El documento describe las derivadas de orden superior. Define la segunda derivada como la derivada de la primera derivada, y la tercera derivada como la derivada de la segunda derivada. Explica cómo calcular derivadas de orden superior de forma recursiva y cómo representarlas con notación de diferenciales. También cubre cómo encontrar máximos y mínimos mediante derivadas y presenta ejemplos de aplicación del teorema del valor medio y del teorema de Fermat.

1. Calculodiferencial
OVA
Elemento de competencia 3

2. Derivadas de orden superior
Si f(x) es una función, dependiendo del contexto, diremos que
f'(x) es la primera derivada de f(x), derivada de primer orden
de f(x) o derivada de orden uno de f(x) .
De esta forma, definimos la segunda derivada de f(x) o
derivada de segundo orden de f(x) como la derivada de f'(x)
y la denotamos con f''(x), formalmente
f''(x) = ( f'(x))'

3. Si consideramos la derivada como un cociente de diferenciales, denotamos la
segunda derivada de la función f(x) de la siguiente manera:
d^2 f/dx^2(x)
De igual forma definimos la tercera derivada de f(x) o derivada de tercer
orden de f(x) como la derivada de f''(x) y la denotamos con f'''(x),
formalmente
f'''(x) =( f''(x))'

4. Si consideramos la derivada como un cociente de
diferenciales, denotamos la tercera derivada de la función
f(x) de la siguiente manera:
d^3 f/dx^3(x)
Podemos continuar definiendo derivadas de mayor orden
considerando que a partir de la cuarta derivada, no
usaremos apóstrofes para denotar el orden de la derivada
pues denotaremos la n-ésima derivada de la función f(x) o la
derivada de n-ésimo orden como f^{(n)}(x), formalmente

5. Si consideramos la derivada como un cociente de
diferenciales, denotamos la n-ésima derivada de la función
f(x) de la siguiente manera:

6. Ejemplo
Calcule la cuarta derivada de
Ya que las derivadas de orden superior
están definidas de forma recursiva,
es necesario calcular las primeras
tres derivadas antes de calcular
la cuarta.

7. Video de apoyo

8. Ejercicio
Calcule la siguiente derivada

9. Aplicación de la derivada:
máximos y mínimos
Los máximos y mínimos de una función pueden
encontrarse mediante la derivada. Si la función está
definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él,
para que haya un punto extremo local (máximo o
mínimo) c del intervalo), la derivada primera en c
debe ser nula, f'(c) = 0.

10. Ejemplo
El vértice de una parábola
siempre es un extremo absoluto.
Por ejemplo, la siguiente
parábola tiene un mínimo
relativo en (−1,1):

11. Videode
apoyo

12. Ejercicio
Calcula los intervalos de crecimiento
y decrecimiento en la siguiente
función:

13. Teorema de Fermat
Es una afirmación sobre los
números enteros que dice que la
ecuación x elevado a n más y
elevado a n es igual a z elevado a n
no tiene ninguna solución cuando x,
y y z no son 0. Uno de los tres tiene
siempre que ser 0.

14. Ejemplo
Si tomamos a igual a 9 y p el
primo 5, que no divide a 9,
entonces efectivamente 5 divide a
94 – 1 = 6.560.

15. Video de apoyo

16. Ejercicio

17. Teorema del valor
medio
Establece que si una función es
continua en el intervalo cerrado [a,b] y
diferenciable en el intervalo abierto
(a,b), entonces existe un punto c
contenido en el intervalo (a,b) tal que
f'(c) es igual a la razón de cambio
promedio de la función en [a,b].

18. Ejemplo
La derivada de la función es:
Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es
derivable.
Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por tanto, existe un valor de c en ese
intervalo tal que:
Vamos a pasar a calcular el punto c del teorema.
Calculamos lo que vale la función en los extremos del intervalo:

19. Y calculamos f'(c):
Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):
Sustituyendo la x por la c:
Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una
ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla
y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:

20. Videode
apoyo

21. Ejercicio
Calcula el punto c que satisface el
teorema del valor medio para la
siguiente función en el intervalo
[0,4]: