=1
γ
β − 1
∂β
u · ∂γ+1−β
v
=
γ
β=1
γ
β − 1
∂β
u · ∂γ+1−β
v + ∂γ+1
u · ∂0
v

Por lo tanto
∂γ+1
(u · v) = ∂0
u · ∂γ+1
v +
γ
β=1
γ
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v+
+
γ
β=1
γ
β − 1
∂β
u · ∂γ+1−β
v + ∂γ+1
u · ∂0
v
=
γ
0
∂0
u · ∂γ+1
v +
γ
β=1
γ
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v+
+
γ
β=1
γ
β − 1
∂β
u · ∂γ+1−β
v +
γ
γ
∂γ+1
u · ∂0
v
=
γ + 1
0
∂0
u · ∂γ+1
v +
γ
β=1
γ
β
+
γ
β − 1
∂β
u · ∂γ+1−β
v+
+
γ + 1
γ + 1
∂γ+1
u · ∂0
v
=
γ
0
∂0
u · ∂γ+1
v +
γ
β=1
γ + 1
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v +
γ + 1
γ + 1
∂γ+1
u · ∂0
v
=
γ
β=0
γ + 1
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v, β ≤ γ + 1.
Luego
∂γ+1
(u · v) =
β≤γ+1
γ + 1
β
∂β
u · ∂γ+1−β
v
Lo que demuestra la fórmula.
1.4. Topolog´ıa de Espacios Ck
(Ω)
Para definir la topolog´ıa natural de estos espacios comenzamos por escribir el con-
junto abierto Ω como una reunión de conjuntos compactos.
Lema 1.1 Para i ∈ N∗
, ponemos
Ki = {x ∈ Rn
: x ≤ i} ∩ x ∈ Ω : d(x, Ωc
) ≥
1
i
donde d es la distancia euclidiana sobre Rn
. Entonces,

1.4. TOPOLOGÍA DE ESPACIOS CK
(Ω) 5
1. Cada Ki es un compacto y Ki ⊂
◦
Ki+1.
2. Ω = +∞
i=1 Ki = +∞
i=2
◦
Ki.
3. Para cada compacto K de Ω existe i0 ∈ N∗
tal que K ⊂ Ki0 .
Demostración:
1) Ki es acotado, ya que x ≤ i para cada x ∈ Ki.
Vemos que es cerrado:
En efecto: Sea {xn}n∈N una sucesión de Ki tal que xn → x, entonces dado ε > 0,
podemos elegir N ∈ N tal que xn − x < ε para cada n ≥ N.
En consecuencia:
x = x − xn + xn
≤ x − xn + xn < ε + i
Dado que esto se cumple para cada ε > 0, se tiene que x ≤ i. Luego Ki es cerrado.
Por otra parte, para cada y ∈ Ωc
tenemos que
xn − y = xn − y + x − x
= (xn − x) + (x − y)
≤ xn − x + x − y
≤ ε + x − y
1
i
≤ xn − y ≤ ε + x − y
1
i
≤ ε + x − y
Luego x ∈ Ki . Por lo tanto Ki es compacto.
Entonces tenemos que:
Ki ⊂ {x ∈ Rn
: x < i + 1} ∩ x ∈ Ω : d(x, Ωc
) >
1
i + 1
⊂
◦
Ki+1.
2) Sea x ∈ Ω, entonces existe ix ∈ N∗
tal que x ≤ ix. Por otro lado tenemos
d(x, Ωc
) > 0, por que d(x, Ωc
) = 0 implica que x ∈ Ωc
puesto que Ωc
es cerrado.
Entonces existe ix ∈ N∗
tal que d(x, Ωc
) ≥ 1
ix
. Por lo tanto x ∈ Kmáx(ix,ix).
3) En efecto: existe i0 ∈ N∗
tal que
K ⊂ {x ∈ Rn
: x ≤ i0}.
Entonces la aplicación
ϕ: Ω −→ R+
x −→ d(x, Ωc
)

es continua y acotada sobre K. Por lo tanto existe x0 ∈ K tal que
´ınf
x∈K
d(x, Ωc
) = d(x0, Ωc
) > 0,
porque si d(x0, Ωc
) = 0, resulta que x0 ∈ Ωc
lo que contradice el hecho de que
x0 ∈ K ⊂ Ω. Existe entonces i1 ∈ N∗
tal que d(x, Ωc
) ≥ 1
i1
. Donde K ⊂ Kmáx(i0,i1).
Entonces podemos establecer las siguientes igualdades:



pi(u) =
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
u(x)|, si u ∈ Ck
(Ω), k ∈ N
pi(u) =
|α|≤i
sup
x∈Ki
|∂α
u(x)|, si u ∈ C∞
(Ω)
(1.5)
Verifiquemos que cada pi cumple las siguientes propiedades:
pi(0) = 0, pi(λu) = |λ|pi(u) si λ ∈ C, pi(u + v) ≤ pi(u) + pi(v).
En efecto: Si u = 0, tenemos
pi(0) =
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
(0)| = 0, luego pi(0) = 0.
Ahora
pi(λu) =
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
[λu(x)]|
=
|α|≤k
sup
x∈Ki
|λ∂α
u(x)|
= |λ|
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
u(x)|
Luego:
pi(λu) = |λ|pi(u), λ ∈ C.
Por último
pi(u + v) =
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
(u + v)(x)|
=
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
u(x) + ∂α
v(x)|
≤
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
u(x)| +
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
v(x)| = pi(u) + pi(v)

(Ω) 7
Por lo tanto:
pi(u + v) ≤ pi(u) + pi(v).
Los pi son llamados semi-normas porque satisfacen los axiomas de norma excepto
que pi(u) = 0 no implica que u = 0, solamente u = 0 sobre Ki. Podemos definir la
topolog´ıa que vamos a utilizar en estos espacios, con una base de vecindades. Esto
es para u ∈ Ck
(Ω), k ∈ N ∪ {+∞}, ε > 0; i ∈ N∗
, escribimos:
Vi,ε(u) = {v ∈ Ck
(Ω) : pi(v − u) < ε}. (1.6)
Una vecindad de u será un subconjunto de Ck
(Ω) que contiene una Vi,ε(u) para un
par (i, ε). Definiendo abierto como subconjuntos que son vecindades de cada uno
de sus puntos. Se verifica fácilmente que se obtiene una topolog´ıa T sobre Ck
(Ω).
Sobre C(Ω) se define la norma de convergencia uniforme, como
u ∞ := sup
x∈Ω
|u(x)|
con la cual es un espacio de Banach.
Proposición 1.2 Sea {un}n∈N una sucesión de Ck
(Ω) y u ∈ Ck
(Ω). Las dos condi-
ciones siguientes son equivalentes :
1. La sucesión {un}n∈N converge a u en T .
2. Para |α| ≤ k (toda α cuando k = +∞) y para cualquier compacto K de Ω, la
sucesión {∂α
un}n∈N converge uniformemente sobre K a ∂α
u.
Demostración: 1) ⇒ 2) Probemos el caso k = +∞. Sea ∈ N y K un compacto
de Ω. Por el lema anterior, existe i0 ∈ N∗
tal que K ⊂ Ki0 . Tomando i = máx(i0, ).
Sea ε > 0, el conjunto Vi,ε(u) una vecindad de u. Por 1) existe N ∈ N tal que
un ∈ Vi,ε(u) para n ≥ N, es decir
pi(un − u) =
|α|≤i
sup
x∈Ki
|∂α
(un − u)| < ε.
Como i ≥ y K ⊂ Ki, tenemos supx∈K |∂α
(un − u)| < ε, para n ≥ N y |α| ≤ .
Entonces |∂α
(un − u)| < ε es decir |∂α
un − ∂α
u| < ε. Por tanto por el criterio de
convergencia de Cauchy, {∂α
un}n∈N converge uniformemente sobre K a ∂α
u.
2) ⇒ 1) Sea {∂α
un}n∈N una sucesión y ∂α
u ∈ Ck
(Ω) para todo K ∈ Ω y para todo
α ∈ N∗
, |α| ≤ k = +∞, entonces ∂α
un → ∂α
u uniformemente sobre K, es decir
|∂α
(un − u)| = |∂α
un − ∂α
u| → 0, lo cual implica que un → u.
Veamos que un → u uniformemente.

En efecto: Sea ε > 0, el conjunto Vi,ε(u) una vecindad de u. Existe N ∈ N tal que
un ∈ Vi,ε(u) para n ≥ N, y x ∈ Ω, as´ı
un(x) − u(x) < ε
como |un(x) − u(x)| ≤ un(x) − u(x) < ε, tenemos que |un(x) − u(x)| ≤ ε y
ya que esto se satisface uniformemente para x ∈ Ω, hemos probado que un → u
uniformemente en K ∈ Ω.
Esta noción se llama convergencia uniforme sobre conjuntos compactos de funciones
k veces continuamente diferenciables.
Proposición 1.3 La topolog´ıa T definida anteriormente es metrizable. Más preci-
samente para u, v ∈ Ck
(Ω),
d(u, v) =
+∞
i=1
1
2i
pi(u − v)
1 + pi(u − v)
.
Entonces:
1. d es una métrica sobre Ck
(Ω), que define la misma topolog´ıa que T .
2. Equipado con esta métrica, Ck
(Ω) es un espacio completo.
Demostración: 1) El término general de la serie que define d está acotado por 2−i
,
as´ı d esta bien definida. Veamos que d as´ı definida cumple los axiomas de distancia.
En efecto:
d(u, u) = 0; si d(u, v) = 0, tenemos pi(u − v) = 0 para todo i ∈ N∗
, por lo tanto
u = v sobre Ki para todo i ≥ 1, sobre Ω por lema 1.1.
d es simétrica d(u, v) = d(v, u) por ser d una distancia, es decir
d(u, v) =
+∞
i=1
1
2i
pi(u − v)
1 + pi(u − v)
= d(v, u).
Veamos que se cumple la desigualdad triangular:
La función
x →
x
1 + x
es monótona creciente.
En efecto: como f (x) =
1
(1 + x)2
, es positiva por lo tanto f es monótona creciente.
Ahora, como pi(u − v) ≤ pi(u − w) + pi(w − v) podemos escribir
pi(u − v)
1 + pi(u − v)
≤
pi(u − w) + pi(w − v)
1 + pi(u − w) + pi(w − v)
≤
pi(u − w)
1 + pi(u − w)
+
pi(w − v)
1 + pi(w − v)

(Ω) 9
multiplicando por 2−i
, y tomando sumatorio tenemos :
+∞
i=1
1
2i
pi(u − v)
1 + pi(u − v)
≤
+∞
i=1
1
2i
pi(u − w)
1 + pi(u − w)
+
+∞
i=1
1
2i
pi(w − v)
1 + pi(w − v)
.
Esto es :
d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)
que es la desigualdad triangular.
Por lo tanto d(u, v) =
+∞
i=1
1
2i
pi(u − v)
1 + pi(u − v)
es una métrica.
Veamos que la topolog´ıa son las mismas. Sea u0 ∈ Ck
(Ω) y r > 0. Existe i0 ≥ 1 tal
que
∞
i=i0+1
1
2i
<
r
2
. Entonces Vi0,r
2
(u0) ⊂ B(u0, r) para la bola abierta d.
En efecto : para v ∈ Vi0, r
2
(u0), tenemos
d(u0, v) ≤
i0
i=1
1
2i
pi(u0 − v)
1 + pi(u0 − v)
+
+∞
i=i0+1
1
2i
≤ pi0 (u0 − v)
+∞
i=1
1
2i
+
r
2
<
r
2
+
r
2
= r
por ser pi ≤ pi0 , para i ≤ i0 por lema 1.1, 1).
Inversamente; Dado i0, ε, tenemos que B(u0, r) ⊂ Vi0,ε(u0) si r = 1
2i0
ε
1+ε
. En efecto:
si v ∈ B(u0, r) tenemos en particular,
1
2i0
pi0 (u0 − v)
1 + pi0 (u0 − v)
<
1
2i0
ε
1 + ε
= r,
donde pi0 (u0 − v) < ε.
2) Tratemos el caso k < +∞. Sea (up) una sucesión de Cauchy en d, es decir
∀ε > 0, ∃N0 : ∀p ≥ q ≥ N0,
+∞
i=1
1
2i
pi(up − uq)
1 + pi(up − uq)
< ε .
Fijemos i ∈ N∗
. Usando la desigualdad anterior con ε =
1
2i
ε
1 + ε
para ε > 0,
entonces para todo α, |α| ≤ k, la sucesión (∂α
up) es de Cauchy en C0
(Ki).
Este espacio es completo (cuando se proporciona con la norma u = sup
Ki
|u|) existe

vα
i ∈ C0
(Ki) tal que (∂α
up) converge a vα
i ∈ C0
(Ki). Como Ki ⊂ Ki+1, la unicidad
del limite asegura que vα
i+1 = vα
i en Ki. En particular, definamos una función v
continua sobre Ω, esto es
v(x) = v0
i (x), x ∈ Ki. (1.7)
Mostremos por inducción sobre , que para 0 ≤ ≤ k,
v0
i ∈ C (
◦
Ki) y vα
i = ∂α
v0
i sobre
◦
Ki, para |α| ≤ . (1.8)
Para = 0, v0
i ∈ C0
(
◦
Ki) y v0
i = v0
i sobre
◦
Ki para |α| ≤ 0.
Sea α, tal que |α| = + 1; pongamos ∂α
= ∂
∂xµ
∂α
donde |α | = . Si x ∈
◦
Ki y
x0 = (x1, · · · , x0
µ, · · · , xn) ∈ B(x, ε) ⊂
◦
Ki.
Podemos escribir
∂α
up(x) = ∂α
up(x0) +
xµ
x0
µ
∂α
up(x1, · · · , y, · · · , xn)dy (1.9)
Para |α| ≤ k, (∂α
up) converge uniformemente sobre Ki a vα
i , y tomando l´ımite en
ambos lados de (1.9) obtenemos:
vα
i (x) = vα
i (x0) +
xµ
x0
µ
vα
i (x)(x1, · · · , y, · · · , xn)dy (1.10)
utilizando (1.8) se deduce de (1.10) que
∂α
v0
i (x) = ∂α
v0
i (x0) +
xµ
x0
µ
vα
i (x)(x1, · · · , y, · · · , xn)dy (1.11)
El miembro derecho de (1.11) es una derivada parcial con respecto a xµ continua,
lo mismo con el primer miembro, entonces ∂α
=
∂
∂xµ
∂α
v0
i pertenece a C0
(
◦
Ki), es
decir ∂α
v0
i ∈ C0
(
◦
Ki), donde v0
i ∈ C +1
(
◦
Ki), y ∂α
v0
i = vα
i . Como Ω =
+∞
i=2
◦
Ki, se
deduce de (1.7) y (1.8) para = k que v ∈ Ck
(Ω) y ∂α
(up) converge uniformemente
a ∂α
v sobre Ki en cualquier compacto según las proposiciones 1.2 y 1.3, 1), para d.
Luego Ck
(Ω) es un espacio completo.
Observación 1.4 La topolog´ıa de espacios Ck
(Ω) descrita anteriormente no es nor-
mable porque Ck
(Ω) no es localmente acotado.

1.5. PROPIEDADES DE C∞
(Ω) 11
1.5. Propiedades de C∞
(Ω)
Definición 1.5 Un subconjunto B de Ck
(Ω) es acotado si,
∀i ∈ N∗
∃Mi > 0 : pi(u) ≤ Mi, ∀u ∈ B. (1.12)
Observe que este concepto es diferente del concepto de acotado para la distancia d
(es decir, contenido en una bola).
Teorema 1.6 Sea B un subconjunto de C∞
(Ω). Son equivalentes:
1. B es compacto.
2. B es cerrado y acotado.
Demostración:
1) ⇒ 2) Un subconjunto compacto de un espacio topológico cerrado es siempre
cerrado. Veamos que está acotado en sentido de la definición 1.5. Sea i ∈ N∗
. Tenemos
que B ⊂
u∈B
Vi,1(u), como los Vi,1(u) son abiertos, la compacidad de B implica que
existe u1, · · · , uN en B, tal que B esta incluido en
N
=1
Vi,1(u ).
Sea M = máx
=1,··· ,N
{pi(u ) + 1}. Entonces si u ∈ B, existe tal que pi(u − u ) < 1,
entonces
u = u − u + u
pi(u) = pi[(u − u ) + u ]
≤ pi(u ) + pi(u − u )
< pi(u ) + 1
< Mi.
Luego B es acotado. Por lo tanto B es un subconjunto compacto de C∞
(Ω).
2) ⇒ 1) Sea B acotado. Como la topolog´ıa que hemos definido en C∞
(Ω) es metri-
zable, es suficiente demostrar que de cada sucesión (up) de B podemos extraer una
subsucesion (upk
) tal que, para compacto K de Ω y todo α ∈ Nn
, (∂α
upk
) converge
uniformemente sobre K. Supongamos que Ω =]a, b[⊂ R. Por hipótesis tenemos
∀i ∈ N∗
∃Mi > 0 : sup
Ki
|u( )
p | ≤ Mi, ∀p ∈ N, ∀ = 0, · · · , i, (1.13)
donde u
( )
p denota la derivada -ésima. Para x, y ∈ Ki y 0 ≤ ≤ i − 1 tenemos
|up(x) − up(y)| ≤ sup
Ki+1
|u( +1)
p (x)||x − y| ≤ Mi+1|x − y|. (1.14)

Se deduce que, para 0 ≤ ≤ i−1, el conjunto (u
( )
p )p∈N es equicontinuo en Ki, y están
acotados en cualquier punto x de Ki. Por el teorema de Ascoli son relativamente
compactos en C0
(Ki).
1.6. Los espacios Ck
0 (Ω), 0 ≤ k ≤ +∞
1.6.1. Soporte de una función continua
Teorema 1.7 Sea u ∈ C0
(Ω). El soporte de u es el subconjunto cerrado de Rn
definido por cada una de las afirmaciones equivalentes:
1. supp u = {x ∈ Ω : u(x) = 0}
2. x0 /∈ supp u ⇔ ∃Vx0 : u(x) = 0, ∀x ∈ Vx0
3. (supp u)c
es el abierto más grande donde u se anula.
Tenemos las siguientes propiedades:



supp u = 0 ⇔ u ≡ 0 sobre Ω
supp (u · v) ⊂ supp u ∩ supp v
supp ∂u
∂xj
⊂ u, j = 1, · · · , n, si u ∈ C1
(Ω)
(1.15)
1.6.2. Espacios Ck
0 (Ω)
Definición 1.8 1. Para k ∈ N ∪ {+∞}, Ck
0 (K) designa el subconjunto de todos
los u ∈ Ck
(Ω), tal que él supp u esta contenido en un compacto de Ω.
2. Si K es un compacto de Ω, Ck
0 (K) designa el subconjunto de todos los elementos
u de Ck
0 (K) tal que supp u ⊂ K. Los elementos de C∞
0 (K) son llamados
funciones de prueba.
Observación 1.9 a) Si u ∈ Ck
0 (Ω) la función definida en Rn
por,
˜u(x) =
u(x), x ∈ Ω
0, x /∈ Ω
pertenece a Ck
0 (Rn
).
b) El espacio Ck
0 (Ω) no es trivial.
En efecto sea x0 ∈ Ω y ε > 0 tal que {x ∈ Ω : |x − x0| < ε} ⊂ Ω. La función
ϕ definida sobre Ω por,
ϕ(x) =
exp −1
ε2−|x−x0|2 , si |x − x0| < ε,
0, si |x − x0| ≥ ε, x ∈ Ω,
(1.16)

0 (Ω) 13
pertenece a C∞
0 (Ω). El soporte de ϕ es la bola cerrada de centro x0 y de radio
ε.
−6 −4 −2 0 2 4 6
0
2
4
6
c) Veamos un ejemplo del uso de estas funciones. Sea f una función continua so-
bre Ω, tal que Ω
f(x)ϕ(x) dx = 0, para cualquier función real ϕ que pertenece
a C∞
0 (Ω). Entonces f es idénticamente nula. Es suficiente probar el resultado
par f real. Por reducción al absurdo. En efecto: si existiera un punto x0 ∈ Ω
donde f(x0) = 0, existe una bola B(x0, ε) ⊂ Ω donde f(x) > 0. Sea ϕ la fun-
ción construida en (1,16); tenemos que Ω
f(x)ϕ(x) dx = B(x0,ε)
f(x)ϕ(x) > 0,
lo que contradice el hecho de ser f idénticamente nula.
1.7. Topolog´ıa de espacios Ck
0 (Ω)
Es dif´ıcil definir con precisión y estudiar, en algunas lineas, la topolog´ıa de estos
espacios. Damos una breve descripción de estos espacios destacando sus principales
propiedades. Hemos visto en el lema 1.1 que Ω = ∪+∞
i=1 Ki donde (Ki)i∈N∗ , es una
sucesión creciente de compactos. Se deduce de 3) de este lema que,
E = Ck
0 (Ω) =
+∞
i=1
Ck
0 (Ki) =
+∞
i=1
Ei donde Ei = Ck
0 (Ki). (1.17)
Si k < +∞, se toma en Ei la topolog´ıa Ti tomando la norma
u Ei
=
|α|≤k
sup
x∈Ki
|∂α
u(x)|. (1.18)
Si k = +∞, se toma en Ei la topolog´ıa Ti de la familia de normas
p (u) =
|α|≤
sup
x∈Ki
|∂α
u(x)|, ∈ N (1.19)

Vemos como en la proposición 1.3 que esta topolog´ıa es metrizable. Entonces tenemos
el siguiente teorema.
Teorema 1.10 Existe una topolog´ıa única T sobre Ck
0 (Ω) (llamada l´ımite inductivo
estricto de topologias Ti) tal que,
1. T induce en cada Ei = Ck
0 (Ki) la topolog´ıa Ti.
2. Una sucesión (uj)j∈N de Ck
0 (Ω) converge en este espacio si, solamente si
a) Existe i0 ∈ N∗
tal que supp uj ⊂ Ki0 , para toda j ∈ N.
b) La sucesión (uj)j∈N converge en Ck
0 (Ki0 ).
3. Una forma lineal T sobre Ck
0 (Ω) es continua si, y solamente si la restricción
de T en cada Ck
0 (Ki) es continua.
4. Un subconjunto A de Ck
0 (Ω) es acotado en este espacio si, y solamente si,
existe i0 ∈ N∗
tal que A ⊂ Ck
0 (Ki0 ) y A es acotado.
1.8. Densidad
Pretendemos mostrar que C∞
0 (Ω) es denso en ciertos espacios funcionales. Esta es
una información útil en la práctica. En efecto supongamos que queremos demostrar
cierta afirmación (desigualdad, etc.) para algunas funciones regulares, por ejemplo
continua, Lp
, etc. A menudo es más fácil demostrar para las funciones de Ck
0 (Ω)
luego usar la densidad en el caso general. La prueba de la densidad se realiza en dos
pasos que son, truncamiento y regularización. La primera consiste en mostrar que
en un espacio funcional, los elementos que son cero fuera de un compacto, forman
un subespacio denso en todo el espacio, mientras mientras que el segundo es la
aproximación de un elemento por una serie de Ck
0 (Ω), la regulación es a través de
un procedimiento universal: la convolución.
1.8.1. Truncamiento
Proposición 1.11 Truncamiento
1. Para 1 ≤ p < +∞, Lp
c(Ω) = {u ∈ Lp
(Ω) : u = 0 fuera de un compacto } es
denso en Lp
(Ω).
2. Para 0 ≤ k ≤ +∞, Ck
0 (Ω) es denso en Ck
(Ω).

