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LAS RAICES Y SUS PROPIEDADES
• Definición de raíz aritmética.
• Reducción de expresiones con raíces de distinto
índice.
• Primeras propiedades de las raíces.
• Ejercicios de aplicación.
Raíces:
Para n ∈ Z ; a , α ∈ IR ; se define por raíz
aritmética:
( ) 



 =α⇔α= ann a
donde “n” es el índice; “a” la cantidad subradical y
“α” es la raíz; siendo el símbolo de raíz
aritmética.
Es decir la raíz es aquel real “α” tal que elevado al
índice “n”, da por resultado la cantidad subradical “a”.
Ejercicios:
1) Calcular el valor de las siguientes raíces aritméticas:
=144
=196
=4 81
(a)
(b)
(c)
=−3 125 =−7 128
=−3 216
=5 243
=−4 16
=6 64
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
12
14
3
-5
-6
3
-2
No existe en IR
2
Además:
Si n = 2 ; la raíz es cuadrada. (El 2 se omite como índice)
Si n = 3 ; la raíz es cúbica.
Si n = 4 la raíz es cuarta. etc.
Notar que si el índice es par, la raíz aritmética es
siempre positiva, a diferencia de tener índice impar,
donde la raíz aritmética conserva el signo de la
cantidad subradical.
2) Reducir:
3 ·13 - 5 ·15 - 6·16
39 - 75 - 96 = -132
=−− 256622551693(a)
=−−+−−− 3 3433 21623 12533 646(b)
6 ·-4 - 3 · -5 + 2 · 6 - -7
-24 - -15 + 12 + 7
-24 + 15 + 12 + 7 = 10
Veamos si la radicación es distributiva sobre la
adición y sustracción.
Ejemplo: Al calcular las siguientes raíces
=+ 3664
=+ 3664(a) (b) =− 81225
=− 81225
Se deduce que: n bn an ba +≠+
n bn an ba −≠−
luego la radicación no es distributiva sobre la
adición y sustracción.
=100 10
8 + 6 =14
=144 12
15 - 9 = 6
Propiedades de las raíces:
1) Al tener una raíz elevada a un exponente igual a
su índice o una raíz donde la cantidad subradical
esta elevada a un exponente igual al índice de
esta, se simplifica tal exponente con la raíz de tal
índice.
( ) a
n na
nn a ==
Ejemplos:
=27(a)
=
3 35(b)
( ) =
2
63(c)
=− 2)ba(a(d)
( ) =−
33 yxx(e)
7
5
= 9 ⋅6 = 54
a⋅(a - b) = a2
- ab
=−⋅ 3)3 yx(3x
=−⋅= )yx(3x
= x4
- x3
y
2)6(23 ⋅
( ) ( ) =−−−
33 y2x22yx23(f) 3)3 y2x(322)yx2(3 −⋅−−
= 3·(2x - y) - 8·(x - 2y)
= 6x - 3y - 8x + 16y
= -2x + 13y
2) La raíz de un producto es igual al producto de las
raíces de cada uno de los factores; luego la
radicación es distributiva sobre la multiplicación.
n bn an ba ⋅=⋅Ejemplos:
=2
x9(a)
(b) =64
yx25
2
x9 ⋅ = 3x
=⋅⋅ 64
yx25 = 5x2
y3
=⋅=⋅ 5454 52
=48(b) =⋅=⋅ 316316 34
(a) =20
(c) =−
3 1293
cba64
(d) =−
5 20155
cba32
-4ab3
c4
-2ab3
c4
Notar que para calcular la raíz de una potencia se
divide el exponente de esta por el índice de la raíz.
Apliquemos la distributividad de la radicación sobre la
multiplicación en el calculo de raíces parciales:
Ejemplo:
(c) =54
(d) =5b3a75
(e) =
3 14b10a24
=⋅ 69 63
=⋅⋅⋅⋅⋅ bbaa325 42
=⋅⋅⋅⋅⋅
3 2129
bbaa38
3 243
ab3ba2
Reducción de expresiones con raíces:
Sólo se pueden reducir raíces de igual índice e igual
cantidad subradical, donde procederemos de igual
forma que para reducir términos semejantes.
Ejercicios: Al reducir:
(a) =+− 22723 23−
(b) =+−− 56375234 5433 +−
ab3ab5 2
=+−− 274725483502(c)
(d) =+−− 3333 2504815128233
394236531632252 ⋅+⋅−⋅−⋅=
334265343252 ⋅+⋅−⋅−⋅=
312230312210 +−−=
220−=
3333 212543275264233 ⋅+⋅−⋅−=
3333 25433524233 ⋅+⋅−⋅−=
3333 2203152833 +−−=
33 212312 +−=
Si ; recíprocamente se cumple que:nnn baba ⋅=⋅
nnn baba ⋅=⋅
Deduciéndose que para multiplicar raíces de igual
índice, se extrae raíz del producto de las cantidades
subradicales.
Ejemplos:
(a) =⋅ 273
(b) =⋅ 33 25255
(c) =⋅ ba122ba36 35
(d) =⋅
3 43 85
ba16b3ba4a5 =⋅= 333 99
ba4ab15ba64ab15
=⋅= ba612ba3612 428
=⋅==⋅ 5101251025510 33
==⋅ 81273 9
50
ba72 4
44
ba60=
(e) ( ) =−⋅ 842362
(f) ( ) ( ) =+⋅− 35222423
488126 −
3168346 ⋅−⋅=
348326 ⋅−⋅=
332312 −=
320−=
6204861546 −−+
6202861526 −⋅−+⋅=
6201661512 −−+=
654 −−=
(g) 6 2 5· 6 2 5+ − = (6 2 5)(6 2 5)+ −
2 26 (2 5)= −
2 2 26 2 ( 5)= − ⋅
36 4 5= − ⋅
36 20= −
16=
= 4
=−+− 22581219651446a)
= 6·12 - 5·14 + 2·9 - 15
= 72 - 70 + 18 - 15
= 90 - 85
= 5
=−−+−− 3 21633 51273 6453125b)
= 5 - 5·-4 + 7·-8 - 3·6
= 5 + 20 + -56 - 18
= 25 + -74
= -49
Ejercitación:
1) Reducir las siguientes expresiones con raíces exactas:
2) Recuerde que para calcular la raíz de una potencia se
divide su exponente por el índice de la raíz:
=6a
=
3 15x
=−5 15)5(
a)
b)
c)
=2:6a
=3:15x
=− 5:15)5(
3a
5x
=− 3)5( -125
a)
b)
( ) =
2
35c)
( ) =−
55 6
=27
-6
3) Aplicar la propiedad en :( ) a
n na
nn a ==
7
5·3 = 15
=−3 3)yx(x
d) ( ) =
2
73
( ) =−
2
baa
e)
f)
4) Aplicar la propiedad en calcular
raíces de productos en:
n bn an ba ⋅=⋅
x(x - y) = xy2x −
=⋅ 2)7(23 9·7 = 63
=−⋅ 2)ba(2a =− )ba(2a b2a3a −
=⋅ 6a25 3a5
5y2x12
4z3y2x5−
=6a25
=10y4x144
=−3 12z9y6x125
a)
b)
c)
5) Calcular las siguientes raíces parciales:
=50
=45
=48
=7a
=3 40
=−
3 5x54
a)
b)
c)
d)
e)
f)
=⋅ 225 25
=⋅59 53
=⋅ 316 34
=⋅ a6a a3a
=⋅3 58 352
=⋅⋅⋅−
3 2x3x227
3 2x2x3−
6) Reducir las siguientes expresiones radicales:
=+−−+ 353385732a) 5435 +−
2 - 8 + 1 = -5
7 - 3 = 4
=++− 455986202503b)
59524965422253 ⋅+⋅+⋅−⋅=
535276522253 ⋅+⋅+⋅−⋅=
51524254215 ++−=
511257 +=
7) Aplicar propiedad en:n ban bn a ⋅=⋅
=⋅ 24263a)
=− )a123a35(a32b)
=⋅⋅ 3 x1223 x633 x35c)
=⋅ 2466 =1446 6·12 = 72
2a3662a910 −
= 10·3a - 6·6a
= 30a - 36a
= -6a
3 x12x6x330 ⋅⋅
3 3x21630=
= 30·6x
= 180x
=+− )6522)(6223(d) 3610124121546 −−+
610121126 ⋅−+⋅=
60341112 −⋅+=
321148 ⋅+−=
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LAS RAICES Y SUS PROPIEDADES
• Definición de raíz aritmética.
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Raíces: Propiedades y Ejercicios

  • 1. LAS RAICES Y SUS PROPIEDADES • Definición de raíz aritmética. • Reducción de expresiones con raíces de distinto índice. • Primeras propiedades de las raíces. • Ejercicios de aplicación.
  • 2. Raíces: Para n ∈ Z ; a , α ∈ IR ; se define por raíz aritmética: ( )      =α⇔α= ann a donde “n” es el índice; “a” la cantidad subradical y “α” es la raíz; siendo el símbolo de raíz aritmética. Es decir la raíz es aquel real “α” tal que elevado al índice “n”, da por resultado la cantidad subradical “a”.
  • 3. Ejercicios: 1) Calcular el valor de las siguientes raíces aritméticas: =144 =196 =4 81 (a) (b) (c) =−3 125 =−7 128 =−3 216 =5 243 =−4 16 =6 64 (d) (e) (f) (g) (h) (i) 12 14 3 -5 -6 3 -2 No existe en IR 2 Además: Si n = 2 ; la raíz es cuadrada. (El 2 se omite como índice) Si n = 3 ; la raíz es cúbica. Si n = 4 la raíz es cuarta. etc.
  • 4. Notar que si el índice es par, la raíz aritmética es siempre positiva, a diferencia de tener índice impar, donde la raíz aritmética conserva el signo de la cantidad subradical. 2) Reducir: 3 ·13 - 5 ·15 - 6·16 39 - 75 - 96 = -132 =−− 256622551693(a) =−−+−−− 3 3433 21623 12533 646(b) 6 ·-4 - 3 · -5 + 2 · 6 - -7 -24 - -15 + 12 + 7 -24 + 15 + 12 + 7 = 10
  • 5. Veamos si la radicación es distributiva sobre la adición y sustracción. Ejemplo: Al calcular las siguientes raíces =+ 3664 =+ 3664(a) (b) =− 81225 =− 81225 Se deduce que: n bn an ba +≠+ n bn an ba −≠− luego la radicación no es distributiva sobre la adición y sustracción. =100 10 8 + 6 =14 =144 12 15 - 9 = 6
  • 6. Propiedades de las raíces: 1) Al tener una raíz elevada a un exponente igual a su índice o una raíz donde la cantidad subradical esta elevada a un exponente igual al índice de esta, se simplifica tal exponente con la raíz de tal índice. ( ) a n na nn a == Ejemplos: =27(a) = 3 35(b) ( ) = 2 63(c) =− 2)ba(a(d) ( ) =− 33 yxx(e) 7 5 = 9 ⋅6 = 54 a⋅(a - b) = a2 - ab =−⋅ 3)3 yx(3x =−⋅= )yx(3x = x4 - x3 y 2)6(23 ⋅
  • 7. ( ) ( ) =−−− 33 y2x22yx23(f) 3)3 y2x(322)yx2(3 −⋅−− = 3·(2x - y) - 8·(x - 2y) = 6x - 3y - 8x + 16y = -2x + 13y 2) La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de cada uno de los factores; luego la radicación es distributiva sobre la multiplicación. n bn an ba ⋅=⋅Ejemplos: =2 x9(a) (b) =64 yx25 2 x9 ⋅ = 3x =⋅⋅ 64 yx25 = 5x2 y3
  • 8. =⋅=⋅ 5454 52 =48(b) =⋅=⋅ 316316 34 (a) =20 (c) =− 3 1293 cba64 (d) =− 5 20155 cba32 -4ab3 c4 -2ab3 c4 Notar que para calcular la raíz de una potencia se divide el exponente de esta por el índice de la raíz. Apliquemos la distributividad de la radicación sobre la multiplicación en el calculo de raíces parciales: Ejemplo:
  • 9. (c) =54 (d) =5b3a75 (e) = 3 14b10a24 =⋅ 69 63 =⋅⋅⋅⋅⋅ bbaa325 42 =⋅⋅⋅⋅⋅ 3 2129 bbaa38 3 243 ab3ba2 Reducción de expresiones con raíces: Sólo se pueden reducir raíces de igual índice e igual cantidad subradical, donde procederemos de igual forma que para reducir términos semejantes. Ejercicios: Al reducir: (a) =+− 22723 23− (b) =+−− 56375234 5433 +− ab3ab5 2
  • 10. =+−− 274725483502(c) (d) =+−− 3333 2504815128233 394236531632252 ⋅+⋅−⋅−⋅= 334265343252 ⋅+⋅−⋅−⋅= 312230312210 +−−= 220−= 3333 212543275264233 ⋅+⋅−⋅−= 3333 25433524233 ⋅+⋅−⋅−= 3333 2203152833 +−−= 33 212312 +−=
  • 11. Si ; recíprocamente se cumple que:nnn baba ⋅=⋅ nnn baba ⋅=⋅ Deduciéndose que para multiplicar raíces de igual índice, se extrae raíz del producto de las cantidades subradicales. Ejemplos: (a) =⋅ 273 (b) =⋅ 33 25255 (c) =⋅ ba122ba36 35 (d) =⋅ 3 43 85 ba16b3ba4a5 =⋅= 333 99 ba4ab15ba64ab15 =⋅= ba612ba3612 428 =⋅==⋅ 5101251025510 33 ==⋅ 81273 9 50 ba72 4 44 ba60=
  • 12. (e) ( ) =−⋅ 842362 (f) ( ) ( ) =+⋅− 35222423 488126 − 3168346 ⋅−⋅= 348326 ⋅−⋅= 332312 −= 320−= 6204861546 −−+ 6202861526 −⋅−+⋅= 6201661512 −−+= 654 −−=
  • 13. (g) 6 2 5· 6 2 5+ − = (6 2 5)(6 2 5)+ − 2 26 (2 5)= − 2 2 26 2 ( 5)= − ⋅ 36 4 5= − ⋅ 36 20= − 16= = 4
  • 14. =−+− 22581219651446a) = 6·12 - 5·14 + 2·9 - 15 = 72 - 70 + 18 - 15 = 90 - 85 = 5 =−−+−− 3 21633 51273 6453125b) = 5 - 5·-4 + 7·-8 - 3·6 = 5 + 20 + -56 - 18 = 25 + -74 = -49 Ejercitación: 1) Reducir las siguientes expresiones con raíces exactas:
  • 15. 2) Recuerde que para calcular la raíz de una potencia se divide su exponente por el índice de la raíz: =6a = 3 15x =−5 15)5( a) b) c) =2:6a =3:15x =− 5:15)5( 3a 5x =− 3)5( -125 a) b) ( ) = 2 35c) ( ) =− 55 6 =27 -6 3) Aplicar la propiedad en :( ) a n na nn a == 7 5·3 = 15
  • 16. =−3 3)yx(x d) ( ) = 2 73 ( ) =− 2 baa e) f) 4) Aplicar la propiedad en calcular raíces de productos en: n bn an ba ⋅=⋅ x(x - y) = xy2x − =⋅ 2)7(23 9·7 = 63 =−⋅ 2)ba(2a =− )ba(2a b2a3a − =⋅ 6a25 3a5 5y2x12 4z3y2x5− =6a25 =10y4x144 =−3 12z9y6x125 a) b) c)
  • 17. 5) Calcular las siguientes raíces parciales: =50 =45 =48 =7a =3 40 =− 3 5x54 a) b) c) d) e) f) =⋅ 225 25 =⋅59 53 =⋅ 316 34 =⋅ a6a a3a =⋅3 58 352 =⋅⋅⋅− 3 2x3x227 3 2x2x3−
  • 18. 6) Reducir las siguientes expresiones radicales: =+−−+ 353385732a) 5435 +− 2 - 8 + 1 = -5 7 - 3 = 4 =++− 455986202503b) 59524965422253 ⋅+⋅+⋅−⋅= 535276522253 ⋅+⋅+⋅−⋅= 51524254215 ++−= 511257 +=
  • 19. 7) Aplicar propiedad en:n ban bn a ⋅=⋅ =⋅ 24263a) =− )a123a35(a32b) =⋅⋅ 3 x1223 x633 x35c) =⋅ 2466 =1446 6·12 = 72 2a3662a910 − = 10·3a - 6·6a = 30a - 36a = -6a 3 x12x6x330 ⋅⋅ 3 3x21630= = 30·6x = 180x
  • 20. =+− )6522)(6223(d) 3610124121546 −−+ 610121126 ⋅−+⋅= 60341112 −⋅+= 321148 ⋅+−= 32248 +−=
  • 21. LAS RAICES Y SUS PROPIEDADES • Definición de raíz aritmética. • Reducción de expresiones con raíces de distinto índice. • Primeras propiedades de las raíces. • Ejercicios de aplicación.