argumentos lógicos

1. Argumentos Lógicos
Silogismo disyuntivo
1. P o Q
2. No P
3. P
Silogismo hipotético
1. P => Q
2. Q=>R
3. P=>R
Modus ponens
1. Si P => Q
2. P
3. Q

2. Conexiones lógicas

3. Negación
Negación
P -P
V F
F V
Sea 𝑃 una proposición compuesta, −𝑃 es la
proposición que es falsa si P es verdadera,
caso contrario si – 𝑃 es verdadero, 𝑃 es
falsa

4. Conjunción
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ∧ 𝑄 es verdadera, si
tanto P como 𝑄 son verdaderas
Conjunción
P Q 𝑃⋀𝑄
V V V
V F F
F V F
F F V

5. Disyunción
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ∨ 𝑄 es Falso, si tanto P
como Q son falsos, Si ∨ 𝑃 ó ∨
𝑄 entonces 𝑃 ∨ 𝑄 es verdadera.
Disyunción
P Q 𝑃 ∨ 𝑄
V V V
V F V
F V V
F F F

6. Condicional
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 → 𝑄 es Falso si 𝑃 es
verdadero y 𝑄es falso, y 𝑃 𝑦 𝑄 en
otro caso.
Condicional
P Q 𝑃 → 𝑄
V V V
V F f
F V V
F F V

7. Bicondicional
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ↔ 𝑄 es verdadera si y
solo si 𝑃 𝑦 𝑄 tienen los mismos
valores de verdad.
Bicondicional
P Q 𝑃 ↔ 𝑄
V V V
V F F
F V F
F F V

8. Proposiciones
compuestas

9. Expresiones lógicas
Cualquier proposición debe expresarse de algún modo, bien sea verbalmente, gráficamente o
mediante una cadena de caracteres . Una cadena de caracteres se le denomina expresión lógica.
1. Sea 𝑃 𝑦 𝑄 una expresión lógica y también lo es 𝑄 , siempre y cuando 𝑃 𝑦 𝑄 sean variables
lógicas.
2. Las expresiones lógicas también pueden ser ambiguas.

10. Expresiones
lógicas.
Definición 1. Todas las expresiones que
contienen identificadores que representan
expresiones se denominan Esquemas.

11. Propiedades Definición 1
Si 𝐸 es una expresión compuesta cualquiera, entonces los alcances de la
conexión principal en 𝐸 son subexpresiones. Por ejemplo, si E es de la forma
(𝐴 ∧ 𝐵), entonces tanto 𝐴 como 𝐵 son subexpresiones. Estas subexpresiones
se denominarán subexpresiones inmediatas de 𝐸. Además,𝐴 𝑦 𝐵 pueden ser a
su vez expresiones compuestas, en cuyo caso también tendrán subexpresiones.
Todas las subexpresiones de 𝐴 𝑦 𝐵 son también subexpresiones de 𝐸. Todas
estas expresiones son subexpresiones de la proposición original. Generalmente,
las subexpresiones de una expresión 𝐸 se definen como sigue:

12. Propiedades Definición 1
1. E es una subexpresión de 𝐸.
2. Si E es de la forma (−𝐴), entonces 𝐴 es una subexpresión de 𝐸.
3. Si es de la forma 𝐴 ∧ 𝐵 , 𝐴 ∨ 𝐵 , 𝐴 ⇒ 𝐵 𝑜(𝐴 ⇔ 𝐵), entonces 𝐴 𝑦 𝐵, son ambas
subexpresiones de 𝐸. Esta se denominan subexpresiones inmediatas.
4. Si A es una subexpresión de 𝐸 y si 𝐶 es una subexpresión de A, entonces 𝐶 es una
subexpresión de 𝐸.
5. Ninguna otra expresión es subexpresión de 𝐸.

13. Expresiones
lógicas.
Definición 2: Una proposición se denomina
literal si es de la forma 𝑄 𝑜 − 𝑄, donde 𝑄 es
una variable proposicional. Las dos
expresiones 𝑄 𝑦 − 𝑄 se denominan literales.

14. Reglas de prioridad.
•La conexión − tiene siempre la prioridad mas alta.
−𝑃 ∨ 𝑄 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 −𝑃 ∨ 𝑄, 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 − (𝑃 ∨ 𝑄)
•En el caso que la conexión sea binaria, la prioridad mas alta sería :
• ∧
• ∨
• ⇒
• ⟺

15. Ejemplos Reglas de prioridad
1. En la expresión 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑅, ∧ tiene prioridad sobre ∨, por tanto resulta
𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑅.
2. En la expresión 𝑃 ⇒ 𝑄 ∨ 𝑅, ∨ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ⇒, por tanto resulta
𝑃 ⇒ (𝑄 ∨ 𝑅)
3. En la expresión 𝑃 ⇒ 𝑄 ⇔ 𝑅, ⇔ al tener la prioridad mas baja resulta (𝑃 ⇒
𝑄) ⇔ 𝑅

16. Expresiones
lógicas.
Definición 3. Un operador binario se denomina
asociativo por la izquierda, si el operador por la
izquierda tiene prioridad sobre el operador de
la derecha, Un operador binario asociativo por
la derecha, si el operador por la derecha tiene
prioridad sobre el operador de la izquierda.

17. Evaluación de expresiones y
tablas de verdad
Ejemplo: si usted tiene un examen de programación, y no entiende el código, usted no aprobará.
Para determinar cuando es verdadera esta afirmación y cuando es falsa, para hacerlo, definimos:
𝑃: Usted tiene un examen de programación.
𝑄: 𝑈𝑠𝑡𝑒𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐ó𝑑𝑖𝑔𝑜.
𝑅: 𝑈𝑠𝑡𝑒𝑑 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟á
El resultado de esta afirmación resulta en:
𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅

18. Identificación de expresiones
Identificación de una expresión mediante un indicador. Sea el indicador 𝐴; esto
es, donde quiera que aparezca 𝐴 nos referimos a : 𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅, 𝐴 es de la
forma 𝐵 ⇒ 𝐶,𝐵 = (𝑃 ∧ −𝑄) y 𝐶 = −𝑅 y 𝐷 = −𝑄 una variable preposicional .

19. P Q R
D C B A
−𝑄 𝑃 ∧ −𝑄 −𝑅 𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅
V V V F F F V
V V F F F V V
V F V V V F F
V F F V V V V
F V V F F F V
F V F F F V V
F F V V F F V
F F F V F V V
Puesto que A contiene
tres variables P, Q, y R, se
utilizará 2𝑛 asignaciones
23
= 8 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Para fomar valores F y V,

20. Tautologías y
contradicciones

21. Tautología
Definición 4. Una expresión lógica es una
tautología si es verdadera para todas las
asignaciones posibles.

22. Contradicción
Definición 5. Una expresión lógica es una
contradicción si es falsa para todas las
asignaciones posibles.

23. Contingencia
Definición 6. Una expresión lógica que no sea una
tautología ni una contradicción se denomina
contingencia (casualidad/eventualidad).

24. Tautología
Sea − 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑄, una proposición verdadera. Demostrar que es una tautología.
𝑃 𝑄 𝑃 ∧ 𝑄 −(𝑃 ∧ 𝑄) −(𝑃 ∧ 𝑄) ∨ 𝑄
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
Debido a que las tautologías son tan
importantes, se ha creado una simbología
para denotar que una expresión es una
tautología
⊨ − 𝑷 ∧ 𝑸 ∨ 𝑸

25. Tautología.
Ley del medio excluido.
𝑃 ∨ −𝑃, es una tautología. En otras palabras 𝑃 es
verdadera o falsa, y todo lo demás se excluye.
𝑃 −𝑃 𝑃 ∨ −𝑃
V F V
F V V

26. Tautología.
Teorema 1.1. Sea 𝐴 una expresión
tautológica, sean 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 las
variables proposicionales de 𝐴. Suponga
Suponga que 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 , son
expresiones lógicas arbitrarias. En este
caso, la expresión obtenida al
reemplazar
𝑃1𝑝𝑜𝑟𝐵1, 𝑃2 𝑝𝑜𝑟𝐵2, … , 𝑃𝑛𝑝𝑜𝑟𝐵𝑛 es un
esquema y toda particularización de
este esquema es una tautología.

27. Tautología y razonamiento lógico
A partir del silogismo disyuntivo que indica que 𝑃 ∧ 𝑄 𝑦 − 𝑃 sean ambas verdaderas entonces Q es
verdadera. Si tenemos ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃) ⇒ 𝑄, entonces también es una tautología.
P Q (𝑃 ∨ 𝑄) -P (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃) ⇒ 𝑄
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V

28. Contradicción
Ley del medio excluido.
Una expresión es una contradicción si esta produce F
para todas las asignaciones. Considerando la expresión
𝑃 ∧ −𝑃, es una contradicción. Como se demuestra en la
tabla de verdad:
𝑃 −𝑃 𝑃 ∧ −𝑃
V F F
F V F

29. Tautología y razonamiento lógico
A partir del silogismo disyuntivo que indica que 𝑃 ∧ 𝑄 𝑦 − 𝑃 sean ambas verdaderas entonces Q es
verdadera. Si tenemos 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ −𝑃 ∧ −𝑄, una contradicción, se dice que todas las asignaciones deben
ser falsas.
P Q (𝑃 ∨ 𝑄) -P (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃 −𝑄 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ −𝑃 ∧ −𝑄
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V V V F F
F F F V F V F

30. Tipos
importantes
de tautologías
Definición 7. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos expresiones lógicas y
si 𝐴 ⇒ 𝐵 es una tautología, decimos que
𝐴 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝐵 , y escribimos 𝐴 ⇛
𝐵.
Definición 8. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos expresiones
lógicas y si 𝐴 𝑦 𝐵 siempre tienen el mismo valor
de verdad, entonces se dice que
𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 , y
escribimos 𝐴 ≡ 𝐵, si y solo si 𝐴 ⇔ 𝐵 es una
tautología .

31. Consideraciones especiales
Para distinguir entre 𝐴 ≡ 𝐵 y 𝐴 ⇔ 𝐵 , se utiliza
frecuentemente el término equivalencia material para la
equivalencia 𝐴 ⇔ 𝐵, como opuesto a la 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎,
denotada por ≡. De la misma manera, se dice que 𝐴 implica
materialmente a 𝐵 para 𝐴 ⇒ 𝐵 y que 𝐴 implica lógicamente a
𝐵 para 𝐴 ⇛ 𝐵.

32. Consideraciones especiales
𝐴 es una tautología si 𝐴 ≡ 𝑉, y es una contradicción si 𝐴 ≡ 𝐹. Se puede
también mostrar con claridad que si 𝐴 es una tautología entonces 𝑉 ⇛ 𝐴,
y si 𝐴 es una contradicción, 𝐴 ⇛ 𝐹. Finalmente, a partir de 𝐴 ≡ 𝐵 se
puede concluir 𝐴 ⇛ 𝐵𝑦 𝐵 ⇛ 𝐴. Por lo tanto, toda equivalencia lógica
puede utilizarse para derivar dos implicaciones lógicas. En el caso inverso,
sí 𝐴 ⇛ 𝐵𝑦 𝐵 ⇛ 𝐴, siempre se puede concluir 𝐴 ≡ 𝐵.

33. Equivalencias lógicas y su
utilización.
𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑦 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜.
𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜.
Si 𝑃 ="el programa está bien escrito" y 𝑄 ="el programa está bien documentado",
entonces la primera de las dos afirmaciones se traduce en 𝑃 ∧ 𝑄, mientras que la
segunda se traduce en 𝑄 ∧ 𝑃. Al verificar la tabla de verdad para la conjunción, resulta
que: (𝑄 ∧ 𝑃) ⇔ ( 𝑃 ∧ 𝑄) es una tautología.