1.8. DENSIDAD 15
Demostración:
Por el Lema 1.1, tenemos Ω = ∪+∞
i=1 Ki donde Ki es compacto y Ki ⊂
◦
Ki+1. Sea
ϕi ∈ C∞
0 (Ω) tal que ϕi = 1 sobre Ki, ϕi = 0 en (
◦
Ki+1)c
, 0 ≤ ϕi ≤ 1.
1) Sea u ∈ Lp
(Ω); hagamos ui = ϕiu. Entonces ui ⊂ Lp
c(Ω) porque |ui| ≤ |u| y ui = 0
fuera de Ki+1. Veamos que la sucesión (ui)i∈N∗ converge a u en Lp
(Ω). Aplicamos el
teorema de convergencia dominada a
|ui(x) − u(x)|p
= |ϕi(x)u(x) − u(x)|p
= |u(x)|p
|ϕi(x) − 1|p
.
En efecto: si x ∈ Ω existe j0 tal que x ∈ Kj0 ; si i ≥ j0 tenemos Kj0 ⊂ Ki, entonces
ϕi(x) = 1. Se deduce que en casi todo Ω, |ui(x) − u(x)|p
→ 0. Por otro lado
|ui(x)−u(x)|p
≤ |u(x)|p
∈ L1
(Ω) porque 0 ≤ ϕi ≤ 1. Se deduce que |ui(x)−u(x)|p
→
0 en L1
(Ω).
2) Si u ∈ Ck
(Ω)(k < +∞) y ui = ϕiu ∈ Ck
0 (Ω). Veamos que para todo ∈ N,
p (ui − u) =
|α|≤k
sup
x∈K
|∂α
(ui − u)|
Tiende a cero cuando i → +∞. La fórmula de Leibniz (1.4) muestra que para
|α| ≤ k,
∂α
(ui − u) = ∂α
[(ϕiu − u)]
= ∂α
[(ϕi − 1)u]
= (ϕi − 1)∂α
u +
β≤α
β=0
α
β
∂β
ϕi∂α−β
u.
Se deduce que:
p (ui − u) =
|α|≤
sup
x∈Ki
|∂α
(ui − u)|
≤
|α|≤k
sup
K
|ϕi − 1| sup
K
|∂α
u| +
|α|≤k β≤α
β=0
α
β
sup
K
|∂β
ϕi| sup
K
|∂α−β
u|.
Para i ≥ + 1, K ⊂
◦
K +1 ⊂ Ki, entonces ϕi = 1 en K , ∂β
ϕi = 0 en Ki si β = 0.
Resulta que
p (ui − u) =
|α|≤k
sup
x∈K
|∂α
(ui − u)| = 0
si i ≥ + 1. Tomando k = +∞ obtenemos el mismo resultado.

1.8.2. Regularización
Definición 1.12 Si ϕ ∈ Ck
0 (Rn
) y f ∈ Lp
c(Rn
), 1 ≤ p < +∞, entonces para todo
x ∈ Rn
, la función y → ϕ(x − y)f(y) pertenece a L1
(Rn
); En efecto: Lp
c(Rn
) ⊂
L1
(Rn
) y |ϕ(x − y)||f(y)| ≤ sup
Rn
|ϕ| · |f(y)|. Entonces podemos escribir
(ϕ ∗ f)(x) = ϕ(x − y)f(y)dy. (1.20)
ϕ ∗ f se llama la convolución de ϕ por f. Tenemos la siguiente proposición:
Proposición 1.13 La función ϕ ∗ f pertenece a C∞
0 (Rn
).
Demostración:
Utilizando el teorema de derivación de Lebesgue. Para casi todo y de Rn
, la función
x → ϕ(x − y)f(y) pertenece a C∞
(Rn
). Para todo x ∈ Rn
, tenemos:
|∂α
x [ϕ(x − y)f(y)]| = |(∂α
ϕ)(x − y)f(y)| ≤ sup |∂α
ϕ| · |f(y)| ∈ L1
(Rn
).
Se deduce que (ϕ ∗ f) ∈ C∞
(Rn
). Entonces supongamos que el soporte de ϕ está
contenido en {x ∈ Rn
: |x| ≤ A} y que f(y) = 0 para |y| ≥ B. En efecto: sea x tal
que |x| > A + B. En la definición de integral de ϕ ∗ f, tenemos (x − y) ∈ supp ϕ,
por lo tanto |x − y| ≤ A; entonces
|x| − |y| ≤ |x − y|
−|y| ≤ |x − y| − |x|
|y| ≥ |x| − |x − y| > A + B − A = B
|y| ≥ B,
entonces f(y) = 0. Se deduce que (ϕ ∗ f) = 0 para todos los x tal que |x| > A + B
por lo tanto, supp (ϕ ∗ f) ⊂ {x ∈ Rn
: |x| ≤ A + B}.
Proposición 1.14 Si ϕ ∈ C∞
0 (Rn
) y f ∈ C∞
0 (Rn
), k ∈ N, entonces (ϕ ∗ f) ∈
C∞
0 (Rn
) y ∂α
(ϕ ∗ f) = ϕ ∗ ∂α
f, |α| ≤ k.
Demostración: Como f ∈ Ck
0 (Rn
) ⊂ Lp
c(Rn
), por la proposición anterior tenemos
que ϕ ∗ x pertenece a C∞
0 (Rn
).
Para la ver que ∂α
(ϕ ∗ f) = ϕ ∗ ∂α
f, |α| ≤ k. Realizamos el cambio de variable

1.8. DENSIDAD 17
u = x − y ⇒ du = −dy, tomando x fijo y y = x − u, entonce, tenemos:
(ϕ ∗ f)(x) =
x
0
ϕ(x − y)f(y)dy
(ϕ ∗ f)(x) = −
0
x
ϕ(u)f(x − u)du
=
x
0
ϕ(u)f(x − u)du,
cambiando u por y se tiene:
(ϕ ∗ f)(x) = ϕ(y)f(x − y)dy.
y aplicando como en la proposición anterior el teorema de derivación de Lebesgue,
se obtiene que: ∂α
(ϕ ∗ f) = ϕ ∗ ∂α
f, |α| ≤ k.
Sea ρ ∈ C∞
(Rn
) tal que supp ρ ⊂ {x ∈ Rn
: |x| ≤ 1}, ρ ≥ 0 y ρ(x)dx = 1.
Definamos:
ρε(x) = ε−n
ρ
x
ε
. (1.21)
La sucesión (ρε) es llamada una aproximación de la identidad, este término se jus-
tifica por el siguiente resultado:
Proposición 1.15 Aproximación de la Identidad
1. Si u ∈ Ck
0 (Rn
), k ∈ (N), para todo α ∈ Nn
, |α| ≤ k, (∂α
(ρε ∗ u)) converge a
(∂α
u) uniformemente sobre Rn
, cuando ε → 0.
2. Si u ∈ Lp
c(Rn
), (ρε ∗ u) converge a u en Lp
(Rn
), cuando ε → 0 para todo
1 ≤ p < ∞.
Demostración:
1) Para |α| ≤ k, tenemos:
∂α
(ρε ∗ u)(x) − ∂α
u(x) = (ρε ∗ ∂α
u)(x) − ∂α
u(x)
aplicando la convolución tenemos
(ρε ∗ ∂α
u)(x) = ε−n
ρ
x − y
ε
∂α
u(y)dy
entonces
∂α
(ρε ∗ u)(x) − ∂α
u(x) = ε−n
ρ
x − y
ε
∂α
u(y)dy − ∂α
u(x)

utilizando el cambio de variable z =
x − y
ε
entonces x−y = εz y y = x−εz,entonces
dz =
−1
ε
dy ⇒ εdz = −dy
∂α
(ρε ∗ u)(x) − ∂α
u(x) = ρ(z)[∂α
u(x − εz) − ∂α
u(x)]dz
Para ρ(z)dz = 1.
Ahora como u ∈ Ck
0 (Rn
) para todo |α| ≤ k, ∂α
u es continua con soporte compacto,
uniformemente continua en Rn
, es decir
∀δ > 0, ∃η(α, β) > 0 : ∀x, x , |x − x | < η(α, β) ⇒ |∂α
u(x) − ∂α
u(x )| < δ. (1.22)
Sea δ > 0, correspondiente a η(α, β) por (1.22).
Tomemos ε > 0 tal que ε < ´ınf
|α|≤k
η(α, β) = ηδ; entonces |x − εz − x| = ε|z| ≤ ε < ηδ,
en el soporte de ρ(z). Se deduce de (1.22) que
|∂α
(ρε ∗ u)(x) − ∂α
u(x)| ≤ ρ(z)|∂α
u(x − εz) − ∂α
u(x)|dz ≤ δ, ∀x ∈ Rn
cuando ε → 0.
2) Para la demostración utilizamos el siguiente resultado:
Lema 1.16 Sea z0 ∈ Rn
, |z0| ≤ 1 y f ∈ Lp
(Rn
). Sea f(x − εz0) la función definida
para casi todo punto en Rn
por x → f(x − εz0). Entonces:
l´ım
ε→0
f(x − εz0) − f(x) Lp = 0.
Sea q tal
1
p
+
1
q
= 1. Escribiendo ρ(z) = (ρ(z))
1
q (ρ(z))
1
p y utilizando la desigualdad
de Hölder se obtiene:
|ρε ∗ u(x) − u(x)| ≤ ρ(z)dz
1
q
ρ(z)|u(x − εz) − u(x)|p
dx
1
p
.
Integrando en x sobre Rn
, elevamos ambos miembros a la potencia p, y utilizando
el teorema de Fubini, tenemos:
ρε ∗ u(x) − u(x) p
Lp ≤ ρ(z) u(x − εz) − u(x) p
Lp
x
dz.
Ahora aplicamos el teorema de convergencia dominada al segundo miembro, y te-
nemos que la integral tiende a cero cuando ε → 0, por el lema (1.16). Entonces
ρ(z) u(x − εz) − u(x) p
Lp
x
≤ 2p
u p
Lp
ρ(z) ∈ L1
(Rn
).
Que es la demostración.

