1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA Cálculo de PredicadosPARTE II Ing. César Grijalva

2. Se trata de la interpretación de sentencias lógicas y de la corrección de argumentos lógicos. La interpretación está ligada con la validez. A es válida si A es verdadera para todas las interpretaciones. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

3. Una interpretación de una frase debe contener información suficiente para determinar si la frase es verdadera o falsa. Por Ejemplo: Han pagado todos los clientes. 1) Primero debo preguntarme ¿Qué necesito saber para determinar si esta frase es verdadera? Saber quienes son los clientes, es decir el universo de discurso. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

4. 2) Segundo es saber ¿Quién ha pagado y quién no? Es decir se necesita alguna forma de asignación de predicado para “ha pagado”. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

5. Formalmente una interpretación lógica de una expresión lógica contiene los siguientes componentes: Tiene que haber un Universo de Discurso. Para cada individuo debe haber una constante individual que se refiera solo a él. A cada variable libre asignar una constante individual. Tiene que haber una asignación para cada predicado que se utilice en la expresión, incluyendo los predicados de aridad cero que representan proposiciones. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

6. Ej.∀xP(x): donde P es el predicado «ha pagado» Supongamos 3 clientes María, Juan, Luis; M, J, L, se necesita una asignación si tanto María como Juan han pagado, pero Luis no, entonces la asignación se da de la forma siguiente: M J L P(x) V V F INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

7. ∴El valor de verdad de ∀xP(x), la frase es falsa ∀xP(x) solo es verdadera si P(M), P(J) y P(L) son todas verdaderas, lo cual no es cierto ya que Luis no ha pagado P(L) es falso. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

8. Para la interpretación, seleccionamos un dominio infinito que consta de n individuos a1, a2, a3,..an ∀xP(x) solo es verdadero si P(a1), P(a2), P(a3),..P(an) son todos verdaderos. LEY 1 ∀xP(x) ≡ P(a1) ∧P(a2) ∧P(a3) ∧..P(an). P(a1) ∧ P(a2) ∧ P(a3) ∧..P(an), solo tiene 2 posibles valores Verdadero o Falso, esto hace que sean proposiciones. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

9. Por lo tanto se puede decir que las interpretaciones en universos finitos transforma las expresiones de Cálculo de predicados en proposiciones. Por otro lado para decidir si ∃xP(x) es verdadero. ∃xP(x), es verdadero si existe al menos un x para el cual es válido P(x) INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

10. En la interpretación anterior M J L P(x) V V F P(M) es verdadero y esto basta para que ∃xP(x) sea verdadero. LEY 2 ∃xP(x) ≡ P(a1) ∨P(a2) ∨P(a3) ∨...P(an). INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

11. La ley 1 y ley 2 permite demostrar que: ~∃xA≡ ∀x~Aes válido para todos los dominios finitos correspondientes a Morgan. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

12. Para interpretar una frase con 2 argumentos. Ejemplo: Hay alguien que admira a todo el mundo. - El universo de discurso consta de 3 personas, Juan María y Juana. - El predicado en cuestión es Q(x , y): x admira a y. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

13. La siguiente tabla da una asignación: Las filas argumento 1 y columnas argumento 2 JUAN MARÍA JUANA∀yQ(x, y)∃yQ(x, y) JUAN F V V F V MARIA V F F F V JUANA F V VF V ∀xQ(x, y)F FF ∃xQ(x, y)V VV INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

15. María solo admira a Juan

16. Juana admira a María y a sí mismaPara averiguar «Hay alguien que admira a todo el mundo» ∃xx admira a todo el mundo La frase «x admira a todo el mundo» se puede traducir a la siguiente forma: ∀y Q(x, y ) INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

17. Y como resultado de toda la frase «Hay alguien que admira a todo el mundo» se puede expresar: ∃x∀y Q(x, y ) Para averiguar si esta frase es cierta buscaremos el valor de verdad para: ∀y Q(x, y ), en la interpretación dada en la tabla ésta subexpresión es FALSA. VER TABLA ANTERIOR. Es falsa para Juan porque Juan no se admira así mismo. Es falsa para María porque María no se admira así misma. Es falsa para Juana porque Juana no admira a Juan. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

18. Por lo tanto se puede concluir que: ∀y Q(x, y ) es falsa para todo x, no existe un x para el cual ∀y Q(x, y ) sea verdadero y consiguientemente: ∃x∀y Q(x, y ) es falso a efectos de la interpretación dada. Fin del ejemplo. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

19. ANÁLISIS ∃x∀y Q(x, y) , si se intercambiaran los cuantificadores universal y existencial el valor de verdad puede cambiar, Es decir no sería equivalente si pongo ∃x∀y Q(x, y) ≠∀y ∃xQ(x, y) , por lo que solo se permite intercambiar entre los cuantificadores universal y existencial. ∀x ∀y Q(x, y ) ≡ ∀y ∀x Q(x, y ) ∃x ∃y Q(x, y ) ≡ ∃y ∃x Q(x, y ) De 1 es verdadero de ambos lados si y solo si Q(x, y) = V para todos los posibles x e y. INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

20. Si R es cualquier proposición, es decir es o bien Verdadero o bien Falso, sea cual fuere el individuo. Entonces ∀xR y∃xRson ambas verdaderas si R es verdadero o bien ambas falsas si R es falsa, concluimos entonces que: ∀xR≡∃xR≡ R INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

21. Los argumentos lógicos tienen que ser válidos en todas las circunstancias. Si un argumento ha de ser correcto, tendrá que ser verdadero, para todas las interpretaciones. Validez

22. DEFINICIÓN 2.6: Una expresión es válida si es verdadera en todas las interpretaciones. Para expresar que una expresión A es válida, escribiremos|= A Todaslastautologías son expresionesválidas. Pordefiniciónunaexpresión A no esválidasiexisteuna sola interpretaciónquehaga A falso y ~A verdadero. Validez

23. DEFINICIÓN 2.7: Si B es una expresión, entonces diremos que toda interpretación que haga que B produzca V satisface a B. Toda interpretación que satisface a B se denomina un modelo de B. Si B tiene un modelo, entonces se dice que B es viable. Validez

24. Por tanto, una expresión A no es válida si ~A es viable. De modo equivalente, si ~A tiene un modelo, entonces A no puede ser válida. DEFINICIÓN 2.8: Una expresión B que no tenga ningún modelo se denomina contradictoria. Validez

25. Consiguientemente si A es válida entonces ~A es contradictoria. La noción de validez nos permite definir la implicación lógica y la equivalencia lógica en la forma siguiente: DEFINICIÓN 2.9 . Sean A y B dos expresiones. Decimos que A es lógicamente equivalente a B si A ⇔ B es válida. En este caso, escribiremos A≡B. Además, decimos que A implica lógicamente a B, o que A⇒B, si A⇒B es válida. Validez

26. PROBLEMAS 1. Un universo contiene los tres individuos a , b, c. Para estos individuos, se define un predicado Q(x, y) y susvalores de verdadestán dados por la siguiente tabla: a b c a V F V b F V V c F V V Dado el universo descrito determinar los valores de verdad para: PROBLEMAS

27. a) ∃x~Q(a, y) , b) ∀yQ(b, y), y c) ∀yQ(y, y)∧∃x ∀yQ(x, y) PROBLEMAS

28. 2. Es válida P(x) => (P(x) v Q(x)) ? Razonesurespuesta. 3. Generar un modelopara: (P(x) => Q(y)) ∧ ~Q(y) ∧ P(y)) PROBLEMAS

29. La ley siguiente se va a emplearcomoilustración. Sin embargo, esta ley en sí es muy importante. ∀x(P ⇒ Q(x)) ≡ P ⇒ ∀xQ(x) P esunaproposición y Q es un predicado. Para demostrar, se utiliza la ley de los casos. Dado que P es o bien verdadera o bien falsa, se puede demostrar la validez de las dos equivalencias siguientes: Validez

30. 1 ∀x(V ⇒ Q(x)) ≡ V⇒ ∀xQ(x) 2 ∀x(F ⇒ Q(x)) ≡ F⇒ ∀xQ(x) Estas dos equivalencias son válidas, dado que V ⇒ Q(x) es Q(x), el ladoizquierdo de 1 se reduce a ∀x Q(x). Por una razón similar , el lado derecho de 1 se reduce a ∀xQ(x) y ∀xQ(x)⇔∀xQ(x) esevidentementeválido. Validez

31. Además de 2 es válido porque ambos lados son siempre vedaderos: F ⇒ Q(x) es trivialmente verdadero, también lo es F ⇒ ∀xQ(x). En conclusión∀x(P ⇒ Q(x)) ≡ P ⇒ ∀xQ(x) Esválidaindependientemente de que P sea verdadera o falsa. Validez