34. DEMOSTRACIÓN DE
EQUIVALENCIAS LÓGICAS,
MEDIANTE TABLAS DE VERDAD

35. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
◦ É𝑙 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑜 é𝑙 𝑛𝑜 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜.
◦ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 é𝑙 𝑒𝑠𝑡é 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑠𝑒𝑎 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜.
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 las afirmaciones de que él es honesto y de que él está bien
informado, respectivamente. La primera afirmación representa −𝑃 ∨ −𝑄 ,
mientras que la segunda se traduce como −(𝑃 ∧ 𝑄). Nuestra afirmación es que
las dos expresiones son lógicamente equivalentes; esto es,
−( 𝑃 ∧ 𝑄) ⇔ (−𝑃 ∨ −𝑄) es una tautología.

36. Tautología y razonamiento lógico
La última columna muestra que la expresión en cuestión es una tautología, lo que
significa que las dos afirmaciones en cuestión son lógicamente equivalentes. La
equivalencia lógica demostrada en la Tabla de verdad es importante y se denomina Ley
de De Morgan
𝑃 𝑄 −𝑃 −𝑄 (𝑃 ∧ 𝑄) −(𝑃 ∧ 𝑄) −𝑃 ∨ −𝑄 −(𝑃 ∧ 𝑄) ⇔ (−𝑃 ∨ −𝑄)
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V

37. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
◦ Si las mercancías no fueron entregadas, el cliente no puede haber pagado.
◦ Si el cliente ha pagado, las mercancías deben de haber sido entregadas.
Si 𝑄 𝑦 𝑃 representan "las mercancías fueron entregadas" y "el cliente
pagó", respectivamente, entonces estas dos afirmaciones se traducen en:
−𝑄 ⇒ − 𝑃 𝑦 𝑃 ⇒ 𝑄. 𝑃 ⇒ 𝑄 𝑦 − 𝑄 ⇒ − 𝑃 ,son contrarrecíproco
cada uno del otro.

38. Tautología y razonamiento lógico
La Tabla de verdad muestra que los contrarrecíprocos son lógicamente
equivalentes; esto es, −𝑄 ⇒ −𝑃 ≡ 𝑃 ⇒ 𝑄 La equivalencia lógica es establecida
mediante las dos últimas columnas de la tabla, las cuales son idénticas.
𝑃 𝑄 −𝑃 −𝑄 −𝑄 ⇒ −𝑃 𝑃 ⇒ 𝑄
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V

39. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
◦ 𝑃 𝑦 𝑄 tienen el mismo valor de verdad.
◦ Si 𝑃, entonces 𝑄, y si 𝑄, entonces 𝑃.
La segunda afirmación se puede reformular como "𝑃 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑄". La
conversión de las dos afirmaciones a la lógica es directa. La primera
afirmación se convierte en 𝑃 ⇔ 𝑄 y la segunda ( 𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ ( 𝑄 ⇒ 𝑃).

40. Tautología y razonamiento lógico
La Tabla de verdad muestra que estas dos expresiones son lógicamente
equivalentes.
𝑃 𝑄 𝑃 ⇔ 𝑄 𝑃 ⇒ 𝑄 𝑄 ⇒ 𝑃 (𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ (𝑄 ⇒ 𝑃)
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
Sean las expresiones (𝑃 ⇔ 𝑄 = y ( 𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ ( 𝑄 ⇒ 𝑃).

41. Algebra
Declarativa
En el álgebra declarativa se manipulan
expresiones lógicas, esto es, expresiones
donde las variables y las constantes
representan valores de verdad.
Analizar la expresión
𝑎 + 𝑏 − 𝑏, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑎

42. Ejemplo métodos abreviados para
manipular expresiones.
((𝑃1∧ 𝑃2) ∧ 𝑃1) ∧ (𝑉 ∧ 𝑃1)
((𝑃1∧ 𝑃
2) ∧ 𝑃
1) ∧ (𝑃
1)
(𝑃1∧ 𝑃2)