Cap´ıtulo 2
Distribuciones
Se introduce en este cap´ıtulo el concepto de distribución, a continuación, el orden
y soporte de una distribución, y se estudian los espacios que ayudan a definir estos
conceptos. Finalmente se, proporciona ejemplos.
2.1. Definición de distribución
Definición 2.1 Sea Ω un abierto de Rn
. Una distribución T sobre Ω es una apli-
cación lineal de C∞
0 (Ω) en C tal que :
para todo compacto K de Ω existe CK > 0 y k ∈ N tal que
| T, ϕ | ≤ CK
|α|≤k
sup
x∈K
|∂α
ϕ(x)| (2.1)
para todo ϕ ∈ C∞
0 (K).
Observación 2.2 Teniendo en cuenta los espacios topolog´ıcos C∞
0 (Ω) y C∞
0 (K) es
fácil de interpretar la definición 1.1. En efecto tenemos la equivalencias entre las
cuatro propiedades siguientes :
1. T es una distribución sobre Ω.
2. T es una forma lineal sobre C∞
0 (Ω) tal que para todo compacto K de Ω, la
restricción de T a C∞
0 (K) es continua.
3. T es una forma lineal continua sobre C∞
0 (Ω).
4. Para cada sucesión (ϕj) de C∞
0 (Ω) tal que
a) existe K compacto de Ω tal que el supp ϕj ⊂ K, ∀j ∈ N,
b) (ϕj) → 0 en C∞
0 (K), entonces l´ım
j→+∞
T, ϕj = 0.
19

20 CAPÍTULO 2. DISTRIBUCIONES
En efecto (1.1) expresa la continuidad de la restricción C∞
0 (K) de T por lo tanto
(1) ⇔ (2); entonces como C∞
0 (K) es metrizable, la continuidad es equivalente a la
continuidad de sucesiones por lo tanto (2) ⇔ (4); finalmente (2) y (3); son equiva-
lentes en virtud de la topolog´ıa introducida en C∞
0 (Ω).
Las propiedades de la convergencia de (ϕj) definen una topolog´ıa τ localmente con-
vexa en el espacio vectorial C∞
0 (Ω). Por lo tanto C∞
0 (Ω). Dotado de esta topolog´ıa se
convierte en el espacio vectorial topológico llamado D(Ω), as´ı D(Ω) = (C∞
0 (Ω), τ).
El espacio dual D (Ω) de D(Ω), es llamado el espacio de (Schwartz) de distribu-
ciones en Ω. Los elementos de este espacio son llamados distribuciones y/o funcio-
nes de prueba. El espacio D (Ω), es dotado con la topolog´ıa débil estrella, as´ı que
una sucesión {Tn} ⊂ D (Ω) converge a T ∈ D (Ω), si Tn(ϕ) → T(ϕ) para todo
ϕ ∈ D(Ω). En este caso se dice que {Tn} converge a T en el sentido distribucional.
Para S, T, {Tj}j∈N ∈ D (Ω) y c ∈ C(Ω), entonces se define las operaciones :
(S + T)(ϕ) = S(ϕ) + T(ϕ), para cada ϕ ∈ D(Ω).
(cT)(ϕ) = cT(ϕ), para cada ϕ ∈ D(Ω).
Tj → T si y sólo si Tj(ϕ) → T(ϕ) en C para todo ϕ ∈ D(Ω).
2.2. Orden de una distribución
El entero k introducido en (1.1) depende del compacto K. Si un mismo k es valido
para cualquier compacto, decimos que T es de orden inferior o igual a k.
Definición 2.3 Sea k un entero. Una distribución T en Ω es de orden inferior o
igual a k, si para todo compacto K de Ω existe CK > 0 tal que
| T, ϕ | ≤ CK
|α|≤k
sup
x∈K
|∂α
ϕ(x)| (2.2)
0 (K).
El conjunto de las distribuciones se denota D (k)
(Ω).
Pongamos D F
(Ω) = ∪k∈ND
(k)
(Ω). Este es el espacio de las distribuciones de orden
finito.
Teorema 2.4 Sea T ∈ D (k)
(Ω). Se puede ampliar T de manera única en una for-
ma lineal continua ˜T en Ck
0 (Ω). La aplicación T → ˜T de D (k)
(Ω) en (Ck
0 (Ω)) es
biyectiva. Ella permite identificar D (k)
(Ω) con el dual de Ck
0 (Ω).

2.3. EJEMPLOS 21
Demostración:
1) Unicidad. Sea T ∈ D (k)
(Ω); C∞
0 (Ω) es denso en Ck
0 (Ω), si ˜T1 y ˜T2 son dos formas
lineales continuas en Ck
0 (Ω) que coinciden con T en C∞
0 (Ω), tenemos ˜T1 = ˜T2.
2) Existencia. Sea ϕ ∈ Ck
0 (Ω). Existe una sucesión (ϕν) ⊂ Ck
0 (Ω) que converge a ϕ
en Ck
0 (Ω), el supp ϕν esta, para todo ν, contenido en una vecindad K0 arbitraria-
mente cerca del supp ϕ. Pongamos ˜T, ϕ = l´ım
ν→+∞
T, ϕν . Este l´ımite existe porque
( T, ϕν ) es una sucesión de Cauchy en C.
En efecto,
| T, ϕν − T, ϕµ | = | T, ϕν − ϕµ | ≤ Ck
|α|≤k
sup
K0
|∂α
(ϕν − ϕµ)|.
El miembro derecho tiende a cero cuando ν y µ tienden a +∞ porque (ϕν) converge
a ϕ en Ck
0 (Ω). Veamos que ˜T ∈ (Ck
0 (Ω)) . Sea K un compacto de Ω y ϕ ∈ Ck
0 (Ω). Sea
(ϕν) ∈ C∞
0 (Ω), ϕν → ϕ en Ck
0 (Ω) y el supp ϕν ⊂ K0. Como T es una distribución
de orden ≤ k, tenemos que | T, ϕν | ≤ CK0
|α|≤k
sup
K0
|∂α
ϕν|.
Se deduce que ˜T, ϕν ≤ CK0
|α|≤k
sup
K
|∂α
ϕ| ya que ϕ ∈ Ck
0 (Ω). Por lo tanto
˜T ∈ (Ck
0 (Ω)) . Por último ˜T extiende a T ya que ϕ ∈ C∞
0 (Ω), podemos tomar
ϕν = ϕ, para todo ν luego ˜T, ϕ = T, ϕ .
2.3. Ejemplos
(i) Distribución definida por una función f localmente integrable
Sea f ∈ L1
loc(Ω) asociamos la distribución Tf definida por,
Tf , ϕ = f(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C∞
0 (Ω). (2.3)
Sea K ⊂⊂ Ω y ϕ ∈ C∞
0 (K), tenemos
| Tf , ϕ | = f(x)ϕ(x)dx
≤ |f(x)ϕ(x)|dx
≤
K
|f(x)|dx sup
K
|ϕ(x)| = CK sup
K
|ϕ(x)|
donde CK = K
|f(x)|dx. Por lo tanto Tf ∈ D (0)
(Ω). Resulta la aplicación f → Tf
de L1
loc(Ω) en D (Ω) que es lineal.

En efecto: Sean ϕ1 y ϕ2 funciones de prueba y c1, c2 números complejos, entonces
Tf , c1ϕ1 + c2ϕ1 = Tf , c1ϕ1 + Tf , c2ϕ2
= f(x)c1ϕ1(x)dx + f(x)c2ϕ2(x)dx
= c1 f(x)ϕ1(x)dx + c2 f(x)ϕ2(x)dx
= c1 Tf , ϕ1 + c2 Tf , ϕ2
Por lo tanto Tf , ϕ es lineal.
Veamos que Tf , ϕ es continuo. En efecto: para K ⊂ Ω tal que K es compacto y
cada {ϕj} → ϕ0 en D(K) tenemos:
| Tf , ϕj − Tf , ϕ0 | =
Ω
f(x)ϕj(x)dx −
Ω
f(x)ϕ0(x)dx
=
Ω
f(x)[ϕj(x) − ϕ0(x)]dx
≤
Ω
|f(x)||ϕj(x) − ϕ0(x)|dx
≤ ϕj(x) − ϕ0(x) ∞
K
|f(x)|dx → 0,
cuando j → ∞, ya que ∂α
ϕj(x) − ∂α
ϕ0(x) ∞ → 0, cuando j → ∞. As´ı, si la
sucesión {ϕm} converge a cero, entonces Tf , ϕm converge a cero. De aqu´ı que sea
continua. Por lo tanto Tf , ϕ es una distribución.
(ii) La distribución de Dirac
Sea x0 ∈ Ω. Denotemos δx0 la forma lineal en C∞
0 (Ω) definida por δx0 , ϕ = ϕ(x0).
Como | δx0 , ϕ | ≤ sup
K
|ϕ(x)| si ϕ ∈ C∞
0 (K), tenemos δx0 ∈ D (0)
(Ω).
Veamos que es lineal.
En efecto: Sean ϕ1 y ϕ2 funciones de prueba y c1, c2 números complejos, entonces
δx0 , c1ϕ1 + c2ϕ2 = δx0 , c1ϕ1 + δx0 , c2ϕ2
= ϕ1(c1x0) + ϕ2(c2x0)
= c1ϕ1(x0) + c2ϕ2(c2x0)
= c1 δx0 , ϕ1 + c2 δx0 , ϕ2
Por lo tanto δx0 , ϕ es lineal.
Sin embargo δx0 no está dada por una función de L1
loc(Ω). Veamos que δx0 es una
distribución que no satisface (2.3). En efecto: supongamos que δx0 satisface (2.3),
entonces existe una función f ∈ L1
loc(Ω) tal que
δx0 , ϕ = ϕ(x0) = f(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ C∞
0 (Ω). (2.4)

2.3. EJEMPLOS 23
consideremos la función de prueba definida por:
ϕa(x) =
exp a2
|x|2−a2 , si |x| < a
0, si |x| ≥ a.
Con a > 0, notemos que ϕa(0) = exp(−1) > 0 entonces
Ω
f(x)ϕa(x)dx ≤
Ω
|f(x)||ϕa(x)|dx
=
|x|<a
|f(x)||ϕa(x)|dx
≤
|x|<a
|f(x)| exp−1
dx
≤ exp−1
|x|<a
|f(x)|dx.
Si f es localmente integrable entonces
l´ım
a→0 |x|<a
|f(x)|dx = 0
se sigue entonces que
l´ım
a→0 Ω
f(x)ϕa(x)dx = 0
Lo cual contradice nuestra suposición inicial (2.4).
(iii) Extensión
Sea α un multi-indice. Supongamos T, ϕ = ∂α
ϕ(x0) para ϕ ∈ C∞
0 (Ω). Veamos que
T ∈ D (|α|)
(Ω). En efecto:
| T, ϕ | = |∂α
ϕ(x0)| =
∂
∂x1
α1
. . .
∂
∂xn
αn
≤
|α|≤k
sup
x∈K
∂|α|
ϕ
∂α1
x1 . . . ∂αn
xn
Por lo tanto T ∈ D (|α|)
(Ω).
Demostremos que T /∈ D (k)
(Ω). para k < |α|, es que T es exactamente de orden |α|.
Por reducción al absurdo. Si T ∈ D (k)
(Ω) (con k < |α|), para todo compacto K de
Ω existe Ck > 0 tal que
|∂α
ϕ(x0)| ≤ CK
|β|≤k
sup
x∈K
|∂β
ϕ(x)|, ϕ ∈ C∞
0 (K). (2.5)

Veamos que esto es imposible. Sea δ > 0 tal que K = B(x0, δ) ⊂ Ω. Tomemos fijo
ψ0 ∈ C∞
0 (B(0, δ)), ψ0(x) = 1 si |x| ≤ δ
2
y tomando ψ(x) = xα
α!
ψ0(x). Por la formula
de Leibniz tenemos que ∂α
ψ(0) = 1. Hagamos ϕ(x) = ψ(λ(x − x0)) donde λ ≥ 1, es
un parametro que tiende a +∞.
Entonces, ϕ ∈ C∞
0 (K) para supp ϕ ⊂ {x : |x − x0| ≤ δ
λ
} ⊂ {|x − x0| ≤ δ} = K.
Además,
∂α
ϕ(x) = ∂α
ψ(λ(x − x0))
= λα
∂α
ψ(x − x0)
cuando x = x0 tenemos,
∂α
ϕ(x0) = λα
∂α
ψ(0)
= λα
para |β| ≤ k,
y
|∂β
ϕ(x)| = λ|β|
|∂β
ψ(λ(x − x0))|
≤ λk
sup
Rn
|∂β
ψ(x)|.
La desigualdad (2.5) implica que para todo λ ≥ 1,
λ|α|−k
≤ CK
|β|≤k
sup
Rn
|∂β
ψ|,
que es imposible si λ → +∞ para |α| − k ≥ 1.
(iv) La distribución ¨valor principal¨
La función f(x) = 1
x
no es localmente integrable sobre R, sin embargo podemos
asociar una distribución llamada valor principal de 1
x
denotada por vp1
x
. Tomando
ϕ ∈ C∞
0 (R),
vp
1
x
, ϕ = l´ım
ε→0 |x|≥ε
ϕ(x)
x
dx.
Veamos que vp1
x
∈ D (1)
(R). Sea K un compacto de R, K ⊂ [−M, M]. Para
C∞
0 (K), tenemos
vp
1
x
, ϕ = l´ım
ε→0 ε≤|x|≤M
ϕ(x)
x
dx.
Por otro lado, según la fórmula de Taylor tenemos, ϕ(x) = ϕ(0) + xψ(x) donde
ψ(x) =
1
0
ϕ (tx)dt ∈ C∞
(R) y |ψ(x)| ≤ sup
K
|ϕ (x)|.
Escribimos:
ε≤|x|≤M
ϕ(x)
x
dx =
ε≤|x|≤M
ϕ(0) + xψ(x)
x
dx
= ϕ(0)
ε≤|x|≤M
dx
x
+
ε≤|x|≤M
ψ(x)dx

2.4. SOPORTE DE UNA DISTRIBUCI ÓN 25
La primera integral del lado derecho es igual a cero, dado que el integrando es una
función impar. Por el teorema de convergencia dominada, tenemos que
l´ım
ε→0 ε≤|x|≤M
ψ(x)dx =
|x|≤M
ψ(x)dx.
Por lo tanto
vp
1
x
, ϕ =
|x|≤M
ψ(x)dx.
Se deduce que | vp1
x
, ϕ | ≤ CM supK |ϕ (x)| ésto es vp1
x
∈ D (1)
(R). De hecho vp1
x
es exactamente de orden uno. En efecto: vp1
x
/∈ D (1)
(R) de lo contrario tendr´ıamos
la desigualdad,
vp
1
x
, ϕ(x) ≤ C sup
K
|ϕ(x)|, para ϕ ∈ C∞
0 (K). (2.6)
Para n ≥ 1 consideremos la sucesión (ϕn) ⊂ C∞
0 (R) definida por, ϕn(x) = 1, si
x ∈ [1
n
, 1], ϕn(x) = 0 si x ≤ 1
2n
o xn ≥ 2, 0 ≤ ϕn ≤ 1. El supR |ϕn| = 1. De otra
parte para ε ≤ 1
2n
tenemos:
|x|≥ε
ϕn(x)
x
dx =
2
1
2n
ϕn(x)
x
dx ≥
1
1
n
ϕn(x)
x
dx =
1
1
n
dx
x
= log n.
En consecuencia vp1
x
, ϕ(x) ≥ log n y la desigualdad (2.6) no se satisface si n →
+∞.
2.4. Soporte de una distribución
Presentamos para las distribuciones una noción de soporte que generaliza la noción
introducida en cap´ıtulo anterior para las funciones continuas.
Definición 2.5 Sea T ∈ D (Ω) y w un abierto contenido en Ω. Decimos que T es
nula en w si T, ϕ = 0 para todo ϕ ∈ C∞
0 (ω).
Lema 2.6 Sea (ωi)i∈I una familia de abiertos de Ω y ω = ∪i∈Iωi. Si T ∈ D (Ω) es
nula en cada ωi entonces T es nula en ω.
Demostración:
Sea ϕ ∈ C∞
0 (ω); y K = supp ϕ. Entonces K ⊂ ∪i∈Iωi; la propiedad de Borel-
Lebesgue implica que existe un conjunto finito de ´ındices J ⊂ I tal que K ⊂ ∪i∈J ωi.
Sea (χi)i∈J una partición de la unidad relativa al recubrimiento (ωi)i∈J de K, esto
es χi ∈ C∞
0 (ωi) y i∈J χi(x) = 1 para x ∈ ∪i∈J ωi. Como ϕ tiene soporte en K,

tenemos ϕ(x) = i∈J χi(x)ϕ(x), entonces T, ϕ = i∈J T, χiϕ ; o χiϕ ∈ C∞
0 (ωi)
y T = 0 en ωi, entonces T, χiϕ = 0 y T, ϕ = 0 esto es T = 0 en ω.
Este lema muestra que para cualquier distribución T ∈ D (Ω) existe un abierto más
grande donde T es nula. Que es la reunión de todos los abiertos donde T = 0.
Definición 2.7 Para T ∈ D (Ω) el soporte de T, que se denota supp(T), es el
complemento del abierto más grande donde T es cero.
El soporte de T es un conjunto cerrado.
Tenemos las siguientes propiedades.



i) x0 /∈ supp(T) ⇐⇒ ∃Vx0 vecindad abierta de x0 tal que
T, ϕ = 0, ∀ϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ),
ii) x0 ∈ supp(T) ⇐⇒ ∀Vx0 , ∃ϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ), T, ϕ = 0,
iii) supp(T) ⊂ F ⇐⇒ T = 0 en Fc
.
(2.7)
Ejemplos 2.8 Soporte de una función continua y en un punto.
1. Si T esta dada por una función f continua sobre Ω. Es decir T = Tf ,entonces
supp(T) = supp(f). En efecto si x0 /∈ supp(f) existe Vx0 tal que f(x) = 0
para x ∈ Vx0 . Entonces, si ϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ), ϕ(x)f(x) = 0, en Ω as´ı T, ϕ =
f(x)ϕ(x) = 0 es decir x0 /∈ supp(T). Inversamente si x0 /∈ supp(T) existe
Vx0 tal que f(x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ), Esto implica que f(x) = 0 en
Vx0 , es decir x0 /∈ supp(f), Por lo tanto supp(T) = supp(f).
2. Si T, ϕ = ∂α
ϕ(x0), tenemos, supp(T) = {x0}.
En efecto: Si ϕ ∈ C∞
0 (Ω{x0}), tenemos T, ϕ = 0, por lo tanto el supp(T) ⊂
{x0}. Inversamente x0 ∈ supp(T). En efecto: Sea Vx0 una vecindad abierta de
x0 y χ ∈ C∞
0 (Vx0 ), χ = 1 en un entorno de x0.
Tomando ϕ(x) = (x−x0)α
α!
χ(x); entonces ϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ) utilizando la fórmula de
Leibniz, se tiene que ∂α
ϕ(x0) = 1.
Tenemos el siguiente resultado.
Teorema 2.9 Sea T ∈ D (Ω) y x0 ∈ Ω. Supongamos que supp(T) = {x0}. Existe
entonces un entero k y los números complejos aα, para |α| ≤ k, tales que
T, ϕ =
|α|≤k
aα∂α
ϕ(x0),
0 (Ω).
La prueba de este teorema la podemos encontrar en [5] Página: 26. Y para ello
se utilizan las siguientes proposiciones útiles en s´ı mismas. Que enunciamos sin
demostración.

2.5. DISTRIBUCIONES DE SOPORTE COMPACTO 27
Proposición 2.10 Sea T ∈ D (Ω), ϕ ∈ C∞
0 (Ω) tales que supp(T) ∩ supp(ϕ) = ∅.
Entonces T, ϕ = 0.
Proposición 2.11 Sea k ∈ N. Sea T ∈ D (k)
(Ω) y ϕ ∈ Ck
0 (Ω) tales que ∂α
ϕ(x) = 0
para x ∈ supp(T) y |α| ≤ k. Entonces T, ϕ = 0.
2.5. Distribuciones de soporte compacto
Una distribución de soporte compacto es una forma lineal continua en el espacio
de las funciones de clase C∞
de soporte compacto. Pero a medida que el soporte
de la distribución es incluso compacto, podemos ignorar las funciones de prueba
fuera del soporte de la distribución. Esto permite extender la dualidad y considerar
distribuciones de soporte compacto como formas lineales continuas en el espacio
de las funciones C∞
equipado con la topolog´ıa de la convergencia uniforme sobre
compactos con derivadas de todos las órdenes.
Definición 2.12 E (Ω) denota el espacio vectorial sobre C de las distribuciones con
soporte compacto.
Teorema 2.13 Existe una aplicación lineal biyectiva Φ de E (Ω) en el dual de
C∞
(Ω) que permite identificar E (Ω) con (C∞
(Ω))
Demostración:
Definamos Φ y mostremos que es inyectiva. Lo hacemos utilizando las siguientes
proposiciones.
Proposición 2.14 Sea T ∈ E (Ω) y K0 = supp(T). Existe una única aplicación
lineal ˜T de C∞
(Ω) en C tal que,
(i) ˜T, ϕ = T, ϕ si ϕ ∈ C∞
0 (Ω).
(ii) ˜T, ϕ = 0 si ϕ ∈ C∞
(Ω), supp(ϕ) ∩ K0 = ∅.
(iii) Existe k ∈ N, un compacto K ⊂ Ω (vecindad arbitraria de K0) y C > 0 tal que
˜T, ϕ ≤ C
|α|≤k
sup
K
|∂α
ϕ|, ∀ϕ ∈ C∞
(Ω) (2.8)
Φ denota la Aplicación T → ˜T.
Demostración:
(a) Unicidad. Sea ˜T1, ˜T2 verificando (i)-(iii). Sea χ ∈ C∞
0 (Ω), χ = 1 sobre una

vecindad de K0. Para j = 1, 2 y ϕ ∈ C∞
(Ω), escribimos:
˜Tj, ϕ = ˜Tj, χϕ − χϕ + ϕ
= ˜Tj, χϕ + (ϕ − χϕ)
= ˜Tj, χϕ + (1 − χ)ϕ
= ˜Tj, χϕ + ˜Tj, (1 − χ)ϕ .
Como supp[(1 − χ)ϕ] ∩ K0 = ∅, resulta de (ii) que ˜Tj, (1 − χ)ϕ = 0 puesto
que χϕ ∈ C∞
0 (Ω) tenemos de (i), ˜Tj, χϕ = T, χϕ . En consecuencia ˜T1, ϕ =
˜T2, ϕ = T, χϕ . Por lo tanto ˜T1 = ˜T2.
(b) Existencia. Para ϕ ∈ C∞
(Ω), ˜T, ϕ = T, χϕ , donde χ ∈ C∞
0 (Ω), χ = 1 sobre
una vecindad de K0. Veamos que ˜T, verifica (i)-(iii).
(i) Si ϕ ∈ C∞
0 (Ω) tenemos supp[(1 − χ)ϕ] ∩ supp(T) = supp[(1 − χ)] ∩ K0 = ∅. Por
la proposición (2.10) tenemos que T, (1 − χ)ϕ = 0, por lo tanto
˜T, ϕ = T, χϕ + T, (1 − χ)ϕ = T, ϕ .
(ii) Sea ϕ ∈ C∞
(Ω) tal que supp(ϕ)∩K0 = ∅. Tenemos K0 ⊂ (supp(ϕ))c
. Existe por
lo tanto un abierto O tal que O es compacta, K0 ⊂ O y O ⊂ (supp(ϕ))c
. Sea χ1 ∈
C∞
0 ((supp(ϕ))c
), χ1 = 1 sobre O. Como supp(χ1) ⊂ (supp(ϕ))c
se tiene χ1ϕ = 0, por
lo tanto, T, χ1ϕ = 0. Porque supp[(χ−χ1)]∩K0 = ∅, se tiene T, (χ − χ1)ϕ = 0, de
la proposición (2.10). Entonces ˜T, ϕ = T, χϕ = T, (χ − χ1)ϕ + T, χ1ϕ = 0.
(iii) Para todo ϕ ∈ C∞
(Ω) tenemos, supp(χϕ) ⊂ supp(χ) = K y puesto que T es
una distribución, existe k ∈ N y C > 0 tal que,
˜T, ϕ = | T, χϕ | ≤ C
|α|≤k
sup
K
|∂α
(χϕ)|, ∀ϕ ∈ C∞
(Ω).
Aplicando la fórmula de Leibniz se tiene:
˜T, ϕ ≤ C
|α|≤k
sup
K
|∂α
ϕ|, ∀ϕ ∈ C∞
(Ω).
Dadad la topologia del espacio C∞
(Ω), la propiedad (iii) expresa que la aplicación
lineal ˜T es continua en C∞
(Ω) sobre C, por lo tanto ˜T ∈ (C∞
(Ω)) . Sea Φ la
aplicación de E (Ω) en (C∞
(Ω)) , T → ˜T. Esta aplicación es lineal y continua por
ser T una distribución. Es inyectiva: En efecto, si ˜T = 0, tenemos T = 0 entonces
˜T, ϕ = T, ϕ . Es sobreyectiva debido al siguiente proposición.

