Este documento describe las propiedades de las potencias. Define una potencia como el producto de un número por sí mismo un número determinado de veces, llamado exponente. Explica cómo calcular potencias, elevar potencias a potencias, multiplicar, dividir y tomar potencias de sumas, productos y cocientes.

1. LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES
• Definición de potencia y signos de esta.
• Multiplicación y división de potencias de igual base.
• Potencia de potencia.
• Potencia de un producto y de un cuociente.
• Multiplicación y división de potencias de igual
exponente.
• Potencias de exponente cero, negativo y fraccionario

2. Potencias:
Una potencia es el producto de un número "a" por si
mismo "n" veces lo que se denota por an ; con a ∈IR y
n ∈ Z ; luego:
a
......
a
a
a
n
a ⋅
⋅
⋅
⋅
=
n veces a
donde "a" se llama base , "n" es el exponente y el
producto a obtener es la potencia.

3. Ejercicios:
Calcular aplicando la definición las siguientes potencias
indicadas:
8⋅8=64
5⋅5⋅5=125
(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3) = 81
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) =-32
(a) 82 =
(b) 53 =
(c) (-3)4 =
(d) (-2)5 =
(e) (-12)2 =
(f) 73 =
(g) 44 =
(h) (-3)5 =
(-12)⋅(-12)=144
7⋅7⋅7=343
(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)=-243
4⋅4⋅4⋅4 = 256

4. Notar que:
(c) Si la base es negativa, se indica esta entre
paréntesis; así:
(a) Si el exponente es par, la potencia es siempre
positiva.
(b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el
signo de la base.
(-5)2 =
(-4)3 =
-52 =
-43 =
(-2)4 = -24 =
En el caso de tener exponente par, podemos ver la
diferencia de escribir la base entre paréntesis o no.
(-5)⋅(-5) = 25 -1 ⋅ 52 = -1 ⋅ 25 = -25
(-4)⋅(-4)⋅(-4) = -64
(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)= 16
-1 ⋅ 43 = -1 ⋅ 64 = -64
-1 ⋅ 24 = -1 ⋅ 16 = -16

5. d) Al calcular y comparar:
i) (3 + 5)2 =
32 + 52 =
ii) (8 - 5)2 =
82 - 52 =
generalizando, se deduce que:
( 8 )2 = 64
9 + 25 = 34
( 3 )2 = 9
64 - 25 = 39
≠ ≠
n
b
n
a
n
)
b
a
(
n
b
n
a
n
)
b
a
(
−
≠
−
+
≠
+
La potencia de una suma es distinta de una suma de
potencias, de igual forma la potencia de una resta es
distinta de una resta de potencias, luego la potenciación
no es distributiva sobre la adición y sustracción.

6. Propiedades de las potencias:
1) Para multiplicar potencias de igual base, se
conserva la base y se suman los exponentes.
Ejemplos: Al calcular:
(a) 23 . 24 =
(b) 5-3 ⋅ 57 =
(c) 3 ⋅ 32 ⋅ 33=
(d) (-4)3 ⋅ (-4)-2 ⋅ (-4) =
23 + 4 =27= 128
5-3 + 7 = 54= 625
31+ 2+ 3 =36 = 729
(-4)3 + -2 + 1 = (-4)2 =16
(e) 21/2 ⋅ 25/2 =
n
m
a
n
a
m
a +
=
⋅
26/2 = 23 = 8
21/2 + 5/2 =
1
1

7. (g) (-3)2 ⋅ ⋅ (-3)5 = 81
(-3)-3
= (-3)4
(h) (-1)32 ⋅ (-1)-15 ⋅ (-1)43 = (-1)32 + -15 + 43 = (-1)60 = 1
Recíprocamente se tiene que ; luego:
n
a
m
a
n
m
a ⋅
=
+
Ejemplos:
(a) 42+3 =
(b) 5x+y+z =
42 · 43
5x ·5y · 5z
(f) . 23 = 256 = 28
25

8. 2) Para dividir potencias de igual base, se conserva
la base y se restan los exponentes.
n
m
a
n
a
:
m
a −
=
Ejemplos: Al calcular:
(a) 27 : 24 =
(b) 59 : 55 =
(c) (-3)-2 : (-3)-5 =
(d) (-4)3 : (-4)-2 =
(e) 68/3 : 62/3 =
27 - 4 = 23 = 8
59 - 5 = 54 = 625
(-3)-2 - -5 = (-3)-2+5 = (-3)3 = -27
(-4)3 - -2 = (-4)3+2 = (-4)5 = -1.024
68/3 - 2/3 = 66/3 = 62 = 36

9. (h) (-1)-12 : (-1)-25 =
Recíprocamente se tiene que ; luego:
n
a
:
m
a
n
m
a =
−
Ejemplos:
(a) 35 - 2 =
(b) 5x – y - z =
(f) : 43 = 256 = 44
47
= (-3)4
(g) (-3)2 : = 81
(-3)-2
(-1)-12 - -25 = (-1)-12 + 25 = (-1)13 = -1
35 : 32
5x : 5y : 5z

10. 3) Para elevar una potencia a potencia, se conserva
la base y se multiplican los exponentes.
n
m
a
n
m
a ⋅
=






Ejercicios:
(a) (32)3 =
(b) (x5)4 =
(c) ((a2)3)5 =
(d) (615)1/5 =
(e) (((-3)5)9)1/15 =
(f) ((-1)3)6)7 =
36 = 729
x20
a30
615/5 = 63 = 216
(-3)45/15 = (-3)3 = -27
(-1)126 = 1

11. 4) Un producto elevado a un exponente común, es
igual al producto de cada uno de los factores
elevados a tal exponente; en consecuencia la
potenciación es distributiva sobre la
multiplicación.
( ) n
b
n
a
n
b
a ⋅
=
⋅
Ejercicios:
(a) (2 ⋅ 3)2 =
(b) (-5 ⋅ 2)3 =
(c) (2 ⋅ -4)4 =
(d) (-2 ⋅ -3 ⋅ -1)5 =
22·32 = 4 · 9 = 36
(-5)3 ·23 = -125 · 8 = -1.000
24 · (-4)4 = 16 · 256 = 4.096
(-2)5·(-3)5·(-1)5 = -32 ·-243 ·-1= -7.776

12. (e) (-3x2y3)5 =
(f) (2a6b4c3d)7 =
Ejecicios:
(a) 34 . 24 =
(b) x6 . y6 =
(3 · 2)4 = 64 = 1.296
(x·y)6 = (xy)6
27·(a6)7·(b4)7·(c3)7·(d1)7= 128a42b28c21d7
(-3)5·(x2)5·(y3)5 = -243x10y15
Recíprocamente se tiene que ; luego
se deduce que para multiplicar potencias de igual
exponente, se eleva el producto de las bases al
exponente común.
n
)
b
a
(
n
b
n
a ⋅
=
⋅

13. (c) 44 ⋅ (-5)4 =
(d) 22 ⋅ 32 ⋅ 42 =
(e) (-8)3 ⋅ 103 =
(f) (-2)3 ⋅ (-3)3 ⋅ (-5)3 =
(g) (2x)3 . (4x)3 =
(h) (-3a2b)2 . (2a3b)2 =
(4 · -5)4 = (-20)4 = 160.000
(2 · 3 · 4)2 = 242 = 576
(-8 · 10)3 = (-80)3 = -512.000
(-2 · -3 · -5)3 = (-30)3 = -27.000
(2x · 4x)3 = (8x2)3 = 83·(x2)3 = 512x6
(-3a2b ·2a3b)2 = (-6a5b2)2
= (-6)2·(a5)2·(b2)2 = 36a10b4

14. 5) Al tener un cuociente elevado a un exponente
común, es igual al cuociente de cada uno de los
términos elevados a tal exponente; en consecuencia
la potenciación es distributiva sobre la división.
( ) n
b
:
n
a
n
b
:
a =
n
b
n
a
n
b
a
=






Ejercicios:
(a) =






5
3
2
(b) =






−
3
4
3
=
5
3
5
2
243
32
=
−
3
4
3
)
3
(
64
27
−

15. (c) =






−
4
5
2
(d) =






5
10
1
=








3
/
1
9
2
6
5
(e)
(f) =








5
3
y
2
x
(g) =








3
3
b
4
2
a
3
=
−
4
5
4
)
2
(
625
16
=
5
10
5
1
000
.
100
1
=
3
/
9
2
3
/
6
5
=
3
2
2
5
8
25
=
5
)
3
y
(
5
)
2
x
(
15
y
10
x
=
3
)
3
b
4
(
3
)
2
a
3
(
=
⋅
⋅
3
)
3
b
(
3
4
3
)
2
a
(
3
3
9
b
64
6
a
27
=
3
/
1
)
9
2
(
3
/
1
)
6
5
(

16. Recíprocamente se tiene que:
n
)
b
:
a
(
n
b
:
n
a =
n
b
a
n
b
n
a






=
luego se deduce que para dividir potencias de igual
exponente, se eleva el cuociente de las bases al
exponente común.
Ejercicios:
(a) 183 : 93 =
(b) 754 : 254 =
(18 : 9)3 = 23 = 8
(75 : 25)4 =34 = 81

17. =






⋅
5
4
5
15
8
(c) (-35)5 : 75 =
(d) 1353 : (-15)3 =
(e) (-96)4 : (-12)4 =
(h) (-36a5)6 : (12a2)6 =
=












5
5
4
:
5
15
8
(f)
=












−
3
5
6
:
3
5
2
(g)
(-35 : 7)5 =
(135 : -15)3 =
(-96 : -12)4 =
(-5)5 = -3.125
(-9)3 = -729
(8)4 = 4.096
=






5
5
4
:
15
8
=






5
3
2
=
5
3
5
2
-1
27
3 1
1
2
=







 −
3
5
6
:
5
2
=








⋅
−
3
6
5
5
2
1 3
1
-1
=
−
3
3
3
)
1
(
=







 −
3
3
1
32
243
(-36a5 : 12a2)6 = (-3a3)6
= (-3)6·(a3)6 = 729a18

18. 6) Toda potencia de exponente negativo es igual al
valor recíproco de la base elevada al mismo
exponente , pero positivo.
n
a
1
n
a =
−
n
a
n
b
n
a
b
n
b
a
=






=
−






Ejercicios:
(a) (5)-3 =
(b) (-3)-5 =
(c) =
−






4
3
2
=
3
5
1
125
1
=
− 5
)
3
(
1
=
− 243
1
243
1
−
=






4
2
3
=
4
2
4
3
16
81

19. =
−






−
3
7
5
(d)
(e) (a)-3 =
(f) (-2x3)-5 =
=
−








3
y
5
x
3
(g)
=






−
3
5
7
=
−
3
5
3
7
125
343
−
3
a
1
=
− 5
)
3
x
2
(
1
=
⋅
− 5
)
3
x
(
5
)
2
(
1
=
− 15
x
32
1
15
x
32
1
−
=






3
x
3
y
5
=
3
)
x
3
(
3
)
y
5
(
=
⋅
⋅
3
x
3
3
3
y
3
5
3
x
27
3
y
125
=








−
4
3
a
2
2
b
5
=
−
4
)
3
a
2
(
4
)
2
b
5
(
=
⋅
⋅
−
4
)
3
a
(
4
2
4
)
2
b
(
4
)
5
(
(h)
4
2
b
5
3
a
2
−








− =
12
a
16
8
b
625

20. 7) Toda potencia elevada a cero es igual a la unidad.
1
0
a =
(a) 30 =
(b) (-2)0 =
(c) =






−
0
7
5
(e) (-5)0 + 30 + 70 =
(f) 3x0 - 2y0 + 5z0 =
(d) ( ) =
0
2
3
1
1
1
1
1 + 1 + 1 = 3
3·1 - 2·1 + 5·1
= 3 - 2 + 5
= 6

21. 8) Toda potencia de exponente fraccionario se
transforma a raíz.
n m
a
n
m
a =
Notar que el denominador del exponente
fraccionario, pasa a ser el indice de la raíz y el
numerador de este es el nuevo exponente de la base
quedando esta expresión como cantidad
subradical.
Ejercicios:
(a) 91/2 =
(b) 641/3 =
=
2 1
9 =
9 3
=
3 1
64 =
3 64 4

22. (c) (-125)1/3 =
(d) 2561/4 =
(e) 43/2 =
(f) 82/3 =
=
−
3 1
125 =
−
3 125 -5
=
4 1
256 =
4 256 4
=
2 3
4 =
64 8
=
3 2
8 =
3 64 4

23. Ejercicios Complementarios:
1) Aplicar las propiedades de las potencias en calcular:
(a) Para x = -3 el valor de:
5x3 - 3x2 + 5x – 1 =
(b) =
−






⋅






2
3
4
4
3
5·(-3)3 - 3·(-3)2 + 5·(-3) - 1
5·-27 - 3·9 + -15 - 1
-135 - 27 + -15 - 1
-162 + -15 - 1
-177 + -1
= -178
2
4
3
1
4
3






⋅






=
3
4
3






=
=
27
64

24. (c) =












7
3
2
:
3
3
2
(d) =
⋅ 12
)
6
/
1
5
4
/
1
6
(
7
3
3
2 −






=
=
81
16
4
3
2 −






=
4
2
3






=
4
2
4
3
=
12
)
6
/
1
5
(
12
)
4
/
1
6
( ⋅
=
12
12
6
4
6 5
= ⋅
2
5
3
6 ⋅
=
= 216·25
= 5.400

25. =












4
8
1
:
2
16
1
(f)
=







 −






2
2
5
3
(e)
4
3
2
1
:
2
4
2
1




























=
12
2
1
:
8
2
1












=
4
2
1
−






=
4
2
=
= 16
2
2
3
5














=
4
3
5






=
=
625
81
4
3
4
5
=

26. (g) =






⋅






3
16
5
3
15
8
=












5
4
21
:
5
20
35
(h)
3
16
5
15
8






⋅
=
3
6
1






=
=
1
216
3
6
3
1
=
1 1
3 2
5
4
21
:
20
35






=
5
21
4
20
35






⋅
=
5 1
5 3
1
1
5
1
3
 
=  
 
=
1
243
5
1
5
3
=

27. (i) =
−
−
−
−
3
3
2
3
1
3
3
3
1
2
3
1
1
3
1
−
27
1
9
1
3
1
−
=
27
1
9
2
=
1
27
9
2
⋅
=
3
1
1
6
= = 6

28. 2) Si y ¿Cuál de las relaciones
es verdadera?
2 3
a b 32
⋅ = 3
a 8
=
A) a = b
B) > 2·a
C) 2·a >
D) b < a
E) a < b
2
b
2
b
Si 3
a =8 ⇒ a = 2
Si a = 2 ⇒
2 3
a b =32
⋅
2 3
2 b =32
⋅
3
4 b =32
⋅
32
3
b = =8
4
⇒ b = 2

29. 3) Si A = ; entonces = ?
3
2x 4
A
A) 2x
B) 6x
C) 8x
D) 16x
E) 16x
12
12
12
12
7
3
A=2x ⇒
4
A =
3 4
(2x )
4 3 4
= 2 (x )
⋅
= 16 12
x

30. 3 1 2
3 3 2
: ?
2 2 3
− − −
   
     
   
⋅ =
     
   
     
   
4)
A) 4/9
B) 9/4
C) 81/16
D) 64/729
E) 729/64
3 1 2
3 3 2
:
2 2 3
− − −
   
     
   
⋅ =
     
   
     
   
4
3
2
−
 
 
 
 
 
 
 
:
2
3
2
 
 
  =
 
 
 
 
4 2
3
2
− −
 
=
 
 
6
3
2
−
 
=
 
 
6
2
3
 
=
 
 
64
729

31. 5 5 3 3
6 4 5 2
: ?
8 9 6 5
   
       
   
⋅ ⋅ =
       
   
       
   
5)
A) 9
B) 3
C) 1
D)
E)
1
3
1
9
5 3
6 4 5 2
:
8 9 6 5
   
   
   
⋅ ⋅ =
   
   
   
   
2
3
1
2 3
1 1
1
1
1
5 3
1 1
:
3 3
   
=    
   
5 3
1
3
−
 
=  
 
2
1
3
 
= =
 
 
1
9

32. 6) Si a = y n = . De las siguientes proposiciones
es (son) verdadera(s):
2
n 3
b
l) Si a = 64 ⇒ b = 2
ll) Si n = 8 ⇒ a = 64
lll) Si b = 2 ⇒ n = 8
A) Sólo l y ll
B) Sólo l y lll
C) Sólo ll y lll
D) Todas
E) Ninguna
2
a=n ⇒
; si a = 64 2
64=n
⇒ 8 = n
3
n=b ⇒
; si n = 8 3
8=b
⇒ 2 = b
⇒ 2
a=8
⇒ a = 64
si n = 8 con 2
a=n
⇒ 3
n=2
⇒ n = 8
si b = 2 con 3
n=b
ü
ü
ü

33. 7) Si a, b ∈ Z con a ≠ b ; n ∈ IN; se tiene que
es un número positivo si:
n
(a-b)
(1) El exponente “n” es par.
(2) Si se cumple que a > b.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.
Si
Exponente par ⇒ potencia positiva.
Si a > b ⇒ a - b > 0 ; base positiva ⇒ potencia positiva
Si

34. Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-10
1) a) 216 b) 729 c)-125 d) 256
e)-729 f) 144 g)-100.000 h)-3.375
2) a) 125 ≠ 243 b) 400 ≠ 272 c) 49 ≠ 91
an ≠ na (a + b)n ≠ an + bn (a - b)n ≠ an - bn
3) a) 32 b) 125 c) 64 d) e) .
9
25
8
27
−
4) a) 125 b) 729 c)-64 d) e) .
9
16
8
125
−
5) a) 64 b) c) 49 d) e) -27 .
1
729
1
64
−
6) a) 225 b) c) 200 d) 675 e) -1 .
1
216

35. 7) a) 225 b)-1.000.000 c) d) e) 128 .
27
8
1
256
8) a) b) c) d) e)
8
27
121
9
1
64
−
7
72
−
3
6
16
9) a) 25 b) -27 c) d) -27 e) .
1
32
1
64
10) a) b) c) d) e) 243 .
1
16
1
243
−
4
9
125
216
11) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3
12) a) 4 b) 2 c) d) 8 e) 2 .
1
2
13) E 14) D 15) C 16) A
17) D 18) C 19) A 20) D