32. Dado que la validez es muy importante, serían muy convenientes unos métodos que permitieran mostrar si una expresión es o no válida. Desafortunadamente, no hay métodos que funcionen en todos los casos. De hecho, el problema es del tipo que se denomina indecidible. Los problemas indecidibles no tienen una solución general, en el sentido de que no existe un método que pueda proporcionar de modo fiable una respuesta para el problema. Si un problema es indecidible, entonces tiene uno que buscar casos especiales, o bien hay que contentarse con métodos que a veces no llegan a dar respuesta; típicamente, esto sucede porque caen en algún tipo de bucle. Validez

33. Para determinar que A no es válida, es entonces suficiente dar un único contraejemplo; esto es basta con dar una única interpretación para la cual A produzca el valor F. Para probar que una condicional no es válida, es suficiente encontrarun modelo que haga que el antecedentesea verdadero, y el consecuentefalso. Para mostrar la forma de encontrar uno de esos modelos, consideremos la siguiente expresión, que evidentemente no es válida: Expresiones no validas

34. 1)∃xP(x) ⇒ ∀xP(x) Si P(x) esciertoparaalgún x, esto no justifica, que P(x) sea cierto para todo x. Por ejemplo, si un programa funciona para ciertos datos de entrada, esto no nos permite concluir, que el programa funciona para todos los posibles datos de entrada. Expresiones no validas

35. A continuación se describirá la forma de hacer derivaciones en cálculo de predicados. En particular, se dan las reglas necesarias para insertar y eliminar cuantificadores universales y particulares. También se presentará un concepto nuevo, “la unificación”. La unificación goza de amplia difusión en los lenguajes de programación lógicos y funcionales. DERIVACIONES

36. PARTICULARIZACIÓN UNIVERSAL A partir de ∀xP(x) debería ser posible derivar P(t) para cualquier termino t. Ejemplo: Si P(x) significa “x está domido”, entonces∀xP(x) significa todo el mundo está dormido. De aquí se puede derivar que por ej. Juan está dormido. DERIVACIONES

37. Más formalmente si, x representa una variable, t representa un término y A representa una expresión, entonces la expresión siguiente debería ser válida. ∀xA⇒𝑆𝑡𝑥𝐴 La validez de esta expresión deriva de la definición de ∀x: si A es cierto para todo x, entonces debe ser cierto para x=t. DERIVACIONES

38. La implicación lógica ∀xA⇒𝑆𝑡𝑥𝐴 puede convertirse en una regla de inferencia en la forma siguiente: ∀xA𝑆𝑡𝑥𝐴 Esta regla se denomina particularización universal y se abrevia en la forma UI. DERIVACIONES

39. Por ejemplo, la particularización universal nos permite concluir que ∀xA𝑆𝑡𝑥𝐴 ∀x(rio(x) ⇒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑎𝑔𝑢𝑎(𝑥))𝑟𝑖𝑜𝐴𝑚𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠⇒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑎𝑔𝑢𝑎(𝐴𝑚𝑎𝑧𝑜𝑛𝑎𝑠) DERIVACIONES

40. EJEMPLO Ahoravamos a darunascuantasderivaciones. La primeraderivación es como sigue. Las premisas son: Todos los seres humanos son mortales. Sócrates es un ser humano. A partir de estas premisa demostramos que Sócrates es mortal. Para realizar la derivación, supongamos que H(x) indicaquex eshumano, y M(x) indicaqueél es mortal. DERIVACIONES

41. S representa a Sócrates. Para la regla UI nos limitamos a exponer la particularización 𝑆𝑡𝑥𝐴. Demostrar: Sentido horizontal ∀x(H(x) ⇒𝑀𝑥), 𝐻𝑠⊢ M(S) Sentido vertical 1. ∀x(H(x) ⇒𝑴𝒙) 2. 𝑯𝒔 3. ∴M(S) DERIVACIONES

42. 1. ∀x(H(x) ⇒𝑴𝒙) 2. 𝑯𝒔 3. ∴M(S) Derivación formal Regla Comentario 1. ∀x(H(x) ⇒Mx) PremisaTodos los humanos son mortales HsPremisa Sócrates es mortal HsM(s) 1, 𝑆𝑠𝑥 Si Sócrates es humano, entonces es mortal. M(s) 2,3, M.P. Por tanto, Sócrates es mortal Esto se sigue por aplicación del modusponens a las líneas 2 y 3. fin del ejemplo DERIVACIONES