2.6. OPERACIONES CON DISTRIBUCIONES 29
Proposición 2.15 Sea ˜T ∈ (C∞
(Ω)) . La restricción de ˜T a C∞
0 (Ω) es una distri-
bución de soporte compacto. La aplicación R : ˜T → ˜T|C∞
0 (Ω) de (C∞
(Ω)) en E (Ω)
es una inversa a derecha de la aplicación Φ definida anteriormente.
2.6. Operaciones con distribuciones
Vamos a estudiar dos operaciones con distribuciones: La multiplicación por una
función C∞
y la derivación. Terminamos con ejemplos y se introduce el concepto de
solución elemental.
2.6.1. Multiplicación por una función C∞
Teorema 2.16 Sea T ∈ D (Ω) y a ∈ C∞
(Ω). La forma lineal aT sobre C∞
0 (Ω)
definida por,
aT, ϕ = T, aϕ , ϕ ∈ C∞
0 (Ω), (2.9)
es una distribución.
Demostración:
Sea T ∈ D (Ω), para todo compacto K de Ω. Existe k ∈ N y CK > 0 tal que
| T, aϕ | ≤ CK
|α|≤k
sup
K
|∂α
(aϕ)|,
si ϕ ∈ C∞
0 (K). Por la fórmula de Leibniz, tenemos que a ∈ C∞
(Ω) y por (1.1)
tenemos que | aT, ϕ | ≤ CK
|α|≤k
sup
K
|∂α
(ϕ)|. Donde aT ∈ D (Ω). Por lo tanto aT
es una distribución.
Propiedades 2.17 (i) supp(aT) ⊂ supp(a) ∩ supp(T).
En efecto: Sea x0 ∈ (supp(a))c
∪ (supp(T))c
. Si x0 ∈ (supp(a))c
, existe Vx0 tal que
a(x) = 0 para x ∈ Vx0 . Entonces a(x)ϕ(x) = 0 para x ∈ Ω y ϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ) por lo
tanto aT, ϕ = T, aϕ = 0, donde x0 /∈ supp(aT). Ahora si x0 ∈ (supp(T))c
, existe
Vx0 tal que T, ψ = 0 para ψ ∈ C∞
0 (Vx0 ). Sea ϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ), entonces aϕ ∈ C∞
0 (Vx0 ).
Por lo tanto aT, ϕ = T, aϕ = 0, es decir x0 ∈ (supp(aT))c
.
(ii) Para a, b ∈ C∞
(Ω) y S, T ∈ D (Ω), tenemos:
(a + b)T = aT + bT, abT = a(bT), a(S + T) = aS + aT.
(iii) Si a ∈ C∞
(Ω) y x0 ∈ Ω, tenemos, aδx0 = a(x0)δx0 . En particular en R,

xδx0 = 0. Veamos que xvp1
x
= 1.
En efecto: tenemos
xvp
1
x
, ϕ = vp
1
x
, xϕ
= l´ım
ε→0 |x|≥ε
xϕ(x)
x
dx
= l´ım
ε→0 |x|≥ε
ϕ(x)dx
= ϕ(x)dx
= 1, ϕ ,
para ϕ ∈ C∞
0 (Ω). Hemos utilizado el teorema de convergencia dominada.
2.6.2. Derivación de distribuciones
Definición 2.18 Sea T ∈ D (Ω). La forma lineal ∂T
∂xj
sobre C∞
0 (Ω) definida por,
∂T
∂xj
, ϕ = − T,
∂ϕ
∂xj
, ϕ ∈ C∞
0 (Ω), (2.10)
se llama una distribución derivada parcial en el sentido de la distribución T con
respecto a la j-ésima variable. El hecho que ∂T
∂xj
sea una distribución resulta inme-
diatamente de la pertenencia de T a D (Ω).
Propiedades 2.19 Derivada distribucional
(i) Si T es dada por una función f ∈ C1
(Ω), ∂T
∂xj
es dada por la función ∂f
∂xj
. En
efecto tenemos,
∂T
∂xj
, ϕ = − T,
∂ϕ
∂xj
= − f(x)
∂ϕ
∂xj
dx
= −
Rn−1 R
f(x)
∂ϕ
∂xj
(x)dxj dx
donde x = (x1, ·, xj−1, xj+1, ·, xn). Como f ∈ C1
(Ω) y ϕ es C∞
de soporte compacto,
podemos efectuar una integración por partes en la integral en xj y los términos de los
bordes son nulos. Como ∂f
∂xj
es la derivada parcial de f en el sentido usual, tenemos
que:
∂T
∂xj
, ϕ =
∂f
∂xj
(x)ϕ(x)dx = T ∂f
∂xj
, ϕ .

(ii) Si T ∈ D (k)
(Ω) tenemos que ∂T
∂xj
∈ D (k+1)
(Ω).
(iii) En general en (2.9) vemos que una distribución admite derivada de todos los
ordenes. Si α ∈ Nn
es un multi-indice y T una distribución, ∂α
T es una disribucion
que es definida por,
∂α
T, ϕ = −(1)|α|
T, ∂α
ϕ , ϕ ∈ C∞
0 (Ω).
(iv) supp ∂T
∂xj
⊂ supp T, en general supp ∂α
T ⊂ supp T.
(v) Si a ∈ C∞
(Ω) y T ∈ D (Ω), tenemos ∂
∂xj
(aT) = ∂a
∂xj
T + a ∂T
∂xj
.
Ejemplos 2.20 1. La función
H(x) =
1, si x ≥ 0
0, si x < 0
se llama la función de Heaviside. Tenemos que H = δ0.
En efecto: si ϕ ∈ C∞
0 (R) tenemos
H , ϕ = − H, ϕ = −
+∞
0
ϕ (x)dx = ϕ(0) = δ0, ϕ .
2. La función f(x) = log |x|, para x = 0, pertenece a L1
loc(R) por lo tanto a D (R).
Tenemos que f = vp1
x
.
3. Para T ∈ D (R) tenemos: T = 0 ⇔ T = constante.
2.6.3. Soluciones elementales
Definición 2.21 Sea P un operador diferencial con coeficientes constantes sobre
Rn
. Una solución elemental de P es una distribución E sobre Rn
tal que PE = δ0.
Por ejemplo, par n ≥ 3 se puede demostrar que la función localmente integrable
E(x) = 1
(2−n)µ(Sn−1)
1
|x|n−2 es una solución elemental del operador . También se
puede demostrar que la función localmente integrable
E(t, x) =
H(t)
(4πt)
n
2
e
−|x|2
4t
es una solución elemental del operador del calor P = ∂
∂t
− x sobre Rt × Rn
x.

2.6.4. Convergencia de distribuciones
En lo que sigue Ω sera un abierto de Rn
y D representa D (Ω).
Definición 2.22 Sea (Tj)j∈N una sucesión de D y T ∈ D . Decimos que (Tj)j∈N
converge a T en D (se escribe (Tj) → T) si
l´ım
j→+∞
Tj, ϕ = T, ϕ
0 (Ω).
Propiedades 2.23 Convergencia de distribuciones
(i) Si (Tj) → T, entonces, para todo α ∈ Nn
, (∂α
Tj) → ∂α
T.
En general si P =
|α|≤m
aα(x)∂α
es un operador diferencial con coeficientes en
C∞
(Ω), (PTj) → PT en D .
(ii) Si (Tj)j∈N es una sucesión en D , entonces la serie Tj es convergente en D ,
si la sucesión (SN )N≥0 =
N
j=0
Tj
N≥0
es convergente. Si la serie Tj es con-
vergente, entonces para todo α ∈ Nn
, la serie
+∞
j=0
∂α
Tjes convergente, y tenemos
∂α
+∞
j=0
Tj =
+∞
j=0
∂α
Tj.
(iii) La convergencia en Lp
loc(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞, implica la convergencia en D .
En efecto: sea (fj) ⊂ Lp
loc(Ω) tal que (fj) → f en Lp
loc(Ω). Sea q tal que 1
p
+ 1
q
= 1.
Sea ϕ ∈ C∞
0 (Ω), con supp(ϕ) ⊂ K. Por la desigualdad de Hölder, tenemos:
| fj, ϕ − f, ϕ | = | fj − f, ϕ |
=
K
[(fj − f) · ϕ]dx
≤
K
|fj − f| · |ϕ|dx
≤ fj − f Lp(K) ϕ Lq(K) −→ 0.
(iv) La convergencia en casi todo punto no implica la convergencia en D . En efecto:
consideremos la sucesión de L1
loc(R) definida por fj(x) =
√
je−jx2
. Entonces para
todo x = 0, fj(x) → 0, pero (fj) →
√
πδ0 en D (R), porque para ϕ ∈ C∞
0 (R)

tenemos, después de aplicar el teorema de convergencia dominada, que
fj, ϕ = fj(x)ϕ(x)dx
= je−jx2
ϕ(x)dx
= j e−jx2
ϕ(x)dx
realizando un cambio de variable, tenemos:
fj, ϕ = e−y2
ϕ(
y
√
j
)dy
= l´ım
j→∞
e−y2
ϕ(
y
√
j
)dy
= e−y2
ϕ(0)dy
= ϕ(0) e−y2
dy
=
√
πϕ(0)
=
√
π δ0, ϕ .
Ejemplos 2.24 Convergencia de distribuciones.
1. La sucesión (eijx
)j∈N tiende a cero en D (R). En efecto: si ϕ ∈ C∞
0 (R),
| eijx
, ϕ | = eijx
ϕ(x)dx
=
1
j
eijx
ϕ (x)dx
≤
1
j
|ϕ (x)|dx → 0.
2. Para x ∈ R y ε > 0, tomemos fε(x) = log(x + iε) = log |x + iε| + i arg(x + iε),
(arg ∈]−π, π[). Entonces (fε) ⊂ L1
loc(R) y, si εj → 0, la sucesión (fεj
) converge
en D (R) a
f0(x) =
log x si x > 0
log |x| + iπ si x < 0.
En efecto: para ϕ ∈ C∞
0 (R),
log(x + iεj)ϕ(x)dx = log |x + iεj|ϕ(x)dx + i arg(x + iεj)ϕ(x)dx

Como |x| ≤ |x + iεj| ≤ |x| + 1 si (εj ≤ 1) tenemos
| log |x + iεj|| ≤ máx(| log |x||, log(|x| + 1)) ∈ L1
loc(R); por otro lado
log |x + iεj| → log |x| casi en todas partes. Por el teorema de convergencia
dominada se deduce que log |x + iεj|ϕ(x)dx → log |x|ϕ(x)dx.
Entonces arg(x + iεj) tiende a cero si x > 0 y a π si x < 0.
Aplicando nuevamente el teorema de convergencia dominada tenemos que
i arg(x + iεj)ϕ(x)dx → iπ
0
−∞
ϕ(x)dx.
Entonces:
log(x + iεj)ϕ(x)dx =
∞
−∞
log |x|ϕ(x)dx + iπ
0
−∞
ϕ(x)dx
=
∞
−∞
log |x|ϕ(x)dx + iπ
∞
−∞
H(−x)ϕ(x)dx
= log |x|, ϕ(x) + iπ H(−x), ϕ(x)
= log |x| + iπH(−x), ϕ(x) .
Por lo tanto, log(x + iε) = log |x| + iπH(−x).
Sin embargo, si no sabemos el l´ımite, cómo saber si una sucesión de distribuciones
converge? El siguiente teorema nos da un resultado que proporciona una respuesta a
esta pregunta. El cual enunciamos sin demostración. El teorema es importante en el
carácter lineal de Tj. Este teorema es una consecuencia de un resultado importante
de análisis funcional.
Teorema 2.25 Sea (Tj)j una sucesión de D (Ω). Supongamos que para todo ϕ ∈
C∞
0 (Ω), la sucesión ( Tt, ϕ )j converge en C. Existe T ∈ D (Ω) tal que (Tj)j tiende
a T en D (Ω).
2.7. Convolución de distribuciones
La convolución introducida en el capitulo 1, sección (1.8), es una operación que se
refiere a las funciones definidas en Rn
. Si u y v son continuas, para x fijo, la función
y → u(y)v(x − y) es continua, pero no necesariamente integrable sobre Rn
. Por el
contrario si u o v son de soporte compacto entonces, para x fijo esta función también
es de soporte compacto en L1
(Rn
), de modo que era posible definir u ∗ v por,
(u ∗ v) = u(y)v(x − y) dy, x ∈ Rn
.
Si ϕ ∈ C∞
0 (Rn
), la función (x, y) → u(y)v(x − y)ϕ(x) esta en L1
(R2n
) y tenemos
u ∗ v, ϕ = u(y)v(x − y)ϕ(x) dy dx = u(y)v(z)ϕ(y + z) dy dz

2.7. CONVOLUCI ÓN DE DISTRIBUCIONES 35
por lo tanto
u ∗ v, ϕ = uy ⊗ vz, ϕ(y + z) = uy, vz, ϕ(y + z) ,
el miembro derecho se toma en D (Rn
× Rn
). Se extiende estas ideas a las distribu-
ciones.
2.7.1. Convolución de dos distribuciones
Teorema 2.26 Sea T ∈ D (Rn
), S ∈ E (Rn
). La forma lineal T ∗ S definida sobre
C∞
0 (Rn
), por
T ∗ S, ϕ = Ty ⊗ Sz, ϕ(y + z) (2.11)
es una distribución llamada convolución de distribuciones T y S.
Demostración:
En efecto, si ϕ ∈ C∞
0 (Rn
) y χ ∈ C∞
0 (Rn
) es igual a 1 en una vecindad del soporte
de S, la función (y, z) → χ(y)ϕ(y + z), pertenece a C∞
0 (Rn
× Rn
).
Supongamos que A = Ty, Sz, ϕ(y + z) . Como S pertenece a E (Rn
), existe
C0 > 0, ∈ N, K ⊂⊂ Rn
, tales que, para todo ψ ∈ C∞
(Rn
) y todo y ∈ Rn
tenemos que,
| S, ψ(y + z) | ≤ C0
|α|≤
sup
z∈K
|∂α
ψ(y + z)|. (2.12)
Por otra parte, T ∈ D (Rn
) y la función y → S, ϕ(y + z) pertenece C∞
0 (Rn
) si
ϕ ∈ C∞
0 (Rn
) existe C1 > 0, k ∈ N tales que
|A| ≤ C1
|β|≤k
sup
y
|∂β
y S, ϕ(y + z) | (2.13)
≤ C1
|β|≤k
sup
y
| S, (∂β
ϕ)(y + z) |.
Utilizando (2.12) con ψ = ∂β
ϕ y (2.13), tenemos
|A| ≤ C1C0
|α|≤
|β|≤k
sup
z∈K
y∈Rn
|∂α+β
ϕ(y + z)| ≤ C1C0
|γ|≤k+
sup
x∈Rn
|∂γ
ϕ(x)|.
esta desigualdad demuestra que T ∗ S es una distribución.
Principales propiedades del producto de convolución.
Proposición 2.27 Para T ∈ D (Rn
), S ∈ E (Rn
) tenemos
(i) T ∗ S = S ∗ T,
(ii) T ∗ δ0 = δ0 ∗ T = T,
(iii) ∂α
(T ∗ S) = (∂α
T) ∗ S = T ∗ (∂α
S), ∀α ∈ Nn
.

Proposici´on 2.28 Sea T ∈ D (Rn
), ϕ ∈ C∞
0 (Rn
). Entonces
(i) T ∗ S es dada por la funci´on, x → T, ϕ(x − y) .
(ii) Tenemos, supp(T ∗ ϕ) ⊂ supp(T) + supp(ϕ).
(iii) Si S ∈ E (Rn
) tenemos, (T ∗ S) ∗ ϕ = T ∗ (S ∗ ϕ).

Cap´ıtulo 3
La Ecuación de Ondas en Rt × R3
x
El operador diferencial de segundo orden en Rt × R3
x,
=
∂2
∂t2
− x dónde x =
3
i=1
∂2
∂x2
i
,
se llama operador ondas o de D’Alembert. Se pretende en este capitulo formular
y resolver un problema bien adaptado para el operador de ondas (el problema de
Cauchy homogéneo), y describir las propiedades cualitativas de la solución.
3.1. Solución elemental de sobre Rt × R3
x
Consideremos, para t ∈ R, la forma lineal sobre C∞
0 (R3
) definida por,
Tt, ϕ =
t
4π S2
ϕ(tω) dω (3.1)
donde dω designa la medida de Lebesgue sobre la esfera unitaria S2
de R3
. Es
de fácil comprobación que Tt es una distribución de orden cero sobre R3
y que
supp(Tt) = {x ∈ R3
: |x| = |t|}. Por lo tanto Tt ∈ E (R3
). Enunciemos algunos
resultados que vamos a usar sin demostración. El espacio Ck
(I, D (Ω)).
Sea I un intervalo abierto de R y para todo t ∈ I, Tt un elemento de D (Ω).
Definición 3.1 Sea k ∈ N ∪ {+∞}. Decimos que (Tt) ∈ Ck
(I, D (Ω)) si para todo
ϕ ∈ C∞
0 (Ω) la aplicación de I en C, t → Tt, ϕ es de clase Ck
.
Teorema 3.2 (Fórmula de Green para el Laplaciano).
Sea u ∈ C2
(Rn
), ϕ ∈ C2
0 (Rn
). Sea =
n
j=1
∂2
∂x2
j
. Tenemos
Ω
u(x)ϕ(x)dx =
Ω
u(x) ϕ(x) dx +
∂Ω
∂u
∂n
ϕ − u
∂ϕ
∂n
(x) dσ. (3.2)
37

38 CAPÍTULO 3. LA ECUACI ÓN DE ONDAS EN RT × R3
X
Proposición 3.3 Sea (Tt) ∈ Ck
(I, D (Ω)). Para todo 0 ≤ ≤ k y para todo t ∈ I,
existe una distribución Tt tal que (Tt ) ∈ Ck−
(I, D (Ω)) y
d
dt
Tt, ϕ (t0) = Tt0
, ϕ , ∀t0 ∈ I, ∀ϕ ∈ C∞
0 (Ω). (3.3)
Proposición 3.4 a) Sea (Tt) ∈ C0
(I, D (Ω)) y ψ ∈ C∞
0 (I × Ω). Entonces la aplica-
ción t → Tt, ψ(t, ·) D (Ω) es continua sobre I.
b) Sea (Tt) ∈ C1
(I, D (Ω)) y ψ ∈ C∞
0 (I × Ω).
Entonces la aplicación t → Tt, ψ(t, ·) D (Ω) es C1
sobre I y
d
dt
Tt, ψ(t, ·) = T
(1)
t , ψ(t, ·) + Tt,
∂ψ
∂t
(t, ·) . (3.4)
Proposición 3.5 Sea (Tt) ∈ C0
(I, D (Ω)). Para ψ ∈ C∞
0 (I × Ω)
T, ψ =
I
Tt, ψ(t, ·) D (Ω) dt.
Entonces T ∈ D (I × Ω).
Proposición 3.6 Tenemos que (Tt) ∈ C∞
(R, E (R3
)).
Demostración:
Veamos que para toda ϕ ∈ C∞
(R3
), toda t0 ∈ R y toda k ∈ N, la aplicación
t → Tt, ϕ es Ck
en una vecindad de t0. En efecto: para todo ω ∈ S2
, la función
t → ϕ(tω) es Ck
sobre ]t0 − δ, t0 + δ[; entonces como |tω| = |t| ≤ |t0| + δ, tenemos
que, para todo ≤ k,
|∂t [ϕ(tω)]| =


n
i=1
ωi
∂
∂xi
ϕ

 (tω)
≤ C
|α|≤
sup
|x|≤|t0|+δ
|∂α
x ϕ(x)| ∈ L1
(S2
).
Por lo tanto (Tt) ∈ C∞
(R, E (R3
)).
Tt denota las distribuciones definidas para ∈ N por
(
d
dt
) Tt, ϕ = T
( )
t , ϕ , ϕ ∈ C∞
0 (R3
), (3.5)
De acuerdo a la proposición (3.3). Tenemos entonces el siguiente resultado.

3.1. SOLUCI ÓN ELEMENTAL DE SOBRE RT × R3
X 39
Proposición 3.7 (i) T0 = 0, T1
0 = δ0, T2
0 = 0,
(ii) T
(2)
t − Tt = T
(3)
t − T
(1)
t = 0, en D (R3
), para t > 0.
Demostración:
La fórmula (1.1) muestra que T0 = 0. Diferenciando (1.1) obtenemos,
T
(1)
t , ϕ =
1
4π S2
ϕ(tω) dω +
t
4π
3
i=1 S2
ωi
∂ϕ
∂xi
(tω) dω. (3.6)
T
(2)
t , ϕ =
1
2π
3
i=1 S2
ωi
∂ϕ
∂xi
(tω) dω +
t
4π
3
i,j=1 S2
ωiωj
∂2
ϕ
∂xi∂xj
(tω) dω. (3.7)
Se deduce de (1.3) que, T
(1)
0 , ϕ = 1
4π
( S2 dω)ϕ(0) = ϕ(0) = δ0, ϕ .
Luego T
(1)
0 = δ0.
Para probar que T
(2)
0 = 0, tenemos que de demostrar que T
(2)
t = Tt. En efecto:
para ϕ ∈ C∞
0 (R3
),
Tt, ϕ = Tt, ϕ =
t
4π S2
ϕ(tω) dω. (3.8)
Para r > 0, la fórmula de Green teorema (3.2) muestra que
|x|<r
ϕ(x) dx =
|x|=r
∂ϕ
∂n
(x) dσr (3.9)
donde ∂
∂n
es la derivada normal exterior. Tenemos ∂
∂n
= 1
r
xi
∂
∂xi
. Pasando a coor-
denadas polares, x = tω en (3.9) tenemos, dx = t2
dt dω y dσr = r2
dω. Se deduce,
r
0 S2
ϕ(tω)t2
dω dt = r2
3
i=1 S2
ωi
∂ϕ
∂xi
(rω) dω.
Ambos miembros son diferenciables con respecto a r, derivando obtenemos,
F(r) =
S2
ϕ(rω)r2
dω = 2r
3
i=1 S2
ωi
∂ϕ
∂xi
(rω) dω (3.10)
+r2
3
i,j=1 S2
ωiωj
∂2
ϕ
∂xi∂xj
(rω) dω.
Se deduce de (3.7), (3.8) y (3.10) que
Tt, ϕ =
1
4πt
F(t) = T
(2)
t , ϕ ,

X
Lo que demuestra la primera parte de (ii).
Observe que, T
(2)
0 , ϕ = T0, ϕ = 0, ∀ϕ ∈ C∞
0 (R3
). Finalmente, derivando con
respecto a t la igualdad T
(2)
t , ϕ = Tt, ϕ , se obtiene la segunda igualdad de
(ii).
Consideremos para t ∈ R la distribución,
St =
Tt, si t ≥ 0
0, si t < 0
Entonces,
(St) ∈ C0
(R, E (R3
)). (3.11)
En efecto, la función t → St, ϕ es C∞
para t > 0 y t < 0, por otra parte,
l´ım
t→0+
St, ϕ = Tt, ϕ = T0, ϕ = 0 = l´ım
t→0−
St, ϕ . La proposición (3.5) muestra que
la forma lineal sobre C∞
0 (R4
) definida por
E, ϕ =
R
St, ψ(t, ·) dt (3.12)
=
+∞
0
Tt, ψ(t, ·) dt
=
+∞
0
t
4π |ω|=1
ψ(t, tω)dω dt, ψ ∈ C∞
0 (R4
),
es una distribución en R4
. Por tanto,
supp(E) = {(t, x) ∈ R × R3
: t ≥ 0 y |x| = t}. (3.13)
Tenemos el siguiente resultado.
Proposición 3.8 E es una solución elemental de , esto es E = δ0 en D (R4
).
Demostración:
Veamos que E es una solución fundamental de . En efecto, para ψ ∈ C∞
0 (R4
),
E, ψ = (∂2
t − )E, ψ
= E, (∂2
t − )ψ
= E, ∂2
t ψ − ψ
= E, ∂2
t ψ − E, ψ .
Consideremos el termino E, ∂2
t ψ . Tenemos
E, ∂2
t ψ =
+∞
0
Tt,
∂2
ψ
∂t2
(t, ·) dt.

3.1. SOLUCI ÓN ELEMENTAL DE SOBRE RT × R3
X 41
Utilizando la proposición (3.4), tenemos:
∂
∂t
Tt,
∂ψ
∂t
(t, ·) = T
(1)
t ,
∂ψ
∂t
(t, ·) + Tt,
∂2
ψ
∂t2
(t, ·)
∂
∂t
T
(1)
t , ψ(t, ·) = T
(1)
t ,
∂ψ
∂t
(t, ·) + T
(2)
t , ψ(t, ·) .
Se deduce,
Tt,
∂2
ψ
∂t2
(t, ·) =
∂
∂t
Tt,
∂ψ
∂t
(t, ·) − T
(1)
t ,
∂ψ
∂t
(t, ·)
y
T
(1)
t ,
∂ψ
∂t
(t, ·) =
∂
∂t
T
(1)
t , ψ(t, ·) − T
(2)
t , ψ(t, ·)
Por lo tanto,
Tt,
∂2
ψ
∂t2
(t, ·) =
∂
∂t
Tt,
∂ψ
∂t
(t, ·) −
∂
∂t
T
(1)
t , ψ(t, ·) + T
(2)
t , ψ(t, ·) (3.14)
Integrando (3.14) entre 0 y +∞ y observando que ψ(t, ·) y ∂ψ
∂t
(t, ·) son nulas para
t = +∞, tenemos,
+∞
0
Tt,
∂2
ψ
∂t2
(t, ·) dt =
∂
∂t
+∞
0
Tt,
∂ψ
∂t
(t, ·) dt−
−
∂
∂t
+∞
0
T
(1)
t , ψ(t, ·) dt +
+∞
0
T
(2)
t , ψ(t, ·) dt.
Resulta que,
E, ∂2
t ψ = − T0,
∂ψ
∂t
(0, ·) + T
(1)
0 , ψ(0, ·) +
+∞
0
T
(2)
t , ψ(t, ·) dt.
Utilizando la proposición (3.7), tenemos que T0, ∂ψ
∂t
(0, ·) = 0 y T
(1)
0 , ψ(0, ·) =
δ0, ψ(0, ·) = ψ(0, 0), y T
(2)
t = Tt. Entonces se tiene:
E, ∂2
t ψ = ψ(0, 0) +
+∞
0
Tt, ψ(t, ·) dt
= ψ(0, 0) +
+∞
0
Tt, ψ(t, ·) dt
= ψ(0, 0) + E, ψ
Por lo tanto,
E, ∂2
t ψ = ψ(0, 0) + E, ψ .
Luego E es una solución fundamental del operador de Ondas.

X
3.2. El problema de Cauchy en ]0, ∞[×R3
Si (ut) pertenece a C0
(R, D (R3
)), sea u ∈ D (R4
) la distribucion definida por
u, ψ =
R
ut, ψ(t, ·) dt, ψ ∈ C∞
0 (R4
). (3.15)
Esta distribución la usaremos en la demostración del teorema siguiente. También
usaremos los siguientes resultados sin demostración.
(I, E (Rn
)) y S ∈ D (Rn
)). Entonces (Tt ∗ S) perte-
nece a Ck
(D (Rn
)) y para 0 ≤ ≤ k, (Tt ∗ S) = Tt ∗ S. (Esto es la convolución en
la variable x ∈ Rn
).
(I, E (Rn
)) y ϕ ∈ C∞
(Rn
), entonces la función
I × Rn
en C, (t, x) → (Tt ∗ ϕ)(x) pertenece a Ck
.
3.2.1. El problema homogéneo
Teorema 3.11 Sea f, g ∈ D (R3
). Existe (ut) ∈ C∞
(R, D (R3
)) y u ∈ D (R4
) dada
por (3.15) tal que, 


u = 0 en D (]0, ∞[×R3
)
u0 = f
u
(1)
0 = g.
(3.16)
El problema (3.16) se llama problema de Cauchy homogéneo para la ecuación de
ondas. Veremos más adelante que la solución dada por el teorema (3.11) es única.
Demostración:
Supongamos que, ut = Tt ∗ g + T
(1)
t ∗ f de la proposición (3.9), tenemos que (ut) ∈
C∞
(R, D (R)) ya que de la proposición (3.7) se tiene que (Tt) ∈ C∞
(R, E (R3
)).
Cuando t = 0 tenemos,
u0 = T0 ∗ g + T
(1)
0 ∗ f = δ0 ∗ f = f
por (3.7) y, como u
(1)
t = T
(1)
t ∗ g + T
(2)
t ∗ f por la proposición (3.9), cuando t = 0
tenemos,
u
(1)
0 = T
(1)
0 ∗ g + T
(2)
0 ∗ f = δ0 ∗ g = g.
Sea ψ ∈ C∞
0 (]0, +∞[×R3
), entonces ψ(0, ·) = ψ(+∞, ·) = 0 lo mismo aplicamos a
∂ψ
∂t
. Entonces,
u, ψ = u, ψ =
+∞
0
ut,
∂2
ψ
∂t2
(t, ·) − ut, ψ(t, ·) dt.

3.2. EL PROBLEMA DE CAUCHY EN ]0, ∞[×R3
43
Utilizando (3.14), tenemos,
+∞
0
ut,
∂2
ψ
∂t2
(t, ·) dt =
+∞
0
∂
∂t
ut,
∂ψ
∂t
(t, ·) dt−
−
+∞
0
∂
∂t
u
(1)
t , ψ(t, ·) dt +
+∞
0
u
(2)
t , ψ(t, ·) dt
=
+∞
0
u
(2)
t , ψ(t, ·) dt.
y
+∞
0
ut, ψ(t, ·) dt =
+∞
0
ut, ψ(t, ·) dt
Se deduce que,
u, ψ =
+∞
0
u
(2)
t , ψ(t, ·) dt −
+∞
0
ut, ψ(t, ·) dt
=
+∞
0
u
(2)
t , ψ(t, ·) − ut, ψ(t, ·) dt
=
+∞
0
u
(2)
t − ut, ψ(t, ·) dt.
Es decir,
u, ψ =
+∞
0
u
(2)
t − ut, ψ(t, ·) dt. (3.17)
De la proposición (3.9), se tiene:
u
(2)
t = T
(2)
t ∗ g + T
(3)
t ∗ f y ut = Tt ∗ g + T
(1)
t ∗ f,
entonces
u
(2)
t − ut = (T
(2)
t − Tt) ∗ g + (T
(3)
t − T
(1)
t ) ∗ f,
por la proposición (3.7), tenemos que u
(2)
t − ut = 0. Por lo tanto u = 0 en
D (]0, +∞[×R3
).
3.2.2. Unicidad de la solución
Teorema 3.12 Sea (ut) ∈ C∞
(Rt, D (R3
)) una solución de u = 0 para t > 0, tal
que u0 = u
(1)
0 = 0. Entonces (ut) ≡ 0.

X
Demostración:
Supongamos que para todo t ∈ R,
˜u(x) =
ut, t ≥ 0
0, t < 0.
Utilizando la función de Heaviside, tenemos que ˜u
(k)
t , ϕ = H(t) u
(k)
t , ϕ , para
0 ≤ k ≤ 2. El caso k = 0 es trivial. Para k = 1, sea ϕ ∈ C∞
0 (R3
), tenemos que,
˜u
(1)
t , ϕ =
d
dt
[H(t) ut, ϕ ]
= δt=0 ut, ϕ + H(t) u
(1)
t , ϕ
= H(t) u
(1)
t , ϕ
porque ut, ϕ δt=0 = u0, ϕ δt=0 = 0.
Para k = 2, sea ϕ ∈ C∞
0 (R3
), tenemos que,
˜u
(2)
t , ϕ =
d
dt
[H(t) u1
t , ϕ ]
= δt=0 u1
t , ϕ + H(t) u
(2)
t , ϕ
= H(t) u
(2)
t , ϕ
porque u
(1)
t , ϕ δt=0 = u
(1)
0 , ϕ δt=0 = 0.
Ahora ˜ut, ϕ = ˜ut, ϕ = H(t) ut, ϕ = H(t) ut, ϕ .
Por lo tanto ˜u
(2)
t − ˜ut, ϕ = H(t) u
(2)
t − ut, ϕ . Sea ˜u la distribución asociada
a (˜ut), esto es,
˜u, ϕ =
R
˜ut, ψ(t, ·) dt.
entonces, de (3.17), para ψ ∈ C∞
0 (R4
), tenemos que,
˜u, ψ =
R
˜u
(2)
t − ˜ut, ψ(t, ·) dt
=
+∞
−∞
˜u
(2)
t − ˜ut, ψ(t, ·) dt
=
+∞
−∞
H(t) u
(2)
t − ut, ψ(t, ·) dt
=
+∞
0
u
(2)
t − ut, ψ(t, ·) dt
= u, ψ .
Por lo tanto ˜u = 0 en D (R4
).

Bibliograf´ıa
[1] BONY J.-M., Cours d’Analyse; théorie des distributions et analyse de Fourier.
2001, Paris.
[2] DIEUDONNÉ J., Elementos de Análisis. Tomo 2. Gauthiers-villars, 1968, Paris.
[3] RAM P. KANWAL. Generalized Functions. Theory and Tecnique. Academic
Press 1983.
[4] RENÉ GOUYON., Integración y Distribuciones. Editorial Reverté S.A., 1979.
[5] ZUILY C., Éléments de Distributions et D’Équations aux Dérivées Partielles,
Course et Problémes résolus. Dunod, Paris, 2002.
[6] ZUILY C., Distributions et D’Équations aux Dérivées Partielles, Exercices Co-
rrigés. Hermann Coll. Méthodes, 2nd édition, 1986, Paris.
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